对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较
插值法实验报告
插值法实验报告插值法实验报告一、引言插值法是一种常用的数值分析方法，用于通过已知数据点的函数值来估计在其他位置的函数值。
它在科学计算、图像处理、工程设计等领域有广泛的应用。
本实验旨在通过实际操作，深入理解插值法的原理和应用。
二、实验目的1. 掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理和计算方法；2. 通过实验比较不同插值方法的精度和效率；3. 分析插值法在实际问题中的应用。
三、实验步骤1. 收集实验数据：在实验室内设置几个测量点，记录它们的坐标和对应的函数值；2. 使用拉格朗日插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；3. 使用牛顿插值法计算其他位置的函数值：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；4. 比较不同插值方法的精度和效率：通过计算误差和运行时间，比较拉格朗日插值法和牛顿插值法的性能差异；5. 分析插值法在实际问题中的应用：结合实验结果，探讨插值法在实际问题中的优势和局限性。
四、实验结果与分析1. 拉格朗日插值法的计算结果：根据已知数据点，利用拉格朗日插值公式计算其他位置的函数值；2. 牛顿插值法的计算结果：根据已知数据点，利用牛顿插值公式计算其他位置的函数值；3. 误差分析：比较插值结果与真实函数值之间的误差，分析误差的来源和影响因素；4. 运行时间分析：比较不同插值方法的运行时间，分析其效率和适用场景。
五、实验结论1. 拉格朗日插值法和牛顿插值法都是常用的插值方法，它们在不同场景下有各自的优势；2. 插值法在实际问题中的应用需要考虑数据的分布、函数的性质和计算效率等因素；3. 本实验结果表明，拉格朗日插值法和牛顿插值法在精度和效率上存在差异，具体选择哪种方法应根据实际需求进行权衡。
六、实验总结通过本次实验，我们深入了解了插值法的原理和应用。
实验结果表明，插值法在科学计算和工程设计中具有重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体问题的要求和数据的特点选择合适的插值方法，以达到更好的效果。
四种插值法的特点比较
Ｖｏ １ ． １ ２，Ｎｏ ． ２
第 １ ２卷 （ 总第 ６ ５ 期）
Ａｐ ｒ ． ，２ ０１ ３
文章编号 ： １ ６ ７ １ —８ １ ２ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ —０ ０ ０ ９ —０ ３
四种插值法的特点比较
宋益荣 ， 万冬 梅
（ 商丘 职业 技术 学 院 ， 河 南 商丘 ４ ７ ６ ０ ０ ０ ）
一
定关 系把 此相 邻 的数加 以修 正 ， 就可 以求 出要 找 的数 ， 这 个修 正关 系事 实上 就是 一种差 值 ．
插 值法 的 目的是根 据 函数 ＿ 厂 （ ｚ ）在节 点 的值 ， 求 ～ 个足 够 光滑 又 比较 简 单 的 函数 ｇ （ ｚ ） （ 称 为 差值 函数 ）
・ ９ ‘
商 丘 职 业 技 术 学 院 学 报
ｇ １ （ ｚ ）一 ｆ （ ｘ ｏ ）＋ （ 一 ３ ０ ｏ ） ｆ ｉ ｘ ０ ， ｚ － １ ］ 这 种形 式 的插值称 为 Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ插值 ． ② 过三 个数 据点
Ｎｅ ｗｔ ｏ ｎ二 次插 值多 项式 ｇ ２ （ Ｉ ｚ ）＝ ＝ ＝ ｆ （ ｘ ｏ ） ＋（ ｚ— ｚ ｏ ） ｆ Ｅ ｘ ｏ ， ｚ １ ］ ＋（ ０一 ３ ０ ） （ ０一Ｘ ３ １ ） ｆ ［ ０ ３ ｏ ， ２ Ｃ ｌ ， ． Ｔ ｇ插值 是 次 多项式 插值 ， 其成 功 地用 构造 插值基 函数 的方法 解决 了求 次 多项 式 插值 函数 问 题 ．对 Ｌ ａ ｇ ｒ ａ ｎ ｇ ｅ ｎ次插 值 多项式 ， 首 先构造 ＋１ 个 插值 节 点 － ｚ 。 ， ”， 上 的 次插值 基 函数
② 在 给定 的点 ｚ 上与 ｆ（ ）取相 同值 ， 即ｇ （ ｘ ）＝ ＝ ＝ Ｙ （ 一 ０ ， １ ， ２ ， …， ） ．
几种插值法简介[整理版]
![几种插值法简介[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/4e1c5f93ed3a87c24028915f804d2b160b4e8679.png)
举例来看：可以认为某水文要素T随时间t的变化是连续的，某一个测点的水文要素T可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则直接取T为Ti和Ti+1的平均值。
插值公式为：T=Ti+Ti+1 2②拉格朗日（Lagrange）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，则可用T i-1、T1、T i+1三个点来求得，也可用T i、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i)(t-t i+1)(t i-1-t i)(t i-1-t i+1)T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1)T i+(t-t i)(t-t i-1)(t i+1-t i)(t i+1-t i-1)T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i-t i+1)(t i-t i+2)T i+(t-t i)(t-t i+2)(ti-t i)(t i-t i+2)T i+1+(t-t i)(t-t i+1)(t i+2-t i)(t i+2-t i+1)T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i和T i+1满足：f(t i)=T i dfdt|t-ti=k i f’(t i+1)=T’idfdt|t-ti+1=k i+1式中k i，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P0+P1(t-t i)+P2(t-t i)2+P3(t-t i)3，来对T i和T i+1之间的一点T进行内差。
④牛顿（Newton）插值法：若求Ti 和Ti+1之间任一点T，插值公式为：T=f(x0)+(x-x0)f(x0,x1)+ (x-x0)(x-x1)f(x0,x1,x2)+…+(x-x0)(x-x1)…(x-x n-2)f(x0,x1,…,x n-1)式中，f(x0,x1)，f(x0,x1,x2)，…f(x0,x1,…,x n-1)是函数f(x)的1到第n-1阶差商。
Matlab插值方法学习Hermite,lagrange,Newton
大家都知道插值在数学建模中很重要，现在介绍几种常用插值下面介绍几种基本的、常用的插值：拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插值、Hermite插值和三次样条插值。
1.拉格朗日多项式插值拉格朗日插值就是给定n个数，让你用不超过n-1次的多项式你逼近它，当然这n个点要能满足多项式。
这是一种最基本的思想，计算很简单，先计算n个基函数，基函数可以自己上网搜一下，因为这里打出公式有点麻烦。
然后就是把每个点的y值乘以他的基函数，把这n个式子相加，最后化简就ok了。
下面我把代码写出来，我这些代码全是自己写的，注释比较详细，这里只以lagrange为例，其余都放在附件里了。
%定义myLagrange函数，参数为向量x，y，由用户调用该函数时输入function L=myLagrange (x,y)%n 插值结点的个数n=length(x);%L myLagrange函数计算的多项式系数行列式L=zeros(1,n);%%使用双重for循环，第一个for循环是fori=1:n%aa=1;%ww=1;%for循环for j=1:n%如果i不等于jif j~=i%累加法计算aa=a*(x(i)-x(j));%用向量乘法函数conv计算ww=conv(w,[1,-x(j)]);%if语句结束符end%第二个for循环结束符end%递归法计算L，其中y(i)/a*w表示第i个元素L=y(i)/a*w+L;%第一个for结束符end没错，就这么几句代码，所以很简单的。
2.牛顿插值牛顿插值其实是为了解决拉格朗日插值不能增加新的点来说的。
拉格朗日插值只能接受给定的那么多点，了然后插值。
如果你想再加一个点，它会重新开始计算，这个很费时间和内存。
因此牛顿插值就诞生了。
了解牛顿插值前要学习下差商和差分两个简单的概念。
Newton 插值的优点是：每增加一个节点，插值多项式只增加一项，即因而便于递推运算。
而且Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
数值计算中的插值方法与误差分析
数值计算中的插值方法与误差分析数值计算是一门应用数学学科，广泛应用于科学与工程领域。
在实际问题中，我们常常需要通过已知的离散数据点来估计未知的数值。
插值方法就是为了解决这个问题而设计的。
插值方法是一种基于已知数据点，推断出未知数据点的数值计算方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值等。
下面我们将重点介绍这两种方法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是插值方法中最常见的一种。
它是基于拉格朗日多项式的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
拉格朗日插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）根据已知数据点构造Lagrange插值多项式：L(x) = Σ(yi * Li(x)), i = 0, 1, ..., n其中，Li(x) = Π((x-xj)/(xi-xj)), j ≠ i（2）计算未知点x对应的函数值y：y = L(x)拉格朗日插值法的优点是简单易懂，计算方便。
然而，它也存在着一些问题，比如插值多项式的次数较高时，多项式在插值区间外的振荡现象明显，容易引起插值误差。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是另一种常见的插值方法。
它是基于差商的思想。
假设我们有一组已知的数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要估计一个未知点x的函数值y。
牛顿插值法的基本思想是通过插值多项式来逼近原函数。
具体步骤如下：（1）计算差商：f[xi, xi+1, ..., xi+k] = (f[xi+1, ..., xi+k] - f[xi, ..., xi+k-1]) / (xi+k - xi)（2）根据已知数据点构造Newton插值多项式：N(x) = f[x0] + Σ(f[x0, x1, ..., xi] * Π(x - xj)), i = 0, 1, ..., n-1（3）计算未知点x对应的函数值y：y = N(x)牛顿插值法的优点是适用范围广，可以方便地添加新的数据点进行插值。
插值法公式简单记忆方法
插值法公式简单记忆方法插值法是一种求取某些数据点之间数值的方法，其公式可以根据不同的情况而有所不同。
以下是一些简单记忆插值法公式的方法：1. 拉格朗日插值法：根据已知数据点的函数值构造一个多项式函数，并使用该函数进行插值计算。
公式为：$$f(x) = sum_{i=0}^n y_i L_i(x)$$其中，$L_i(x)$ 是拉格朗日基函数，表示为：$$L_i(x) = prod_{jeq i} frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$2. 牛顿插值法：通过已知数据点的差商来构造一个插值多项式。
公式为：$$f(x) = f[x_0] + (x-x_0)f[x_0,x_1] +(x-x_0)(x-x_1)f[x_0,x_1,x_2] + cdots +(x-x_0)cdots(x-x_{n-1})f[x_0,cdots,x_n]$$其中，$f[x_i]$ 表示 $i$ 阶差商，$f[x_i,x_{i+1},cdots,x_{i+j}]$ 表示 $i$ 到 $i+j$ 阶差商。
3. 分段线性插值法：将插值区间分成若干个小区间，每个小区间内用一条直线来近似表示函数。
公式为：$$f(x) = begin{cases}frac{x-x_0}{x_1-x_0}y_1 + frac{x_1-x}{x_1-x_0}y_0, &x_0leq x leq x_1frac{x-x_1}{x_2-x_1}y_2 + frac{x_2-x}{x_2-x_1}y_1, &x_1leq x leq x_2cdots & cdotsfrac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}y_n +frac{x_n-x}{x_n-x_{n-1}}y_{n-1}, & x_{n-1}leq x leq x_nend{cases}$$其中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别表示已知数据点的自变量和因变量。
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
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对拉格朗日插值法与牛顿插值法的学习和比较
摘要：根据对拉格朗日插值法和牛顿插值法的理解，本文主要介绍了拉格朗日插值法和牛顿插值法的相
关内容以及它们的区别。
关键词：拉格朗日插值法；牛顿插值法
The leaning and comparison of the Lagrange interpolation and Newton
interpolation
Abstract: Based on the understanding of the Lagrange interpolation and Newton interpolation ，this paper
mainly describes some related knowledge as well as the difference between these two methods.
Keywords: Lagrange interpolation ; Newton interpolation
前言
在工程和科学研究中出现的函数是多种多样的。
常常会遇到这样的情况：在某个实际问题中，虽然可以断定所考虑的函数)(x f 在区间],[b a 上存在且连续，但却难以找到它的解析表达式，只能通过实验和观测得到在有限个点上的函数值（即一张函数表）。
显然，要利用这张函数表来分析函数)(x f 的性态，甚至直接求出其他一些点上的函数值可能是非常困难的。
面对这些情况，总希望根据所得函数表（或结构复杂的解析表达式），构造某个简单函数)(x P 作为)(x f 的近似。
这样就有了插值法，插值法是解决此类问题目前常用的方法。
如设函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，且在1+n 个不同的点b x x x a n ≤≤,,,10 上分别取值n y y y ,,,10 。
插值的目的就是要在一个性质优良、便于计算的函数类Φ中，求一简单函数)(x P ，使
),,1,0()(n i y x P i i ==
而在其他点i x x ≠上，作为)(x f 的近似。
通常，称区间],[b a 为插值区间，称点n x x x ,,,10 为插值节点，称式i i y x P =)(为插值条件，称函数类Φ为插值函数类，称)(x P 为函数)(x f 在节点n x x x ,,,10 处的插值函数。
求插值函数)(x P 的方法称为插值法。
插值函数类Φ的取法不同，所求得的插值函数)(x P 逼近)(x f 的效果就不同。
它的选择取决于使用上的需要，常用的有代数多项式、三角多项式和有理函数等。
当选用代数多项式作为插值函数时，相应的插值问题就称为多项式插值。
本文讨论的拉格朗日插值法与牛顿插值法就是这类插值问题。
在多项式插值中，最常见、最基本的问题是：求一次数不超过n 的代数多项式
n n x a x a a x P +++= 10)(
使),,1,0()(n i y x P i i n ==，其中，n a a a ,,,10 为实数。
拉格朗日插值法即是寻求函数)(x L n （拉格朗日插值多项式）近似的代替函数)(x f 。
相似的，牛顿插值法则是通过)(x N n （牛顿插值多项式）近似的求得函数的值。
1.拉格朗日插值法
在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即
⎩⎨⎧≠==k
i k i x l i k 01)( 上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设
]1[1110)())(())(()(n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-
其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得
)
())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+- 故 )
())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- 由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。
利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式
)()()(1100x l y x l y x l y n n +++
根据条件⎩
⎨⎧≠==k i k i x l i k 01)(，容易验证上面多项式在节点i x 处的值为),,1,0(n i y i =，因此，它就是待求的n 次插值多项式)(x P n 。
形如)()()(1100x l y x l y x l y n n +++ 的插值多项式就是拉格朗日插值多项式，记为)(x L n ，即
)
())(()()())(()()
()()()(1101102211n k k k k k k n k k n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x l y x l y x l y x L --------=+++=+-+-
作为常用的特例，令1=n ，由上式即得两点插值公式
)()(00
10101x x x x y y y x L ---+=，这是一个线性函数，故又名线性插值。
若令1=n ，则又可得到常用的三点插值公式
)
)(())(())(())(())(())(()(1202102210120120102102x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ----+----+----= 这是一个二次函数，故又名二次插值或抛物插值。
2.牛顿插值法
由线性代数知，任何一个不高于n 次多项式，都可以表示成函数)())((,),)((,,1110100-------n x x x x x x x x x x x x 的线性组合。
既可以吧满足插值条件),,1,0()(n i y x P i i ==的n 次插值多项式写成如下形式
)())(())(()(110102010----++--+-+n n x x x x x x a x x x x a x x a a
其中，k a 为待定系数。
这种形式的插值多项式称为牛顿插值多项式，记为)(x N n ，即
]1[110102010)())(())(()()(----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N
因此，牛顿插值多项式)(x N n 是插值多项式)(x P n 的另一种表示形式。
设函数)(x f 在等距节点),,1,0(0n k kh x x k =+=处的函数值k k y x f =)(为已知，其中
h 是正常数，
称步长。
我们称两个相邻点k x 和1+k x 处函数之差k k y y -+1为函数)(x f 在点k x 处以h 为步长的一阶向前差分，记作k y ∆，即k k k y y y -=∆+1。
于是，函数)(x f 在各节点处的一阶差分依次为11121010,,---=∆-=∆-=∆n n n y y y y y y y y y 又称一阶差分的差分k k k k y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(为二阶差分。
一般的，定义函数)(x f 在点k x 处的m 阶差分为k m k m k m y y y 111-+-∆-∆=∆。
在等距节点),,1,0(0n k kh x x k =+=情况下，可以利用差分表示牛顿插值多项式的系数。
事实上，由插值条件00)(y x N n =可得00y a =；再由插值条件11)(y x N n =可得
h y x x y y a 001011∆=--=；一般的，由插值条件k k n y x N =)(可得),,2,1(!0n k h k y a k k k =∆=。
于是，
满足插值条件i i n y x N =)(的插值多项式为
)())((!))((!2)()(110010202000----⋅∆++--⋅∆+-∆+=n n n n x x x x x x h
n y x x x x h y x x h y y x N 3.两者的比较
拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。
拉格朗日插值法的线性插值与抛物插值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开始。
而牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。
同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。
因此，对于一些结构相当复杂的函数)(x f ，牛顿插值法比拉格朗日插值法要占优势。