插值法均差和牛顿插值公式PPT讲稿
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§2.4 差商与Newton插值公式
称为函数f (x)在x0、x1 、xk 点的二阶差商.
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
6 6
第二章 插值法
一般地，k-1阶差商的差商
f [ x0 ,, xk 2 , xk ] f [ x0 , x1 ,, xk 1 ] f [ x0 , x1 ,, xk ] x k x k 1
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1010
第二章 插值法
性质3 若f(x)在[a,b]上存在n阶导数, 且节点x0 , x1 ,…,
xn∈[a,b] ,则至少存在一点 [a, b] 满足下式
f ( n ) ( ) f [ x0 , x1 ,, xn ] n!
f ( x 3 ) f ( x0 ) 1 1 a3 a a 1 2 x x x3 x2 x x 3 0 3 1
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
© 2009, Henan Polytechnic University §4 差商与Newton插值公式
1212
第二章 插值法
2.4.2 牛顿插值公式 N n ( x) a0 a1 ( x x0 ) an ( x x0 )( x xn1 )
a0 f ( x0 )
1616
第二章 插值法
f ( x ) f ( x0 ) f [ x, x0 ]( x x0 )
f [ x , x0 ] f [ x0 , x1 ] f [ x , x0 , x1 ]( x x1 )
newton插值均差与差分
第五章 函数近似计算(插值问题)的插值方法5.3 Newton 插值/均值与差分lagrange 插值多项式作为一种计算方案，公式简洁，做理论分析也方便。
其缺点是，当节点改变时，公式需要重建，计算量大；如果还要根据精度要求，选取合适的节点和插值多项式的次数，则只好逐次计算出)(1x L , )(2x L等，并做误差试算，才可以做到，这当然是不理想的。
为次，人们从改进插值多项式的形式入手，给出另一种风格的插值公式，这就是Newton(牛顿)插值公式。
Newton 插值公式通过均差和差分的记号来表达。
1． 均差的概念及其性质 定义 5.3.1 设函数f在互异节点 ,,10x x 上的值为 )(0x f , )(1x f ,等，定义(1)f 在j i x x ,上的1阶均差为 ji j i j i x x x f x f x x f --=)()(],[(2) f在k j i x x x ,,上的2阶均差为 ki k j j i k j i x x x x f x x f x x x f --=],[],[],,[（3）递推地，f在k x x x ,,,10 上的k阶均差为kk k k x x x x x f x x x f x x x f --=-02111010],,,[],,,[],,,[同时规定f在i x 上的零阶均差为)(][]i x f x f =性质1k 阶均差可以表示成1+k个函数值的线性组合，即∑=+-----=kj k j j j j j j j k x x x x x x x x x f x x x f 011010)())(()()(],,,[ (5.3.5)或记为∑=+=kj j k j k x x f x x x f 0110)(')(],,,[ω （5.3.5b ）证明：用数学归纳法。
当1=k 时由均差定义有11100101010)()()()(],[x x x f x x x f x x x f x f x x f -+-=--=故(5.3.5)式成立。
牛顿插值法ppt课件
为 在点
处的二阶差商
称
f[x 0 ,x 1 , x n ] f[x 0 ,x 1 , ,x x n 0 1 ] x n f[x 1 ,x 2 , x n ]
为f (x)在点
处的n阶差商。
--
9
差商表
x
f(x)
一阶差 商
二阶差商
三阶差商
x0
f(x0)
x1
f(x1) f [x0,x1]
x2
f(x2) f [x1,x2] f [x0,x1,x2]
--
14
例题分析（续1）
f
(x0, x1)
y1 x1
y0 x0
12 1(1)
1 2
f
(x1,
x2)
y2 x2
y1 x1
11 21
0
f
(x0, x1, x2)
f
(x1,x2) f (x0,x1) x2 x0
02（(1/12)）
1 6
--
15
例题分析（续2）
f (x)N2(x) f (x0)f[x0,x1](xx0)
令 xx0得： Nn(x0)c0y0f(x0); 令 xx1得： Nn(x1)c0c1(x1x0)y1f(x1); 由此可c0解 ,c1;c出 i 依： 次类推。
--
6
具有承袭性的插值公式
线性插值公式可以写成如下形式：
其中
p 1 x p 0 x c 1 x x 0
p0xfx0，其修正项的系数 c1
f
x1f x0
x1 x0
再修正 p1 x 可以进一步得到拋物插值公式
p 2 x p 1 x c 2 x x 0 x x 1
其中
计算方法Newton插值 ppt课件
2次插值为例）：
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
设x为区间[a, b]上的一点，可得：
f ( x f 0 () ) x f [x 0 x ] ( ,x x 0 )
以上公式可以利用如下的表达式直接验证
n
ω(x) (xk xi) i0
应理解：右端分母中，xk-xk 项永远不出现。 这种求解差商的方法的优点是直接使用公式， 缺点是计算量较大。
性质2 差商具有对称性,即在k阶差商 f [0,xx1, … ,xk] 中任意交换两个节点x i 和 x j 的次序,其值不变。
的系数ak (k=0,…,n)可根据以下插值条件推出。
N n (i) x fi( )x i 0 …,,n 1 ,
N n( 0 x)a0 f (0)x N n (1 ) x a 0 a 1 (1 x x 0 ) f 1 ()x N n ( 2 ) x a 0 a 1 ( 1 x x 0 ) a 2 ( 2 x x 0 )2 ( x 1 ) x f2 ) (
00
f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+3]
28 3 27 5 125 6 216
80 4 20
27 8 32
19
19 4 30
5
12527 53
49
49 5
219
10
216125 65
91
91 49 63
14
10 5 50
1
14 10 1 62
差商的性质
n次牛顿(Newton)插值公式的表达式：
N n (x f)(0 )x f[0 ,x 1 ](x x 0 ) f[0 ,x 1 ,x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) … f[0 ,x 1 … ,x n ](x x 0 )(x x 1 ) …(x x n 1 )
第2章_插值法
56
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
13.214 285 71
175 13.228756555322952...
考虑通过 + 1个节点0 < 1 < ⋯ < 的次插值
多项式 ()，满足条件
= ,
= 0,1, … ,
希望找到 li(x)，i = 0, …, n, 使得
= ; = ,
n次插值多项式, 插值节点为{ xi }in 0 [ a , b],则x [ a , b],有
f ( n 1) ( )
Rn (x )
n 1 ( x)
Lagrange型余项
(n 1)!
n
其中 n 1 ( x ) ( x xi ) , ( a , b) , 且依赖于 x.
满足条件P(xi) = f(xi) (i = 0, … n)。 P(x) 称
为f(x) 的插值函数。
P(x) f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
定理1：设插值节点 ≠ ( ≠ )，则满足条件
= , = 0,1, … , 的插值多项式
= 0 + 1 + ⋯ +
− , , + 线性无关。
二次插值多项式
= − − + + + + ()
满足 = ( = − , , + )
例1:
已知 f ( x )满足 f (144) 12 , f (169) 13, f ( 225) 15
i 0
一次及二次差值余项
1 ′′
1 = − 0 − 1 ,
计算方法—插值法
2018/10/20
lk ( x) lk 1 ( x) 1
13
2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
5
2018/10/20
2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
数值分析4.2 牛顿插值法
Rn ( x ) f [ x, x0 ,, xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
Rn(x)称为牛顿型插值余项。
可见, Nn(x)为次数不超过n 的多项式,且易知
Rn(xi)= 0 即 Nn(xi)= yi , (i=0,1, …,n)
满足插值条件, 故其为插值问题的解, Nn(x)称为牛顿 插值多项式。
f ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x , x0 , x1 ]( x x0 )( x x1 ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x , x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 )( x x2 )
差分有如下基本性质
性质1 各阶差分均可用函数值表示. 即
f i f n i c f n i 1 (1) c f i (1) c f n i j
n 1 n n n n n n j
n
f i f i c f i 1 (1) c f i n (1) c f i j
Rn ( x ) f [ x , x0 , , xn ]( x x0 )( x x1 ) ( x xn ) f [ x , x0 , , xn ] n1 ( x )
k 1 n
f ( x ) N n ( x ) Rn ( x )
N n ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) f [ x0 , x1 , x2 ]( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , , xn ]( x x0 ) ( x xn1 )
计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
2018/11/7
5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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27
fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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28
差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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31
等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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32
2018/11/7
33
二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
2018/11/7
25
2018/11/7
26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
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f [x1 , x2 , x3 , x4 ]
规定函数值为零阶均差
2020/6/2
11
例1:已知下表，计算三阶差商
xi 1 f (xi ) 0
347 2 15 12
解：列表计算
2020/6/2
xi
f (xi )
一阶差 商
二阶差商
三阶差 商
10
32 1
4 15 13
4
7 12 -1
-3.5 -1.25
7
例
f [x0 , x1]
f (x0 ) f (x1) x0 x1
f0 f1 x0 x1 x1 x0
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x0 , x1 ] f [x0 , x2 ] x1 x2
1 ( f0 f1 ) 1 ( f0 f2 ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
2020/6/2
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性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,K xn [a,b], 则n阶均差与导数关系如下：
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10
三、均差的计算方法(表格法): 均差表
xk f (xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
x1 f ( x1 )
f [x1 , x2 ]
插值法均差和牛顿插值公式课 件
§ 2.3.1 均差及其性质
我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为
l j(x)
n i0
(x xi ) (x j xi )
i j
j 0,1,2, ,n
形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多
2020/6/2
2
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若 从直线方程点斜式
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15
Nn (x)
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16
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显然：
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19
例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值 多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
x
0
f(x)
1
1
2
4
9
23
3
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20
解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
P1 ( x)
f0
f1 x1
f0 x0
(x
x0 )
( fi f (xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为
Pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )(x x1) an (x x0 )(x x1) (x xn1)
x2 x1
LL
依次可得到 a3, a4 ,L , an 。为写出系数的一般表达式，
2020现/6/2引入差商（均差）定义。
4
一、差商(均差)
定义2. 设f (x)在互异的节点 xi 处的函数值为 fi ,i 0,1, , n 称
f [x0 , xk ]
f (xk ) f (x0 ) xk x0
4 42
21
（2）Newton插值多项式：建立差商表为
一阶差商 二阶差商 三阶差商
01
19
8
2 23
14
3
43
-10
-8
11
4
2020/6/2
22
Newton插值多项式为
N3
(
x)
1
8(
x
0)
3(
x
0)(
x
1)
11 4
(
x
0)(
x
1)(
x
2)
（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列， 便得到
12
2.3.2 牛顿插值公式
2020/6/2
13
2020/6/2
14
Rn(x)
f (x) Nn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x)
f [x, x0 , x1 , , xn ]n1(x)
我们称 Nn (x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
称 Rn (x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
5 4
x2
x
L3(x)
(x 0)(x 1)(x 2) f ( l ( xi3)li (xx)) l0(x() 49l1(x0) )(234l2(x)1)3(l34(x) 2)
1 24
x3
1 8
x2
1 12
x
Lagrange插值多项式为
2020/6/2
11 x3 45 x2 1 x 1
2020/6/2
3
Pn (x0 ) a0 f0
当
Pn
(
x2
)
a0
a1(x2
Pn (x1) a0 a1(x1 x0 ) x0 ) a2 (x2 x0 )(x2 x1)
f1 f2
LL
a2
a0 f0
a1
f1 f0 x1 x0
f2 f0 f1 f0
x2 x0
x1 x0
(k 0)
为f (x)关于节点 x0 , xk 一阶均差(差商)
2020/6/2
5
2020/6/2
6
二、均差具有如下性质：
f [x0 , x1 , , xk 1 , xk ]
k
f (xj)
j0 (x j x0 ) (x j x j1)(x j x j1) (x j xk )
2020/6/2
f0
f1
f2
(x0 x1)(x0 x2 ) (x1 x0 )(x1 x2 ) (x2 x0 )(x2 x1)
2020/6/2
8
这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1,L , xk ] f [x1, x0 , x2 ,L , xk ] L f [x1, x2 ,L , xk , x0 ]
N3
(x)
11 4
x3
45 4
x2
1 2
x
1
L3
(x)
2020/6/2
23
• 练习：
已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2， 2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数 是6，试确定数据y。
2020/6/2
24
l0
(x)
(x (0
1)( x 1)(0
2)( x 2)(0
4) 4)
1 8
x3
7 8
x2
7 4
x
1
l1 ( x)
(x 0)(x 2)(x 4) (1 0)(1 2)(1 4)
1 3
x3
2x2
8 3
x
l2 (x)
(x (2
0)( x 0)(2
1)( x 1)(0
4) 4)
1 4
x3
x2 f ( x2 )
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f (x4 )
二阶差商
f [x0 , x1 , x2 ] f [x1 , x2 , x3 ] f [x2 , x3 , x4 ]
三阶差商 四阶差商
f [x0 , x1 , x2 , x3 ]
f [x0 , x1 , , x4 ]