计算方法 线性代数方程组的解法

解：因为迭代矩阵为 2 1 0 10 10 2 1 0 GJ = 10 10 2 1 0 5 5
原方程改写为 x1 0 x = 0 .2 2 x3 0 .2 其迭代格式 0 .2 0 0 .4 0 .1 x1 0 .3 0 .1 x 2 + 1 .5 0 x3 2
则 x 1 x 2 ⋮ x n 得 0 − a21 = a22 ⋮ a − n1 ann
J n
a12 − a11 0 ⋮ ...
a1n ... − a11 x1 a2 n x ... − a22 2 ⋮ ⋮ x ... 0 n
其中，G = M −1 N , f = M −1b。
( 0 任取初始向量x ( 0 ) = ( x1( 0 ) , x20 ) ,..., xn )T
代入方程(3.6.2)的右端得
x
若
( k +1)
= Gx ( k ) +
f
(k = 0,1,2,...)
(3.6.3)
lim x ( k ) = x*
取初值
x = ( 0 0 0)T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 9 (1.0002507 1.0000694 0.0001 10 (0.9999541 1.0001253 0.00001 14 (0.9999981 1.0000020
Gauss-Seidel迭代法 取初值 迭代法 计 算 结 果
−1
0
0
0
−3 −1 0 −3
3 10
0
0
−1 −3 0 10 10 B∞=2 G 1 = 227 5 500 −3 = 0 50 7 25 λ1 = 0 λ2 = 0.04914 0 6125 −37 500 λ3 = −0.18314
3.6 解线性方程组的迭代法
一、迭代法概述
设线性方程组 Ax = b
(3.6.1)
其中, A ∈ R n×n 且非奇异, x ∈ R n , b ∈ R n 且b ≠ 0. 由线性方程组理论知式(3.6.1)有唯一解x *。 类似非线性方程迭代法将(3.6.1)写成等价方程组 x = Gx + f
任取初始向量x ( 0 )作
( ( x1( k +1) = 0 .2 x 2k ) + 0 .1x3 k ) + 0 .3 ( k +1 ) ( x2 = 0 .2 x1( k ) + 0 .1x3 k ) + 1 .5 x ( k +1 ) = 0 . 2 x ( k ) + 0 . 1 x ( k ) + 2 1 2 3
x = ( D − L ) Ux + ( D − L ) b
−1 −1
−1
因此 Gauss − Seidel 迭代矩阵为 G s = ( D − L ) U， f s = ( D − L )
b
迭代公式中， 在J迭代公式中，计算 迭代公式中
x
( k+1) 时，利用已经算出来的新的 i
x
( k+1) 1
( k +1)
= GJ x
n
(k )
+f
k = 0,1,2,...
而迭代序列的分量形式 为： x
(k +1 ) i
= (bi − ∑ aij x ) / aii
j =1 j ≠i (k ) j
i = 1,2,..., n
称其为Jacbi迭代法。
例 1、
试用 Jacbi 迭代法解线性方程组 10 − 2 − 1 −2 10 −2 − 1 x1 3 − 1 x 2 = 15 5 x 3 10
b1 a 11 b2 + a22 ⋮ b n ann
x = G x + f , 其分量形式
xi = (bi − ∑ aij x j ) / aii
j =1
(i = 1,2,..., n)
其迭代序列 x
B <1 Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件是 G < 1 迭代法收敛的充分 迭代法收敛的充分条件是
如例1 利用J和 如例1：利用 和G-S迭代法求解方程组 迭代法求解方程组
10 3 1
1
2 −10 3 3
x1 x2
=
14 −5
10 x3
14
系数矩阵 A
= 2 −10 3 λ1,2 = −0.05 ± 0.384i
= diag ( a11 , a22 ,… , ann )
0 a12 a13 0 a 23 −U = 0 0 an,n−1 0
0
−L = a31 a32 0
a n1 a n 2
a21 0
a1n a2n
0 an−1,n 0
≠ 0( i = 1, 2,⋯ , n) −1 −1 原方程组可化为 x = D ( L + U ) x + D b = Bx + f 其中B = D −1 ( L + U ) = ( I − D −1 A); f = D −1b
i −1
=
j =1
( k +1) j
−
j = i +1
∑a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i = 1, 2,⋯ , n
利用Jacobi和Gauss-Seidel迭代法求解方程组 例2：利用 和 迭代法求解方程组
10 3 1
x
x
( k +1) 1
( k +1) 2
1
2 −10 3
解：
Jacobi 迭 代 格 式
1
10 3
1
3
10 λ3 = 0.1
Jacobi迭代矩阵 迭代矩阵
− 3 − 110 0 10 −1 0 3 B = D (L + U ) = 1 5 10 − 1 −3 10 10 0
B1=3
B
∞
5 =1 2
Gauss-Seidel迭代矩阵 迭代矩阵
10 0 0 −1 G = ( D − L) U = 2 −10 0 1
k = 0,1,...
取 x ( 0 ) = பைடு நூலகம் 0,0,0 ) T 迭代到第 11次有
x
(11 )
= (1 .0000 , 2 .0000 ,3 .0000 ) T
三、 Jacobi迭代法的矩阵形式 迭代法的矩阵形式 设方程组 Ax = b; A = ( a ij ) n× n , b = ( bi )1× n ;det( A) ≠ 0 将系数矩阵分裂为 将系数矩阵分裂为：A = D− L−U 分裂 其中 D
i −1 1 = (bi − ∑ a ij x (jk +1) − a ii j =1 j = i +1
a ij x (jk ) ) ∑
n
(i = 1,2,..., n ) ( k = 0,1,...) 矩阵形式：由于 Dx 所以 故有
( k +1)
= Lx
( k +1)
+ Ux
−1
(k )
+b
( D − L ) x = Ux + b
=
=
(14 − 3 x
10 ( k +1) (k ) ( −5 − 2 x1 − 3 x3 ) (14 − x
( k +1) 1
(k ) 2
−x )
(k ) 3
Jacobi迭代法 迭代法 计 算 结 果
要求 精度
G-S
( −10)
x
( k +1) 3
=
− 3x
( k +1) 2
) 10
似 解
1.0002507) ) 0.9999541) ) 0.9999981) )
(3.6.1)
将其改写成 ... ... a22 ... ... ... ... x1 0 ... x2 − a21 = ... ... ... ... ... ann xn − an1 ... − a1n x1 b1 ... − a2 n x2 b2 + ... ... ... ... ... 0 xn bn
即 lim
(k ) k →∞
x
=
*
(k )
*
k →∞ *
*
*
也是 Ax = b 的解。
综上所述 : 设方程组(3.6.1)唯一解
x
*
* * * = ( x1 , x2 ,..., xn ) T
令A = M − N , 其中M非奇异, 则方程(3.6.1)改写为 (M − N ) x = b 即 所以 Mx = Nx + b x = Gx + f (3.6.2)
如果 aii 相应的迭代格式
x
( k +1)
= Bx
(k )
+ f ; k = 0,1, 2,⋯
上述方法称为Jacobi迭代法，简称 法或简单迭代法 迭代法，简称J法或简单迭代法 法或简单 上述方法称为 迭代法 分量形式： 分量形式： 形式
bi − ∑ aij x x
( k +1) i
i −1
=
j =1
三、 Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛性 和 迭代法的收敛性 定理 Jacobi迭代法收敛的充要条件是 ρ ( B ) < 1 迭代法收敛的充要 迭代法收敛的充要条件是 Gauss-Seidel迭代法收敛的充要条件是 ρ (G ) < 1 迭代法收敛的充要 迭代法收敛的充要条件是 推论1： 迭代法收敛的充分 推论 ：Jacobi迭代法收敛的充分条件是 迭代法收敛的充分条件是
k →∞
则称迭代格式(3.6.3)是收敛的，且x*为方程 组(3.6.1)的解。
雅克比） 二、Jacobi （雅克比）迭代法
设A为非奇异矩阵且aii ≠ 0(i = 1,2,..., n) a11 a 21 ... an1 a11 ... ... ... a12 a22 ... an 2 ... a1n x1 b1 ... a2 n x2 b2 = ... ... ... ... ... ann xn bn − a12 0 ... − an 2
(k ) j
−
j = i +1
∑a
n
ij
x
(k ) j
a ii
; i = 1, 2,⋯ , n
Gauss高斯－塞德尔） 四、Gauss-Seidel （高斯－塞德尔）迭代法
对Jacobi迭代法进行修正 设初值 x , x ,..., x
(0) 1 (0) 2 (0) n
第1步 由迭代公式解得x1(1)； 第2步 由x , x ,..., x 代入迭代公式得x ；
,x
( k+1) 2
,⋯, x
( k+1) 从而得到G-S迭代法。 迭代法。 迭代法 i −1 值，从而得到
G-S迭代法是 迭代法的一种改进 迭代法是J迭代法的一种 迭代法是 迭代法的一种改进 G-S迭代法的分量形式： 迭代法的分量形式： 迭代法的分量形式
bi − ∑ aij x x
( k +1) i
x1 x2
=
14 −5
3
=
10 x3
(14 − 3 x
(k ) 2
14
−x )
(k ) 3
x
( k +1) 3
10 (k ) (k ) ( −5 − 2 x1 − 3 x3 ) = ( −10) (k ) (k ) (14 − x1 − 3 x2 ) = 10
迭 代 格 式
x
x
( k +1) 1
( k +1) 2
要求 精度
x = ( 0 0 0)
T
迭代 方 程 组 的 近 次数 0.001 5 (0.9997916 0.9998479 0.0001 7 (0.9999929 0.9999949 0.00001 8 (1.0000013 1.0000009
似 解
1.0000664) ) 1.0000022) ) 0.9999996) )
x x x
(1) ( 2)
= Gx ( 0 ) +
(1)
f = Gx + f
...... = Gx ( k ) +
( k +1)
f
（k = 0,1,2，） ...
若向量序列 { x ( k ) }是收敛的
x 或 lim || x − x ||= 0 则 x = Gx + f 即 x 为方程组 x = G x + f 的解，同时
(1) 1 (0) 2 (0) n (1) 2 ( ( ( ( 第3步 同理由x1(1) , x21) , x30) ,..., xn0 )得x31)；
依此类推 第n步由x , x ，x ， x , x 得x 。 ...,
(1) 1 (1) 2 (1) 3 (1) n −1 (0) n (1) n
故将迭代法改写成 x i( k +1)