2015届湖南省常德市第一中学高三第11次月考数学(理)试题 扫描版
湖南省常德市第一中学高三数学第十次月考试题 理(扫描版)
湖南省常德市第一中学2015届高三数学第十次月考试题理（扫描版）常德市一中2015届高三第十次月考参考答案数学（理）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）11.1212. 13.（二）必做题14.172515.121(,)2e-16. 84三．解答题（本题共6个小题，共75分）17.解：（1）由正弦定理得：BACCA sin232cossin2cossin22=+即BACCA sin232cos1sin2cos1sin=+++………2分∴BCACACA sin3sincoscossinsinsin=+++即BCACA sin3)sin(sinsin=+++………4分∵BCA sin)sin(=+∴BCA sin2sinsin=+即bca2=+∴cba、、成等差数列。
………6分（2）∵3443sin21===acBacS∴16=ac………8分又accaaccaBaccab3)(cos2222222-+=-+=-+=………10分由（1）得：bca2=+∴48422-=bb∴162=b即4=b………12分18.解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ………4分 依题意，X 的可能取值为0,1,2． 左手所取的两球颜色相同的概率为185********=++C C C C ………6分 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P 72541185)2(=⨯==X P ………10分所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ………12分19. （1）证明：11AE A B ⊥ ，11A B ∥AB AB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥ 1A E A AA ⋂= AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂面11A ACC A B A C ∴⊥ ………2分以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz - 则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B设(),,D x y z ，111AD AB λ= 且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ ………5分∴11022DF AE =-= DF AE ∴⊥ ………6分（2）假设存在,设面DEF 的法向量为 (),,n x y z = ，则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩ 111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即：()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 令()21z λ=- ()()3,12,21n λλ∴=+- . ………8分由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m = ………9分平面DEF 与平面ABC 所成锐二面的余弦值为()14cos ,m n m n m n ∴===12λ∴=或74λ= （舍） ………11分∴ 当点D 为11A B 中点时，满足要求. ………12分20、(1)∵an ，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n ∈N*)的两根，∴nn n+1nn n+1a +a =2b =a a ⎧⎨⋅⎩ ……2分 ∵n+1n n+1n n+1n n n n n n n n 111a 22a 2(a 2)3331a 2a 2a 2333-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯，故数列n n 1{a 2}3-⨯是首项为121a 33-=，公比为－1的等比数列. ……4分(2)解：由(1)得n n n 11a 2(1)33-⨯=⨯-，即n n n 1a [2(1)]3=--， ∴n n n+1n+1n n n+11b =a a [2(1)][2(1)]9⋅=--⨯--2n+1n 1[2(2)1]9=--- ……6分∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=13n 2n+11(1)1[22]32--=--， ……8分要使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立， 即n 2n+1n 2n+11(1)1[2(2)1][22]0(*)932λ-------->对任意n ∈N*都成立.①当n 为正奇数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][21]093λ+--->， 即n+1n n+11λ(21)(21)(21)093-+-->，∵2n+1－1>0，∴n 1λ<(21)3+对任意正奇数n 都成立.当且仅当n=1时，n 1(21)3+有最小值1，∴λ<1. ……10分②当n 为正偶数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][22]093λ---->， 即n+1n n 12λ(21)(21)(21)093+--->，∵2n －1>0，∴n+11λ<(21)6+对任意正偶数n 都成立.当且仅当n=2时，n+11(21)6+有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分综上所述，存在常数λ，使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1). ……13分21.解：（1）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=，得224033b c c -+= ① ………1分又点P 在椭圆C 上，2222161,299b a a b ∴+=⇒=② 2222b c a +== ③ ………3分①③联立解得，21,1c b == ………4分 故所求椭圆的方程为2212x y += ………5分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理得222(21)4220k x kmx m +++-= （﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，所以0,∆=得2221m k =+ ………8分假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由221212121222()21()()11k km k k m k m d d k k ++++++⋅==++λλλλλλ212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1. ………13分22、解：（1）根据)(x f 定义域后，求导得到)23()3)(1()(2/+-+=x x x x x f ，根据导数和0的关系得到 在),3(),1,23(+∞--是函数)(x f 的增区间；在)3,0(),0,1(-是函数)(x f 减区间………………………（3分） 令11)1ln()(22--+=x x x h 求导得])1(111[2)(222/-++=x x x x h 里面有一个零点0=x 和两个断点1±=x ，所以可以得到函数在区间),1(),1,0(+∞单调增；在区间)0,1(),1,(---∞单调减。
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第Ⅰ卷 选择题 （共60分）参考公式：()21nii x x D nξ=-=∑（其中x 为123,,,n x x x x 的平均数）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2|16,A x x B m =≥=，若A B A =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),4-∞- B ．[)4,+∞ C ．[]4,4- D ．(][),44,-∞-+∞2.已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“()22a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图，若输出K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A ．34s ≤B ．56s ≤ C ．1112s ≤ D ．2524s ≤ 4.已知函数()()()sin ,22f x x x ππθθθ⎛⎫⎡⎤=++∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是偶函数，则θ的（ ）A ．0B ．6π C ．4π D ．3π5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为（ ）A ．()()5,05,-+∞ B ．()(),55,-∞-+∞ C ．()()3,05,-+∞ D ．()(),00,3-∞6.在四边形ABCD 中，()()1,2,4,2AC BD ==-，则该四边形的面积为（ ） AB．C ．5 D ．107. 512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）A ．252B ．-252C ．160D ．-160 8.已知,sin 2cos 2R ααα∈+=，则tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43-10.设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭11.设圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C =（ ）A ．4 B．C ．8 D．12.若函数()()22ln 0f x x a x a x=+->有唯一零点0x ，且0m x n <<（,m n 为相邻整数），则m n +的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_________种（用数字作答）.15.抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则A K F ∆的面积是___________.16.已知两个等比数列{}{},n n a b 满足()11122330,1,2,3a a a b a b a b a =>-=-=-=，若数列{}n a 唯一，则a 的值为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 42CAD AC ADB π∠==∠=.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.18.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位/人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X .附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,ABCD AD BC AD CD ⊥，且2AD CD BC PA ====，点M 在PD 上.（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45°，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.20.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在求λ的值；若不存在，说明理由.21.(本小题满分12分)设函数()()ln ,xf x x axg x e ax =-=-，其中a 为实数.（1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论.【选考题】请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且,OA OB CA CB ==，圆O 交直线OB 于点E D 、，其中D 在线段OB 上，连结,EC CD .（1）证明:直线AB 是圆O 的切线； （2）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x =-.（1）若不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围；（2）若1,3a b <<，且0a ≠，判断()f ab a与b f a ⎛⎫⎪⎝⎭的大小 ，并说明理由.参考答案一、选择题：（每小题5分，共60分）二、填空 题（每小题5分，共20分） 13. 12π 14. 60 15. 13三、解答题（共70分） 17．解：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以722224sin sin sin cos cos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠-∠=+=⎪⎝⎭……………………………6分 （2）在ACD ∆中，由sin sin AD ACC ADC=∠∠， 得74sin 522sin 10AC CAD ADC ∠===∠所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=∠==……………………………12分 18.解：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯……………………………………2分所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关……………………3分（2）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C =种；两人都被抽到有221C =种.∴X 可能取值为0，1，2，………………………………5分()()()1512310,1,22828728P X P X P X =======…………………………………10分 X 的分布列为：……………………………………………………………11分 ∴()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯=…………………………………………12分 19.解：（1）取BC 中点E ，连结AE ，则,//AD EC AD EC =，所以四边形AECD 为平行四边形，故AE BC ⊥，又AE BE EC ===，所以045ABC ACB ∠=∠=，故AB AC ⊥，又,AB PA AC PA A ⊥⋂=，所以AB ⊥平面PAC ， 故有AB PC ⊥………………………………5分 （2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，设平面AMC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则()1122022220n AC n AM y z λ⎧=+=⎪⎨=+-=⎪⎩，令2y =21x z λλ==-，即122,1n λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭…………………………………………8分 又平面ACD 的一个法向量为()20,0,1n =，1201212cos cos 454n n n n n n===+，解得12λ=，即()(),M BM =-，而()2,22,0AB =-是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 平面PAC 所成的角为θ，则8sin cos ,9BM AB θ-===. 故直线BM 与平面PAC 所成的角的正弦值为9…………………………………12分 20.解：（1）由31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，221914a b+=，① 依题设知2a c =，则223b c =② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）方法一：由题意得可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为()1y k x =-，③代入椭圆 方程223412x y +=并整理，得()()2222438430k x k x k +-+-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则有()22121222438,4343k k x x x x k k -+==++， ④ 在方程③中令4x =得，M 的坐标为()4,3k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,B A F 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--. 所以12121212121233311221111211y y y y k k x x x x x x --⎛⎫+=+=+-+ ⎪------⎝⎭()12121223221x x k x x x x +-=--++， ⑤④代入⑤得()2212222282343221243814343k k k k k k k k k k -++=-=---+++， 又312k k =-，所以1232k k k +=，故存在常数2λ=符合题意. 21.解：（1）()10f x a x '=-≤在()1,+∞上恒成立，则1a x≥，()1,x ∈+∞.故：()1,xa g x e a '≥=-，若1a e ≤≤，则()0xg x e a '=-≥在()1,+∞上恒成立，此时，()xg x e ax =-在()1,+∞上是单调增函数，无最小值，不合；若a e >，则()xg x e ax =-在()1,ln a 上是单调减函数，在()1,na +∞上是单调增函数，()()min ln g x g a =满足，故a 的取值范围为：a e >.（2）()0x g x e a '=-≥在()1,-+∞上恒成立，则xa e ≤， 故：1a e ≤.()()110ax f x a x x x-'=-=>. ①若10a e <≤，令()0f x '>得增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 令()0f x '<得减区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞； 当1x a =时，1ln 10f a a ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a e =时取等号， 故：当1a e =时，()f x 有1个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点. ② 若0a =，则()ln f x x =-，易得()f x 有1个零点.③若0a <，则()10f x a x'=->在()0,+∞上恒成立， 即：()ln f x x ax =-在()0,+∞上是单调增函数，当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，此时，()f x 有1个零点. 综上所述：当1a e =或0a <时，()f x 有1个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点. 22.解：（1）证明：连结OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥.又OC 是圆O 的半径，所以AB 是圆O 的切线…………………………………………………5分（2）5 …………………………10分23.解：（1）所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得 111,3πρθ==.设()22,Q ρθ，则由()2222sin 3ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得223,3πρθ==，所以2PQ =. 24.解析：（1）实数a 的取值范围是(],1-∞…………………………………………5分（2）()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，证明：要证()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，只需证33ab b a ->-， 即证()()2233ab b a ->-，又()()()()22222222339919ab b a a b a b a b ---=--+=--因为1,3a b <<，所以()()22330ab b a --->，所以原不等式成立. ……………………………………10分。
湖南省常德市第一中学高三数学第11次月考试题理(扫描版)
湖南省常德市第一中学2015届高三数学第11次月考试题理（扫描版）常德市一中2015届高三第十一次月考试题 数学（理）试卷一、选择题(5×10＝50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．B 2．C 3. B 4. D 5． C 6. A 7． A8.B9. D 10. B二．填空题（本题共5个小题，每小题各5分，共25分） （一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答） 11．（几何证明选讲选做题）如图1-3所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．图1-33 [解析]由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AE AC ＝EFBC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝312．（坐标系与参数方程选做题）已知直线1()42x tt R y t =+⎧∈⎨=-⎩与圆2c os 2([0,2]2s i n x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB ，则以AB 为直径的圆的面积为 。
16π513．（不等式选做题）实数ai （i=1,2,3,4,5,6）满足（a2－a1）2+（a3－a2）2+（a4－a3）2+（a5－a4）2+（a6－a5）2=1则（a5+a6）－（a1+a4）的最大值为()()()()()[]()14111256245234223212++++-+-+-+-+-a a a a a a a a a a()()()()()2213243546511121a a a a a a a a a a ⎡-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎤⎣⎦≥()()[]24156a a a a +-+= ()()651422a a a a ∴+-+≤.（二）必做题14己知(sin cos )xa t t dt=+⎰，则（1x ax -）6的展开式中的常数项为 25-15一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有____30______种。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作常德市一中2015届高三第十一次月考试题数学（理）试卷(时量：120分钟 满分：150分 命题人：王志勇 审题人：朱纯刚)一、选择题(5×10＝50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( B )．A ．－3＋iB ．－1＋3iC ．－3＋3iD ．－1＋i2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(R S )∪T ＝( C )．A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞) 3. 已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“π2ϕ=”的( B )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4. 己知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是( D )A ．233π+ B ．2323π+ C ．232π+D ．23π+5．不等式组所表示的平面区域的面积等于 CA.B.C. D.6. 把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为（ A ）A ．14-π B ．π2 C ．214-π D ．21试题分析：这是一道几何概型概率计算问题．星形弧半径为2，∴点落在星形内的概率为22221222244422A 1()P ππππ⋅⋅--⨯⨯⨯⨯=-⋅（）＝，故选A ．7．设2log 3a =，4log 6b =，8log 9c =，则下列关系中正确的是（ A ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>8.已知0a b ＞＞，椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，1C 与2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（ B ）A ．. 20A x y ±=B ．.20B x y ±=C ．.20C x y ±=D ．.20D x y ±=9.设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0P C ，则( D )．A ．∠ABC ＝90° B．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC 答案：D解析：设PB ＝t AB (0≤t ≤1)， ∴PC ＝PB ＋BC ＝t AB ＋BC ，∴PB ·PC ＝(t AB )·(t AB ＋BC )＝t 22AB ＋t AB ·BC .由题意PB ·PC ≥0P B ·0P C ，即t 22AB ＋t AB ·BC ≥14AB 14AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝214⎛⎫ ⎪⎝⎭2AB ＋14AB ·BC ，即当14t =时PB ·PC 取得最小值．由二次函数的性质可知：2142AB BC AB⋅-=，即：AB -·BC ＝122AB ，∴AB ·12AB BC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0.取AB 中点M ，则12AB ＋BC ＝MB ＋BC ＝MC ，∴AB ·MC ＝0，即AB ⊥MC ． ∴AC ＝BC ．故选D ．10. 设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则( B ) A.321I I I << B. 312I I I << C. 231I I I << D. 123I I I <<B由，故，由，故，，故，故选B二．填空题（本题共5个小题，每小题各5分，共25分） （一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）11．（几何证明选讲选做题）如图1-3所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．图1-33 [解析]由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AE AC ＝EFBC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.12．（坐标系与参数方程选做题）已知直线1()42x t t R y t =+⎧∈⎨=-⎩与圆2cos 2([0,2]2sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB ，则以AB 为直径的圆的面积为 。
2015年湖南省常德市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若复数，则的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i2．（5分）已知全集U＝R，若集合M＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{x|2x+1﹣1≥0}，则（∁U M）∩N＝（）A．[3，+∞）B．（﹣1，3）C．[﹣1，3）D．（3，+∞）3．（5分）现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，设此次抽样中，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为（）A．25，B．20，C．25，D．25，4．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝2a1，则的值为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若k＝100，则输出的结果为（）A．170B．126C．62D．426．（5分）钝角三角形ABC的面积是1，AB＝2，，则AC＝（）A．2B．C．10D．7．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为（）A．6cm3B．12cm3C．18cm3D．36cm38．（5分）设x，y满足约束条件，若，，且，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．10．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，B，左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线P A，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1•k2＝﹣，则k3•k4＝（）A．B．C．D．﹣4【坐标系与参数方程选做题】11．（5分）在极坐标中，直线ρ（sinθ+cosθ）＝1被圆ρ＝2sinθ与所截得的弦长为．【几何证明选讲选做题】12．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝CD，AB＝AC，延长BC到点D，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D＝40°，则∠ABE的大小为．【不等式选讲选做题】13．若两个正实数x，y满足＝1，且x+2y＞a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是．三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设（其中e为自然对数的底数），则y＝f（x）的图象与直线y＝0，x＝e所围成图形的面积为．15．（5分）设集合A＝{0，1，2，3，4，5}，若A的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为A的“分离子集”，那么从集合A中任取3个元素构成子集B，则B为“分离子集”的概率为．16．（5分）若a是f（x）＝sin x﹣x cos x在x∈（0，2π）的一个零点，则下列结论中正确的有．①；②；③∀x∈（0，π），x﹣a＜cos x﹣cos a；④∃x∈（0，2π），a sin x＜x sin a．四、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知函数的最小值为﹣2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和m的值；（Ⅱ）若，，求的值．18．（12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，且两人租车的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD，∠ACB＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝BC＝2，AE＝EC．（Ⅰ）求证：AF＝CF；（Ⅱ）当二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值为时，求三棱锥A﹣EFC的体积．20．（13分）已知f（x）的图象过点（1，1），且对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （x）+3，数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1＝．（Ⅰ）求f（n）关于n（n∈N*）的表达式和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝3na n，求数列{b n}的前n项和S n．21．（13分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右顶点是双曲线C2：＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若直线l与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且＝﹣5，求|M1M2|的取值范围．22．（13分）已知函数f（x）＝xlnx．（其中e＝2.71828为自然对数的底数）（Ⅰ）若方程f（x）﹣a＝0在区间上有2个不同的实根，求实数a 的取值范围；＞；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣，证明：g（x）极小值（Ⅲ）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）的图象上不同的两点，且函数f （x）的图象在P，Q处切线交点的横坐标为s，直线PQ在y轴上的截距为t，记M＝x1•x2+s•t，请探索M的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．2015年湖南省常德市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）若复数，则的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：∵复数＝＝＝i，＝﹣i，则的虚部为﹣1．故选：B．2．（5分）已知全集U＝R，若集合M＝{x|﹣3＜x＜3}，N＝{x|2x+1﹣1≥0}，则（∁U M）∩N＝（）A．[3，+∞）B．（﹣1，3）C．[﹣1，3）D．（3，+∞）【解答】解：N＝{x|2x+1﹣1≥0}＝{x|2x+1≥1}＝{x|x+1≥0}＝{x|x≥﹣1}，∵M＝{x|﹣3＜x＜3}，∴∁U M＝{x|x≥3或x≤﹣3}，则（∁U M）∩N＝{x|x≥3}，故选：A．3．（5分）现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别有150件、120件、180件、150件．为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，设此次抽样中，某件产品A被抽到的概率为y，则x，y的值分别为（）A．25，B．20，C．25，D．25，【解答】解：根据分层抽样的定义和方法可得，解得x＝25由于分层抽样的每个个体被抽到的概率相等，则y＝故选：D．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝2a1，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d≠0，且a3＝2a1，∴a3＝a1+2d＝2a1，∴a1＝2d，∴a n＝2d+（n﹣1）d＝（n+1）d，∴＝＝故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若k＝100，则输出的结果为（）A．170B．126C．62D．42【解答】解：模拟执行程序，可得k＝100，i＝1，S＝0满足条件S＜100，S＝2，i＝3满足条件S＜100，S＝10，i＝5满足条件S＜100，S＝42，i＝7满足条件S＜100，S＝170，i＝9不满足条件S＜100，退出循环，输出S的值为170．故选：A．6．（5分）钝角三角形ABC的面积是1，AB＝2，，则AC＝（）A．2B．C．10D．【解答】解：三角形的面积S＝AB•BC sin B＝sin B＝1，∴sin B＝，则B＝或，若B＝，则AC＝＝，此时三角形为等腰三角形，不是钝角三角形，若B＝，则AC＝＝，此时满足条件，故选：D．7．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积为（）A．6cm3B．12cm3C．18cm3D．36cm3【解答】解：由题意，几何体是三棱柱去掉一个角，底面是等腰直角三角形，腰长为3cm，高为4cm，三棱锥底面是等腰直角三角形，高为4cm，所以体积为﹣×＝12cm3．故选：B．8．（5分）设x，y满足约束条件，若，，且，则正实数m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：，，且，可得m2＝y2+x2，正实数m＝．x，y满足约束条件，可行域如图：正实数m＝的几何意义是可行域内的点到直线x+2y﹣4＝0的距离的最小值，由点到直线的距离距离公式可知：d＝＝．故选：B．9．（5分）在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t＝（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴＝＝；∴；∴＝；∴时，t取最小值．故选：C．10．（5分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A，B，左右焦点分别为F1，F2，点O为坐标原点，线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，设直线P A，PB，PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，k3，k4，若k1•k2＝﹣，则k3•k4＝（）A．B．C．D．﹣4【解答】解：设P（m，n），A（﹣a，0），B（a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），由于线段OB的中垂线与椭圆在第一象限的交点为P，即有m＝，若k1•k2＝﹣，则•＝﹣，解得n＝a，即P（，a），代入椭圆方程可得，+•＝1，即有a＝2b，则c＝＝b，则k3•k4＝•＝＝﹣，故选：C．【坐标系与参数方程选做题】11．（5分）在极坐标中，直线ρ（sinθ+cosθ）＝1被圆ρ＝2sinθ与所截得的弦长为2．【解答】解：直线ρ（sinθ+cosθ）＝1的直角坐标方程为x+y﹣1＝0，圆ρ＝2sinθ，即ρ2＝2ρsinθ，它的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，它表示以（0，1）为圆心、半径r＝1的圆．由于弦心距d＝＝0，故圆心在直线x+y﹣1＝0 上，故弦长等于圆的直径2，故答案为：2．【几何证明选讲选做题】12．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝CD，AB＝AC，延长BC到点D，连结AD交⊙O于点E，连结BE，若∠D＝40°，则∠ABE的大小为40°．【解答】解：∵AC＝CD，∠D＝40°，∴∠CAD＝40°，∠ACB＝80°．∴∠CBE＝40°．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝80°，∴∠ABE＝40°．故答案为：40°【不等式选讲选做题】13．若两个正实数x，y满足＝1，且x+2y＞a2﹣2a恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，4）．【解答】解：∵正实数x，y满足＝1，∴x+2y＝（）（x+2y）＝2+++2＝4++≥4+2＝8（当且仅当＝时，等号成立）∵不等式x+2y＞a2﹣2a恒成立，即（）（x+2y）＞a2﹣2a恒成立，∴只需8＞a2﹣2a成立即可，化简可得a2﹣2a﹣8＞0，解得﹣2＜a＜4，∴实数a的取值范围是（﹣2，4）故答案为：（﹣2，4）．三、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）14．（5分）设（其中e为自然对数的底数），则y ＝f（x）的图象与直线y＝0，x＝e所围成图形的面积为2﹣．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，和直线x＝e，如右图．即有y＝f（x）的图象与直线y＝0，x＝e所围成图形的面积为+＝（x﹣sin）|+lnx|＝1﹣sin﹣0+lne﹣ln1＝2﹣．故答案为：2﹣．15．（5分）设集合A＝{0，1，2，3，4，5}，若A的某个子集中任意2个元素之差的绝对值不等于1，则称此子集为A的“分离子集”，那么从集合A中任取3个元素构成子集B，则B为“分离子集”的概率为．【解答】解：从集合A中任取3个元素构成子集B，则有＝20个，其中三元子集中的“分离子集”共有4个，分别为{0，2，4}，{0，2，5}，{0，3，5}，{1，3，5}，故B为“分离子集”的概率为P＝＝．故答案为：16．（5分）若a是f（x）＝sin x﹣x cos x在x∈（0，2π）的一个零点，则下列结论中正确的有①②③．①；②；③∀x∈（0，π），x﹣a＜cos x﹣cos a；④∃x∈（0，2π），a sin x＜x sin a．【解答】解：∵f（x）＝sin x﹣x cos x，∴f′（x）＝cos x﹣cos x+x sin x＝x sin x，故f（x）在（0，π）上是增函数，在（π，2π）上是减函数；而f（0）＝0，f（π）＝0﹣π•（﹣1）＝π＞0，f（）＝﹣1﹣0＝﹣1＜0；故，故①正确；令F（x）＝，x∈（0，2π），则F′（x）＝，则当x∈（0，a）时，F′（x）＜0，当x∈（a，2π）时，F′（x）＞0，故F（x）≥F（a），即≥＝cos a；故②正确；令F（x）＝x﹣cos x，F′（x）＝1+sin x≥0；故F（x）＝x﹣cos x在R上是增函数，又∵当x∈（0，π），x＜a；∴x﹣cos x＜a﹣cos a，即x﹣a＜cos x﹣cos a；故③正确；当x∈（0，2π）时，a sin x＜x sin a可化为＜；而由以上讨论可知，≥恒成立；故④不成立；故答案为：①②③．四、解答题（共6小题，满分75分）17．（12分）已知函数的最小值为﹣2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和m的值；（Ⅱ）若，，求的值．【解答】解：（Ⅰ）函数，所以，∴…（3分）又由已知函数f（x）的最小正周期为π，所以，∴ω＝2…（6分）（Ⅱ）有（Ⅰ）得，所以，∴，∵，∴，∴…（9分）∴，∴＝…（12分）18．（12分）某旅游景点，为方便游客游玩，设置自行车骑游出租点，收费标准如下：租车时间不超过2小时收费10元，超过2小时的部分按每小时10元收取（不足一小时按一小时计算）．现甲、乙两人独立来该租车点租车骑游，各租车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；2小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，，且两人租车的时间都不超过4小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（1）甲、乙所付费用可以为10元、20元、30元，甲、乙两人所付费用都是10元的概率为，甲、乙两人所付费用都是20元的概率为，甲、乙两人所付费用都是30元的概率为，故甲、乙两人所付费用相等的概率为．（2）随机变量ξ的取值可以为20，30，40，50，60，，，，，．故ξ的分布列为：∴ξ的数学期望是．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC ⊥平面ABCD，∠ACB＝90°，EF∥BC，EF＝BC，AC＝BC＝2，AE＝EC．（Ⅰ）求证：AF＝CF；（Ⅱ）当二面角A﹣EC﹣D的平面角的余弦值为时，求三棱锥A﹣EFC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵∠ACB＝90°，平面AEC平面ABCD，∴BC⊥平面AEC，又EF∥BC，∴EF⊥平面AEC，∴EF⊥AE，EF⊥CE，又AE＝EC，∴AF＝＝＝CF．∴AF＝CF．（Ⅱ）取AC的中点O，∵AE＝EC，∴EO⊥AC，又平面AEC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，如图建立空间直角坐标系，则C（1，0，0），A（﹣1，0，0），D（﹣1，2，0），设E（0，0，m），∴，设平面ECD的法向量为，则，即，得x＝m，y＝m，∴，由（Ⅰ）知EF⊥平面AEC，∴平面AEC的法向量为，∴，∴m＝1，∴＝．20．（13分）已知f（x）的图象过点（1，1），且对任意x∈R，都有f（x+1）＝f （x）+3，数列{a n}满足a1＝﹣1，a n+1＝．（Ⅰ）求f（n）关于n（n∈N*）的表达式和数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝3na n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）由已知得：f（1）＝1，f（n+1）﹣f（n）＝3，∴f（n）＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；则当n为正偶数时，，n为正奇数时，，且n＝1时，a1＝﹣1也适合上式，∴；（Ⅱ）b n＝3na n＝，①当n为正偶数时，＝（1×31+2×32+3×33+…+n×3n）﹣6×[1+3+…+（n﹣1）]＝，其中，则，两式相减得＝，∴，∴当n为正偶数时，；②当n为正奇数时，＝．∴．21．（13分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的左右顶点是双曲线C2：＝1的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若直线l与C1相交于M1，M2两点，与C2相交于Q1，Q2两点，且＝﹣5，求|M1M2|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：a2＝3，又椭圆C1的上顶点为（0，b），双曲线C2的渐近线为：，由点到直线的距离公式有：，所以点M的轨迹C1的方程为：．（Ⅱ）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx+m，代入，消去y并整理得：（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，要与C2相交于两点，则应有：…①，设Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），则有：，．又＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝，又：，所以有：⇒m2＝1﹣9k2…②，将y＝kx+m，代入，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，要有两交点，则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞0⇒3k2+1＞m2…③由①②③有：0＜k2＜．设M1（x3，y3）、M2（x4，y4），则有：，．所以：＝，又m2＝1﹣9k2，代入有：．，令t＝k2，则，令，又，所以f'（t）＞0在内恒成立，故函数f（t）在内单调递增，故f（t）∈（0，]，则有|M1M2|∈（0，]．22．（13分）已知函数f（x）＝xlnx．（其中e＝2.71828为自然对数的底数）（Ⅰ）若方程f（x）﹣a＝0在区间上有2个不同的实根，求实数a 的取值范围；＞；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）﹣，证明：g（x）极小值（Ⅲ）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数f（x）的图象上不同的两点，且函数f （x）的图象在P，Q处切线交点的横坐标为s，直线PQ在y轴上的截距为t，记M＝x1•x2+s•t，请探索M的值是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＝1+lnx＜0，得，令f′（x）＝1+lnx＞0，得，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增，又，，要方程f（x）﹣a＝0在区间上有2个不同的实根，则，即．（Ⅱ）证明：，令，即（*）易知方程（*）的一根为x＝e，结合函数y＝lnx与图象，设另一根为x＝x0，则，∵当x＝1时，，∴0＜x0＜1，且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，e）时，g′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，∴，∵x0∈（0，1），∴．（Ⅲ）设直线PQ：y＝kx+t，∴x1lnx1＝kx1+t ，即，同理，∴，①设两切线交于点（s，r），∴（1+lnx1）（x1﹣s）＝x1lnx1﹣r，即（1+lnx1）s＝x1+r，同理（1+lnx2）s＝x2+r，∴，②由①②得，即s•t+x1•x2＝0，所以M＝0．第21页（共21页）。
2015年常德市高三年级模拟考试
21．解：（Ⅰ）由题意可知： ，……1分
又椭圆 的上顶点为 ，
双曲线 的渐近线为： ，………………………2分
由点到直线的距离公式有： ……………………3分
所以点 的轨迹 的方程为： ．…………………4分
（Ⅱ）易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，代入 ，消去 并整理得：
要与 相交于两点，则应有：
故 的分布列为：
……………………………………………10分
的数学期望是
………………………………………………………12分
19．（Ⅰ）证明：因为 ，平面 平面 ，所以 平面 ,
又 ∥ ，所以 平面 ，所以 ,又 ，所以 ≌ , ；………………………………………………5分
（Ⅱ）取 的中点 ，因为 ，所以 ,又平面 平面 ，
所以 平面 ,……………………………………………………………6分
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ,设
，
设平面 的法向量为 ，
则由 ,即 ，
得 ， …………9分
由（Ⅰ）知 平面 ，所以平面 的法向量为 ,
， ………10分
所以 …………………12分
20．（Ⅰ）由已知 ，
∴ ……2分
∴ 为正偶数时， ，……………………………………………3分
2015年常德市高三年级模拟考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B2．A3．D4．C5．A6．D7．B8．B9．C10．C
二．填空题：本大题共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
（一）选做题（11—13题，考生只从3题中任选2题作答。若3个都作答，则只给11、12题计分）
2016届湖南省常德一中高三第十一次月考数学(理)试题(解析版)
2016届湖南省常德一中高三第十一次月考数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}{}2|16,A x x B m =≥=，若A B A = ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(),4-∞-B ．[)4,+∞C ．[]4,4-D ．(][),44,-∞-+∞ 【答案】D【解析】试题分析： 因为{}(][){}2|16,44,,A x x B m =≥=-∞-⋃+∞=且A B A = ，所以m A ∈，即m 的值范围是(][),44,-∞-+∞ ，故选D.【考点】1、集合的表示；2、集合的基本运算.2．已知i 是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==”是“()22a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：因为1a b ==时一定有()()2212a bi i i +=+=，而()22a bii+=时，可以是1a b ==-，所以“1a b ==”是“()22a bi i +=”的充分不必要条件，故选A.【考点】1、复数的运算；2、充分条件与必要条件.3．执行如图所示的程序框图，若输出K 的值为8，则判断框图可填入的条件是（ ）A ．34s ≤B ．56s ≤ C ．1112s ≤ D ．2524s ≤ 【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k 的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s =++=（此时6k =），因此可填1112s ≤，故选C. 【考点】程序框图及循环结构.4．已知函数()()()sin ,22f x x x ππθθθ⎛⎫⎡⎤=++∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是偶函数，则θ的值是（ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ．3π【答案】B 【解析】试题分析：因为函数()()()()()1sin 2(sin )2f x x x x x θθθθ=++=+++2sin 3x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以当3πθ+2π=，即6πθ=时()f x 是偶函数，故选B.【考点】1、三角函数的奇偶性；2、两角和的正弦公式.5．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为（ ）A ．()()5,05,-+∞B ．()(),55,-∞-+∞C ．()()3,05,-+∞D ．()(),00,3-∞ 【答案】A【解析】试题分析：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()24f x x x =-，所以0x <时()24f x x x =--，由24x x x x>⎧⎨->⎩得5x >，由24x x x x<⎧⎨-->⎩得50x -<<，故选A.【考点】1、函数的奇偶性；2、分段函数的解析式.6．在四边形ABCD 中，()()1,2,4,2,AC BD ==-则该四边形的面积为（ ）A ．．5 D ．10 【答案】C【解析】试题分析：因为()()1,2,4,2A C B D ==-,所以A C B ⋅422=-+⨯=A C B ⊥,则该四边形的面积为12S AC BD =⋅152==,故选C. 【考点】1、平面向量的数量积公式；2、垂直向量及三角形面积公式.7．512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为（ ）A ．252B ．-252C ．160D ．-160【解析】试题分析：因为51012x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以512x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为55510256c ⎛=- ⎝，故选B.【考点】二项式定理及二项展开式的通项. 8．已知,sin 2cos R ααα∈+=tan 2α=（ ） A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 【答案】 C【解析】试题分析：因为sin 2cos αα+=，22sin cos 1αα+=可解得s i n 10cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin 10cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以1tan,t a n 3,3αα=-=222tan 233tan 21tan 134ααα⨯===---或22122tan 33tan 21tan 4113ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭===--⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选C.【考点】1、同角三角函数之间的关系；2、正切函数的二倍角公式.9．设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值1239,,,,x x x x ，则方差D ξ=（ ）A ．2103d B ．2203d C ．210d D ．26d 【答案】B【解析】试题分析：因为等差数列1239,,,,x x x x 的公差是d ，所以111989492x x d x d⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，方差为()()()()()()()2222222143202349d d d d d d d d ⎡⎤-+-+-+-+++++⎣⎦2203d =，故选B.【考点】1、等差数列的通项与求和；2、随机变量的期望与方差.10．设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点()00,P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（ ）A ．4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】试题分析：因为21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩所以可以画出可行域，要使可行域存在必有21m m <-+，要使可行域包含直线112y x =-上的点，只要边界点(),12m m --在直线112y x =-的上方，且点(),m m -在直线112y x =-的下方，即得2111212112m m m m m m ⎧⎪<-+⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩，解得23m <-，故选D.【考点】1、可行域的画法；2、二元一次不等式的几何意义.【方法点睛】本题主要考查可行域、二元一次不等式的几何意义以及含参数约束条件的应用，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求解的关键.11．设圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，则两圆心的距离12C C =（ ） A ．4 B．．8 D．【解析】试题分析：因为圆12C C 、都和两坐标轴相切，且都过点()4,1，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(),a a ，则5a a ==+或5a =-，12(5(5C C ++--，128,C C ==故选C.【考点】 1、直线圆与圆的位置关系；2、圆的几何性质. 【思路点睛】本题主要考查直线圆与圆的位置关系以及圆的几何性质.属于中档题.解答本体的关键是先判断圆所在的象限以及圆心纵横坐标相等这一特点，这样就简化了做题步骤(只设一个参数a )，只需根据直线和圆相切这一性质列出关于a 的方程即可，由于方程不能分解因式，所以在解方程过程中一定要细心.12．若函数()()22ln 0f x x a x a x=+->有唯一零点0x ，且0m x n <<（,m n 为相邻整数），则m n +的值为（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7 【答案】 C【解析】试题分析：因为()()22ln 0f x x a x a x =+->，所以()22'2a f x x x x=--，设()222g x x x=-，若函数()f x 单调递增，()max a g x ≥，若()f x 单调递减，则故()min a g x ≤，而()g x 在()0,+∞上是递增函数可得()(),g x ∈-∞+∞，()max a g x ≥与()min a g x ≤不成立，即()f x 既不是单调递增又不是单调递减，由已知函数()()22ln 0f x x a x a x=+->有唯一零点0x ，故0x 既是极值点又是零点,于是得()200002ln 0f x x a x x =+-=且()02002'20af x x x x =--=，两式消去a 得()33000222ln 0x x x +--=，设()()33222ln h x x x x=+--，可得()()20,30h h ><，因此023x <<，2,3,5m n m n ==+=，故选C.【考点】1、利用导数研究函数的单调性及极值；2、零点定理的应用.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及极值以及零点定理的应用，属于难题. 判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1)直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2)零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0,f a f b < 再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题.本题就是利用方法(2)确定,m n 的值的.13．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________.【答案】12π【解析】试题分析：因为该组合体的正视图、侧视图、俯视图均是圆及边长为2的正方形，所以该组合体是棱长为2的正方体及其外接球，可知外接球直径2R 等于正方体对角线长2412R ππ=，故答案为12π.【考点】1、几何体三视图的应用；2、球的表面积公式.14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_________种（用数字作答）. 【答案】60【解析】试题分析：因为8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，所以只需将三张分给四人，然后将无奖奖券补够一人两张即可，三张分给四人有两种：一是三人每人一张另一个无，共3424A =种分法；二是一人一张，一人两张，另二人无，共223436C A =种分法，共有243660+=种分法，故答案为60.【考点】 排列与组合的分组与分配问题.15．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF ∆的面积是___________.【答案】【解析】试题分析：因为抛物线24y x =的焦点为F 为()1,0，所以经过F的直线方程为)1y x =-，解得3A x =，由抛物线定义知AK AF =3=14+=，又因为A K x 轴，所以60oFAK ∠=，AFK ∆为正三角形，面积是1442⨯⨯=【方法点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、定义 及三角形面积公式,属于难题. 抛物线的定义有关的问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：(1)将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离使问题得解；(2)将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离解决问题.本题是根据A 到焦点的与到准线的距离相等AK AF =3=14+=并判定出AFK ∆为正三角形进而求面积的. 16．已知两个等比数列{}{},n n a b 满足()11122330,1,2,3a a a b a b a b a =>-=-=-=，若数列{}n a 唯一，则a 的值为__________. 【答案】13【解析】试题分析：因为()11122330,1,2,3a a a b a b a b a =>-=-=-=，所以()()()2221231,2,3,213b a b aq b aq aq a aq =+=+=++=++，得24310aqa q a-+-=，因为0a >所以2440a a ∆=+>，而数列{}n a 唯一，所以方程必有一根为零，310a -=，1,3a =，故答案为13. 【考点】1、等比数列的通项与性质；2、一元二次方程根与系数之间的关系.【思路点睛】本题主要考查等比数列的通项与性质以及一元二次方程根与系数之间的关系，属于难题.要解答本题首先理清等比数列{}{},n n a b 之间的关系，设出数列{}n a 的公比q ，将123,,b b b 分别用,a q 表示，再根据数列{}n b 是等比数列列出关于q 的一元二次方程，然后根据数列{}n a 唯一求出a 的值.17．如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率12e =，直线l 的方程为4x =.（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k .问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在求λ的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）2λ=.【解析】试题分析：（1）将点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程，结合离心率12e =解方程组即可确定椭圆的方程；（2）可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()1y k x =-，直线方程和椭圆方程联立，利用两点求斜率公式，结合韦达定理，分别把123,,k k k 用k 表示，观察12k k +与3k 的关系即可.试题解析：（1）由31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得，221914a b +=，① 依题设知2a c =，则223b c =② ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意得可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为()1y k x =-，③代入椭圆 方程223412x y +=并整理，得()()2222438430k x k x k +-+-=.设()()1122,,,A x y B x y ，则有()22121222438,4343k k x x x x k k -+==++， ④ 在方程③中令4x =得，M 的坐标为()4,3k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,B A F 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==--. 所以12121212121233311221111211y y y y k k x x x x x x --⎛⎫+=+=+-+ ⎪------⎝⎭()12121223221x x k x x x x +-=-⨯-++， ⑤④代入⑤得()2212222282343221243814343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++， 又312k k =-，所以1232k k k +=，故存在常数2λ=符合题意. 【考点】1、待定系数法求椭圆标准方程；2、韦达定理及存在性问题.【方法点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.三、解答题18．如图，在ABC ∆中，点D 在BC边上，7,,cos 42CAD AC ADB π∠==∠=.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积. 【答案】（1）45；（2）7. 【解析】试题分析：（1）先由cos 10ADB ∠=-得出sin 10ADB ∠=差的正弦公式将sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠-⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD ACC ADC=∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠= 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以s i 4C Aπ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅=+= ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD ACC ADC=∠∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯⨯=. 【考点】1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位/人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望()E X . 附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有0097.5的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（2）12. 【解析】试题分析：（1）直接根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++算出2K 的观测值，与表格对应数值进行比较即可得出结论；（2）根据古典概型的概率公式算出甲、乙两人被抽到0,1,2人的概率，列出分布列，进而根据求期望的公式求解. 试题解析：（1）由表中数据得2K 的观测值()225022128850 5.556 5.024*********K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ .所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关.（2）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有112612C C = 种；两人都被抽到有221C =种.∴X 可能取值为0,1,2.()()()1512310,1,22828728P X P X P X ======= . X 的分布列为：∴()1512110122828282E X =⨯+⨯+⨯=. 【考点】1、独立性检验及古典概型的概率公式；2、离散型随机变量的均值期望. 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,ABCD AD BC AD CD⊥，且2AD CD BC PA ====，点M 在PD 上.（1）求证：AB PC ⊥；（2）若二面角M AC D --的大小为45°，求BM 与平面PAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）由PA ⊥平面A B C D 得AB PA ⊥，再由00454590o BAC ∠=+=得AB AC ⊥，进而得AB ⊥平面PAC ；（2）建立空间直角坐标系A xyz -，求出平面AMC 的一个法向量为121n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再利用空间两向量所成角的余弦公式求得BM 与平面PAC 所成角的正弦值. 试题解析：（1）取BC 中点E ，连结AE ，则,//A D E C A D E C=，所以四边形AECD为平行四边形，故AE BC ⊥，又AE BE EC ===所以045ABC ACB ∠=∠=，故AB AC ⊥，又,AB PA AC PA A ⊥⋂=，所以AB ⊥平面PAC ， 故有AB PC ⊥ .（2）如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()()()()0,0,0,,,0,0,2A B C P -，设()(),201PM PD λλλ==-≤≤，易得(),22M λ-设平面AMC 的一个法向量为()1,,n x y z =，则()110220n AC n AM y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令y，得21x z λλ==-，即121n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.又平面ACD 的一个法向量为()20,0,1n =，1201212cos cos 45n n n n n n ⋅⋅===⋅，解得12λ=，即()()02,122,32,1M B M =-，而()AB =-是平面PAC 的一个法向量，设直线BM 平面PAC 所成的角为θ，则sin cos ,9BM AB θ===故直线BM 与平面PAC. 【考点】1、线面垂直的判定定理；2、空间两向量所成角的余弦公式. 21．设函数()()ln ,xf x x axg x e ax =-=-，其中a 为实数.（1）若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）a e >；（2）当1a e =或0a <时，()f x 有1个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点.【解析】试题分析：（1） 由()f x 在()1,+∞上是单调减函数可得1a ≥，讨论1a e ≤≤，a e >时()x g x e ax =-在()1,+∞上是否有最小值即可；（2）由()g x 在()1,-+∞上是单调增函数得1a e ≤，讨论10a e<≤，0a =，0a <，分别利用导数研究其单调性及最值，从而得到不同范围内的零点个数. 试题解析：（1）()10f x a x '=-≤在()1,+∞上恒成立，则1a x≥，()1,x ∈+∞. 故：()1,xa g x e a '≥=-，若1a e ≤≤，则()0xg x e a '=-≥在()1,+∞上恒成立，此时，()xg x e ax =-在()1,+∞上是单调增函数，无最小值，不合；若a e >，则()xg x ea x=-在()1,ln a 上是单调减函数，在()1,na +∞上是单调增函数，()()min ln g x g a =满足，故a 的取值范围为：a e >.（2）()0xg x e a '=-≥在()1,-+∞上恒成立，则xa e ≤，故：1a e ≤.()()110axf x a x x x -'=-=>. ①若10a e <≤，令()0f x '>得增区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭； 令()0f x '<得减区间为1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →-∞； 当1x a=时，1ln 10f a a ⎛⎫=--≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1a e =时取等号，故：当1a e =时，()f x 有1个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点. ② 若0a =，则()ln f x x =-，易得()f x 有1个零点. ③若0a <，则()10f x a x'=->在()0,+∞上恒成立， 即：()ln f x x ax =-在()0,+∞上是单调增函数，当0x →时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，此时，()f x 有1个零点. 综上所述：当1a e =或0a <时，()f x 有1个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零点.【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值、最值及零点. 【方法点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值及零点 ，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间；令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值；⑤已知单调性求参数范围时，可转化为不等式恒成立问题求解.本题（1）、（2）解题过程都是利用了⑤.22．如图，直线AB 经过圆O 上的点C ，并且,OA OB CA CB ==，圆O 交直线OB 于点E D 、，其中D 在线段OB 上，连结,EC CD .（1）证明:直线AB 是圆O 的切线；（2）若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】试题分析：（1）连结OC 根据等腰三角形性质知OC AB ⊥，进而得AB 是圆O 的切线；（2）作 DH OC ⊥与H ，如图，先根据圆周角定理得到90o DCE ∠=，利用1tan 2CD CED CE ∠==和勾股定理计算出CD =,再证明CDH E ∠=∠，接着在Rt CDH ∆中求出65CH =，则95O H O C C H =-=，然后根据平行线分线段成比例定理计算出5OB =，从而得到5OA =.试题解析：（1）证明：连结OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥.又OC 是圆O 的半径，所以AB 是圆O 的切线 .（2）作 DH OC ⊥与 H ，如图，先根据圆周角定理得到90oDCE ∠=，利用1tan 2CD CED CE ∠==和勾股定理计算出CD =,再证明CDH E ∠=∠，接着在Rt CDH ∆中求出65CH =，则95O H O C C H =-=，然后根据平行线分线段成比例定理计算出5OB =，从而得到5OA =.【考点】 1、圆周角定理切线的性质；2、勾股定理及平行线分线段成比例定理. 23． 在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，射线:3OM πθ=与圆C 的交点为O P 、，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.【答案】（1） 2cos ρθ=；（2）2PQ =.【解析】试题分析：（1）先将参数方程化为直角坐标方程，然后根据极坐标与直角坐标互化公式得圆C 的极坐标方程；（2）设()11,P ρθ，()22,Q ρθ 解出1ρ2ρ的值，由极坐标的几何意义知，212PQ OQ OP ρρ=-=-. 试题解析：（1）因为圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩所以普通方程为()2211x y -+=，由极坐标与直角坐标互化公式得圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,P ρθ，则由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩解得 111,3πρθ==.设()22,Q ρθ，则由()2222s i n 3c o s 333ρθθπθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得223,3πρθ==，所以212PQ OQ OP ρρ=-=-.【考点】1、极坐标方程与直角坐标的方程互化；2、参数方程与普通方程的互化. 24． 已知函数()3f x x =-.（1）若不等式()()1f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （2）若1,3a b <<，且0a ≠，判断()f ab a与b f a ⎛⎫⎪⎝⎭的大小 ，并说明理由. 【答案】（1）(],1-∞；（2）()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）只需令a 不大于()()1f x f x -+的最小值即可；（2）分析法只需证明()()2233ab b a ->-，只需()()22330ab b a --->即可.试题解析：（1）()()1f x f x -+=()()43431x x x x -+-≥---=，所以实数a 的取值范围是(],1-∞. （2）()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，证明：要证()f ab b f a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，只需证33ab b a ->-， 即证()()2233ab b a ->-，又()()()()22222222339919ab b a a b a b a b ---=--+=--因为1,3a b <<，所以()()22330ab b a --->，所以原不等式成立.【考点】1、基本不等式求最值；2、分析法、比较法证明不等式.。
湖南省常德市第一中学高三数学第十次月考试题 理(扫描版)
湖南省常德市第一中学2015届高三数学第十次月考试题理（扫描版）常德市一中2015届高三第十次月考参考答案数学（理）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）11.1212. 13.（二）必做题14.172515.121(,)2e-16. 84三．解答题（本题共6个小题，共75分）17.解：（1）由正弦定理得：BACCA sin232cossin2cossin22=+即BACCA sin232cos1sin2cos1sin=+++………2分∴BCACACA sin3sincoscossinsinsin=+++即BCACA sin3)sin(sinsin=+++………4分∵BCA sin)sin(=+∴BCA sin2sinsin=+即bca2=+∴cba、、成等差数列。
………6分（2）∵3443sin21===acBacS∴16=ac………8分又accaaccaBaccab3)(cos2222222-+=-+=-+=………10分由（1）得：bca2=+∴48422-=bb∴162=b即4=b………12分18.解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P ………4分依题意，X 的可能取值为0,1,2．左手所取的两球颜色相同的概率为18529242322=++C C C C ………6分 右手所取的两球颜色相同的概率为4129232323=++C C C C ………7分 24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P72541185)2(=⨯==X P ………10分所以Ｘ的分布列为：36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E ………12分19. （1）证明：11AE A B ⊥Q ，11A B ∥ABAB AE ∴⊥ 又1AB AA ⊥Q 1AE AA A ⋂=AB ∴⊥面11A ACC 又AC ⊂Q 面11A ACCAB AC ∴⊥ ………2分以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz -则()0,0,0A ,10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,11,,022F ⎛⎫⎪⎝⎭,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)B设(),,D x y z ，111A D A B λ=u u u u v u u u u v 且[0,1]λ∈,即：()(),,11,0,0x y z λ-=(),0,1D λ∴ 11,,122DF λ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭u u u v10,1,2AE ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭u u u v ………5分∴11022DF AE =-=u u u v u u u v g DF AE ∴⊥ ………6分（2）假设存在,设面DEF 的法向量为(),,n x y z =v，则 00n FE n DF ⎧=⎨=⎩v u u u v g v u u u v g 111,,222FE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r Q 11,,122DF λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u v 111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩ 即： ()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩ 令()21z λ=-()()3,12,21n λλ∴=+-v. ………8分由题可知面ABC 的法向量()0,0,1m =u v………9分Q 平面DEF 与平面ABC所成锐二面的余弦值为14()cos ,m n m n m n∴==u v v g u v v u v v=12λ∴=或74λ= （舍） ………11分∴ 当点D 为11A B 中点时，满足要求. ………12分20、(1)∵an ，an+1是关于x 的方程x2－2n x+ bn=0 (n ∈N*)的两根，∴nn n+1n n n+1a +a =2b =a a ⎧⎨⋅⎩ ……2分∵n+1n n+1n n+1n n n n nn n n 111a 22a 2(a 2)3331111a 2a 2a 2333-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯，故数列n n 1{a 2}3-⨯是首项为121a 33-=，公比为－1的等比数列. ……4分(2)解：由(1)得n n n 11a 2(1)33-⨯=⨯-，即n n n 1a [2(1)]3=--， ∴n n n+1n+1n n n+11b =a a [2(1)][2(1)]9⋅=--⨯--2n+1n 1[2(2)1]9=--- ……6分 ∴Sn=a1+ a2+ a3+…+ an=13n 2n+11(1)1[22]32--=--， ……8分要使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立，即n 2n+1n2n+11(1)1[2(2)1][22]0(*)932λ-------->对任意n ∈N*都成立.①当n 为正奇数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][21]093λ+--->， 即n+1n n+11λ(21)(21)(21)093-+-->，∵2n+1－1>0，∴n 1λ<(21)3+对任意正奇数n 都成立.当且仅当n=1时，n1(21)3+有最小值1，∴λ<1. ……10分②当n 为正偶数时，由(*)式得2n+1n 2n+11[221][22]093λ---->， 即n+1n n 12λ(21)(21)(21)093+--->，∵2n －1>0，∴n+11λ<(21)6+对任意正偶数n 都成立.当且仅当n=2时，n+11(21)6+有最小值1.5，∴λ<1.5. ……12分综上所述，存在常数λ，使得bn －λSn>0对任意n ∈N*都成立，λ的取值范围是(－∞，1). ……13分21.解：（1）(,0),(0,)F c A b ，由题设可知0FA FP ⋅=u u u r u u u r，得 224033b c c -+=① ………1分又点P 在椭圆C 上，2222161,299b a a b ∴+=⇒=②2222b c a +==③ ………3分①③联立解得，21,1c b == ………4分故所求椭圆的方程为2212x y += ………5分（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，消去y ，整理得222(21)4220k x kmx m +++-= （﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2210k +>，所以0,∆=得2221m k =+ ………8分假设存在1122(,0),(,0)M M λλ满足题设，则由221212121222()21()()11k km k k m k m d d k k ++++++⋅==++λλλλλλ212122(2)()111k km k ++++==+λλλλ对任意的实数k 恒成立,所以， 1212210+=⎧⎨+=⎩λλλλ 解得，11221111==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩λλλλ或当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点12(1,0),(1,0)M M -，使它们到直线l 的距离之积等于1. ………13分22、解：（1）根据)(x f 定义域后，求导得到)23()3)(1()(2/+-+=x x x x x f ，根据导数和0的关系得到在),3(),1,23(+∞--是函数)(x f 的增区间；在)3,0(),0,1(-是函数)(x f 减区间………………………（3分）令11)1ln()(22--+=x x x h 求导得])1(111[2)(222/-++=x x x x h里面有一个零点0=x 和两个断点1±=x ，所以可以得到函数在区间),1(),1,0(+∞单调增；在区间)0,1(),1,(---∞单调减。
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常德市一中2015届高三第十一次月考试题数学（理）试卷一、选择题(5×10＝50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．B2．C3. B4. D5． C6. A7． A8.B9. D10. B二．填空题（本题共5个小题，每小题各5分，共25分）（一）选做题（请考生在11、12、13三题中任选两题作答）11．（几何证明选讲选做题）如图1-3所示，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，则EF ＝________．图1-33 由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF ＝∠ACB ，又∠A ＝∠A ，所以△AEF ∽△ACB ，所以AE AC ＝EF BC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3. 12．（坐标系与参数方程选做题）已知直线1()42x t t R y t =+⎧∈⎨=-⎩与圆2c o s 2([0,2]2s i n x y θθπθ=+⎧∈⎨=⎩相交于AB ，则以AB 为直径的圆的面积为 。
16π513．（不等式选做题）实数a i （i =1,2,3,4,5,6）满足（a 2－a 1）2+（a 3－a 2）2+（a 4－a 3）2+（a 5－a 4）2+（a 6－a 5）2=1则（a 5+a 6）－（a 1+a 4）的最大值为()()()()()[]()14111256245234223212++++-+-+-+-+-a a a a a a a a a a ()()()()()2213243546511121a a a a a a a a a a ⎡-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯⎤⎣⎦≥()()[]24156a a a a +-+= ()()6514a a a a ∴+-+≤. （二）必做题14己知0(sin cos )xa t t dt =+⎰，则（1x ax -）6的展开式中的常数项为 25- 15一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有____30______种。
【解析】若爷爷坐在左侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有2种不同的坐法，其余由633=A 种不同坐法，由乘法计数原理，得共有12621=⨯⨯种不同坐法；若爷爷坐在右侧，则有1种不同的坐法，小孙女只有3种不同的坐法，其余由633=A 种不同坐法，由乘法计数原理，得共有18631=⨯⨯种不同坐法；由分类加法计数原理，共有301812=+种不同坐法. 16对于函数()f x ，若在定义域内存在．．实数x ，满足()()f x f x -=-，称()f x 为“局部奇函数”，若()12423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是()f x 为“局部奇函数”，∴存在实数x 满足()()f x f x -=-，即24223x x m m ---+-24223x x m m =-+-+，令2(0)x t t =>，则222112()260t m t m t t+-++-=， 2211()2()280t m t m t t+-++-=在),0(+∞∈t 上有解， 再令1(2)h t h t=+≥，则22()2280g h h mh m =-+-=在),2[+∞∈h 上有解．函数关于h 的对称轴为m h =，①当2m ≥时，()()g h g m ≥，222()2280g m m m m ∴=-+-≤，解得m 2≤≤；②当2m <时，则2(2)44280g m m =-+-≤，即2220m m --≤，解得12m -<．综合①②，可知1m ≤三、解答题(本大题6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)17. (本小题满分12分) 己知函数2()2sin coscos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值．（I ）求ϕ的值。
（II ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，已知a=l ，()2f A =，求角C ．=x x x x sin sin cos cos sin sin -++ϕϕ=)sin(ϕ+x ………………………………3分 因为)(x f 在πx =处取得最小值，所以1)sin(-=+ϕx ，故1s i n =ϕ，又0πϕ<<18.某次运动会在我市举行，为了搞好接待工作，组委会招募了16名男志愿者和14名女志愿者，调查发现，男、女志愿者中分别有10人和6人喜爱运动，其余不喜爱。
（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）从女志愿者中抽取2人参加接待工作，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和均值。
参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++ 解：（1）……2分（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：2230(10866)1.15752.706(106)(68)(106)(68)K⨯⨯-⨯=≈<++++因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关6分（3）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为：0，1，2，其概率分别为：2821428(0)91CPCξ===116821448(1)91C CPCξ==2621415(2)91CPCξ=== (8)分喜爱运动的人数为ξ的分布列为：……10分所以喜爱运动的人数ξ的值为：28481578012.91919191Eξ=⨯+⨯+⨯=…12分19. (本小题满分12分)数列{}n a首项11a=，前n项和nS与na之间满足22(2)21nnnSa nS=≥-.⑴求数列{}n a的通项公式；⑵设存在正数k，使()()()12111nS S S+++≥+∈∀Nn都成立，求k的最大值. 【解析】⑴因为2n≥时，211221nn n n n nnSa S S S SS--=-∴-=-得112n n n nS S S S---=⋅由题意0 (2)nS n≠≥()1112 2n nnS S-∴-=≥又111S a==1nS⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是以111S=为首项，2为公差的等差数列.11(1)221nn nS=+-⨯=-()121nS n Nn*∴=∈-…………………3分2n∴≥时，1112212(1)1(21)(23)n n na S Sn n n n-=-=-=------又111a S == 1 (1)2 (2)(21)(23)n n a n n n =⎧⎪∴=⎨-≥⎪--⎩（6分） ⑵ 设111()S S S F n +++=则(1)1()F n F n +===> ()F n ∴在n N *∈上递增 故使()F n k ≥恒成立，只需min ()k F n ≤.又min ()(1)F n F ==又0k > 0k ∴<≤，所以，k （12分） 20. (本小题满分13分)在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =. 以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ； （2）求直线CD 与平面ACM 所成的角的正弦值；（3）求点N 到平面ACM 的距离.解：方法一：（1）依题设知，AC 是所作球面的直径，则AM ⊥MC 。
又因为P A ⊥平面ABCD ，则PA ⊥CD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面ＰＡＤ，则CD ⊥AM ，所以A M ⊥平面PCD ，所以平面ABM ⊥平面PCD 。
…………………………4分（2）由（1）知，AM PD ⊥，又PA AD =，则M 是PD 的中点可得AM=MC=则12ACM S AM MC ∆⋅=设D 到平面ACM 的距离为h ，由D ACM M ACDV V --=即8=，可求得h =设所求角为θ，则sin 3h CD θ==，…………………………8分 （3）可求得PC=6。
因为AN ⊥NC ，由PN PA PA PC =，得PN 83=。
所以:5:9NC PC =。
DB故N 点到平面ACM 的距离等于P 点到平面ACM 距离的59。
又因为M 是PD 的中点，则P 、D 到平面ACM 的距离相等，由（2）可知所求距离为59h =。
…………………………13分方法二：（1）同方法一；（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(0,0,4)P ，(2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ，(0,2,2)M ；设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z = ，由,n AC n AM ⊥⊥ 可得：240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1z =，则(2,1,1)n =- 。
设所求角为α，则sin CD n CD nα⋅== （3）由条件可得，AN NC ⊥.在Rt PAC ∆中，2P A P N P C =⋅,所以83PN =,则103NC PC PN =-=, 59NC PC =，所以所求距离等于点P 到平面C A M 距离的59，设点P 到平面C A M 距离为h则3AP n h n⋅==，所以所求距离为5h 9=。
21. (本小题满分13分)设椭圆:C 12222=+by a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q += ．（Ⅰ）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线033=--y x 相切，求椭圆C 的方程； （Ⅱ）过2F 的直线l 与（Ⅰ）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则MN F 1∆的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由． （Ⅰ）由题),0(b A ，1F 为2QF 的中点．设)0,(1c F -，)0,(2c F ，则)0,3(c Q -，),3(b c AQ --=，),(2b c AF -= 由题2AF ⊥，即03222=+-=⋅b c AF AQ ，0)(3222=-+-∴c a c 即224c a = …………………………2分由题2QAF Rt ∆外接圆圆心为斜边2QF 的中点)0,(1c F -，半径c r 2=， 由题2QAF Rt ∆外接圆与直线033=--y x 相切 ∴r d =，即c c 22|3|=--，即c c 43=+ …………………………4分1=∴c ，22==c a ，3=b 故所求的椭圆C 的方程为13422=+y x …………………………6分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，由题21,y y 异号．设MN F 1∆的内切圆的半径为R ，则MN F 1∆的周长为84=a ， R R N F M F MN S MN F 4|)||||(|21111=++=∆，因此要使MN F 1∆内切圆的面积最大，只需R 最大，此时MN F S 1∆也最大．||||||212121211y y y y F F S MN F -=-⋅=∆，…………………………8分由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1+=my x ，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=134122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， 由韦达定理得436221+-=+m my y ，439221+-=m y y ，（R m ∈⇒>∆0） 431124)(||2221221211++=-+=-=∆m m y y y y y y S MNF …………………………10分 令12+=m t ，则1≥t tt t t S MN F 312131221+=+=∆)1(≥t ， 当1=t 时R S MN F 41=∆有最大值3．此时，0=m ，43max =R 故MN F 1∆的内切圆的面积的最大值为169π，此时直线l 的方程为1=x ……………………13分22.（本题满分13分）设0a >,函数21()f x x a=+. （Ⅰ）证明:存在唯一实数01(0,)x a∈，使00()f x x =； （Ⅱ）定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈.（i ）求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<； (ii ) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤= ， 证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅. （Ⅰ）证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=.令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a=>, ∴1(0)()0h h a⋅<. ………………………………… 2分 又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数. ……………………… 3分故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x =. …………… 4分 ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立；… 5分设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >,故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>>∴2021()()()k k f x f x f x +<<, ……………………………… 7分 即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立.故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<<. ………………… 8分(2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= …………… 9分 222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭………………… 10分当2k ≥时,102k x <≤, ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14k⎛⎫< ⎪⎝⎭…………………… 12分对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-1121m k m k m k m k k kx x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- …… 13分。