2020-2021学年广东省深圳市宝安中学八年级(上)开学数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东深圳市宝安中学八年级（上）开学数学试卷一、选择题（共12小题）.
1．下列运用平方差公式计算，错误的是（）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
2．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
3．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）
A．122°B．151°C．116°D．97°
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF ＝S△ABC．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）
A．65°B．60°C．55°D．45°
8．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）
A．10：05B．20：01C．20：10D．10：02
9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）
A．9B．6C．4D．3
10．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2
11．的立方根是（）
A．2B．±2C．8D．﹣8
12．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）
A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12
二、填空题（共4小题）.
13．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，则x2+y2的值为．
14．已知a﹣b＝b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，则ab+bc+ca的值等于．
15．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA＝2，CO＝，那么CB的长为．
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．
三、解答题：17，18，19，20每题6分，21题8分，22，23题每题10分．
17．计算：
（1）
（2）（2x3y）2?（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
（3）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）
18．已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
19．已知x2﹣5x＝14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．
20．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH 是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
21．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
22．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边，BC，CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC 于E，AF⊥CD交CD延长线于F，若BC＝8，CD＝3，则CE＝．
23．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）＝＝；
（二）＝＝＝﹣1；
（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简＝．
②参照（三）式化简＝．
（2）化简：+++…+．
参考答案
一、单选题（共12小题）.
1．下列运用平方差公式计算，错误的是（）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1D．（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2
解：根据平方差得（2x+1）（2x﹣1）＝4x2﹣1，所以C答案错误．
故选：C．
2．如图，在边长为a的正方形上剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分剪拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
解：阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
3．如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（）
A．122°B．151°C．116°D．97°
解：∵AB∥CD，∠1＝58°，
∴∠EFD＝∠1＝58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD＝∠EFD＝×58°＝29°，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝180°﹣∠GFD＝151°．
故选：B．
4．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）
A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故选：C．
5．如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，
故选：A．
6．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF ＝S△ABC．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，
∴∠BAE＝∠CAE＝52°，
∴①正确；
∵∠C＝40°，AD⊥BC，
∴∠CAD＝50°，
∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，
∴②正确；
∵△AEF是斜三角形，△AED是直角三角形，
∴△AEF和△AED不全等，
∴EF≠ED，
∴③错误；
∵点F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∴S△ABF＝S△ABC，
∴④正确；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD 的度数为（）
A．65°B．60°C．55°D．45°
解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，
∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝95°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
8．如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）
A．10：05B．20：01C．20：10D．10：02
解：由图分析可得题中所给的“10：05”与“20：01”成轴对称，这时的时间应是20：01．
故选：B．
9．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）
A．9B．6C．4D．3
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，
∴4×ab+（a﹣b）2＝25，
∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，
∴a﹣b＝3，
故选：D．
10．已知，如图，长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）
A．6cm2B．8 cm2C．10 cm2D．12 cm2
解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE＝ED．
∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．
∴BE＝9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2＝BE2．
∴32+AE2＝（9﹣AE）2．
解得：AE＝4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4＝6（cm2）．
故选：A．
11．的立方根是（）
A．2B．±2C．8D．﹣8
解：，
，
∴的立方根是2．
故选：A．
12．已知|a|＝5，＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．2或12B．2或﹣12C．﹣2或12D．﹣2或﹣12解：∵|a|＝5，
∴a＝±5，
∵＝7，
∴b＝±7，
∵|a+b|＝a+b，
∴a+b＞0，
所以当a＝5时，b＝7时，a﹣b＝5﹣7＝﹣2，
当a＝﹣5时，b＝7时，a﹣b＝﹣5﹣7＝﹣12，
所以a﹣b的值为﹣2或﹣12．
故选：D．
二、填空题：共4题，每题3分，共12分．
13．已知（x+y）2＝1，（x﹣y）2＝49，则x2+y2的值为25．
解：由题意知：（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，
（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝49②，
①+②得：（x+y）2+（x﹣y）2，
＝x2+y2+2xy+x2+y2﹣2xy，
＝2（x2+y2），
＝49+1，
＝50，
∴x2+y2＝25；
故答案为：25．
14．已知a﹣b＝b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，则ab+bc+ca的值等于﹣．解：∵a﹣b＝b﹣c＝，
∴（a﹣b）2＝，（b﹣c）2＝，a﹣c＝，
∴a2+b2﹣2ab＝，b2+c2﹣2bc＝，a2+c2﹣2ac＝，
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝++＝，
∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，
∴1﹣（ab+bc+ca）＝，
∴ab+bc+ca＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
15．如图，以Rt△ABC的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO．若CA＝2，CO＝，那么CB的长为2+2．
解：如图，在BC上截取BD＝AC，连接OD．
∵∠CAO＝90°﹣∠AHC，∠OBD＝90°﹣∠OHB，∠OHB＝∠AHC，
∴∠CAO＝∠DBO，
∵四边形ABEF是正方形，
∴OA＝OB，
在△BOD和△AOC中，
，
∴△BOD≌△AOC（SAS），
∴OD＝OC＝，
∠BOD＝∠AOC，
∵∠BOD+∠DOH＝90°，
∴∠DOH+∠COA＝90°，
即：∠COD＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴CD＝2（勾股定理）
∴BC＝2+2．
故答案为：2+2．
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为32或42．解：在Rt△ABD中，BD＝＝9；
在Rt△ACD中，CD＝＝5，
∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，
∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．
三、解答题：17，18，19，20每题6分，21题8分，22，23题每题10分．
17．计算：
（1）
（2）（2x3y）2?（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷（2x2）
（3）（6m2n﹣6m2n2﹣3m2）÷（﹣3m2）
解：（1）原式＝1+4﹣1＝4；
（2）原式＝4x6y2?（﹣2xy）﹣8x9y3÷2x2
＝﹣8x7y3﹣4x7y3
＝﹣12x7y3；
（3）原式＝﹣2n+2n2+1．
18．已知：2a2+3a﹣6＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．解：由2a2+3a﹣6＝0得：2a2+3a＝6，
原式＝6a2+3a﹣4a2+1＝2a2+3a+1＝6+1＝7．
19．已知x2﹣5x＝14，求（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1的值．
解：（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2+1，
＝2x2﹣x﹣2x+1﹣（x2+2x+1）+1，
＝2x2﹣x﹣2x+1﹣x2﹣2x﹣1+1，
＝x2﹣5x+1．
当x2﹣5x＝14时，
原式＝（x2﹣5x）+1＝14+1＝15．
20．如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，BH 是等腰三角形AC边上的高．猜想：PE、PF和BH间具有怎样的数量关系？
解：PE+PF＝BH．理由如下：
连接AP．
∵AB＝AC，
∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP＝AB×PE+AC×PF＝AC×（PE+PF），
∵S△ABC＝AC×BH，
∴PE+PF＝BH．
21．已知：如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BE＝CE＝8，
在Rt△ACE中，利用勾股定理可知：AE＝＝＝6，
设BD＝x，则DE＝8﹣x，DC＝16﹣x，
又DA⊥CA，
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝DC2﹣AC2，
代入为：62+（8﹣x）2＝（16﹣x）2﹣102，解得：x＝．
即BD＝．
22．（1）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边，BC，CD上，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+FD．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F 分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有EF＝BE+FD，说明理由．
（3）如图3，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC 于E，AF⊥CD交CD延长线于F，若BC＝8，CD＝3，则CE＝．
【解答】（1）证明：把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，如图1所示：则△ADG≌△ABE，
∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，
又∵∠EAF＝45°，即∠DAF+∠BEA＝∠EAF＝45°，
∴∠GAF＝∠FAE，
在△GAF和△FAE中，，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴GF＝EF．
又∵DG＝BE，
∴GF＝BE+DF，
∴BE+DF＝EF；
（2）解：∠BAD＝2∠EAF．理由如下：
如图2所示，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABM＝180°，
∴∠D＝∠ABM，
在△ABM和△ADF中，，
∴△ABM≌△ADF（SAS）
∴AF＝AM，∠DAF＝∠BAM，
∵∠BAD＝2∠EAF，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAB+∠BAM＝∠EAM＝∠EAF，
在△FAE和△MAE中，，∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴EF＝EM＝BE+BM＝BE+DF，
即EF＝BE+DF；
（3）解：
∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AE＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
同理：Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴CE＝CF，
∴BC+CD＝BE+CE+CF﹣DF＝2CE，
∵BC＝8，CD＝3，
∴CE＝，
故答案为：．
23．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
（一）＝＝；
（二）＝＝＝﹣1；
（三）＝＝＝＝﹣1．以上这种化简的方法叫分母有理化．
（1）请用不同的方法化简：
①参照（二）式化简＝﹣．
②参照（三）式化简＝﹣．
（2）化简：+++…+．
解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝＝﹣；
（2）原式＝+++…+＝＝．
故答案为：（1）①﹣；②﹣