复变函数参考答案(1-8章)

复变函数与积分变换同步练习参考答案中北大学复变函数教研室编印1复变函数同步练习第一章参考答案三、作业题1、(1)设23412i z i +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，则z = 5 ，辐角主值为4arctan()3π−。

(2)设55(1)1(1)1i z i −−=++，则其实部为125−，虚部为3225−。

提示：本题注意到2(1)2i i −=−，2(1)2i i +=。

则52225222(1)1[(1)](1)1(2)(1)1132(1)1[(1)](1)1(2)(1)12525i i i i i z i i i i i i −−−−−−−−====−−+++++++ 。

(3)一复数对应的向量按逆时针方向旋转23π时对应的复数为1i +，则原复数为1122−+−+。

提示：本题相当于解23111(1)()(1)2222i z ei i i i π−−+−=+=−−+=+。

(4)设1z =2z i =−，则12z z 的指数式i122e π，12zz 的三角式为 155[cos sin 21212i ππ+。

(5)2122lim1z zz z z z →+−−=−32。

提示：211122(2)(1)23limlim lim 1(1)(1)12z z z zz z z z z z z z z z →→→+−−+−+===−−++。

(6)设复数z 满足arg(2)3z π+=，5arg(2)6z π−=，那么z=1−+。

提示：（利用复数的几何意义）向量2z −与向量2z +夹角为5632πππ−=，在复平面上，代表复数2z −、z 、2z +的点在平行于x 轴的直线上（由于此三点的虚轴没有发生变2化）。

连接0，2z +，2z −的三角形为Rt Δ。

因此推出向量2z =，2arg 3z π=，即1z =−+。

本题也可以利用代数法来做。

2、把复数πααα≤≤+−=0,sin cos 1i z 化为三角表示式与指数表示式，并求z 的辐角主值。

(可参照例题4) 解：（解法一）2sin2r α===；因为当0απ<<时，sin 0α>，1cos 0α−>，则sin arg arctanarctan(cot )1cos 2z ααα==−arctan(tan )22παπα−−==，所以1cos sin 2sin (cos 22i απααα−−+= sin2i πα−+i 22sin2eπαα−=　。

即1cos sin i αα−+i 22sin2eπαα−=　。

上式对于0α=及απ=时也成立。

（解法二）利用三角公式，有21cos sin 2sin2sincos222i i ααααα−+=+2sin (sin 2cos )2sin (cos sin )222222i i ααααπαπα−−=+=+……三角表示式i 22sin 2eπαα−=　…………………………..指数表示式。

3、解下列方程55(1)(1)z z +=−。

分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。

解：由直接验证可知原方程的根1z ≠。

所以原方程可改写为5111z z +⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠。

令11z zω+=−， ……………(1) 则51ω=， ……………………(2) 方程(2)的根为246855551,,,,i i i i e eeeππππω=。

即i e αω=，24680,,,,5555αππππ=。

但3由(1)i i 2sin(sincos )11cos sin 122211cos sin 12cos (cos sin )222i e i z e i i αααααωαααααωαα−+−−+−====+++++tan 2i α=。

故原方程的根为tan 2z i α=，其中24680,,,,5555αππππ=。

4、函数1zω=把z 平面上的下列曲线映射成ω平面上怎样的曲线?(1) 3x =; (2)22(1)1x y −+=且0y >。

解：(1)令z x iy =+，u iv ω=+，11z z ωω=⇒=。

即221u ivx iy u iv u v −+==++。

因此22u x u v =+，22v y u v −=+。

而已知曲线方程为3x =。

故z 平面上直线3x =在1zω=下的像曲线为22103u v u +−=，这是ω平面上过原点的圆周。

(2)方程22(1)1x y −+=化为2212x x y =+，而22221,x yu v z x y x yω−=⇔==++。

因此所求的像恰为12u =且0v <（0y >∵）。

5、证明：22221212122()z z z z z z ++−=+，并说明其几何意义。

证明：（利用公式2z zz =）左式=2212121212()()z z z z z z z z ++−=++221212112212()()222()z z z z z z z z z z +−−=+=+，得证。

几何意义：平行四边形的两条对角线的平方和等于四边的平方和。

6、如果i t z e =，证明12sin nnz i nt z −=成立。

证明：i i i i 1()()2isin nt n t n nt ntnz e e e e nt z−−−=−=−=。

得证。

7、设1()()2z zf z i z z=−(0z ≠)，试证：当0z →时，()f z 的极限不存在。

证明1：令i z re θ=，i z reθ−=，则1()()sin 22i i i i re re f z i re reθθθθθ−−−=−=。

因为40arg 0lim ()0z z f z →==，0arg 4lim ()1z z f z π→==。

所以，()f z 在0z =无极限。

证明2：22222212Re 2Im 2Re Im 2()22z z z i z z z xyf z i zz x y i z z−⋅====+。

令z 沿直线y kx =趋向于零，有22200022lim (,)lim1x x y kx y kx xy ku x y x y k →→=→=→==++，显然，当取不同值时，(,)u x y 趋向于不同的值。

所以0lim ()z f z →不存在。

8、试确定极限2()lim z a z a b z abz a→−++−存在与否。

解：由于2()()()z a b z ab z a z b −++=−−，故2()()()limlim lim()z a z a z a z a b z ab z a z b z b a b z a z a→→→−++−−==−=−−−。

9、试确定函数2233()()x y ixy f z f x iy x iy+=+=−连续与否。

解：当0x ≠，0y ≠时，即0z ≠时，由于()f z 的分子、分母皆为连续函数，故()f z 为连续函数；当0x =，0y =时，即0z=，由于()f z 在该点无定义，即()f z 在0z =不连续。

故在除去原点的复平面上()f z 连续。

5复变函数同步练习第二章参考答案1、(1)函数222()()(2)f z x y x i xy y =−−+−在12y =处可导，在 z 平面处处不解析。

(2)函数()f z u iv =+是解析函数，则22u v −的共轭调和函数是2uv C +。

(3)设izi e =，则Re z =(2)=0,1,2,2k k ππ−+±± ；函数5()z f z e =的周期是10i π；(1)i i +的辐角主值是1ln 22；(1)i i +的模为(2)4=0,1,2,k ek ππ−±± 。

提示：(1)ii +11[ln(1)(2)][ln 2(2)](2)(ln 2)(1)42442i i i k i i k k i iLn i e eeeeππππππ+++++−++====(=0,1,2,k ±± ),故1arg(1)ln 22ii +=； (2)4(1)=0,1,2,k ii ek ππ−+=±± 。

(4)i=2{cos[ln ]k i ππ+]}i i π+k=0,1,2,±± ；方程sinh z i =的解为 (2)=0,1,2,2z k i k ππ=+±± 。

(5)设函数()Re f z z z =，求'(0)f = 0 。

2、试证下列函数在复平面上任何点都不解析：(1))Re(z ；(2)z1。

解：(1)利用C-R 条件，即用解析的充要条件判别，Re()z x =，即u x =，0v =。

1ux∂=∂，60u y ∂=∂，0v x ∂=∂，0v y ∂=∂。

以上四个偏导存在且连续，但由于u v x y∂∂≠∂∂，不满足C-R 条件，故在复平面上处处不解析。

(2) 利用C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即22x u x y =+，22yv x y −=+。

4422222222()u x y x y x xx y ∂++−=∂+，2222()u xy y x y ∂−=∂+，2222()v xyx x y ∂=∂+，4422222222()v x y x y x yx y ∂−−−+=∂+。

以上四个偏导存在且连续，但由于u vx y ∂∂≠∂∂，不满足C-R 条件，故在复平面上处处不解析。

[注]判断一个函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+解析，须满足一下两个条件：①()f z 的实部(,)u x y 与虚部(,)v x y 关于变量,x y 的偏导存在且连续，即可微；②C-R 条件。

3、设)(2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定n m l ,,的值。

解： 令3232()()f z my nx y i x lxy =+++，因为()f z 解析，所以满足C-R 条件，由32(,)u x y my nx y =+，32(,)v x y x lxy =+，得2u xyn x ∂=∂，223uy m x n y∂=+∂；223v x ly x ∂=+∂，2vxyl y∂=∂。

由C-R 条件，有22xyn xyl =，222233y m x n x ly +=+；比较系数得l n =，13m l =−，3n =−，故3n =−，3l =−，1m =。

4、下列函数在何处可导？何处解析？ (1)2()f z x iy =−；解：令2u x =，v y =−，则,u v 在z 平面上处处可微且2u x x∂=∂，0uy ∂=∂，0v x ∂=∂，1v y ∂=−∂；要使u v x y ∂∂=∂∂，u vy x∂∂=−∂∂，须21x =−。