浙江省中考数学总复习 专题提升五 与圆有关的证明与计算

专题提升五 与圆有关的证明与计算
一、选择题
1．(2016·邵阳)如图所示，AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 外一点，CA ，CD 是⊙O 的切线，A ，D 为切点，连结BD ，AD ，若∠ACD ＝30°，则∠DBA 的大小是( D )
A ．15°
B ．30°
C ．60°
D ．75°
,第1题图) ,第2题图)
2．(2016·潍坊)如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)，与y 轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M 到坐标原点O 的距离是( D )
A ．10
B ．8 2
C ．413
D ．241
3．(2016·昆明)如图，AB 为⊙O 的直径，AB ＝6，AB ⊥弦CD ，垂足为G ，EF 切⊙O 于点B ，∠A ＝30°，连结AD ，OC ，BC ，下列结论不正确的是( D )
A ．EF ∥CD
B ．△COB 是等边三角形
C ．CG ＝DG D.BC ︵的长为3
2
π
,第3题图) ,第4题图)
4．(2016·枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( D )
A ．2π
B ．π C.π3 D.2
3
π
二、填空题
6．(2016·黔西南州)如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，若CD ＝6，BE ＝1，则⊙O 的直径为__10__．
,第6题图) ,第7题图)
7．(2016·青岛)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点，若∠BCD ＝28°，则∠ABD ＝__62°__．
8．(2016·成都)如图，△ABC 内接于⊙O ，AH ⊥BC 于点H ，若AC ＝24，AH ＝18，⊙O 的
半径OC ＝13，则AB ＝__39
2
__．
,第8题图) ,第9题图)
9．(2016·乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点C 为圆心，CB
的长为半径画弧，与AB 边交于点D ，将BD ︵
绕点D 旋转180°后点B 与点A 恰好重合，则图中
阴影部分的面积为__23－2π
3
__.
10．(2016·无锡)如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8 cm ，BO ＝6 cm ，点C 从A 点出发，在边AO 上以2 cm /s 的速度向O 点运动，与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5
cm /s 的速度向O 点运动，过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了__17
8
__s 时，以C
点为圆心，1.5 cm 为半径的圆与直线EF 相切．
三、解答题
11．(2016·丽水)如图，AB 是以BC 为直径的半圆O 的切线，D 为半圆上一点，AD ＝AB ，AD ，BC 的延长线相交于点E.
(1)求证：AD 是半圆O 的切线； (2)连结CD ，求证：∠A ＝2∠CDE ；
(3)若∠CDE ＝27°，OB ＝2，求BD ︵
的长．
(1)证明：连结OD ，BD (图略)，∵AB 是⊙O 的直径，∴AB ⊥BC ，即∠ABO ＝90°，∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB ，∵OB ＝OD ，∴∠DBO ＝∠BDO ，∴∠ABD ＋∠DBO ＝∠ADB ＋∠BDO ，∴∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴AD 是半圆O 的切线． (2)证明：由(1)知，∠ADO ＝∠ABO ＝90°，∴∠A ＝360°－∠ADO －∠ABO －∠BOD ＝180°－∠BOD ，∵AD 是半圆O 的切线，∴∠ODE ＝90°，∴∠ODC ＋∠CDE ＝90°，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ODC ＋∠BDO ＝90°，∴∠BDO ＝∠CDE ，∵∠BDO ＝∠OBD ，∴∠DOC ＝2∠BDO ，∴∠DOC ＝2∠CDE ，∴∠A ＝2∠CDE. (3)解：
∵∠CDE ＝27°，∴∠DOC ＝2∠CDE ＝54°，∴∠BOD ＝180°－54°＝126°，∵OB ＝2，∴BD
︵
的长＝126·π×2180＝75π.
12．(2016·绵阳)如图，AB 为⊙O 直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵
的中点，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥AB 于F.
(1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若OF ＝4，求AC 的长度．
解：(1)DE 与⊙O 相切．证明：连结OD ，AD ，∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵
，∴∠DAO ＝∠DAC ，∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE ⊥AC ，∴DE ⊥OD ，∴DE 与⊙O 相切． (2)连结BC 交OD 于H ，延长DF 交⊙O 于G ，由垂径定理可得：OH ⊥BC ，
BH ＝HC ，BG ︵＝BD ︵＝DC ︵，∴DG ︵＝BC ︵
，∴DG ＝BC ，∴OH ＝OF ＝4，∵OB ＝OA ，BH ＝HC ，OH ∥AC ，∴OH 是△ABC 的中位线，∴AC ＝2OH ＝8.
13．(2016·巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正
半轴于点M ，交y 轴的正半轴于点N.劣弧MN ︵的长为65π，直线y ＝－4
3
x ＋4与x 轴，y 轴分别
交于点A ，B.
(1)求证：直线AB 与⊙O 相切；
(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)
(1)证明：作OD ⊥AB 于D ，如图所示：∵劣弧MN ︵的长为65π，∴90π×OM 180＝6
5
π， 解得
OM ＝125，即⊙O 的半径为125，∵直线y ＝－4
3x ＋4与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，当y ＝0时，
x ＝3；当x ＝0时，y ＝4，∴A (3，0)，B (0，4)，∴OA ＝3，OB ＝4，∴AB ＝32
＋42
＝5，∵
△AOB 的面积＝12AB ·OD ＝12OA ·OB ，∴OD ＝OA ×OB AB ＝12
5
＝OM ，∴直线AB 与⊙O 相切． (2)
解：阴影部分的面积＝12×3×4－14π×(125)2＝6－36
25
π.
14．(2016·扬州)如图1，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 交边BC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，且ED ⊥AC.
(1)试判断△ABC 的形状，并说明理由；
(2)如图2，若线段AB ，DE 的延长线交于点F ，∠C ＝75°，CD ＝2－3，求⊙O 的半径和BF 的长．
解：(1)△ABC 是等腰三角形，理由是：如图1，连结OE ，∵DE 是⊙O 的切线，∴OE ⊥DE ，∵ED ⊥AC ，∴AC ∥OE ，∴∠1＝∠C ，∵OB ＝OE ，∴∠1＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴△ABC 是等腰三角形；
(2)如图2，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，则得四边形OGDE 是矩形，∵△ABC 是等腰三角形，∴∠B ＝∠C ＝75°，∴∠A ＝180°－75°－75°＝30°，设OG ＝x ，则OA ＝OB ＝OE ＝2x ，AG ＝3x ，∴DG ＝OE ＝2x ，根据AC ＝AB 得：4x ＝3x ＋2x ＋2－3，∴x ＝1，∴OE
＝OB ＝2，在直角△OEF 中，∠EOF ＝∠A ＝30°，cos30°＝OE OF ，OF ＝2cos30°＝2÷32＝43
3，
∴BF ＝43
3
－2，⊙O 的半径为2.。