第9章 真中的静电场

第9章 真空中的静电场
9.6 将电荷线密度为λ的无线长均匀带电线分别弯成图中()()a b 两种形状，设圆形弧半径为R ，求两图中
O 点的电场强度。

解： （1）对图()a 根据对称性可知，
A ∞和
B ∞在O 点产生的场强相互抵消。

对圆弧AB 取线元dl ，其电量为dq dl λ=
对应的场强为2
01
4dq
dE R πε=
sin x dE dE θ= cos y dE dE θ= 且dl Rd θ=
则201
sin 4x x dq E dE R θπε==⎰⎰22
001sin 4Rd R π
λθθπε=⎰04R
λπε= 201
cos 4y y dq E dE R θπε==⎰⎰22001cos 4Rd R
π
λθθπε=⎰04R λπε=
故E =
04R
πε=
方向：与x 轴、y 轴的夹角均为0
45
（2）对图()b 根据对称性可知，
A ∞和
B ∞在O 点产生的场强在y 轴方向上相互抵消。

在x 轴方向上相互叠加，且方向指向x 轴负方向 Ax E 04R
λ
πε=
方向指向x 轴负方向
Bx E 04R
λ
πε= 方向指向x 轴负方向
对圆弧AB ，根据对称性可知，在y 轴方向上的分量相互抵消。

取线元dl ，其电量为dq dl λ= sin x dE dE θ= 则 »
201
sin 4x AB
dq E dE R θπε==⎰⎰2
001sin 4Rd R πλθθπε=⎰=02R
λ
πε=方向指向x 轴正方向 故在O 点产生的总场强 »Ax Bx AB
E E E E =--
9.7 求半径为R 、带电量为Q 的均匀带电球体内外的场强分布。

解： 高斯定理：
S
q
E dS ε⋅=
∑⎰v v Ñ
A ∞
B
∞ ∞
()b
R r < 332
13
300413 443r r E r Q Q R
R πππεε⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
3014R r Q E πε=⇒ 方向沿半径向外 R r > 220
1
4E r Q πε⋅=
2
021
4r Q
E πε=
⇒ 方向沿半径向外
9.9半径分别为1R 和2R （21R R >）的一对无限长共轴圆柱面上均匀带电，沿轴线单位长度的电荷分别为1λ、
2λ。

（１）求空间各区域的场强分布。

（２）若12λλ=-，情况如何？
解： （１） 选取高为h ，同轴封闭圆柱面Ｓ，E r
呈轴对对称分布。

高斯定理：0
S
q
E dS ε⋅=
∑⎰v v Ñ 2110
4q r R E r πε<=
∑=０ 1
0E
⇒=
2
1
212
q
rh h R r R E πλε
ε
==
∑<<0
1
2 2r E λπε⇒=
0 方向沿半径向外
()123
1
22
q
rh h r R E πλλε
ε
==
+∑>0
123 2r
E λλπε
+⇒=
方向沿半径向外
（２） 若12λλ=- 2110
4q r R E r πε<=
∑=０ 1
0E
⇒=
2
1
212
q
rh h R r R E πλε
ε
==
∑<<0
1
2 2r
E λπε
⇒=
方向沿半径向外
()123
1
22
q rh h r R E
πλλε
ε
=
=
+∑>0
12
30 2r
E λλπε+⇒=
=0
9.13 半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为σ。

利用例9.13的结果，计算轴线上的电势分布，并由电势求轴线上的电场分布。

解： 圆环轴线上的电势分布：()
12
22
4Q
U R
x
πε=
+
对应本题：()
12
22
24rdr dU r
x
πσ
πε=
+()
12
22
2r
dr r
x
σε=
+
()
1
2
22
2R
o
r
U dU dr r
x
σε==+⎰
⎰
)
2x σ
ε
=
012U E x
σε⎫∂=-=-⎪∂⎭
012σε⎛=
⎝。