北师大版七年级数学下册学习平方差公式应注意的八个变化(含答案)
新北师大版平方差公式从基础到升华8种应用和培优习题精讲
新北师大版平方差公式从基础到升华八种应用和习题精编+答案解析在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。
抓住公式的几个变形形式利于理解公式。
但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有“相同项”，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如(a+b)(a-b)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)图形表示：做题步骤：1）先判断能否使用平方差公式。
判断依据：一对相等项，一对相反项。
2）如果可以使用，则一般情况下我们可以将相等的一项放在多项式的第一位进行计算（第一个数的平方减去第二个数的平方）；3）不管能否使用平方差公式，多项式乘以多项式是基本方法。
表达式:(a+b)(a-b)=a2-b2,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式注意事项：（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；平方差公式1.平方差公式：22))((b a b a b a -=-+（1） 36－x 2 （2）a 2－91b 2 （3） x 2－16y 2 （4） x 2y 2－z 2（5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2 （7） 25(a+b)2－4(a －b)23.填空：(1)、(2x-1)( )=4x 2-1 (2)、(-4x+ )( -4x)=16x 2-49y 2公式应用第一种情况：直接运用公式（1）（3a+2b ）（3a －2b ）－b （a －b ） （2）（a －1）（a －2）（a+1）（a+2）【答案】：（1）9a 2－ab －3b 2 （2）a 4－5a 2+4 第二种情况：运用公式使计算简便（1）102×98 （2）234×314 （3）－2.7×3.3（4）1007×993 （5）1213×1123 （6）－1945×2015【答案】：（1）9996 （2）81516（3）－8.91 （4）999 951 （5）14389（6）－399.96 第三种情况：两次或者两次以上运用平方差公式1、（a+b ）(a-b)(a 2+b 2)2、(a+2)(a-2)(a 2+4)3、(x- 12)(x 2+ 14)(x+ 12)第四种情况：需要先变形再用平方差公式1、（-2x-y ）(2x-y)2、(y-x)(-x-y) 3.(-2x+y)(2x+y)4.(4a-1)(-4a-1)5.(b+2a)(2a-b)6.(a+b)(-b+a)7.(ab+1)(-ab+1)第五种情况：每个多项式含三项或者三个以上1. （a+2b+c ）(a+2b-c)2. (a+b-3)(a-b+3)3. x-y+z)(x+y-z)4. (m-n+p)(m-n-p)第六种情况：变化指数幂后进行应用1248-能被60和70之间的两个数整除，这两个数各是多少？解析：因为48=2×24，所以22424248)2()2(2==，6365)12)(12(79)12)(12)(12()12)(12)(12)(12)(12()12)(12)(12)(12()12)(12)(12(]1)2)[(12()12)(12()12)(12(1)2(121224612243361224661224121224212242424242422448⨯⨯++=⨯⨯+++=-++++=+-++=-++=-+=-+=-+=-=-由60<65,63<70,所以这两个是63,65，第七种情况，在排列组合中的应用已知)10,...,1(9==+i y x i i ，求值∑∑===10110122i i i i y x解析：由9,...9,9x 10102211=+=+=+y x y x y ，得10211021......x y y y x x +++=+++，()0)]...()...[(9)...(9))((...))(())((...)()()...()...x 102110211010221110101010222211112102102222212121022212102221=+++++++=-++-+-=-+++-++-+=-++-+-=+++-+++y y y x x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x （故原命题成立第八种情况，在根式中的应用平方差公式练习题精选培优篇一、基础训练1．下列运算中，正确的是（）A．（a+3）（a-3）=a2-3 B．（3b+2）（3b-2）=3b2-4 C．（3m-2n）（-2n-3m）=4n2-9m2 D．（x+2）（x-3）=x2-6 2．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A．（x+1）（1+x）B．（12a+b）（b-12a）C．（-a+b）（a-b）D．（x2-y）（x+y2）3．对于任意的正整数n，能整除代数式（3n+1）（3n-1）-（3-n）（3+n）的整数是（）A．3 B．6 C．10 D．94．若（x-5）2=x2+kx+25，则k=（）A．5 B．-5 C．10 D．-105．9.8×10.2=________;6．a2+b2=（a+b）2+______=（a-b）2+________．7．（x-y+z）（x+y+z）=________; 8．（a+b+c）2=_______．9．（12x+3）2-（12x-3）2=________．10．化简（1）（2a-3b）（2a+3b）；（2）（-p2+q）（-p2-q）；（3）（x-2y）2；（4）（-2x-12y）2．（7）（3a+2b）（3a－2b）－b（a－b）（8）（a－1）（a－2）（a+1）（a+2）（9）（a+b）（a－b）+（a+2b）（a－2b）（10）（x+2y）（x－2y）－（2x+5y）（2x－5y）（11）（2m－5）（5+2m）+（－4m－3）（4m－3）（12）（a+b）（a－b）－（a－3b）（a+3b）+（－2a+3b）（－2a－3b）11．化简（1）（2a-b）（2a+b）（4a2+b2）；（2）（x+y-z）（x-y+z）-（x+y+z）（x-y-z）．12．运用平方差公式计算:220051200520042006-⨯（）（2）99×101×10 001．13．解方程:（1）2（x+3）（x－3）=x2+（x－1）（x+1）+2x（2）（2x－1）（2x+1）+3（x+2）（x－2）=（7x－1）（x+1）（3）计算：（4x－3y－2a+b）2－（4x+3y+2a－b）214．有一块边长为m的正方形空地，想在中间位置修一条“十”字型小路，•小路的宽为n，试求剩余的空地面积；用两种方法表示出来，比较这两种表示方法，•验证了什么公式？二、能力训练15．如果x2+4x+k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为（）A．4 B．2 C．-2 D．±216．已知a+1a=3，则a2+21a，则a+的值是（）A．1 B．7 C．9 D．1117．若a-b=2，a-c=1，则（2a-b-c）2+（c-a）2的值为（）A．10 B．9 C．2 D．118．│5x-2y│·│2y-5x│的结果是（）A．25x2-4y2B．25x2-20xy+4y2C．25x2+20xy+4y2D．-25x2+20xy-4y2 19．若a2+2a=1，则（a+1）2=_________．三、综合训练20．（1）已知a+b=3，ab=2，求a2+b2；（2）若已知a+b=10，a2+b2=4，ab的值呢？（3）先化简，再求值:（3a+1）（3a－1）－（2a－3）（3a+2），其中a=－13．21．解不等式（3x-4）2>（-4+3x）（3x+4）．22．观察下列各式的规律．12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2；…（1）写出第2007行的式子；（2）写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．参考答案1．C 点拨：在运用平方差公式写结果时，要注意平方后作差，尤其当出现数与字母乘积的项，系数不要忘记平方；D项不具有平方差公式的结构，不能用平方差公式，•而应是多项式乘多项式．2．B 点拨：（a+b）（b-a）=（b+a）（b-a）=b2-a2．3．C 点拨：利用平方差公式化简得10（n2-1），故能被10整除．4．D 点拨：（x-5）2=x2-2x×5+25=x2-10x+25．5．99.96 点拨：9.8×10.2=（10-0.2）（10+0.2）=10-0.2=100-0.04=99.96．6．（-2ab）；2ab7．x2+z2-y2+2xz点拨：把（x+z）作为整体，先利用平方差公式，•然后运用完全平方公式．8．a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点拨：把三项中的某两项看做一个整体，•运用完全平方公式展开．9．6x 点拨：把（12x+3）和（12x-3）分别看做两个整体，运用平方差公式（12x+3）2-（12x-3）2=（12x+3+12x-3）[12x+3-（12x-3）]=x·6=6x．10．（1）4a2-9b2；（2）原式=（-p2）2-q2=p4-q2．点拨：在运用平方差公式时，要注意找准公式中的a，b．（3）x4-4xy+4y2；（4）解法一：（-2x-12y）2=（-2x）2+2·（-2x）·（-12y）+（-12y）2=4x2+2xy+14y2．解法二：（-2x-12y）2=（2x+12y）2=4x2+2xy+14y2．点拨：运用完全平方公式时，要注意中间项的符号．（5）9a2－ab－3b2（6）a4－5a2+4（7）2a2－5b2（8）21y2－3x2(9）－12m2－16(10) 4a2－b212．（1）利用平方差公式把2004×2006=（2005-1）（2005+1）=2005²-1，化简即可得到2005（2）利用99×101=99×（100+1）=9999，代入得到99 999 99913．（1）原式=（4a2-b2）（4a2+b2）=（4a2）2-（b2）2=16a4-b4．点拨：当出现三个或三个以上多项式相乘时，根据多项式的结构特征，•先进行恰当的组合．（2）原式=[x+（y-z）][x-（y-z）]-[x+（y+z）][x-（y+z）]=x2-（y-z）2-[x2-（y+z）2]=x2-（y-z）2-x2+（y+z）2=（y+z）2-（y-z）2=（y+z+y-z）[y+z-（y-z）]=2y·2z=4yz．点拨：此题若用多项式乘多项式法则，会出现18项，书写会非常繁琐，认真观察此式子的特点，恰当选择公式，会使计算过程简化．（3）．先化简3a2+5a+5，代入得到结论11 314．解法一：如图（1），剩余部分面积=m2-mn-mn+n2=m2-2mn+n2．解法二：如图（2），剩余部分面积=（m-n）2．∴（m-n）2=m2-2mn+n2，此即完全平方公式．点拨：解法一：是用边长为m的正方形面积减去两条小路的面积，注意两条小路有一个重合的边长为n的正方形．解法二：运用运动的方法把两条小路分别移到边缘，剩余面积即为边长为（m-n）•的正方形面积．做此类题要注意数形结合．15．D 点拨：x 2+4x+k 2=（x+2）2=x 2+4x+4，所以k 2=4，k 取±2．16．B 点拨：a 2+21a =（a+1a）2-2=32-2=7． 17．A 点拨：（2a-b-c ）2+（c-a ）2=（a+a-b-c ）2+（c -a ）2=[（a-b ）+（a-c ）] 2+（c-a ）2=（2+1）2+（-1）2=9+1=10．18．B 点拨：（5x-2y ）与（2y-5x ）互为相反数；│5x-2y │·│2y-5x │=（5x-•2y ）2•=25x 2-20xy+4y 2．19．2 点拨：（a+1）2=a 2+2a+1，然后把a 2+2a=1整体代入上式．20（1）a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ．∵a+b=3，ab=2，∴a 2+b 2=32-2×2=5．（2）∵a+b=10，∴（a+b ）2=102，a 2+2ab+b 2=100，∴2ab=100-（a 2+b 2）．又∵a 2+b 2=4，∴2ab=100-4，ab=48．点拨：上述两个小题都是利用完全平方公式（a+b ）2=a 2+2ab+b 2中（a+）、ab 、（a 2+b 2）•三者之间的关系，只要已知其中两者利用整体代入的方法可求出第三者．21．（3x -4）2>（-4+3x ）（3x+4），（3x ）2+2×3x ·（-4）+（-4）2>（3x ）2-42，9x 2-24x+16>9x 2-16，-24x>-32．x<43． 点拨：先利用完全平方公式，平方差公式分别把不等式两边展开，然后移项，合并同类项，解一元一次不等式．22．（1）（2007）2+（2007×2008）2+（2008）2=（2007×2008+1）2（2）n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1] 2．证明：∵n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=n 2+n 2（n+1）2+n 2+2n+1=n 2+n 2（n 2+2n+1）+n 2+2n+1=n 2+n 4+2n 3+n 2+n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1．而[n （n+1）+1] 2=[n （n+1）] 2+2n （n+1）+1=n 2（n 2+2n+1）+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+n 2+2n 2+2n+1=n 4+2n 3+3n 2+2n+1，所以n 2+[n （n+1）] 2+（n+1）2=[n （n+1）+1]²。
北师大版七年级下(新教材)1.5 平方差公式(二)
练一练
计算： （1）704×696 ； （2）9.9 ×10.1
例4
计算： （1）a2(a+b)(a－b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
练一练
计算： （1）(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1) （2）x(x-1)- (x 1) (x 1)
33
自我检测
图1-4
（3）比较（1）（2）的结果，你能验证 平方差公式吗？
活动探究二
1、计算下列各组算式，并观察它们的共同
特点
7×9=
11×13=
79×81=
8×8=
12×12=
80×80=
2、从以上过程中，你发现了什么规律？
3、请用字母表示这一规律，你能说明它的 正确性吗？
例3
用平方差公式进行计算： （1）103×97 ； （2）118×122 （100+3）（100-3） （120-2）（120+2）
5 平方差公式（第2课时）
1、平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2
2、公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与
这两数差的积；右边是两数的平方差。
3、应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
3）注意计算过程中的符号和括号
活动探究一
计算： 1） 2001×1999 -20002
2）(3mn+1)(3mn-1)-8m2n2
3） (1 x 2) (1 x 2) - 1 x（x+8）
2
2
4
北师大版七下1.7 平方差公式(含答案)-
1.7 平方差公式(总分100分 时间40分钟)一、填空题:(每题4分,共24分) 1.(x+6)(6-x)=________,11()()22x x -+--=_____________.2.222(25)()425a b a b --=-. 3.(x-1)(2x +1)( )=4x -1.4.(a+b+c)(a-b-c)=[a+( )][a-( )].5.(a-b-c-d)(a+b-c+d)=[( )+( )][( )-( )]6. 18201999⨯=_________,403×397=_________. 二、选择题:(每题6分,共18分)7.下列式中能用平方差公式计算的有( )①(x-12y)(x+12y), ②(3a-bc)(-bc-3a), ③(3-x+y)(3+x+y), ④(100+1)(100-1) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.下列式中,运算正确的是( )①222(2)4a a =, ②2111(1)(1)1339x x x -++=-, ③235(1)(1)(1)m m m --=-, ④232482a b a b ++⨯⨯=.A.①②B.②③C.②④D.③④9.乘法等式中的字母a 、b 表示( )A.只能是数B.只能是单项式C.只能是多项式D.单项式、•多项式都可以三、解答题:(共58分)10.计算(a+1)(a-1)(2a +1)(4a +1)(8a +1).(7分)11.计算:22222110099989721-+-++- .(7分)12.(1)化简求值:(x+5)2-(x-5)2-5(2x+1)(2x-1)+x ·(2x)2,其中x=-1.(6分)(2)解方程5x+6(3x+2)(-2+3x)-54(x-13)(x+13)=2.(8分)13.计算:2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23499100-----. (7分)14.计算:2481511111(1)(1)(1)(1)22222+++++. (7分)15.已知9621-可以被在60至70之间的两个整数整除,则这两个整数是多少?(8分)16.已知3n m +能被13整除,求证33n m ++也能被13整除.(8分) 答案: 1.36-x 2,x 2-14 2.-2a 2+5b 3.x+1 4.b+c,b+c 5.a-c,b+d,a-c,b+d 6.3239981, 159991 7.D 8.C 9.D 10.16a -1 11.5050 12.(1)-36 (2)x=413.原式=22222(21)(21)(31)(31)(41)(41)(991)(991)(1001)(1001)23499100+-+-+-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯=11011012100200⨯=⨯. 14.原式=248151111112(1)(1)(1)(1)(1)222222-+++++=1615112(1)222-+=. 15.96148248482(2)1(21)(21)-=-=+-=482424(21)(21)(21)++-=48241266(21)(21)(21)(21)(21)++++-=482412(21)(21)(21)6563+++⨯⨯∴这两个整数为65和63.16.33n m ++333273(261)32633n n n n n m m m m =⨯+=⨯+=+⨯+=⨯++∵263n ⨯能被13整除,3n m +能被13整除∴33n m ++能被13整除.。
北师大版七下《平方差公式》(试题+参考答案)
平方差公式【目标导航】1．知道平方差公式的结构特征；2．知道平方差公式是多项式乘法的特殊情况；3．会正确运用平方差公式进行计算．【问题探究】一．探究计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) (x +1)(x - 1)= ;(2) (m +2)(m - 2)= ;(3) （2011江苏连云港）分解因式：x 2－9＝_ ▲ ．(4) (a +b )(a -b )= .语言表述（4）式：．这个公式叫做（乘法的）平方差公式二．平方差公式的几何解释：三．例题例１先判断下列各式满足平方差公式的结构特征，然后运用平方差公式计算：(1) (3x +2)(3x -2);(2) (b +2a )(2a -b );(3) (-x +2y )(-x -2y ).例２运用平方差公式计算：(1) 102×98 (2)52115312⨯ 例3计算：(1)(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(-2x-3y)(2x-3y)(2)))()((22y x y x y x ++-(3))161)(41)(21)(21(42a a a a +++-(4) （2011江苏无锡）a(a-3)+(2-a)(2+a)【课堂操练】一.填空1．（2011常州市）分解因式：______92=-x212．(-a -b )(a -b )=3．（2011广东株洲）当x=10，y=9时，代数式x 2-y 2的值是4．=+---)21)(21(b b 5．(x -1) =21x -6．(a +b ) =22a b -二.判断:７.(0.5a-0.1)(0.5a+0.1)=1.025.02-a８.(a-b)(a+b)4422)(b a b a -=+９.2222)1()1()1(-=--a a a 10.y x y x y x y x y x --=+++884422))()(( 11.22)())((c b a c b a c b a -+=+--++ 12.5523233333)()())((b a b a b a b a -=-=-+三.选择13.下列各式:①(x-2y)(2y+x) ② (x-2y)(-x-2y) ③(-x-2y)(x+2y) ④ (x-2y)(-x+2y)其中能用平方差公式计算的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④14.等式)43(22y x --( )=44916x y -中括号内应填入下式中的( )A.2243y x -B.2234x y -C.2243y x --D.2243y x +15.若52022-=+=-y x y x 且,则x -y 的值是( )A.5B.4C.-4D.以上都不对16.计算)())()((4422b a b a b a b a +-++-等于( )A.42aB.42bC.42a -D.42b -17.))((n m n m b a b a +-等于( )A.n m b a22- B.22n m b a - C.n m b a 22+ D.m n a b 22-2218.)43)(34()23)(32(y x x y x y y x +--+-的计算结果为( )A 221325x y - B.22213y x +C.222513y x -D.222513y x +四.应用平方差公式计算:19. 59.8×60.220. 2001×1999 21. 74197320⨯ 22. (1-mn )(mn +1) 23. )5675)(752.1(x y y x ---24. （2011福建福州）分解因式:225x -25.（2011浙江省舟山）分解因式：822-x【课后巩固】五.运用平方差公式计算：（1）2004×2002-22003（2）1.03×0.97 （3）2222482521000- （4）20062004200520052⨯- 六．计算： （5）)14)(21)(12(2++-a a a（6）)214)(214(22+-y x y x（7）)237)(237(22y x y x --- （8）)9)(3)(3(2+-+x x x（9）)2)(2())((y x y x y x y x +-++-+（10）(x +2y )(x -2y )-(x -4y )(x +4y )+(6y -5x )(5x +6y )七．先化简,再求值:（11）（2011宁波市）先化简，再求值：（a ＋2）(a －2)＋a (1－a )，其中a ＝5(12)．(x +2)(2-x )+x (x +1) 其中x =－1．(13)．(2011浙江绍兴)先化简，再求值：2(2)2()()()a a b a b a b a b -++-++，其中1,12a b =-=. 八．（1４）如果0)5()3(42=+-+-+y x y x ,求22y x -的值.(15)．解不等式组:(3)(3)(2)1(25)(25)4(1)x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ ① ② 【课外拓展】（16）．填空：(a -b +c )( a +b -c )=( )2-( )2(3a -4b +5c )(-3a -4b +5c )= ( )2- ( )2(1７)．观察下列等式：① 4×2=32－12；② 4×3=42－22；③ 4×4=52－32；④ （ ）×（ ）=（ ）2－（ ）2；……则第4个等式为 ；第n 个等式为 ．（n 是正整数）（1８）．平方差公式的特征：左边为两个数的和乘以这两个数的差．右边为这两个数的平方差．公式的常见变形:位置变化:)2132)(3221(a b b a -+ 符号变化:(-3x -2y )(3x -2y )指数变化:))((2121+-+--+n m n m b a b a系数变化:(4a+4b )(a-b )因数变化:309×291较复杂的变化:(3x +2y -1)(3x -2y +1)(19)．运用平方差公式计算：22222212979899100-++-+-)12()12)(12)(12(3242++++)10011()2511)(1611)(911)(411(----- 参考答案：【问题探究】一．探究1.（1）x ²－1； （2）m ²－4；（3）【答案】（x －3）（x ＋3）； （4）a ²－b ²；两数和与两数差的相乘，等于完全相同的项的平方减去绝对值相同而符号相反的项的平方所得的差.二．平方差公式的几何解释：图1（1）的阴影部分的面积为22a b -；图1（2）的阴影面积为()()a b a b +-；（2）比较两个图形，有()()a b a b +-=22a b -，此即为“平方差公式”从而验证了平方差公式(a ＋b )(a －b )= a ²－b ².三．例题例1(1) 解：原式=9 x ²－4（2）解：原式=(x －3)2＋3(x －3)= 4a ²－b ²（3）解：原式=(2x +3)(2x －3)= x ²－4y ²例２（1）解：原式=(100+2) ×(100－2)= 100²－2²=9996（2）解：原式=(12＋35)(12－35) =1431625例3 （1）= 4x²－y²－2(4x²－9y²)－2(9y²－4x²)=26x ²－18y ²（2）解：原式= x 4－y 4（3）解：原式=(1－4a ² ) (1+4a ² ) (1+16 a 4 )=1－256a 8（4）【答案】解：原式=a ²－3a ＋4－a 2＝－3a ＋4【课堂操练】1. (x +3) (x －3)2. b ²－a ²3. 194. b ²－145. (-1－x )6. (-a +b )二、判断题7.（错误）8. （ 正确）9. （ 正确）10. （ 错误 ）11. （ 错误 ）12. （ 错误 ）三、选择题13.A 14.A 15.C 16.D 17.A 18.C四、计算：19. 解：原式=(60+0.2) ×(60－0.2)= 60²－0.2²=3599.620. 解：原式=(2000+1) ×(2000－1)= 2000²－1²=3999999921. 解：原式=(20+37) ×(20－37) = 20²－(37)² =399404922. 解：原式=1－m ²23. 解：原式=(57y ) ² －(1.2x )²= 2549y ²－2536x ²24.解：原式= (x +5) (x －5)25. 解：原式=2（x+2）(x-2)【课后巩固】（1）解：原式=（2003+1）（2003－1）－2003²=-1（2）解：原式=(1+0.03) ×1－0.03)=0.91（3）解：原式=1000²(250+248)(250-248)=1（4）解：原式=2005 2005²－ (2005+1)(2005-1)=2005六、（5）解：原式= 16 a 4－1（6）解：原式= 16 y ²x 4－14（7）解：原式= 94y ²x 4 －49 （8）解：原式= x 4 －81（9）解：原式= x 2 －y 2+4y 2-x 2=3 y ²（10）解：原式= x 2 -4y 2-x 2+16y 2+36y 2－25x 2=48y ²－25 x ²七（11）解：原式＝a 2－4＋a －a 2＝a －4当a ＝5时，原式＝5－4＝1（12）解：原式=4－x ²+ x ²+x =4+x当x =－1时，原式＝4－1＝3（13）原式=4a ²－b ²当a=1 2,b =1时，原式=0. 八（14）解：因为(x +y －3) ²+(x －y +5) 4=0.所以x +y －3=0，x －y +5=0，故x =－1， y =4x ²－y ²= (x +y ) +(x －y )= －15（15）解：解不等式①得x>5;解不等式②得x>254所以原不等式组的解集为x>254【课外拓展】（16）a ²－（b －c ）²(5c －4b ²)－（3a ）²（17）4×5=62－424×n =(n +1)2－(n +1)2；（18）解：原式=（23b +12a ）－（23b +12a ） =49b ²－14a ² 解：原式=(-2y -3x )(-2y +3x )=4y ²－9x ²解：原式=a 2(m -1)－b 2(n +2)解：原式=4(a+b )(a-b )=4a ²－b ²解：原式=(300+9) ×(300－9)= 300²－9²=59919解：原式=(3x)²－(2y －1)²= 9x ²－4y ²+4y -1（19）解：原式= (100+99) ×(100－99)+ (98+97)(98+97)+…+(2+1)(2-1) =5050解：原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=264-1.解：原式=(1+12)(1-12)(1+13)(1-13)(1+14)(1-14)…(1+110)(1-110) =32×12×43×23×54×34×…×1110×910=1120。
学习平方差公式应注意的八个变化
学习平方差公式应注意的八个变化
1.喜：平方差是指两个数的平方之差，即(a+b)(a-b)=a^2-b^2、这是
平方差公式的基本形式，我们需要理解这一概念。
2. 子：平方差公式还可以写成(a+b)^2-a^2=2ab+b^2、这是平方差公
式的展开形式，我们可以通过对(a+b)^2进行展开和简化，得到平方差的
另一种形式。
3. 商：平方差公式还可以写成(a-b)^2=a^2-2ab+b^2、这是平方差公
式的另一种展开形式，和上述形式相比，这里的b替换为了-b。
4.铺：在应用平方差公式时，我们需要注意平方差公式的适用范围。
平方差公式适用于任意实数a和b，但是要注意避免除数为零的情况。
5.喜子：在实际问题中，平方差公式常常用于解决两个数的乘积的问题，比如计算面积或者长度。
我们需要将问题转化为平方差公式的形式，
再进行计算。
6.子喜：平方差公式还可以用于因式分解的过程中。
当我们需要将一
个多项式进行因式分解时，可以考虑是否可以利用平方差公式的特性。
7.商铺：平方差公式还可以扩展到三个数的平方差的情况。
比如，对
于(a+b+c)(a+b-c)，我们可以利用平方差公式进行展开和计算。
8.喜子的商铺：除了上述变化外，还有很多其他的应用变化可以利用
平方差公式解决。
当我们遇到问题时，可以将其转化为平方差公式的形式，并进行相应的计算。
以上是学习平方差公式应注意的八个变化。
掌握了这些变化，我们就
可以更灵活地应用平方差公式解决问题，提高数学求解能力。
数学初一年级北师大版下平方差公式知识点
数学初一年级北师大版下平方差公式知识
点
知识点
表达式:(a+b)(a-b)=a-b,两个数的和与这两个数差的积,等于这两个数的平方差,这个公式就叫做乘法的平方差公式
公式运用
可用于某些分母含有根号的分式:
1/(3-4倍根号2)化简:
1×(3+4倍根号2)/(3-4倍根号2);=(3+4倍根号2)/(9-32)=(3+4倍根号2)/-23
注意事项：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后练习
平方差公式知识点的全部内容就是这些，不知道大家
是否已经都掌握了呢？预祝大家以更好的学习，取得优异的成绩。
2020年-北师大版七年级数学下册 教案 1.5 平方差公式(2)--含答案
2020年-北师大版七年级数学下册教案 1.5 平方差公式(2)–含答案知识点概述在上一节课中，我们学习了平方差公式的概念和应用。
本节课将继续学习平方差公式的扩展和运用，帮助同学们更深入地理解和掌握这个重要的数学公式。
学习目标•理解平方差公式的推导和运用原理；•学会使用平方差公式求解具体问题；•培养分析和解决实际问题的能力。
教学过程一、复习与导入（5分钟）首先，我们进行上节课学习内容的复习。
请同学们回顾一下平方差公式的定义和基本运用方法。
二、知识讲解（15分钟）1.题目引入：先给出一个具体问题，引发同学们的思考。
题目：小明的年龄是小红年龄的平方减1，小红今年5岁，那么请问小明今年多少岁？这个问题可以使用平方差公式来解决。
我们先设小明今年的年龄为X岁，根据题目已知条件，我们可以写出方程：X^2 - 1 = 5。
利用平方差公式求解这个方程，就可以得到小明今年的年龄。
2.引导同学们使用平方差公式解题。
讲解平方差公式的推导过程，即(X+1)(X-1) = X^2 - 1。
然后，将这个公式代入方程求解，并得出答案。
解答过程：(X+1)(X-1) = X^2 - 1 = 5X^2 - 1 = 5X^2 = 6X = ±√6因为题目要求年龄必须为正整数，所以小明今年的年龄为√6岁。
3.总结平方差公式的用法和注意事项。
平方差公式的用法：将一个数的平方减去另一个数的平方，可以使用平方差公式进行简化。
注意事项：在使用平方差公式时，要注意方程的形式和要求解的条件。
三、练习（20分钟）1.练习1：计算下列各题。
1)7^2 - 3^2 = ?2)15^2 - 7^2 = ?3)10^2 - 4^2 = ?4)20^2 - 15^2 = ?5)6^2 - 5^2 = ?（答案：1) 40 2) 176 3) 84 4) 275 5) 11）2.练习2：应用平方差公式解决实际问题。
1)小明今年的年龄是小红年龄的平方减4，小红今年10岁，那么请问小明今年多少岁？2)矩形的长是宽的平方减9，如果矩形的宽为8米，请问矩形的面积是多少平方米？四、总结与拓展（10分钟）1.总结本节课的学习内容。
北师大版七级下册数学平方差公式优选全文
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2.公式的特点：公式左边是两个 相乘，这两个二项式中的两项有一项 ，另一项 ；右边是左边两数的 （相同数的平方减去相反项的平方）1．计算：(1)(x ＋y)(x －y)＝ ；(2)(y ＋x)(x －y)＝ ；(3)(y －x)(y ＋x)＝ ；(4)(x ＋y)(－y ＋x)＝ ；(5)(－x －y)(－x ＋y)＝ ；(6)(x －y)(－x －y)＝ ；(7)(－y ＋x)(－x －y)＝ .2.利用平方差公式计算（1）（5+6x ）(5-6x) （2）(x+2y)(x-2y) （3） (-m+n)(-m-n)（4）)41)(41(y x y x +--- （5）(ab+8)(ab-8) （6）(x-2y)(-x-2y)3.计算(1) (x -y )(x 2+y 2)(x +y )； （2）)1)(1)(1)(1)(1(842++++-x x x x x(3) (x +y +2z )(x -y -2z ) （4) (x -y +3)(x +y -3)；2.几何意义例：如图所示，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a ＞b )，把余下的部分剪拼成一矩形如图，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是____ __．知识点二：逆用平方差公式公式： ，文字叙述：两数的 等于这两数 与这两数 的 ，1.已知3422=-y x ,x-y=2,求2x+2y 的值2.利用平方差公式进行简单计算：(1)1001×999+1； (2)20102 -2011×2009(3)224690123461234512347-⨯ ． （4）28888123456123455123457-⨯提高练习:1.（1）已知a +b =2，求代数式a 2 -b 2+4b 的值．（2）已知(2a +2b +1)(2a +2b -1)=63，求代数式a +b 的值．2.计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1(216+1)3．计算：1002－992＋982－972＋…＋22－1.。
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学习平方差公式应注意的八个变化
平方差公式：22))((b a b a b a -=-+
平方差公式是初中数学最基本、用途最广泛的公式。
学习时不仅记住公式的形式，还要把握住公式的实质，更重要的是弄清其形式的八个变化，以便更好地运用。
下面本文结合例题归纳平方差公式的八个变化，供同学们学习时使用。
1位置变化：22))(())(())((b a b a b a b a a b a b b a -=-+=-+=+-+
例1计算：))((n m m n -+
解：原式=22))((n m n m n m -=-+
2符号变化：2222)())(())((a b b a b a b a b a b a -=--=-+-=---
例2计算：))((y x y x ---
解：原式=2222)())((x y y x y x y x -=--=-+-
3系数变化：22222122212121)()())((b k a k b k a k b k a k b k a k -=-=-+（21,k k 均不为0）
例3计算：)87)(87(b a b a ---
解：原式=22226449])8()7[()87)(87(b a b a b a b a +-=--=-+-
4指数变化：n n n n n n n n b a b a b a b a 2222)()())((-=-=-+（n 为正整数） 例4计算：)4)(4(523523z y x z y x -+
解：把23y x 视为a ，把54z 视为b ，则有原式=10462522316)4()(z y x z y x -=- 5增项变化：22)())((c b a c b a c b a --=+---
例5计算：)243)(243(d c b a d c b a -+++-+
解：原式=22)24()3()]24()3)][(24()3[(d c b a d c b a d c b a --+=-++--+ 6数字变化：有的数字乘法，变化后可用平方差公式
例6计算：1234567901234567881234567892⨯-
解：原式=)1123456789()1123456789(123456789
2+⨯-- =)1123456789(12345678922--
=1112345678912345678922=+-
7连用公式变化：
)1(2)1(2224422)())()()((++-=++++-n n n n b a b a b a b a b a b a （n 为正整数）
例7计算：1
2)12)(12)(12)(12)(12(3216842-+++++ 解： 原式=1
2)12)(12)(12)(12)(12)(12(3216842-+++++- =1
2)12)(12)(12)(12)(12(32168422-++++- =1
2)12)(12)(12)(12(3216844-+++- =1
2)12)(12)(12(321688-++- =12)12)(12(321616-+-=11
2123232=-- 8逆用公式的变化：))((22b a b a b a -+=-
例8计算：)10
11)(911()411)(311)(211(22222-----
解：原式 =)10
11)(1011)(911)(911()411)(411)(311)(311)(211)(211(-+-+-+-+-+ =109101198910434532342123⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =20
11101121=⨯ 综上可见，在平方差公式中，字母a ，b 可以表示具体数，也可以表示单项式或者多项式，甚至可以是任意代数式，只要符合公式的特征即可用这个公式计算，这是正确理解平方差公式的关键。