河北省衡水中学高一数学必修一自助餐 函数的概念(二)
高一数学必修1函数的概念
例1．求下列函数的值域：
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） ；
（7） ； （8） ； （9） ．
解：（1）（一）公式法（略）
（二）（配方法） ，
∴ 的值域为 ．
改题：求函数 ， 的值域．
解：（利用函数的单调性）函数 在 上单调增，
∴当 时，原函数有最小值为 ；当 时，原函数有最大值为 ．
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；
（2）已知 求 或已知 求 ：换元法、配凑法；
（3）已知函数图像，求函数解析式；
（4） 满足某个等式，这个等式除 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；
（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．
2．求函数定义域一般有三类问题：
（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；
2．函数的传统定义和近代定义；
3．函数的三要素及表示法．
（二）主要方法：
1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；
2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；
3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．
（三）例题分析：
例1．（1） ， ， ；
（2） ， ， ；
∴原函数的值域为 ．
（8） ，
∵ ，∴ ，∴ ，当且仅当 时，即 时等号成立．∴ ，∴原函数的值域为 ．
（9）（法一）方，
∴原函数的值域为 ．
（法二）数形结合法：可看作求点 与圆 上的点的连线的斜率的围，解略．
例2．若关于 的方程 有实数根，数 的取值围．
高一数学必修1 函数的概念
二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．
03 衡水中学高一数学预习知识点——函数的概念
衡水中学高一数学预习知识点——函数的概念一、 知识点讲解1.函数的定义：一般地，设A ，B 两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每个元x ，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫从A 到B 的一个函数。
2.定义域：x 的值构成的集合A 叫函数y=f(x)的定义域。
3.值域：集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。
4.函数的三要素：定义域，值域，对应关系5.两个函数的三要素相同，则这两个函数相等。
6.映射：一般地，设A,B 是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中存在唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
7.函数一定是映射，但是映射不一定是函数。
8.在函数中，A,B 是两个数集，即A,B 中的元素都是实数，但是在映射中，A ，B 中的元素不一定是实数。
9.区间的定义及表示：设a ，b 是两个实数，且a<b二、 经典例题1.有以下判断：①f(x)＝|x|x 与g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x ≥0)－1 (x<0)表示同一函数； ②函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝1的交点最多有1个；③f(x)＝x2－2x ＋1与g(t)＝t2－2t ＋1是同一函数；④若f(x)＝|x－1|－|x|，则12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝0.其中正确判断的序号是________．【解析】对于①，由于函数f(x)＝|x|x的定义域为{x|x∈R且x≠0}，而函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x≥0)－1 (x<0)的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于②，若x＝1不是y＝f(x)定义域内的值，则直线x＝1与y＝f(x)的图象没有交点，如果x＝1是y＝f(x)定义域内的值，由函数定义可知，直线x＝1与y＝f(x)的图象只有一个交点，即y＝f(x)的图象与直线x＝1最多有一个交点；对于③，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函数；对于④，由于12f⎛⎫⎪⎝⎭＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以12f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝f(0)＝1.【答案】②③.2.下列对应不是映射的是( )【解析】结合映射的定义可知A ，B ，C 均满足M 中任意一个数x ，在N 中有唯一确定的y 与之对应，而D 中元素1在N 中有a ，b 两个元素与之对应，故不是映射．【答案】D3.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2，1≤x ＜2，3，x ≥2的定义域为________． 【解析】分段函数的定义域是各定义域的并集.【答案】[1，＋∞)。
高一必修一数学函数知识点
高一必修一数学函数知识点导语：数学是一门需要逻辑思维和抽象推理能力的学科，而函数则是数学中最基础和最重要的概念之一。
在高一的学习中，数学函数是必修的知识点，是学生们打好数学基础的关键。
本文将以高一必修一数学函数为主题，介绍其中的一些重要知识点。
一、函数的概念函数是自变量和因变量之间的一种对应关系。
简单来说，给定一个输入，函数能够根据一定规则产生一个输出。
函数常用符号表示为y=f(x)，其中x是自变量，y是因变量，f是函数的表达式。
函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数对应的因变量的取值范围。
二、函数的分类函数可以分为线性函数、指数函数、对数函数、三角函数等多种类型。
线性函数是最简单和最常见的函数，表达式形式为y=kx+b，其中k和b分别为常数。
指数函数具有形如y=a^x的表达式，其中a是底数，x是指数，a通常大于1。
对数函数是指数函数的反函数，表示为y=log_a(x)，x和y的位置互换。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述角度和周期性变化的函数。
三、函数的性质函数具有一些重要的特性和性质。
其中，奇偶性是一种常见的函数特性，奇函数在定义域内的任意点x，都有f(-x)=-f(x)；偶函数在定义域内的任意点x，都有f(-x)=f(x)。
另外，函数的单调性是指函数随着自变量的增大或减小而单调递增或递减。
此外，函数还有周期性、奇周期性和偶周期性等重要的性质，这些性质在研究周期性变化时非常有用。
四、函数的图像函数的图像描述了函数在坐标系中的几何形状。
根据函数的表达式和性质，可以画出函数的图像。
对于线性函数，图像为一条直线；对于指数函数，图像在底数大于1时呈指数递增的曲线；对数函数的图像是指数函数的镜像；三角函数的图像是一系列振动的曲线。
通过观察函数图像，可以得到函数的一些重要特性。
五、函数的应用函数是数学的基础，也是各个学科和实际问题的基础。
函数在物理、经济、生物等领域中有广泛的应用。
例如在物理中，运动方程可以用函数来描述；在经济学中，需求和供给函数用于分析市场；在生物学中，种群增长模型采用指数函数等。
高中数学必修一函数知识点总结
函数的知识点总结及拓展函数的概念一.函数的概念：1.概念：一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
2.函数三要素：①定义域：x的取值范围的集合；②值域：y的取值范围的集合；③对应关系：y与x的对应关系。
二．区间：设a，b∈R，且a<b，规定如下：三．函数的定义域和值域：1.函数定义域：①分母不为0；②被开方数大于等于0，a（a≥0）；③a0=1（a≠0）；④a-n=na⎪⎭⎫⎝⎛1（a≠0）。
2.复合函数的定义域：（1）若已知f (x)的定义域为[a,b],其复合函数f [g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可。
（2）若已知f [g(x)]的定义域为[a,b],求f (x)的定义域，相当于当x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f (x)的定义域）。
3.求值域的基本方法：（1）配方法：涉及到二次函数的相关问题可用配方法；（2）换元法：通过换元把一个复杂的函数变为简单易求值域的函数；（3）分离常数法：适用与分子分母次数为一次分式函数；（4）单调性法：利用函数单调性求最大值或最小值；（5）数形结合法：结合函数图像求值域；（6）判别式法：分子和分母有一个是二次的分式函数都可通用；（7）不等式法：利用基本不等式求函数的值域；（8）导数法：适用与高次多项式函数。
函数的性质一．函数的单调性：1.单调性的定义：①f (x)在区间M上是增函数⇔∀x1，x2∈M，x1<x2时有f (x1)< f (x2);②f (x)在区间M上是增函数⇔∀x1，x2∈M，x1<x2时有f (x1)> f (x2)。
2.单调性的判定：（1）定义法：一般要将式子f (x1)-f (x2)化为几个因式作积或商的形式，然后判断正负；（2）图像法：结合函数图像判断单调性；（3）复合函数单调性判定：①首先将原函数y =f [g(x)]分解为基本函数，内函数μ=g(x)与外函数y =f [μ]；②分别判定内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同增异减”来判定原函数在其定义域内的单调性。
人教A版数学必修一河北省衡水中学高一数学自助餐：2.2.1对数与对数运算(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1.一般地，如果()10≠>=a a N a x且，那么数x 叫做以a 为底N 的 ，记作N x a log =，其中a 叫做对数的，N 叫作 。
2.当a>0且a ≠1时，N a x=等价于 。
3.通常我们将以10为底的对数叫做 对数，并把N 10log 记为 。
4.以e 为底的对数称为 对数，并且把N e log 记为 。
5.=1log a ；=a a l o g ；其中a>0且a ≠1。
一、对数概念的理解1.“log ”同“＋、－、×、÷”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号必须写在数的前面。
2.规定a>0,且a ≠1的理由：若a<0，则N 为某些值时，b 不存在，如()8log 2-=b ；若a=0，N ≠0时，b 不存在；如2log 0不存在。
N=0时，b 可以为任何正数，值不是唯一的，即0log 0有无数个值；若a=1，N ≠1时，b 不存在，如5log 1，当N 也为1时，b 可为任何实数，是不唯一的，即1log 1有无数个。
这样，就规定了a>0,且a ≠1。
3.由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N a b =中，N 总是正数，即零和负数没有对数。
二、对数性质1. 零和负数没有对数：由于正数的任何次幂都是正数，即()00>>a a b，故0>=b a N ，对数记号N a log （a>0且a ≠1），只有在N>0时才有意义。
2.()()101.1001log 0≠>=≠>=a a a a a a 且且 ，由指数与对数的关系，得01log =a 。
3. ()()10.101log 1≠>=≠>=a a a a a a a a 且由于且，根据指数与对数的关系，得1log =a a 。
衡水新高一数学知识点总结
衡水新高一数学知识点总结数学是一门基础学科，也是现代科学的重要组成部分。
在高中阶段，数学作为一门学科和一种思维方式，对培养学生的逻辑思维能力、分析问题的能力以及解决实际问题的能力有着重要的作用。
近年来，衡水新高一数学课程加强了对数学知识点的总结和讲解，以帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
本文将对衡水新高一数学课程中的重要知识点进行总结，旨在帮助学生复习和巩固所学知识。
1. 函数与方程1.1. 函数的概念：函数是一个或多个自变量与因变量之间的关系，用来描述事物之间的联系。
1.2. 一次函数：一次函数的表达式为y=ax+b，其中a和b为常数，表示直线的斜率和截距。
1.3. 二次函数：二次函数的表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b 和c为常数，表示抛物线的开口方向和形状。
1.4. 指数函数：指数函数的表达式为y=a^x，其中a为底数，表示指数的变化规律。
1.5. 对数函数：对数函数的表达式为y=logₐx，其中a为底数，表示指数与底数的关系。
2. 三角函数与解三角形2.1. 正弦函数：正弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.2. 余弦函数：余弦函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.3. 正切函数：正切函数的图像是一条连续的波浪线，描述了角度与边长之间的关系。
2.4. 解三角形：解三角形的方法有余弦定理、正弦定理和正切定理等，通过角度和边长之间的关系求解未知角度和边长。
3. 数列与数列极限3.1. 等差数列：等差数列是一个数列，其中相邻两项的差值为常数，用公式an=a₁+(n-1)d表示，其中a₁为首项，d为公差。
3.2. 等比数列：等比数列是一个数列，其中相邻两项的比值为常数，用公式an=a₁*q^(n-1)表示，其中a₁为首项，q为公比。
3.3. 数列极限：数列极限表示数列的无穷项的极限值，常用极限符号lim(an)表示。
4. 解析几何4.1. 平面直角坐标系：平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，用来表示平面上的点的位置。
高一数学必修1-函数的概念及基本性质
§1·函数的概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f . (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域，原象的集合；{}A x x f ∈|)(：值域，象的集合,其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ，x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f （二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2（三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)( 只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念和记号：在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号.设a,b ∈R ,且a<b.我们规定：①满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； ②满足不等式a<x<b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）；③满足不等式a ≤x<b 或a<x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a ，b) ,(a ，b]. 这里的实数a 和b 叫做相应区间的端点.这样实数集R 也可用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x ≥a ，x>a ，x ≤b ，x<b 的实数x 的集合分别表示为[a ，+∞)，（a ，+∞）,(- ∞,b ],(- ∞,b). 【例题解析】例1 判断下列各式，哪个能确定y 是x 的函数？为什么？(1)x 2＋y ＝1 (2)x ＋y 2＝1 (3)1x x 1y --= (4)y=x -1x +-例2 求下列函数的定义域： （1）()f x = (2)xx x x f -+=0)1()(例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).例4 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，求)1(f ，)1(-f ，)0(f ，)]}1([{-f f f讨论：函数y=x 、y=(x )2、y=23xx 、y=44x 、y=2x 有何关系？例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ⑵111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y练习：下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1.② ()f x = x ； ()g x ③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +.④ ()f x = | x | ；()g x 例6 已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].复合函数：设 f (x )=2x -3，g (x )=x 2+2，则称 f [g (x )] =2(x 2+2)-3=2x 2+1（或g [f (x )] =(2x -3)2+2=4x 2-12x +11）为复合函数例7求下列函数的值域（用区间表示）：（1）y ＝x 2－3x ＋4； （2）()f x =（3）y ＝53x -+； （4）2()3x f x x -=+.例8 ※ 动手试试1. 若2(1)21f x x +=+，求()f x .2. 一次函数()f x 满足[()]12f f x x =+，求()f x .练习 已知二次函数f (x )=ax 2+bx （a ，b 为常数，且a ≠0）满足条件f (x －1)=f (3－x )且方程f (x )=2x 有等根，求f (x )的解析式.函数的概念习题：1．如下图可作为函数)(x f =的图像的是( )（D ）2.对于函数()y f x =，以下说法正确的有 （ ）①y 是x 的函数；②对于不同的,x y 的值也不同；③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值，是一个常量；④()f x 一定可以用一个具体的式子表示出来。
高一数学必修一函数知识点总结
高一数学必修一函数知识点总结在高中数学的学习中，函数是一个非常重要的知识点。
它不仅是后续知识的基础，也在我们的日常生活中有广泛的应用。
因此，对函数的理解和掌握至关重要。
本文将对高一数学必修一函数的知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、函数的概念和表示函数是一种特殊的关系，指的是自变量的每一个取值都唯一对应一个确定的因变量的规律。
函数通常用f(x)或y来表示，其中x是自变量，f(x)或y是因变量。
函数可以用图像、表格、公式等方式来表示。
二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量可能取值的集合，通常用符号D表示；值域是因变量可能取值的集合，通常用符号R表示。
2. 奇偶性：如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域中的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。
3. 单调性：如果对于定义域中的任意两个不同的x1和x2，有f(x1) < f(x2)，则函数为增函数；如果有f(x1) > f(x2)，则函数为减函数。
4. 周期性：如果存在常数T，使得对于定义域中的任意x，有f(x+T) = f(x)，则函数为周期函数。
三、常见函数类型1. 线性函数：函数的图像是一条直线，表达式为y = kx + b，其中k和b为常数，k为斜率，b为截距。
2. 二次函数：函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，表达式为y = ax² + bx + c（a≠0），其中a、b和c都是常数。
3. 指数函数：函数的自变量为指数，底数为常数的函数。
表达式通常为y = a^x，其中a为底数。
4. 对数函数：函数的自变量为底数，底数为常数的函数。
表达式通常为y = logₐx，其中a为底数，x为真数。
5. 三角函数：函数的图像与有关三角函数的图像相似，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
表达式通常为y = f(x)，其中f(x)可以是sin x、cos x或tan x等。