离散数学置换群和子群及其陪集2
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离散数学-群
同理可证，e ◦ a = a。 所以 e = g-1 是 G 中关于 ◦ 的单位元。 对任意的 a G，令 b = g-1 a-1 g-1，有
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
a ◦ b = a g (g-1 a-1 g-1) = g-1。 同理可证，b ◦ a = g-1。 所以 G 的每个元素都有逆元。 综上所述，< G; ◦ > 是群。
注：
因为半群 < S; > 中 是可结合的，所以可以定义元素的幂。
对任意 a S，定义
a1 = a，an + 1 = an a (n = 1, 2, …)，
并且对于任意正整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
3
定理5-1 设 < S; > 是一个有限的半群，则必有 a S，使得 a 是一个幂等元，即 a a = a 。
第二部分 抽象代数
0
第五章 群
本章在了解了代数系统一般概念的基础上，着重讨论具有一个 二元运算的代数系统，常称为二元代数，包括半群、独异点和 群。半群和独异点在自动机理论、形式语言及程序设计的数学 基础中占有重要的地位，而群是抽象代数中最古老且发展得最 完善的代数系统，在计算机科学中，对于代码的查错和纠错、 自动机理论等各个方面的应用的研究，群是其基础。
代数系统中唯一的单位元常记为 e。 5
在独异点 < S; > 中，也可定义元素的幂：
对任意 a S，有
a0 = e，an + 1 = an a (n = 0, 1, 2, …)，
并且对于任意非负整数 m 和 n，有
am an = am + n，(am)n = amn。
设 < S; > 为独异点，则关于运算 的运算表中没有两行或 两列是相同的。
《子群的陪集》课件
《子群的陪集》PPT 课件
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
• 子群与陪集的定义 • 子群的分类 • 陪集的分类 • 子群的性质 • 陪集的性质 • 子群与陪集的应用
目录
01
子群与陪集的定义
子群的定义
子群
一个群G的一个非空子集H，如果 对于G的每一个元素g，H中的元 素h满足$ghg^{-1}$也在H中， 则称H是G的一个子群。
陪集的性质
总结词
陪集的性质
详细描述
陪集具有传递性、对称性和可结合性，即如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么H₁∩H₂/G=(H₁/G)∩(H₂/G)， 且(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)。
陪集的运算性质
总结词
陪集的运算性质
详细描述
如果H₁/G和H₂/G是群G的两个子群，那么(H₁∪H₂)/G=(H₁/G)∪(H₂/G)， (H₁∩H₂)/G=(H₁/G)∩(H₂/G)，且H₁/G⋅H₂/G=(H₁⋅H₂)/G。
正规子群。
举例
整数模n的乘法子群是模n的剩余 类环的正规子群。
性质
正规子群在陪集中保持元素共轭 。
幂零子群
定义
如果存在正整数n，使得 $a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂零子群。
举例
整数模n的乘法子群是幂零 子群。
性质
幂零子群是可解的，且其 指数为素数。
幂小子群
定义
如果存在正整数n，使得$a^n=e$对于所有$a in H$，则称H是幂小子群。
子群与陪集的关系
子群的陪集
如果H是G的子群，那么H的左陪集和右陪集都是G的子群。特别地，如果H是G 的正规子群，那么H的左陪集和右陪集是相同的，称为H在G中的余类。
举例
在整数集合中，所有偶数的集合是整数集合的一个子群，偶数集合的左陪集和右 陪集都是整数集合的子群。特别地，如果取H为所有偶数，那么H是整数集合的 正规子群，其左陪集和右陪集都是整数集合的子群。
离散数学第2版教学课件-子群
8.2 子群与陪集子群与群的关系：拉格朗日定理。
子群判定定理典型子群陪集H 是G 的非空子集(1)a,b ∈H 有a b ∈H(2) a ∈H 有a -1∈H.H 是G 的非空子集a,b ∈H,有ab -1∈HH 是G 的非空有穷子集a,b ∈H 有ab ∈H 陪集的性质Lagrange 定理及推论子群非空子集、群8.2 子群与陪集子群定义设G是群，H是G的非空子集，定义8.5(1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作H≤G.(2) 若H是G的子群，且H G，则称H是G的真子群，记作H<G.例如nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时,nZ是Z的真子群.任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为G的平凡子群.（子群判定定理1 ）定理8.5设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a-1∈H.证必要性是显然的.为证明充分性，只需证明e∈H.因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a-1∈H，根据条件(1) aa-1∈H，即e∈H.（子群判定定理2 ）定理8.6设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H,有ab-1∈H.证必要性显然.只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa-1∈H，即e∈H.任取a∈H, 由e,a∈H 得ea-1∈H，即a-1∈H.任取a,b∈H，知b-1∈H. 再利用给定条件得a(b-1) -1∈H，即ab∈H.综合上述，可知H是G的子群.（子群判定定理3 ）定理8.7设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H. 证必要性显然.为证充分性，只需证明a∈H有a-1∈H.任取a∈H, 若a = e, 则a-1= e∈H.若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆H.由于H是有穷集，必有a i= a j（i<j）.根据G中的消去律得a j-i= e，由a ≠ e可知j-i>1，由此得a j-i-1a = e 和 a a j-i-1= e从而证明了a-1= a j-i-1∈H.根据子群判定定理1，可知H是G的子群。
离散数学,置换群和子群及其陪集
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置 换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
a1 a 2 a n b b b n 1 2
-1= b1 b 2 b n a1 a 2 a n
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。 注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
§6.2.4 置 换 群 在伽罗瓦理论中起关键作用的就是置换群，它是有限群 的特例，是群的典型代表。
置换的定义:
定义6.2.4 设M是一个非空的有限集合，M的一个一对一 变换称为一个置换。 设M的元素为a1，a2，…，an，则M的置换σ可以简记为
σ＝
a1 a 2 a n ,bi=σ（ai）,i=1,2…,n b b b n 1 2
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。 因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得 σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1, τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。 （2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
离散数学,置换群和子群及其陪集50页PPT
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71、既然我已Байду номын сангаас踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
离散数学,置换群和子群及其 陪集
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
离散数学中的代数结构和置换群
离散数学是数学中的一个重要分支，它研究离散的、非连续的数学对象和结构。
在离散数学中，代数结构是其中一个重要的概念，而置换群是代数结构的一个重要例子。
代数结构是研究对象间关系的一种数学工具。
它包括集合，运算和运算性质。
集合是代数结构的基础，是一个由元素组成的不重复的集合。
运算指的是将集合中两个元素映射到集合中的另一个元素的操作，常见的运算有加法、乘法等。
运算性质是指运算在代数结构中具有的性质，如结合律、交换律、单位元等。
在代数结构中，置换群是一种重要的结构。
置换是一种改变事物次序的方法，它可以是将事物重新排列，也可以是将某个事物替换为另一个事物。
置换群是一组置换构成的集合，并且具有封闭性，结合律和单位元等性质。
置换群可以描述物体的旋转、对称和变换等操作，也可以用于密码学和密码破解等领域。
置换群的运算是指将两个置换进行合成，可以通过将第一个置换的作用结果作为第二个置换的作用对象来实现。
例如，设置换π1表示将物体的位置1和位置2进行交换，置换π2表示将物体的位置2和位置3进行交换，那么置换π1和置换π2的合成操作即为将物体的位置1和位置3进行交换。
正如前所述，置换群具有封闭性、结合律和单位元等性质。
封闭性指的是任意两个置换的合成结果仍然是一个置换。
结合律是指对于置换群中的任意三个置换a、b和c，有(a * b) * c = a * (b * c)，即合成的顺序不影响结果。
单位元是指存在一个特殊的置换，它与任意置换进行合成后结果仍然是原置换。
在置换群中，还有一个重要的概念是逆元。
对于每个置换a，都存在一个逆置换a'，使得a * a' = a' * a = e，其中e是置换群的单位元。
逆元表示将一个置换的操作逆向执行，可以将置换还原为原来的状态。
置换群不仅在离散数学中有重要应用，还在计算机科学、物理学和化学等领域中得到广泛应用。
在计算机科学中，置换群可以用于密码学中的置换密码，用于保护数据的安全性。
离散数学 第6讲 置换群和循环群
求子群时，根据因子，因子是几就隔几写出子群的各
个元素。
三、凯莱表示定理
定理12：每一个n阶有限群, 同构于n次置换群。 证明： 设k=mq+r, 0≤r＜m,设<G,*>是一个n阶群, 由定理6.7-4知道, <G,*>的合 成表中每一行和列都是G的一个置换。对应于元素a∈G的列的置换是 pa(x) = x * a 记对应于G的所有元素的列的置换集合为P。 下面首先证明<P,◇>是一个群，再证明G与P同构。 (a) 封闭性 对任意元素a、b∈G, 有 (pa◇pb)(x) = (x * a) * b =x * (a * b) =pa*b(x)∈P (1) (b) 存在幺元 设e是<G , *>的么元, a∈G是任一元素,则有 pe◇pa = pa◇pe = pa，所以, pe是么元。 (c) 存在逆元 对任意元素a∈G, 存在元素a-1∈G,有 Pa-1◇ pa = pa◇ Pa-1 = pe，所以, 对任一pa存在逆元Pa-1 。 (d) 满足结合律 置换的合成满足结合律。
3 1
1 2 3 p5 2 3 1
1 2 p6 3 1
3 2
一、置换群
例2 两面体群 (a) 给定正三角形123(如左下图所示), 将三角形围绕重心O旋 转, 分别旋转0°, 120°, 240°。可以把每一旋转看成是三 角形的顶点集合{1, 2, 3}的置换, 于是有
1 2 3 4 p 3 2 4 1
A={a1,a2,…,an}，即|A|=n时，称为A上的置换为n次置换。A上 的n次置换p可表示为：
a2 an a1 p p(a ) p(a ) p(a ) 1 2 n
§6.3 离散数学 置 换 群
结论：若σ和τ是M的两个不相杂的轮换，
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs），
σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1，
τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。
i=r时, ai+1 应改为 a1 。
1 2 3 3 1 2
置换的乘法
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
例. 设σ＝ 则στ= τ σ=
1 2 3 4 2 1 3 4， τ＝ 1 2 3 4 3 4 2 1 ， 1 2 3 4 4 3 1 2
1 2 3
一个元素不动：σ2＝ 1 2 3 σ4＝
2 1 3
1 2 3 1 3 2σ 3＝ 1 2 3 2 3 1 σ ＝ 6
1 2 3 3 2 1
0个元素不动：σ5＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
Sn不是Abel群。 1
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使
σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 5 6
1
=
b1 b2 bn a a a n 1 2
则 στ=τσ.
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs），
σ和τ不相杂。命χ为M的任意元.
若χ∈｛a1,…,ar｝，设χ=ai，则
στ(χ)=στ(ai)=σ(ai) = ai+1，
τσ(χ)=τσ(ai)=τ(ai+1)=ai+1 。
i=r时, ai+1 应改为 a1 。
1 2 3 3 1 2
置换的乘法
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ， 规定στ（a）=σ（τ（a））。
例. 设σ＝ 则στ= τ σ=
1 2 3 4 2 1 3 4， τ＝ 1 2 3 4 3 4 2 1 ， 1 2 3 4 4 3 1 2
1 2 3
一个元素不动：σ2＝ 1 2 3 σ4＝
2 1 3
1 2 3 1 3 2σ 3＝ 1 2 3 2 3 1 σ ＝ 6
1 2 3 3 2 1
0个元素不动：σ5＝ 故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}
Sn不是Abel群。 1
6.3.2 置换的轮换表法 轮换的定义
轮换. 设σ是M的置换，若可取到M的元素
a1, …,ar 使
σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…,σ(ar-1)=ar,σ(ar)=a1， 而σ不变M的其余的元素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例. σ=
1 2 3 4 5 6 3 2 4 1 5 6
1
=
b1 b2 bn a a a n 1 2
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离散数学置换群和子群及其陪集2
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置
换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
今证表法唯一，设σ又可表为不相杂的轮换的乘 积如下：
σ（=(2a）’1…a’r’)(b’1…b’s’)…(c’1…c’t’) 试看（1）式中的任意轮换，例如（a1…ar）。 a1
必出现在（2）式中的某个轮换之内， 例如（a’1…a’r’）。由于一个轮换中任意元素
若σ＝
aa11
a2 a2
an an
,
则称σ为
n元恒等置换。
例如， 设M={1，2，3}，则有3！=6个3元置换，
σ1＝
1 1
2 2
3 3
为3元恒等置换，
σ2＝
1 1
2 3
3 2
，
1 2 3
σ3＝ 3 2 1，
σ4＝
1 2
2 1
3 3
，
σ5＝
1 2
2 3
31，
σ6＝
1 3
2 1
3 2
。
(στ)ρ=σ(τρ),
σ,τ,ρSn。 （2）n元恒等置换是Sn中的单位元素， 设为σ0，有：σ0τ=τσ0 =τ，τSn。 （3）每个n元置换在Sn 中都有逆元素
ab11
a2 b2
an bn
-1= ab11
b2 a2
bn an
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。
（2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
定理6.2.7 任意置换σ恰有一法写成不相杂的轮 换乘积。
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。
设（a1a2…ar）为一轮换，我们称r为该轮换的长度,一轮 换的长度也就是其中所含的元素个数。
特别，长度为２的轮换称为对换。
不难看出，任意轮换可以写成对换的乘积,例如我们有下 列公式：
(a1a2…ar)＝(a1ar)(a1ar－１)…(a1 a3)(a1a2) （3）
都可排在头一位，不妨假定a1＝a’１。于是， a2=σ（a1）=σ（a’1）= a’2，， a3=σ（a2）=σ（a’2）= a’3，…，如此类推，
可 这就见是（说a1…，a（r）1）必中和的（任a’意1轮…换a’必r’出）现完在全（相2）同中， ，同样（2）中的任意轮换必出现在（1）中，因 之，（1）和（2）一样，最多排列在方法不同， 但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ，规 定
στ（a）=σ（τ（a））。
例6.3.2
τ＝
13
2 4
31设24σ＝，12
2 1
3 3
4 4
，
则στ=
13
2 4பைடு நூலகம்
3 2
4 1
,
τσ=
14
2 3
3 1
4 2
置换的乘法有下述一些性质：
（1)满足结合律:
当然，也可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
（ai ai+1 … ar a1 … ai-1）
例6.2.6
σ=
1322
3 4
4 1
5 5
6 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.2.6 称M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
于是由定理6.2.7即可推知下列推论。 推论 当M的元素个数大于1的时候，对任意置换，有一
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。
因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得
证明：先证σ可以写成不相杂的轮换的乘积，取 任意a1∈M。
（1）若σ（a1）= a1,则a1自己就作成一个轮换。 （2）设σ(a1)= a2,σ(a2)= a3，…。 这样下去，由于M有限，故到某一个元素ar, 其σ（ar）必然不能再是新的元素，即这σ（ar）
必在a1，…，ar之内。由于σ是一对一的,我们 已有σ(ai)= ai+1，i=1，2， …，r-1，所以 σ(ar)只能是a1。于是我们得到一个轮换 （a1…ar）。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1,
τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。
注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
τσ στ，
因此，当n3时，Sn不是交换群。
置换的轮换表法
定义6.2.5 设σ是M的置换，若可取到M的元素 a1， …，ar使σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…, σ(ar-1)= ar,σ(ar)= a1，而σ不变M的其余的元
素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例6.3.4 设M的元数为4，于是M的24个置换可以 写成下面的形式：
I,
(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),（3 4）；
(1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2), (1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3)；
(1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4), (1 3 4 2),(1 4 2 3),(1 4 3 2)；
因为置换按定义是一对一的，所以b1,b2,…,bn是 a1,a2,…,an的一个排列，由此可见，Ｍ的每个置
换对应a1,a2,…,an的一个排列，不同的置换对应 不同的排列,此外，a1,a2,…,an的任意排列也确 定M的一个置换，所以，M的置换共有n！个，其 中n是M的元数，M上的置换也称为n元置换。以下 用Sn表示这n！个置换作成的集合。
σ=( a1…ar)(b1…bs)…(c1…ct) （1） 即σ表成了不相杂的轮换的乘积。
今证表法唯一，设σ又可表为不相杂的轮换的乘 积如下：
σ（=(2a）’1…a’r’)(b’1…b’s’)…(c’1…c’t’) 试看（1）式中的任意轮换，例如（a1…ar）。 a1
必出现在（2）式中的某个轮换之内， 例如（a’1…a’r’）。由于一个轮换中任意元素
若σ＝
aa11
a2 a2
an an
,
则称σ为
n元恒等置换。
例如， 设M={1，2，3}，则有3！=6个3元置换，
σ1＝
1 1
2 2
3 3
为3元恒等置换，
σ2＝
1 1
2 3
3 2
，
1 2 3
σ3＝ 3 2 1，
σ4＝
1 2
2 1
3 3
，
σ5＝
1 2
2 3
31，
σ6＝
1 3
2 1
3 2
。
(στ)ρ=σ(τρ),
σ,τ,ρSn。 （2）n元恒等置换是Sn中的单位元素， 设为σ0，有：σ0τ=τσ0 =τ，τSn。 （3）每个n元置换在Sn 中都有逆元素
ab11
a2 b2
an bn
-1= ab11
b2 a2
bn an
。
因此，我们有：
定理6.2.6 n元置换的全体作成的集合Sn对置换 的乘法作成一个群，称为n 次对称群。
（2）同样可以说明，若χ在b1， …，bs之内， 也有στ（χ）=τσ（χ）。 （3）设χ不在a1， …，ar， b1， …，bs之内。 于是, στ(χ)=σ(χ)=χ,τσ(χ)=τ(χ)=χ。 因此,在所有情况下,στ(χ)=τσ(χ),故 στ=τσ。
定理6.2.7 任意置换σ恰有一法写成不相杂的轮 换乘积。
(1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3)。
设（a1a2…ar）为一轮换，我们称r为该轮换的长度,一轮 换的长度也就是其中所含的元素个数。
特别，长度为２的轮换称为对换。
不难看出，任意轮换可以写成对换的乘积,例如我们有下 列公式：
(a1a2…ar)＝(a1ar)(a1ar－１)…(a1 a3)(a1a2) （3）
都可排在头一位，不妨假定a1＝a’１。于是， a2=σ（a1）=σ（a’1）= a’2，， a3=σ（a2）=σ（a’2）= a’3，…，如此类推，
可 这就见是（说a1…，a（r）1）必中和的（任a’意1轮…换a’必r’出）现完在全（相2）同中， ，同样（2）中的任意轮换必出现在（1）中，因 之，（1）和（2）一样，最多排列在方法不同， 但不相杂的轮换相乘适合交换律，所以排列的次
故，S3 = {σ1，σ2，σ3，σ4，σ5，σ6}。
对M中任意元素a及M的任意两个置换σ，τ，规 定
στ（a）=σ（τ（a））。
例6.3.2
τ＝
13
2 4
31设24σ＝，12
2 1
3 3
4 4
，
则στ=
13
2 4பைடு நூலகம்
3 2
4 1
,
τσ=
14
2 3
3 1
4 2
置换的乘法有下述一些性质：
（1)满足结合律:
当然，也可以把a1，… ，ar中的任意元素ai排在 头一位而改写成
（ai ai+1 … ar a1 … ai-1）
例6.2.6
σ=
1322
3 4
4 1
5 5
6 6
=(1 3 4)=(3 4 1)=(4 1 3）。
定义6.2.6 称M的两个轮换 σ=（a1…ar）和 τ=（b1…bs）不相杂或不相交， 如果 a1，… ， ar和b1，…，bs都不相同。
于是由定理6.2.7即可推知下列推论。 推论 当M的元素个数大于1的时候，对任意置换，有一
若M已经没有另外的元素，则σ就等于这个轮 换，否则设b1不在a1，…，ar之内，则同样 作法又可得到一个轮换（b1…bs）。
因为a1，…，ar各自已有变到它的元素，所 以b1，…，bs中不会有a1，…，ar出现，即 这两个轮换不相杂。若M的元素已尽，则σ 就等于这两个轮换的乘积，否则如上又可 得到一个轮换。如此类推，由于M有限，最 后必得
证明：先证σ可以写成不相杂的轮换的乘积，取 任意a1∈M。
（1）若σ（a1）= a1,则a1自己就作成一个轮换。 （2）设σ(a1)= a2,σ(a2)= a3，…。 这样下去，由于M有限，故到某一个元素ar, 其σ（ar）必然不能再是新的元素，即这σ（ar）
必在a1，…，ar之内。由于σ是一对一的,我们 已有σ(ai)= ai+1，i=1，2， …，r-1，所以 σ(ar)只能是a1。于是我们得到一个轮换 （a1…ar）。
结论：若σ和τ是两个不相杂的轮换，则其乘法 适合交换律： στ=τσ
证明：设σ=（a1…ar），τ=（b1…bs）,σ和τ不 相杂。命χ为M的任意元素， （1）若χ在a1，…，ar之内，例如χ=ai,则 στ(χ)=στ(ai)=σ(ai)=ai+1,
τσ(χ)=τσ(ai)=τ（ai+1）= ai+1。 i=r时，ai+1应改为a1。 总之,στ（χ）=τσ（χ）。
注意，由于一般情况下置换相乘不满足交换律， 如上例，
τσ στ，
因此，当n3时，Sn不是交换群。
置换的轮换表法
定义6.2.5 设σ是M的置换，若可取到M的元素 a1， …，ar使σ(a1)＝a2,σ(a2)=a3,…, σ(ar-1)= ar,σ(ar)= a1，而σ不变M的其余的元
素，则σ称为一个轮换， 记为 （a1 a2 … ar ）
例6.3.4 设M的元数为4，于是M的24个置换可以 写成下面的形式：
I,
(1 2),(1 3),(1 4),(2 3),(2 4),（3 4）；
(1 2 3),(1 3 2),(1 2 4),(1 4 2), (1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3)；
(1 2 3 4),(1 2 4 3),(1 3 2 4), (1 3 4 2),(1 4 2 3),(1 4 3 2)；