2014年华约自主招生数学试题及参考解答
2014年华约自主招生数学试题(精校word版,有答案)-历年自主招生考试数学试题大全
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1 2014年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1()2p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()(cos sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π=
-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．。
华约、北约、卓越2014大学自主招生模拟试题三数学含详细解答
4 1 三.求证：16< Σ <17． i=1 k 四.)设 l，m 是两条异面直线，在 l 上有 A，B，C 三点，且 AB=BC，过 A，B，C 7 分别作 m 的垂线 AD， BE， CF， 垂足依次是 D， E， F， 已知 AD= 15， BE=2CF= 10， 求 l 与 m 的距离． 五.设 n 是自然数，fn(x)= xn+1－x－n－1 1 (x0，± 1)，令 y=x+ x． －1 x－x
n 1 n－2 n－1 i i n－i n－2i n 1 n－2 n－1 i i n－i
n
模拟三 一 1. 解 ： y=((n+1)x － 1)(nx － 1) ， ∴ 1 1 |AnBn|= n － n+1 ， 于 是
1992 |A1B1|+|A2B2|++|A1992B1992|=1993，选 B． 2. 解：(x 1－y2)=0 表示 y 轴右边的半圆，(y+ 1－x2)=0 表示 x 轴下方的半圆， 故选 D． 4 4 4 3. 解： Σ Si≤4S，故 Σ Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时， Σ i=1 i=1 i=1 Si 接近 2S，故选 A． 4. 解： x2=4x－4． 根为 x=2． ∴ C=2A， B=180° －3A， sinB=2sinA． sin3A=2sinA， 2 3－4sin A=2．A=30° ，C=60° ，B=90° ．选 B． 2z1 π π 1 3 5. 解： z =cos3± isin3．∴ |z2|=8，z1、z2 的夹角=60° ．S=2· 4· 8·2 =8 3．选 A． 2 6. 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数；
2014年华约自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
2014年高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。
于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。
情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。
情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。
情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。
情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。
综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。
二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。
2014年华约联考数学试题
2014年“华约”联考试题1. 已知12345x x x x x ，，，，是正整数，任取四个数求和，这些和组成的集合为{}44454647，，，，求这五个数.2. 一场乒乓球比赛采用五局三胜制，任一局甲获胜的概率为12p p ⎛⎫> ⎪⎝⎭，若设甲赢得整场比赛的概率为q ，求当p 为多少时，q p -取得最大值.3. 已知函数()π()cos sin sin 2sin (0)24f x x x x a x b a ⎛⎫=-+-+> ⎪⎝⎭的最大值为1，最小值为4-，求a b ，的值.4. （1）已知1()()y f x y f x -==的反函数为，()y g x =的反函数为1()y g x -=，且()()f xg x 的定义域包含的值域，证明：11(())(())y f g x y g f x --==的反函数为； （2）已知1()()y f x y f x -==的反函数为，设1()()()()F x f x G x f x -=-=-，，若()G x 的反函数是()F x ，证明：()f x 是奇函数.5. 已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两条切线，切点分别为点P Q ，，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点E F ，，求EOF S △的最小值.6. 已知数列{}n a 满足：110nn n a a np qa +==+，.（1）若1q =，求n a 的通项公式；（2）若11p q <<，，求证：数列{}n a 是有界数列.7. 已知*n x n ∈≤N ，，求证：21e nx x n n x n ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭.【答案与解析】1. 解：从12345x x x x x ，，，，中任取四个数求和，一共有45C 5=种取法，即应有5个和值，但集合{}44454647，，，中只有4个和值，所以有一个和值重复，设其为S ， 根据题意得12345444546474()S x x x x x ++++=++++，所以12345123454()1824(46)2S x x x x x x x x x x =++++-=++++-+， 即S 应为42()k k +∈Z 形式的正整数，所以46S =，1234557x x x x x ++++=， 故这五个数分别为574413574512574611574611574710-=-=-=-=-=，，，，， 即10，11，11，12，13.2. 解：若比赛了3局后甲赢得整场比赛，此时甲赢得整场比赛的概率为3p ；若比赛了4局后甲赢得整场比赛，则最后一局甲获胜，此时甲赢得整场比赛的概率为223C (1)p p p -⋅；若比赛了5局后甲赢得整场比赛，则最后一局甲获胜，此时甲赢得整场比赛的概率为2224C (1)p p p -⋅，所以32222254334C (1)C (1)61510q p p p p p p p p p p =+-⋅+-⋅=-+， 所以54361510q p p p p p -=-+-，令543()61510f p p p p p =-+-， 则43222()306030130(21)1f p p p p p p p '=-+-=-+- 2230p p p p ⎛=-+-- ⎝2113022p p p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎛⎛=-+---⎢⎥⎢⎥⎝⎢⎥⎢⎥⎝⎝⎣⎦⎣⎦，当1122p ⎛∈+ ⎝，时，()0f p '>；当12p ⎛⎤∈+⎥⎝⎦时，()0f p '<， 所以1()2f p p ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦在，1上先是单调递增，然后单调递减，当()f p 取得最大值时，1=2p +3. 解：)π()cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()()22211=cos sin 2sin =12sin 2sin 22x x a x b x a x b --+--+ 21=sin 2sin 2x a x b --++，问题等价于[]21()=22g t t at b t --++∈在-1，1上的最大值为1，最小值为4-，21()=2=2g t t at b t a --++-的对称轴为，分类讨论对称轴=t a -与[]-1，1的相对位置情况：①当11a a -≤-≥，即时，[]21()=22g t t a tb --++在-1，1上的最大值为1(1)=12=12g a b --+++，最小值为1(1)=12=42g a b --++-，解得514a b ==-，；②当1001a a -<-<<<，即时，[]21()=22g t t at b --++在-1，1上的最大值为21()==12g a a b -++，最小值为1(1)=12=42g a b --++-，解得1a =-不符合题意. 综上得514a b ==-，.4. 证明：（1）由1(())()=()y f g x g x fy -=解得；由1()=()g x f y -解得11=(())x g f y --， 所以11(())(())y f g x y g fx --==的反函数为.（2）因为()G x 的反函数是()F x ，所以1()()F x G x -=. 因为1()()G x fx -=-，所以1=(())=(())()()x f G x x f G x G x f x ---=-，，即，所以1()()()()f x F x G x f x --===-，即()f x 是奇函数.5. 解：不妨设点M 的坐标为()πcos sin 02a b ααα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，其中，，点P Q ，的坐标分别为()()1122x y x y ，，，，则11(cos sin )PM a x b y αα=-- ，，22(cos sin )QM a x b y αα=--，， 11()OP x y = ，，22()OQ x y =，.由==OP PM OQ QM OP PM OQ QM ⊥⊥⋅⋅，，得0，0，即221111cos sin 0ax x by y αα-+-=，222222cos sin 0ax x by y αα-+-=， 即211cos sin 0ax by b αα+-=，222cos sin 0ax by b αα+-=， 由此可知直线PQ 的方程为2cos sin 0ax by b αα+-=，直线PQ 与x 轴，y 轴的交点E F ，的坐标分别为2cos sin b b a αα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0，0，，，所以23312cos sin sin 2EOFb b b b S a a a ααα=⨯⨯=≥△，当且仅当π4α=时取等号， 所以EOF S △的最小值为3b a.6. 解：（1）当1q =时，1nnn n n a np qa np a +=+=+，所以1nn n a a np +-=， 所以当1n =时，10a =；当2n ≥时，2111221()()()2(1)n n n n n n a a a a a a a p p n p ----=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-，①当1p =时，(1)2n n n a -=； ②当1p ≠时，232(1)nn pa p p n p =++⋅⋅⋅+-，与上面的式子相减得： 231(1)(1)(1)1nn nn n p p p a p p p pn p n p p---=+++⋅⋅⋅+--=---，所以12(1)(1)11(1)nnn n n p p n p n p np p pa p p +-----+-==--. （2）由1q <，得1nnn nn n n n n a np qa np qa n p q a n p a +=+≤+=+≤+，所以1nn n a a n p +-≤，所以当2n ≥时，2111221()()()2(1)n n n n n n a a a a a a a p p n p----=-+-+⋅⋅⋅+-≤++⋅⋅⋅+-12(1)(1)n nn p n p p p +--+=-.又因为1(1)(1)0n n n n nn pn p n p n p p +--≤--=-≤，所以当2n ≥时，2(1)n p a p ≤-，即数列{}n a 是有界数列.7. 解：原不等式等价于21e 1nx x x n n ⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，即21e 1nnx n x x n n ⎛⎫⎛⎫-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（*）.①当22x n n ≥≥时，210x n -≤，由x n ≤得10x n-≥， 所以（*）式左边大于等于0，（*）式右边小于等于0，不等式显然成立；②当22x n n x n <<<，即-时，221x n ->-，1x n <<-1，1010x xn n->+>，，利用不等式e 1()xx x ≥+∈R ，得e 10x nxn≥+>， 所以221e 111nnnnnxn x x x x n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 利用伯努利不等式()*111nx nx x n +≥+>-∈N ，其中，，得222221e 111nnnx n x x x x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥-≥-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不等式亦成立.综上得原不等式成立.。
2014年华约自主招生试题
–1
–1
–1
–1
⇐ ∀x, f (g (g (f (x)))) = f (g (– g (f (– x))))
–1
–1
–1
–1
⇐ ∀x, f (g (g (f (x)))) =– f (g (g (f (– x))))
⇐ ∀x, x =– (– x) .
5、设 ，则 M (a cos θ, b sin θ)
5
4
3
= 6p – 15p + 10p ,
5
4
3
q– p = 6p – 15p + 10p – p.
因此
5
4
3
′
4
3
2
(6p – 15p + 10p – p) = 30p – 60p + 30p – 1
2
2
= 30p (p– 1) – 1,
−−− √
−−−
由 ，解得 1 p (p– 1) =– √ 30
x
2– e (1– )
> 0,
n
从而 f (x) 的最小值为 f (0) = n ，原命题得证．
法二
由于
于是
x
x
ln (1 + ) < ,
n
n
从而
xn
x
e > (1 + ) , n
n– n(1–
xn
x
)e n
xn
⩽ n– n(1– ) (1 +
n
2
n
x
= n– n(1–
)
n2
xn )
n
x2
⩽ n– n (1– n2
′
2014年“华约”自主招生数学全真模拟1(AAA)(附详解答案)
2013年“华约”高水平大学自主选拔学业能力测试 全真模拟1（AAA ）数学与逻辑试题说明：本试题为重组试题，知识能力要求与华约数学试题相近，试题X 围参照2012华约真题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值X 围是（ ） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（ ） （A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（ ）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．5316 6. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（ ）．（A ）60个 （B ）70个 （C ）90个 （D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 44258. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A 96 B 108 C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。
2014年华约自主招生数学试题及答案
2014年华约自主招生数学试题1.12345,,,,x x x x x 是正整数,任取四个其和组成的集合为{44,45,46,47},求这五个数.2.乒乓球比赛,五局三胜制.任一局甲胜的概率是1()2p p >,甲赢得比赛的概率是q ,求p 为多少时,q p -取得最大值.3.函数()sin )sin()2sin (0)4f x x x x a x b a π-+-+>的最大值为1,最小值为4-,求,a b 的值.4.(1)证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=;(2)1()(),()()F x f x G x f x -=-=,若()G x 的反函数是()F x ,证明()f x 为奇函数.5.已知椭圆22221x y a b+=与圆222x y b +=,过椭圆上一点M 作圆的两切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ,求EOF S ∆的最小值.6.已知数列{}n a 满足:110,nn n a a np qa +==+.(1)若1q =,求na ;(2)若||1,||1p q <<,求证:数列{}na 有界.7.已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n--≤.华约参考答案:1.【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和,现条件中只有4个不同的和,故必有两个和值相同.而这五个和值之和为123454()x x x x x ++++,是4的倍数,所以这个相同的和值只可能是46,从而有123454445464647574xx x x x ++++++++==,故这五个数分别为57-44=13,57-45=12,57-46=11,57-47=10,57-46=11,即10,11,11,12,13. 2.【解】若共比赛了3局,则甲赢得比赛的概率为3p ;若共赛了4局,则最后一局甲胜,甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -; 若共比赛了5局,则最后一局甲胜,甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -,因此32323234(1)(1)q p C p p C p p =+-+-,所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-,12p >; 设543()61510f p p p p p =-+-,12p >,则432()3060301f p p p p '=-+-, 即432221()306030130[(21)]30f p p p p p p p '=-+-=-+-,所以22221()30[(1)]30(30f p p p p p p p '=--=--,又因为1(,1)2p ∈,所以2p p <,故20p p -<,所以令()0f p '=时,即2pp -+=,得12p ==±;又因为1(,1)2p ∈,所以取12p =+,易知当11(,22p ∈+时,1()0,(2f p p '>∈时,()0f p '<,所以当12p =+,()f p 有唯一极大值,也是最大值.3.【解】易知2221()(cossin )2sin sin 2sin 2f x x x a x b x a x b =--+=--++,令sin t x =, 则问题等价于21()22g t tax b =--++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-.①当对称轴1t a =-≤-,即1a ≥时,则()g t 在[1,1]-上递减,则1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ②当对称轴10a -<-<,即01a <<时,则21()121(1)242g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩,消去b 得2240a a +-=,解得1(0,1)a =-±,舍去. 综上①②可知,5,14a b ==-为所求.4.【解】(1)证明:由反函数定义可知(())y f g x =的反函数为(())x f g y =,故11()((()))()f x f f g y g y --==,从而111(())(())g f x g g y y ---==, 所以11(())y g f x --=为(())y f g x =的反函数.(2)由()G x 的反函数是()F x ,故1(())(())G F x G G x x -==,则()((())),f x f G F x =又因为1()()G x f x -=,所以1(())(())G F x f F x -=-,代入得1()((())),((()))()()f x f G F x f f F x F x f x -==-=-=--,所以()f x 为奇函数.5.【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈,直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦,其方程为2(cos )(sin )a x b y b θθ+=,从而2,cos sin E F b bx y a θθ==,于是331||||2|sin 2|EOF E F b b S x x a aθ∆=⋅=≥,当且仅当(,)M 时,上述等号成立. 6.【解】(1)当1q =时,1n n n a a np +-=,则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥由累加法得112211(2)nnn n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥, 即23123(1)(2)n na p p p n p n -=++++-≥ (1)①当1p =时,(1);2nn n a-=当1n =时,10a =也适合; ②当1p ≠时,232(1)n n pa p p n p =+++- (2)由(1)-(2)得231(1)n n nn apa p p p p n p --=++++--, 所以112(1)(1)(1)11(1)n nn n n p p n p n p np p pa p p -+-----+-==--,当1n =时,10a =也适合;于是12(1)12(1)1(1)n nn n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩.(2)由1||||||||||||nnnn nnn a np qa np qa n p a +=+≤+≤+,所以1||||||n n n a a n p +-≤,于是11||||1)||(2)n nn a a n p n ---≤(-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-++-+≥故1212(1)||||||||||2||(1)||(1||)n n n nn p n p p ap p n p p +---+≤+++-=-,而1(1)||||(1)||||||0n n n n n p n p n p n p p +--≤--=-<,于是当2n ≥时,有2||||(1||)n p a p <-,显然10a =也成立.于是na 有上界.7.【证明】原不等式等价于2((1))xn nx n x n e n-≤-⋅.当2x n ≥,上述不等式左边非正,不等式成立;当2x n <时,由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-,从而22222((1))((1)(1))(1)(1)xnn n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-,即证.。
2014高中自主对外招生数学试卷和答案
高中自主招生考试数 学(试卷满分：150分 考试时间：120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项：1.全卷三大题，22小题，试卷共4页，另有答题卡；2.答案一律写在答题卡上，否则不能得分．一.选择题(本题有6个小题,每小题4分,共24分．每小题只有一个选项是正确的.) 1． 如果1-=ab ,那么两个实数a ,b 一定是( )A ．互为倒数B ．-1和+1C ．互为相反数D ．互为负倒数 2．下列运算正确的是（ ） A ．()b a ab 33= B ．1-=+--ba ba C ．326a a a =÷ D ．222)(b a b a +=+3．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是5 4．长方体的主视图、俯视图如右图所示， 则其左视图面积为（ ）A ．3B ．4C ．12D ．16 5．在6张完全相同的卡片上分别画上线段、等边三角形、平行四边形、直角梯形、双曲线、圆，在看不见图形的情况下随机摸出1张，这张卡片上的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．236．如图，已知⊙O 的半径为r ，C 、D 是直径AB 的同侧圆周上的两点，100AOC ∠=，D 是BC 的中点，动点P 在线段AB 上，则PC ＋PD 的最小值为 （ ） A ．r Br CDr CPDO BA（第6题）二．填空题(本题有8个小题，每小题5分．共40分) 7． 实数b a ,满足0132=+-b a ，则ba 的值为 ．9． 在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位得到，如果图形a 中A 点的坐标为（4，－2），则图形b 中与A 点对应的A '点的坐标为___ ____. 10．如图，在四边形纸片ABCD 中，∠A =130°，∠C =40°，现将其右下角向内折出∆FGE ，折痕为EF ，恰使GF ∥AD ，GE ∥CD ，则∠B 的度数为 ．11．对于实数a 、b ，定义运算⊗如下：=⊗b a ⎪⎩⎪⎨⎧≠≤≠>-)0,()0,(a b a a a b a a b b， 例如1612424==⊗-. 计算 [][]=⊗-⨯⊗2)3(23 .13．已知直线1y x =，213y x =+，633+-=x y 的图象如图所示，无论x 取何值，当y 总取1y 、2y 、3y 中的最小值时， y 的最大值为14． 若关于t 的不等式组0214t a t -≥⎧⎨+≤⎩恰好有三个整数解，则关于x 的一次函数14y x a=- 的图像与反比例函数32a y x+=的图像的公共点的个数为 . （第12题）G FE DCBA（第10题）三、解答题(本题有8个小题，共86分，解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.) 15．（本题满分7分）计算01( 3.14)(sin30)4cos 45π︒-︒-++-16．（本题满分9分）已知2)2()]2()()[(22=-÷-++--y y x y y x y x ．求228242x x y x y---的值．17．（本题满分10分） 如图，直线AB 交双曲线()y 0kx x=>于A ，B 两点， 交x 轴于点C (4,0)a ， AB =2BC ，过点B 作BM ⊥x 轴于点M ， 连结OA ，若OM =3MC ，S △OAC =8，则k 的值为多少？18. （本题满分10分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝23，∠A ＝60°，以点D 为圆心的⊙D 与AB 相切于点E ，与DC 相交于点F . （1）求证：⊙D 与BC 也相切；（2）求劣弧EF 的长(结果保留π)．19．（本小题满分12分）某商家计划从厂家采购A ，B 两种产品共20件，产品的采购单价（元/件）是采购数量（件）的一次函数，下表提供了部分采购数据．（1）求A 产品的采购数量与采购单价的函数关系式；（2）该商家分别以1760元/件和1700元/件的销售单价出售A ，B 两种产品，且全部售完，在A 产品的采购数量不小于11且不大于15的条件下，求采购A 种 产品多少件时总利润最大，并求最大利润．（第18题）（第17题）ABCCDDEE FFA20．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，D 是斜边BC 上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF .（1）若AB =AC ，BE +CF =4，求四边形AEDF 的面积。
2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析
2014年XXX数学试点班自主招生考试题解析2014年XXX数学试点班自主招生考试题（A卷）总分：200分考试时间：2014-2-16 8:30-11:30一．填空题（每小题7分，共70分）1.若单位向量a，b满足|2a-3b|=10，则|3a+2b|=4.解析：由|2a-3b|=10平方得：13-12a·b=10，即a·b=1/4.则|3a+2b|=√(13+12a·b)=4.2.若非零复数z满足|z|+z·(1+i)-z=0，则复数z的实部为-2/5.解析：设z=x+yi(x,y∈R)，由|z|+z·(1+i)-z=0得：(x+y-y)+(x+2yi)=0，即2x+2yi=-(1+i)y。
则x=-2/5.3.无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有个。
解析：用排除法。
不含5的无重复数字的五位数共A9=个，其中，4和5相邻的无重复数字的五位数共C7A4A2=1680个。
所以，无重复数字（不含4）且4与5不相邻的五位数共有-1680=个。
4.在三棱锥P-ABC中，底面为边长为3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，则三棱锥P-ABC的体积VP-ABC=11.解析：易知△PBC是直角三角形，取斜边PC的中点为O，因为AP=AB=AC，所以点A在平面PBC上的射影为直角△PBC的外心O，连接AO，即有AO⊥平面PBC。
在直角△AOP中，AO=√(AP^2-PO^2)=√(3^2-()^2)=√8，则VP-ABC=VA-PBC=1/3·S△PBC·AO=1/3·6·√8=11.5.在△ABC中，A为钝角，以下结论正确的是：①sinB<cosC；②sinA<XXX<2；④sinB+sinC<1.解析：A为钝角，则∠B+∠C<π/2.所以：①sinB<sin(π/2-∠C)=cosC；②sinA<sin(∠B+∠C)=XXX<sinB+sinC；③tanB+tanC=(sinB/cosB)+(sinC/cosC)<2；④sinB+sinC<1.故①②④正确。
2014届全国自主招生模考华约数学2答题卡
6. (20分) 解：
本题得分 评卷人
7. (20分) 解：
本题得分 评卷人
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第4页 共4页
2013-12-29 10:11:23
本题得பைடு நூலகம் 评卷人
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2014年高水平大学自主选拔学业能力测试模拟试题 数学与逻辑(二)答题卡
2. (10分) 解：
本题得分 评卷人
3. (10分) 解：
本题得分 评卷人
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第2页 共4页
2013-12-29 10:11:23
2014年高水平大学自主选拔学业能力测试模拟试题 数学与逻辑(二)答题卡
2014年高水平大学自主选拔学业能力测试模拟试题 数学与逻辑(二)答题卡
姓名_____________ 准考证号_________________________ 考点名称_____________________考场号______ 座号_____
总分
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、才场号、座号填写清楚，
注
并认真核对准考证号、考试科目、考场号和座号。
意
2. 请用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上．答在试卷
事
上的无效。保持答卷清洁，完整，严禁在答卷上作任何标记。
项
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
1. (10分) 解：
2014年高水平大学自主选拔学业能力测试模拟试题 数学与逻辑(二)答题卡
4. (15分) 解：
本题得分 评卷人
5. (15分) 解：
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2014年“华约”自主招生数学试题
1、设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是5个正整数，从中任取4个数求和所得的集合为{}44,45,46,47，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的值．
2、甲乙2人进行乒乓球比赛，单局甲胜的概率为p （p >12
），若采取5局3胜制，设甲比赛获胜的概率是q ．问当p 为何值时，q p -取得最大值？
3、已知函数())cos sin sin 2sin 4f x x x x a x b π⎛⎫=-+-+ ⎪⎝
⎭（a>0）有最大值1和最小值-4．求a 、b 的值．
4 、已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，设-1f 表示f 的反函数，f g 表示函数f 与函数g 的复合
函数，即()()(())f
g x f g x =
（1）证明-11
1()()()()f
g x g f x --=．
（2）记()()F x f x =-，1()()G x f x -=-, 证明：若()F x 是()G x 的反函数，则()f x 是奇函数．
5、从椭圆12222=+b
y a x )0(>>b a 上的动点M 作圆2
22b y x =+的2条切线，切点为P 和Q ，直线
PQ 与x 和y 轴的交点分别为E 和F ，求EOF ∆面积的最小值。
6、已知数列{}n a 满足n
n n qa np a +=+1，01=a 。
（1）若1=p ，求{}n a 的通项公式；
（2）若1||<p ，1||<q ，求证：数列{}n a 有界。
7、设n 为正整数，证明当n x ≤时，
2
1e n
x x n n x n ⎛
⎫-⋅-⋅≤ ⎪⎝⎭．
附录：2014年“华约”自主招生数学参考解答
1 [解法1] 设五个数任取四个，得到的五个和分别是44，45，46，47，a ．由题意，a 是44，45，46，47中的一个．又
12345
444546474a
x x x x x ++++=++++
是整数，知46a =且1234557x x x x x ++++=．从而这五个数是574413-=，574512-=，574611-=，
574611-=，574710-=．
[解法2]
2 【解法1】
设甲胜的局用1表示，乙胜的局用0表示．甲取得比赛胜利的情形有：111,01111
3C ⨯,1010124C ⨯.
()()2
313233411q p C p p C p p =+-+-，设()54361510f p q p p p p p =-=-+-．
则()()
()2
432222'30121111f p p p p p p p p p =30-60+-=30-+-=30--．
由单调性可知，当
1130
2430p =
+-时，q p -取到最大值． 【解法2】
4、解析：
5、解析：
7 答案：原不等式等价于： 2
1e n
x
x n x n n ⎛
⎫-≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭；
若2
x n ≥，则左边非正，右边非负，自然成立．
若2
x n ≤，则右边
222
221e 1111n
n
n
x
n x x x x x n n n n n n x n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅≥⋅-⋅+=⋅-≥⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，也成立，证毕．
注：第7题证明中用了如下两个事实：
（1）若0x ≥，则e 1x
x ≥+；
（2）若1x ≥-，1α≥，则
()11x x α
α+≥+．
其中第二个不等式称为贝努力不等式．历年“华约”题目中围绕e 的不等式屡见不鲜． 除上述两个结论外， （3）若0x ≥，则
()ln 11x
x x x ≥+≥
+；
（或()2
ln 12x x x x
-≤+≤）．
（4）若0x ≥，则 3
sin tan 6x x x x x
-<<<；
（5）若0x ≥，则 2
cos 12x x ≥-
．
也常用在不等式的估计中．上面的不等式涵盖了指数、对数、三角函数、幂函数的一阶或高阶估计，比较全面，是值得了解的！。