钉子板上的多边形面积【精选】
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钉子板上的多边形教学课件
s=6
●
n●=9
s=5.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
多边形的面积/平方厘米
（S）
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
新苏教版五年级上册数学全册课件下载页面：
绿色圃中小学教育网免费提供
当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
当 a=m时：s=n÷2+m-1
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
绿色1厘圃米中小学教育网
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
●
●
●
●
绿色圃小学教育网 绿色圃中学资源网
● ●
n=10 s=6
● ●
n=9 s=5.5
●
● ●
n=9 s=6.5
●
n●=9
s=5.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
多边形的面积/平方厘米
（S）
2
2
10
6
9
5.5
当 a=2时： s=n÷2+1
● n●=9 s=●6.5
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚 多边形的面积/平方厘米
（n）
（S）
3
9
6.5
当a=3时：s=n÷2+2
●● ●n=8●
s=7
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形的面积/平方厘米
（S）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
4
7
8
当a=4时：s=n÷2+3
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当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
……
当 a=m时：s=n÷2+m-1
3
6
3.5
7
4
8
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
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1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
●
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n=10 s=6
● ●
n=9 s=5.5
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n=9 s=6.5
五年级上册数学教案-2 钉子板上多边形的面积丨苏教版
五年级上册数学教案-2 钉子板上多边形的面积丨苏教版一、教材分析本节课为五年级上册数学教材的第三章第一节，主要内容是让学生了解多边形的面积计算方法，拓展学生的数学思维和几何认识。
本章节对应的教材为苏教版。
二、教学目标知识目标：1.了解多边形的定义及其种类；2.了解求多边形面积的方法；3.掌握用“钉子板法”求多边形面积的方法。
能力目标：1.培养学生的观察能力，提高分析问题和解决问题的能力；2.培养学生逻辑思维能力，提高计算能力。
情感目标：1.培养学生的好奇心，激发学生学习数学的兴趣；2.培养学生积极探究的精神，提高学生主动学习的能力。
三、教学重点学生要掌握“钉子板法”求多边形面积的方法。
四、教学难点如何用“钉子板法”求多边形面积，需要学生进行抽象化思考。
五、教学方法说明法、归纳法、实验法和综合法。
六、教学过程1. 导入环节（5分钟）本课主要讲解多边形的面积计算方法，首先老师要让学生回忆多边形的定义及其种类。
2. 观察与实验环节（10分钟）让学生观察多边形的图形，学会辨别多边形的种类，并了解不同种类多边形的面积计算方法。
3. 分组探究环节（20分钟）老师将学生分成小组，每个小组选择一种多边形，利用“钉子板法”代入公式求出该多边形的面积。
4. 实践运用环节（15分钟）让学生在班级内进行展示，以口头描述和图形展示的方式，让其他同学计算出展示图形的面积。
5. 辅助材料环节（5分钟）老师提供计算公式和钉子板制作方法辅助学生理解和计算。
6. 总结归纳环节（5分钟）总结多边形面积的计算方法及其思路，并巩固学生掌握的知识点。
七、教学反思在整个教学过程中，学生表现非常积极，主动参与探究，形成了良好的合作氛围。
在学生们的心中植根下对数学的认识。
针对学生在做题时出现的问题，老师及时解决了，使学生不再茫然。
同时，老师在教学过程中也感到收获颇丰，能够更好地了解学生，为之后的教学工作提供方便。
八、教学反馈1.学生们在课堂中表现积极，主动学习。
五年级上册数学课件-2.10 钉子板上的多边形
钉子板上的多边形
︷ 1厘米 ｝1厘米
点子图
1
16
17
1 87
2
2
6
2
6
3
2
43 4 5 3 4 5 3 4 5
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形的S面积 == 多边形边n上的钉子数 ÷ 2
1 10
19
1 9 18
⑤
⑥
⑦
⑧
S=66 S=55
S= 5.5 S= 6.5 S= 7 S= 4.5 S= 4.5 S= 4
1、小组合作要求： ①图内部有2枚钉子，小组内选择图形。 ②算出多边形面积，数出边上钉子数。填在表格里。
2、讨论：如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与 它边上的钉子数有什么关系？ （提示）可先算 边上的钉子 数÷2，再跟面积比较
。
1 10
19
1 8
1 10
③
④
2
10
6
2
9
5.5
③
2
8
5
④
2
学习进步！
当a=0时：s=n÷2-1 当当aa==21时 时： ：ss==nn÷ ÷22+1 当a=3时：s=n÷2+2 当a=4时：s=n÷2+3
…… ：s=n÷2+（a-1）
多边形的面积=边上钉子数÷2+（内部钉子数－1）
史
皮克定理
在点子图上的多边形面积公式： S=n ÷2+（a-1）
其中s表示多边形的面积，n表示多
+2ຫໍສະໝຸດ ——③用含字母的式子表示发现：
当a= —3—时，s= —n——÷——2+—2——
︷ 1厘米 ｝1厘米
点子图
1
16
17
1 87
2
2
6
2
6
3
2
43 4 5 3 4 5 3 4 5
2
4
3
6
3.5
7
4
8
多边形的S面积 == 多边形边n上的钉子数 ÷ 2
1 10
19
1 9 18
⑤
⑥
⑦
⑧
S=66 S=55
S= 5.5 S= 6.5 S= 7 S= 4.5 S= 4.5 S= 4
1、小组合作要求： ①图内部有2枚钉子，小组内选择图形。 ②算出多边形面积，数出边上钉子数。填在表格里。
2、讨论：如果多边形内有2枚钉子，多边形的面积与 它边上的钉子数有什么关系？ （提示）可先算 边上的钉子 数÷2，再跟面积比较
。
1 10
19
1 8
1 10
③
④
2
10
6
2
9
5.5
③
2
8
5
④
2
学习进步！
当a=0时：s=n÷2-1 当当aa==21时 时： ：ss==nn÷ ÷22+1 当a=3时：s=n÷2+2 当a=4时：s=n÷2+3
…… ：s=n÷2+（a-1）
多边形的面积=边上钉子数÷2+（内部钉子数－1）
史
皮克定理
在点子图上的多边形面积公式： S=n ÷2+（a-1）
其中s表示多边形的面积，n表示多
+2ຫໍສະໝຸດ ——③用含字母的式子表示发现：
当a= —3—时，s= —n——÷——2+—2——
钉子板上的多边形(正稿)
5
精选课件
6
1cm 1cm
S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1 S=n÷2+a-1
6÷2+1-1
S=3cm2
9÷2+2-1 9÷2+3-1
S=5.5cm2 S=6.5cm2
精选课件
7
精选课件
8
精选课件
9
闵嗣鹤 著
第1章 什么是格点 第2章 我们的中心问题 第3章 面积的近似计算 第4章 格点多边形的面积公式 第5章 格点多边形面积公式的证明 第6章 另外一个问题的提出 第7章 重叠原则 第8章 有理数和无理数 第9章 用有理数逼近无理数 第10章 小数部分{ka}的分布 第11章 另一种重叠原则 第12章 数的几何中的基本定理
4 6 7 8
精选课件
4
1cm 1cm
边上钉子数：6 边上钉子数：9 n：8
面积是：3 面积是：4.5 S：5
精选课件
5
请你画一个内部有2枚钉子的多边形，并数出边上的 钉子数，算出它的面积。1cm1cm Nhomakorabea①
②
图形编号
① ② ③
多边形边上的钉 多边形的面积
子数（枚）n （平方厘米）s
10
6
9
5.5
8
精选课件
10
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苏教版 五年级上册
精选课件
1
1cm 1cm
3cm2
5.5cm2 6.5cm2
精选课件
2
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积 （平方厘米）
多边形边上的钉子 数（枚）
苏教版-钉子板上的多边形-PPT
苏教版 钉子板上的多边形
2
1厘米 1
厘 米
3
1厘米
1
厘 米
4
1厘米 1
1
厘 米
17
2
6
3
2
4
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 图形编号
2
4
3.5
要求： 1.画两个内部有1枚钉子的多边形。 2.分别标上图和图。 3.在表1中填出多边形 的面积 和边上的钉子数。
……
11
当 a=m时：s= n÷2+m-1
12
皮克定理
该定理被誉为有时以来 “最重要的100个数学 定理”之一。
乔治·皮克（奥地利）
13
6
1厘米
1
厘 米
（S） （n） 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
2
4
3.5
7
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
7
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
8
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
●
●
● ●
n=10
s=6
9
●
n=10
●
s=6
你再画两个试试？
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
多边形的面积/平方厘米
（S）
2
10
6
当 a=2时：s=n÷2+1
10
当a=0 时：s=n÷2-1 当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
2
1厘米 1
厘 米
3
1厘米
1
厘 米
4
1厘米 1
1
厘 米
17
2
6
3
2
4
3 45
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚 图形编号
2
4
3.5
要求： 1.画两个内部有1枚钉子的多边形。 2.分别标上图和图。 3.在表1中填出多边形 的面积 和边上的钉子数。
……
11
当 a=m时：s= n÷2+m-1
12
皮克定理
该定理被誉为有时以来 “最重要的100个数学 定理”之一。
乔治·皮克（奥地利）
13
6
1厘米
1
厘 米
（S） （n） 多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
图形编号
2
4
3.5
7
多边形s的面积 = 多边形边n上的钉子数÷2
s=n÷2
7
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
8
1厘米
1
厘 米
当多边当形内的a=钉1子s=数时n是÷：1时2：
●
●
● ●
n=10
s=6
9
●
n=10
●
s=6
你再画两个试试？
图形编号
多边形内部的钉子数/枚
（a）
多边形边上的钉子数/枚
（n）
多边形的面积/平方厘米
（S）
2
10
6
当 a=2时：s=n÷2+1
10
当a=0 时：s=n÷2-1 当a=1 时：s=n÷2 当a=2 时：s=n÷2+1 当a=3 时：s=n÷2+2 当a=4 时：s=n÷2+3
钉子板上的多边形(wo)
当多边形内钉子数是1枚时，S = n÷2
当多边形内钉子数是2枚时，S= n÷2 +1
当多边形内钉子数是3枚时，S= n÷2 ƻ3
?
……
研究单二 “钉子板上的多边形”
画一画 填一填 想一想 议一议
多边形内钉子数/枚 多边形边上钉子数/枚 (n) 多边形的面积/平方厘米 (S)
③
④
图形编号
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
① ② ③ ④
S 2
n
4 6 8 7
3 4 3.5
S= n÷ 2
①
②
③
④ 当多边形内钉子数是1枚时，S = n÷2
n=7 n=4 S=2 3 ? S=4.5
n=6 S=4
当多边形内钉子数是2枚时，S= n÷2+1
“钉子板上的多边形” 研究单一
钉子板上的多边形
我们已经学过哪些多边形的面积公式？
图形 长方形 正方形 平行四边形 三角形 梯形 面积 长×宽 字母表示 s=a× b
边长×边长 S=a× a S=a× h 底×高 S=a× h÷2 底×高÷2 (上底+下底)×高÷2 S=(a+b)×h÷2
乔治· 皮克（奥地利） 皮克定理
①
②
20÷2+(2-1)=11(平方厘米）
多边形内钉子数/枚
多边形边上钉子数/枚 (n)
多边形的面积/平方厘米 (S)
研 究 小 贴 士
我发现：当多边形内钉子数=
时，S=
成立。
画一画：同桌分工,一个画形内是1枚钉子的多边形，
另一个画形内是2枚钉子的多边形。 填一填：根据画好的多边形选择合适的方法算出面积，并数出边上的钉子数。
4.钉子板上的多边形
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
图形编号
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
பைடு நூலகம்10
9
多边形的面积/平方厘米 （S）
6
5.5
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
10 9
X
X
多边形的面积/平方厘米 （S）
6 5.5
X
X
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
1厘米
1
厘 米
图形编号
多边形的面积/平方厘米 多边形边上的钉子数/枚
（S）
（n）
2
4
3
6
3.5
7
4
8
1厘米
1
厘 米
n=10 n=9
n=9
n=8
s=6
s=5.5
s=6.5
s=7
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
பைடு நூலகம்10
9
多边形的面积/平方厘米 （S）
6
5.5
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
10 9
X
X
多边形的面积/平方厘米 （S）
6 5.5
X
X
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
“钉子板上的多边形”研究 单 画4个多边形，多边形内有3枚钉子，即：多边形内钉子 数a=3.
图形，观察
数据，表格
图形编号
多边形边上的钉子数/枚 （n）
多边形的面积/平方厘米 （S）
比较，猜想 验证，表达
五年级上册数学课件-2.10 钉子板上的多边形丨苏教版 (共22张PPT)
今天的方法：
S=
S=
②我们发现：
多边形的面积=边上的钉子数÷2
+
2
——
③用含字母的式子表示发现：
当a= —3—时，s= —n——÷——2+—2——
验证单（自己围图形）
①当内部有—4—个钉子时，
用以前的方法：
今天的方法：
S=
S=
②我们发现：
多边形的面积=边上的钉子数÷2
+
3
——
③用含字母的式子表示发现：
钉子板上的多边形
︷ 1厘米 ｝1厘米
点子图
1
16
17
1 87
2
2
6
2
6
3
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
43 4 5 3 4 5 3 4 5
图形编号
① ② ③ ④
多边形的面积s(平方厘米) 2 3 3.5 4
多边形边上的钉子数n(枚) 4 6 7 8
多边形的S面积 == 多边形边n上的钉子数 ÷ 2
1 10
19
1 9 18
（算、数）
S=n÷2+2
S=4 ×2=8
=12÷2+2
=8
当a=3时， S=n÷ 2+2
以前的方法： （算、数）
S=9
今天的方法： S=n÷2+3
=12÷2+3
=9
当a=4时， S=n÷ 2+3
1 10
19
1 8
1 10
③
④
2
10
6
2
9
5.5
③
2
8
5
④
2
10
6
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如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么S=n÷2+1
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。a表示图形内的格点数。 那么当 a=1时 S=n÷2 a=2时 S=n÷2+1 a=3时 S=n÷2+2
你觉得a=4时会有怎样的规律呢、a=5、a=6时，会怎样呢？
你现在能发现钉子板上多边形面积的规律了吗？
你能迅速计算出下列方格图中每个 多边形的面积吗？
下面多边形的面积各是多少平方厘米？每个多边形边上的格点各有多少个？（每 个小格子是面积为1平方厘米的正方形）
1
2
3
图形编号 1 2
多边形面积/平方厘米 2 4
多边形边上的格点数 4 8
3
5
10
这些图形有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？ （提示：从图形内的格点的个数考虑）
横板桥镇中心小学 廖为火
教学目标：
1、使学生探索并发现钉子板上围成的多边形的面积，与围成的多边形边上的钉 子数、多边形内部钉子数之间的关系，并尝试用字母式子表示关系。
2、使学生经历探索钉子板上围成的多边形面积与相关钉子数间的关系的过程， 体会规律的复杂性和全面性，体会归纳思维，体会用字母表示关系的简洁性，发展 观察、比较、推理、综合和抽象、概括等思维能力。
数一数下图中的格点，用你发现的公式计算出它们的面积
S7 = 7
S8 = 8.5
S9 = 13.5
7
8
9
如果用S表示多边形面积，n表示边上的格点数。那么积与它边上的格点数又有什么关系呢？
4
5
6
小组合作，在方格纸中围几个不同的多边形看看，完成下表
图形编号 多边形面积/平方厘米 多边形边上的格点数
4
3
4
5
5
8
6
5.5
9
这些图形与上组图比较又有什么特点？它的面积与它边上的格点数有什么关系？
如果用a表示多边形内部的钉子数，n表示多边形边 上的钉子数，那么，多边形的面积S就等于边上的钉子 数n除以2，再加上内部的钉子数a，然后减1。
S=n÷2+a-1
我们今天研究的规律，就是数学上著名的皮克定理 （一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式： S=a+b÷2-1，其中a表示多边形内部的点数，b表示 多边形边界上的点数，s表示多边形的面积）。
3、使学生获得探索规律成功的体验，树立学习数学的自信心，感受数学规律的 奇妙，对数学产生好奇心，提高学习数学的兴趣和积极性。
教学重点：探索钉子板上多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关 系
教学难点：综合、归纳多边形的面积与多边形边上钉子数、内部钉子数之间的关系 。
学具准备：钉子板或方格纸