高三向量知识点及典型例题.docx
高考数学《向量》专题复习专题训练.docx
高考《向量》专题复习1.向量的有关概念：（1）向量的定义：既有大小又有方向的量。
向量可以任意平移。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0.（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量。
任意向量的单位化：与共线的单位向量是±.（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量。
（5）平行向量又叫共线向量，记作：∥.①向量)0(→→→≠a a 与→b 共线，则有且仅有唯一一个实数λ，使→→=a b λ； ②规定：零向量和任何向量平行；④平行向量无传递性！（因为有)；（6）向量的加法和减法满足平行四边形法则或三角形法则；2.平面向量的坐标表示及其运算：（1）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a ++=+→→； （2）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，则),(2121y y x x b a --=-→→；（3）设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则=),(1212y y x x --； （4）设),(11y x a =→，),(22y x b =→，向量平行→→b a //1221y x y x =⇔； （5）设两个非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则2121y y x x b a +=⋅→→， 所以002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a ； （6）若),(y x a =→，则22y x a +=→；（7）定比分点：设点P 是直线21,p p 上异于21,p p 的任意一点，若存在一个实数λ，使 21PP P P λ=，则λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比，P 点叫做有向线段21P P 的以定比为λ的定比分点；当P 分有向线段21P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ. 注意：①设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段21P P 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。
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平面向量知识点+例题+练习+答案..五、平面向量1．向量的概念①向量既有大小又有方向的量。
向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜|。
]向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
向量表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。
如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
向量和数量的区别：向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
如已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））②零向量[ 长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0。
由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。
（注意与0的区别）③单位向量模为1个单位长度的向量，向量为单位向量｜｜＝1。
(与共线的单位向量是)；④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作∥，规定零向量和任何向量平行。
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线；数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。
(完整版)高考文科数学向量专题讲解及高考真题精选(含答案),推荐文档
．
① a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相同；当
0
时，
a
的方向与
a
的方向相反；当
0
时，
a
0
．
⑵运算律：①
a
a
；②
a
a
a
；③
a
b
a
b
．
⑶坐标运算：设
a
x,
y
，则
a
x,
y
x,
y
．
6.向量共线定理：向量 a
a
0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实数
，使
b
a
．
设
a
x1 y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
ab ba
向量的 1.平行四边形法则 加法 2.三角形法则
a b (x1 x2 , y1 y2 )
(a b) c a (b c)
向量的 三角形法则
减法
数 乘
1. a 是一个 向量,满足: | a || || a |
向
2. >0 时, a与a 同向;
量
<0 时, a与a异向;
=0 时, a 0 .
a b 是一个数
向
量
1. a 0或b 0 时，
的
数
ab 0.
量
积
a 0且b时，0 2.
(完整word版)高三数学空间向量专题复习附答案
一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。
求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。
例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。
zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。
三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。
(word版)高中数学平面向量知识点及习题分章节,文档
必修4§向量的概念及其表示当堂练习：1.以下各量中是向量的是()A.密度B.体积C.重力 D.质量2以下说法中正确的选项是〔〕A.平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量的长度为零D.共线向量是在一条直线上的向量uuuruuuruuuruuur3．设O是正方形ABCD 的中心，那么向量AO、OB、CO、OD是〔〕A．平行向量B．有相同终点的向量C．相等的向量D．模都相同的向量4.以下结论中,正确的选项是()A.零向量只有大小没有方向 B.对任一向量a,|a|>0总是成立的uuur〔1〕与AO相等的向量有uuur〔2〕写出与AO共线的向有uuur〔3〕写出与AO的模相等的有uuur uuur（〔4〕向量AO与CO是否相等？答（（9．O是正六边形ABCDE的中心，且（C，D，E，O为端点的向量中：（1〕与a相等的向量有（2〕与b相等的向量有（3〕与c相等的向量有；；；．uuur uuuruuurc，在以A，B，OA a，OB b，AB；；EFOA BC.|AB|=|BA| D.|AB|与线段BA的长度不相等5.假设四边形ABCD是矩形,那么以下命题中不正确的选项是() A.AB与CD共线 B.AC与BD相等C.AD与CB是相反向量D.AB与CD模相等6．O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，10．在如下图的量否存在：〔1〕是共线向量有〔2〕是相反向量的为；〔3〕相等向量的的；〔4〕模相等的向量．11．如图，△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，CA的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段中所表示的向量中，AF Euuur〔1〕与BC相等的向量有；uuur〔2〕与OB长度相等的向量有；uuur〔3〕与DA共线的向量有．7．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是．并对你的判断举例说明A ．8．如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正E方形，在图中所示的向量中：ODuuur〔1〕与向量FE共线的有．B D C uuur〔2〕与向量DF的模相等的有．uuur〔3〕与向量ED相等的有．12．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马〞，开始下棋时，它位于A点，这“马〞第一步有几种可能的走法？试在图中画出来．假设它位于图中的P点，这只“马〞第一步有种可能的走法？它能否从点A走到与它相邻的B？它能否从一交叉点出发，走到棋上的其它任何一个交B叉点？FC1必修4§向量的线性运算uuur|a|uuur1．a、b为非零向量，且|a b||a||b|，那么7．|OA|3，|OB||b|3，∠AOB=60，那么|ab|__________。
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(4)特殊的向量：零向量 a＝O ｜a｜＝O.单位向量 aO 为单位向量 ｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同：(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
x1
y1
x2 y2
(6) 相反向量：a=-b b=-a a+b=0
(7)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作 a∥b.
∴航向为北偏西 30 ． 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ，使之分别与力 F1 ， F2 ， F3 相等，由于 F1 ， F2 ，
F3 的合力为 0 ，则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA 的长度相等，又
由于力 F1 ， F2 ， F3 的大小相等，∴ OA OB OC ，则三角形 OCD 和三角形
6
6
（7）北偏西 300
（8） 1200
（9）略
m 6 m 3
（10） n 3
或
n
3 2
略解或提示：
1.由单位向量的定义即得 a b 1 ，故选（D）．
2.由于 AC AB AD ，∴ AC AB AD ，即 BC AD ，∴线段 BC 与线段 AD 平行且
相等，∴ ABCD 为平行四边形，选（A）．
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= PP aP bP c [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有 4 个，一个是内心，其余 3 个是旁心. 如图：
向量 MN 用 a 、 b 表示为
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
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平面向量专题复习一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。
如：2．零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuuruuur3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量( 与 AB 共线的单位向量是 AB ) ；uuur| AB |4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： a ∥ b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 , 但两条直线平行不包含两条直线重合； r③平行向量无传递性！ （因为有 0 ) ；uuur uuur④三点 A 、 B 、 C 共线 AB 、AC 共线；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－ a 。
如rr r r（ 3）若例 1：（ 1）若 ab ，则 a b 。
（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
uuur uuuruuur uuur r r r r AB r DC ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 AB DC 。
（ 5）若 a b,b c ，则r r r r r r ra c 。
（ 6）若 a // b,b //c ，则 a // c 。
其中正确的是 _______二、向量的表示1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量i ， j 为基底，r r rx, y ，称 x, y 为向量 a 的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j坐标表示。
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v1.0可编辑可修改第一部分：平面向量的概念及线性运算一. 基础知识 自主学习1．向量的有关概念名称定义既有又有的量；向量的大小叫做向量向量的()或称 零向量长度为 的向量；其方向是任意的长度等于的单位向量向量平行向量 方向或 的非零向量共线向量的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度 且方向 的向量相反向量长度 且方向 的向量2. 向量的线性运算法则 ( 或几何向量运算定义意义 )加法求两个向量和的运算备注平面向量是自由向量记作 0a非零向量 a 的单位向量为± |a |0 与任一向量 或共线两向量只有相等或不等， 不能比较大小0 的相反向量为 0运算律(1) 交换律：a ＋b ＝ b ＋a .(2) 结合律：( a ＋ b ) ＋c ＝ a ＋ ( b ＋ c ) ．求 a 与 b 的相反向量－ b 减法的和的运算叫做 a 与 ba －b ＝ a ＋( － b )的差法则(1)| λ aλ||aλ μa) ＝ λμ a；| ＝ ||.(求实数 λ 与向量 a 的积λaaaλa数乘(2) 当 λ >0 时，的方向与的方(λ ＋) ＝ ＋ ；的运算μ μa向；λ( a ＋b ) ＝ λa ＋ λb .v1.0 可编辑可修改当 λ<0 时， λ a 的方向与 a 的方向 ；当 λ＝ 0 时， λa ＝ 0.3. 共线向量定理向量 ( a ≠0) 与 b 共线的条件是存在唯一一个实数λ ，使得 ＝.ab λ a二. 难点正本疑点清源1．向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时， 与有向线段起点的位置没有关系． 同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线( 或重合 ) 的情况，而直线平行不包括共线的情况． 因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．三．基础自测→ → → →1．化简 OP － QP ＋ MS － MQ 的结果等于 ________ ．2．下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是_______．→ → → → →3．在△ ABC 中， AB ＝ c ，AC ＝ b . 若点 D 满足 BD ＝ 2DC ，则 AD ＝ ________( 用 b 、c 表示 ) ．4．如图，向量 a － b 等于 ()A ．－ 4e 1－ 2e 2B ．－ 2e 1－ 4e 2C ． e 1－ 3e 2D．3e 1－ e 2→ →→5．已知向量a ， ，且＝＋2，＝－5a ＋6 ， ＝ 7 － 2 ，则一定共线的三点是()bAB a b BCb CD a bA ．A 、B 、DB ．A 、B 、C C ．B 、C 、DD．A 、C 、 Dv1.0可编辑可修改四．题型分类深度剖析题型一平面向量的有关概念例 1给出下列命题：→ →①若 | a | ＝ | b | ，则 a ＝ b ；②若 A ， B ， C ， D 是不共线的四点，则 AB ＝DC 是四边形 A BCD 为平行四边形的充要条件；③若 ＝ ，＝ ，则 a ＝ ；④ ＝ b 的充要条件是 | a | ＝ | | 且 ∥ ；⑤若 a ∥ ， ∥ ，则 a ∥ . 其中正确的序号是 ________．a b b cc a b a b b b cc变式训练 1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1) 若向量 a 与 b 同向，且 | a | ＝ | b | ，则 a>b ；(2) 若 | a | ＝| b | ，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3) 若 | a | ＝| b | ，且 a 与 b 方向相同，则a ＝b ；(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5) 若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；→→(6) 若向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A ， B ， C ，D 四点在一条直线上； (7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8) 任一向量与它的相反向量不相等题型二 平面向量的线性运算→→→1→→1→→ → → 例 2 如图，以向量 OA ＝a ， OB ＝ b 为边作 ? OADB ， BM ＝ 3BC ， CN ＝3CD ，用 a 、b 表示 OM 、 ON 、 MN .→2→→ →变式训练 2 △ABC 中， AD ＝ 3AB ， DE ∥ BC 交 AC 于 E ， BC 边上的中线AM 交 DE 于 N . 设AB ＝ a ，AC ＝ b ，用 a 、b 表示向→ → → → → →量 AE 、BC 、 DE 、DN 、 AM 、 AN .题型三平面向量的共线问题3- 3→→→例 3设e1，e2是两个不共线向量，已知AB＝2e1－8e2， CB＝e1＋3e2， CD＝2e1－ e2.(1)求证： A、 B、 D三点共线；→(2)若 BF＝3e1－ ke2，且 B、 D、 F 三点共线，求 k 的值．变式训练3设两个非零向量 a 与 b 不共线，→→→(1)若 AB＝a＋ b， BC＝2a＋8b， CD＝3( a－ b)．求证： A、 B、 D三点共线；(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋ kb 共线．五．思想与方法5．用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在△中，→ ＝1→，→ ＝1→，与相交于点，设→ ＝，→＝. 试用a和b表示向量ABO OC 4OA OD 2OB AD BC M OA a OB b →OM.六．思想方法感悟提高方法与技巧1．将向量用其它向量( 特别是基向量 ) 线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如→ →→ →AB∥ CD且 AB与 CD不共线，则AB∥ CD；若 AB∥ BC，则 A、 B、C三点共线．失误与防范1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．七．课后练习1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0 (λ 为实数)，则λ 必为零；④λ，μ 为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误命题的个数为 ()A． 1 B． 2 C ． 3 D．42．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：→→→→AB ＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD=BC AD ；③ AC －BD＝→)DC+AB.其中正确的有(A．0 个 B ．1个C．2个D ． 3 个3. 已知 O、 A、B 是平面上的三个点，直线AB上有一点 C，满足2AC CB =0，则 OC 等于( )A. 2OA→B.→－ OB OA ＋2OB2 1→D. 1OA ＋2→C. OA －3OB3 3OB31→→ →→4. 如图所示，在△ABC中，BD＝2DC，AE＝ 3ED，若AB＝ a，AC＝ b，则BE等于( )1 1 1a＋3b B ．－2a＋4b1 1 1a＋ b D ．－ a＋ b4 3 35.→) 在四边形 ABCD中，AB＝a＋2b,BC＝－4a－b， CD＝－5a－3b，则四边形 ABCD的形状是(A．矩形 B ．平行四边形C．梯形 D ．以上都不对6.AB ＝8， AC ＝5，则 BC 的取值范围是__________．7．给出下列命题：→→①向量 AB 的长度与向量BA的长度与向量BA的长度相等；②向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；5- 5v1.0 可编辑可修改→→⑤向量 AB 与向量CD与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上．其中不正确的个数为____________ ．8. 如图，在△ABC中，点O是BC的中点 . 过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N.→若 AB ＝mAM，→，则 m＋ n 的值为________．AC ＝nAN9．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a＋λ b 与－ (b － 2a) 共线，则λ＝ ________.10. 在正六边形 ABCDEF中，AB a →AC, AD →b .＝，AF＝，求， AE11. 如图所示，△ABC中，点M是BC的中点，点N在边 AC上，且 AN＝2NC， AM与 BN相交于点 P，求 AP∶PM的值．12. 已知点G是△ABO的重心，M是AB边的中点 .→ →（ 1）求GA＋GB＋GO；(2) 若PQ过△ABO的重心 G,且AO＝a, →→→ 1 1 ＝ 3.OB＝b，OP＝ m a，OQ＝ n b，求证：＋m n第二部分：平面向量的基本定理及坐标表示一．基础知识自主学习1．两个向量的夹角定义范围6- 6v1.0 可编辑可修改→→已知两个 向量 a ，b ，作 OA ＝ a ，OB ＝ b ，则∠ AOB ＝,向量夹角 θ 的范围是 θ 叫做向量 a 与 b 的夹角 ( 如图 )时 , 两向量共线，当 θ＝当 θ＝ 时，两向量垂直， 记作 a ⊥ b .2. 平面向量基本定理及坐标表示(1) 平面向量基本定理如果 e 1，e 2 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ， 一对实数 λ1，λ 2，使 a ＝. 其中，不共线的向量 e 1， e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一组．(2) 平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(3) 平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中， 分别取与x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 ， 作为基底， 对于平面内的一个向量 a ，i j由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x ， ，使 ＝ xi ＋ yj ，这样，平面内的任一向量a 都可由 x ，y 唯一确y a定，把有序数对 叫做向量 a 的坐标，记作＝，其中叫做 a 在 x 轴上的坐标， 叫做 a 在y 轴上的坐a标．→→→②设 OA ＝ xi ＋ yj ，则向量 OA 的坐标 ( x ，y ) 就是的坐标，即若 OA ＝ ( x ，y ) ，则 A 点坐标为，反之亦成立． ( O 是坐标原点 )3．平面向量坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a ＝ ( x 1，y 1) ， b ＝ ( x 2，y 2) ，则a ＋b ＝，a － b ＝，λa ＝，| a | ＝.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．→→ .②设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2， y 2) ，则 AB ＝，| AB | ＝4．平面向量共线的坐标表示 ：设 a ＝ ( x ，y ) ， b ＝ ( x ， y ) ，其中 b ≠∥ b ?.1122二．难点正本疑点清源1．基底的不唯一性只要两个向量不共线， 就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一， 平面内任意向量 a 都可被这个平面的一组基底e1， e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．向量坐标与点的坐标的区别→在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA＝a，点 A 的位置被向量 a 唯一确定，此时点 A 的坐标与 a 的坐标→统一为 ( x，y) ，但应注意其表示形式的区别，如点A( x， y)，向量 a＝ OA＝( x， y)．→→→→→当平面向量 OA平行移动到 O1A1时，向量不变即O1A1＝ OA＝( x， y),但 O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化．三．基础自测1．已知向量a＝(2，－1)， b＝(－1， m)， c＝(－1,2)，若( a＋ b)∥ c，则 m＝________.2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与b平行，则k＝________.3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)， c＝(－1，－2)．若表示向量4a、 4b－2c、 2( a－c) 、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d＝____________.→→4．已知四边形ABCD的三个顶点 A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC＝2AD，则顶点D的坐标为() C． (3,2)D． (1,3)5．已知平面向量a＝( x, 1)， b＝(－ x， x2)，则向量 a＋ b()A．平行于y 轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于x 轴D．平行于第二、四象限的角平分线四．题型分类深度剖析题型一平面向量基本定理的应用例 1→→→ →如图，在平行四边形 ABCD中， M， N分别为 DC， BC的中点，已知 AM＝ c，AN＝ d，试用 c， d 表示 AB，AD.1 如图，P→→＋ 3→Q AB→变式训练是△内一点，且满足条件＋ 2 ＝ 0，设为的延长线与的交点，令＝，试ABC AP BP CP CP CP p→用 p 表示 CQ.题型二向量坐标的基本运算→→→→→例 2已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，→(1)求 3a＋b－ 3c； (2) 求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3) 求M、N的坐标及向量MN的坐标．→→1→变式训练 2 (1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2，－4)、 B(0，6)、C(－8,10)，求向量 AB＋2BC－2AC的坐标；(2)已知 a＝(2,1)，b＝(－3,4)，求：①3 a＋4b；② a－3b；③1a－1b.24题型三平行向量的坐标运算例 3平面内给定三个向量a＝(3,2)， b＝(－1,2)， c＝(4,1)，请解答下列问题：(1)求满足 a＝ mb＋ nc 的实数 m， n；(2)若( a＋kc)∥(2 b－ a)，求实数 k；(3) 若d满足 ( d－c) ∥(a＋b) ，且 | d－c| ＝5，求d.变式训练3已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1) 求 | a＋3b| ； (2) 当k为何实数时，ka－b与a＋ 3b平行，平行时它们是同向还是反向v1.0可编辑可修改五．易错警示8．忽视平行四边形的多样性致误试题：已知平行四边形三个顶点的坐标分别为( －1,0) ， (3,0) ， (1 ，－ 5) ，求第四个顶点的坐标．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．2．向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题．3．在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用．失误与防范1．要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．2．若a＝ ( x1，y1) ，b＝ ( x2，y2) ，则a∥b的充要条件不能表示成x1 y10，所以应表示为x1y2 x＝，因为 x2，y2有可能等于2y2－ 2 1＝0.同时，的充要条件也不能错记为12－12＝0，1 1－ 2 2＝0等．x y a∥b x x y y x y x y 七．课后练习1．已知向量a＝ (1 ，－ 2) ， b＝ (1 ＋m,1－m) ，若 a∥b，则实数m的值为() A．3 B ．－3C．2 D ．－22．已知平面向量a＝ (1,2) ， b＝( － 2，m) ，且 a∥b，则 2a＋ 3b 等于 () A．( －2，－ 4)B．( －3，－ 6)C．( －4，－ 8)D．( －5，－ 10)3. 设向量 a＝ (3 ，3) ， b 为单位向量，且a∥b，则 b 等于 ()v1.0可编辑可修改3 1或－2，231或－2，－224. 已知向量 a ＝(1 ，－ m ) ， b ＝ ( m ，m ) ，则向量 a ＋ b 所在的直线可能为 ()A ． x 轴B ．第一、三象限的角平分线C ． y 轴D．第二、四象限的角平分线5．已知 A(7,1) 、 B(1,4), 直线 y1 ax 与线段 AB 交于 C 且→ACCB ，则实数 a 等于 ()2,2A ． 2B ． 11 16．若三点 A (2,2) ， B ( a, 0) ， C (0 ， b ) ( ab ≠0) 共线，则 a ＋ b 的值等于 ________．7．已知向量 a ＝ (1,2) ，b ＝ ( x, 1) ， u ＝ a ＋ 2b ， v ＝2a － b ，且 u ∥ v ，则实数 x 的值为 ________．8．若向量 a(x 3, x 23x 4) 与 AB 相等，其中 A (1,2) ， B (3 ，2) ，则 x ＝ ________.9．若平面向量 a ， b 满足 |a ＋ b| ＝ 1， a ＋b 平行于 y 轴， a ＝(2 ，－ 1) ，则 b ＝______________. 10． a ＝ (1,2) ， b ＝ ( －3,2) ，当 k 为何值时， ka ＋b 与 a － 3b 平行平行时它们是同向还是反向11．三角形的三内角， ， 所对边的长分别为 ， ， ，设向量 m ＝(3 c － ， － ) ， n ＝ (3 ＋ 3 ， ) ， m n.A B C a b cb a ba b c∥(1) 求 cos A 的值； (2) 求 sin( A ＋30°) 的值．12．在△ ABC 中， a 、 b 、c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边，已知向量m ＝ ( a ，b ) ，向量 n ＝ (cos A ， cos B ) ， 向量 ＝ 2 2sinB ＋CA ，若 ∥ ，2为等边三角形．， 2sinp ＝ ，求证：△p 2m n9ABCv1.0可编辑可修改第三部分：平面向量的数量积一．基础知识自主学习1．平面向量的数量积已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为θ，则数量_______叫做a和b的数量积(或内积)，记作________________.规定：零向量与任一向量的数量积为____.两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是.2．平面向量数量积的几何意义数量积 a·b 等于 a 的长度 |a| 与 b 在 a 的方向上的投影_________的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e · a＝ a·e＝；(2) 非零向量 a， b，a⊥b? ；(3) 当 a 与 b 同向时， a·b＝；当 a 与 b 反向时， a·b＝，a·a＝ a2，|a| ＝a·a；(4)cosa·bθ＝|a||b| ；(5)|a ·b|____|a|| b| . 4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)( ) ·＝＝(λ为实数 )；λa b(3)( a＋ b)·c＝.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝( x1，y1)， b＝( x2， y2)，则 a·b＝，由此得到(1) 若 a＝( x， y)，则| a| 2＝或 | a| ＝.(2) 设 A（ x1, y1）, B( x2,y 2),则A、B两点间的距离|AB|= AB ＝.(3) 设两个非零向量 a，b， a＝( x1，y1)， b＝( x2， y2)，则 a⊥ b? .二．难点正本疑点清源1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2 ．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a ·b)c不一定等于v1.0 可编辑可修改a(b ·c) ．这是由于 (a ·b)c 表示一个与 c 共线的向量，而 a(b ·c) 表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线．三．基础自测1．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°， |a| ＝ 2， |b| ＝ 3，则向量 a 和向量 b 的数量积 a ·b ＝ ________.2. 在△ ABC 中， AB =3， AC =2， BC =10, 则 AB AC · ＝ ______.3．已知 a ＝ (2,3) ， b ＝ ( － 4,7) ，则 a 在 b 方向上的投影为______．4．已知 |a| ＝ 6， |b| ＝ 3，a ·b ＝－ 12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．25．已知向量 a ＝ (1 ，－ 1) ， b ＝ (1,2) ，向量 c 满足 (c ＋b) ⊥a ， (c －a) ∥b ，则 c 等于 ()A ． (2,1)B ． (1,0)D．(0，－ 1)四．题型分类深度剖析题型一求两向量的数量积例 1 (1) 在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AB ＝ 5， AC ＝4，求 AB ·BC ；(2) 若 a ＝ (3 ，－ 4) ， b ＝(2,1) ，试求 (a －2b) ·(2a ＋ 3b) ．变式训练 1 (1) 若向量 a 的方向是正南方向， 向量 b 的方向是正东方向， 且 |a| ＝ |b| ＝ 1，则 ( －3a) ·(a ＋ b) ＝ ______.(2)如图，在△ ABC 中， AD ⊥ AB ， BC ＝ →3 BD ，| AD | ＝1，则 AC ·AD 等于 ()A ．2 3题型二 求向量的模例 2已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且 |a| ＝ 4， |b| ＝ 2，求： (1)|a ＋ b| ； (2)|3a－ 4b| ； (3)(a－2b) ·(a ＋ b) ．v1.0可编辑可修改π变式训练 2 设向量 a， b 满足 |a －b|＝ 2， |a| ＝ 2，且 a－ b 与 a 的夹角为 3 ，则|b|＝________.题型三利用向量的数量积解决夹角问题例 3已知a与b是两个非零向量，且|a| ＝|b| ＝ |a － b| ，求 a 与 a＋ b 的夹角．变式训练 3 设 n 和 m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝ 2m＋ n 与 b＝ 2n－ 3m的夹角．题型四平面向量的垂直问题例 4 已知 a＝ (cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0<α<β<π)．(1)求证： a＋ b 与 a－ b 互相垂直；(2) 若k a＋ b 与 a－k b 的模相等，求β －α.(其中k为非零实数)4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，→→ →变式训练OA ＝(－2，m)，OB＝(n,1)，OC＝(5 ，－ 1) ，且OA⊥OB，求实数 m， n 的值．五．答题规范v1.0可编辑可修改5．思维要严谨，解答要规范试题：设两向量e1、 e2满足 |e 1| ＝ 2， |e 2| ＝1， e1、 e2的夹角为 60°，若向量2t e1＋ 7e2与向量 e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a ＋ b) 2＝a2＋2a·b＋ b2；( λa＋μb) ·(s a＋t b) ＝λs a2＋ ( λt＋μs)a ·b＋μt b2( λ，μ，s，t∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a| 2＝ a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．失误与防范1． (1)0 与实数 0 的区别： 0a＝0≠0， a＋ ( － a) ＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0 与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b＝ 0 不能推出a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝ 0 时，有可能a⊥b.3．一般地， (a ·b)c ≠(b ·c)a即乘法的结合律不成立．因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与 c 共线的向量，同理右边 (b ·c)a 表示一个与 a 共线的向量，而 a 与 c 不一定共线，故一般情况下 (a ·b)c ≠(b ·c)a.4．a·b＝a·c(a ≠0) 不能推出 b＝ c.即消去律不成立．5．向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈 AB, BC 〉应为120°，而不是60°.七．课后练习1. 设向量 a＝ (1,0) ， b＝( 1 1， ) ，则下列结论中正确的是 () 2 2A．| |＝| | B．＝2ab a·b 2C．a∥b D．a－b与b垂直2. 若向量 a＝(1,1) ， b＝(2,5) ，c＝(3， x)，满足条件 ( 8a－b) · c＝30，则 x 等于() A．6 B． 5 C． 4 D． 3v1.0 可编辑可修改3. 已知向量 a，b 的夹角为60°，且 | a| ＝ 2， | b| ＝ 1，则向量a与a＋ 2b的夹角等于 ()A．150° B ．90°C．60°D．30°4. 平行四边形ABCD中， AC为一条对角线，若AB ＝(2,4)，AC＝(1,3)，则AD BD等于( )A．6 B． 8 C．－ 8 D．－ 65. 若 e1、 e2是夹角为πa＝2e1＋ e2，向量 b＝－3e1＋2e2，则 a·b等于( ) 的单位向量，且向量3A．1 B．－ 4 C．－726．若向量a， b 满足| a|＝1，| b|＝2且 a 与 b 的夹角为π，则| a＋ b|＝________. 37．已知向量a，b 满足| a|＝3，| b|＝2，a 与 b 的夹角为60°，则 a·b＝________，若( a－ mb)⊥ a，则实数 m＝________. 8．设a、b、c是单位向量，且a＋ b＝ c，则 a·c的值为________．9. （ O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三点. 平面内的动点P 满足OP OA( AB AC),1若λ＝2时，PA ( PB PC )的值为______．10．不共线向量a， b 的夹角为小于120°的角，且 | a| ＝ 1，| b| ＝ 2，已知向量c＝ a＋2b，求| c|的取值范围．11．已知平面向量a＝(1， x)， b＝(2 x＋3，－ x)，x∈R.(1)若 a⊥ b，求 x 的值；(2)若 a∥ b，求| a－ b|.12．向量a＝(cos 23 °， cos 67 °) ，向量b＝(cos 68°，cos 22°)．(1) 求a·b； (2) 若向量b与向量m共线，u＝a＋m，求u的模的最小值．v1.0 可编辑可修改第四部分：平面向量应用举例一．基础知识自主学习1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1) 证明线段平行或点共线问题， 包括相似问题， 常用共线向量定理： a ∥b ??.(2) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质a ⊥b??.a ·bx x ＋y y 2(3) 求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝＝1 21| a || b|22 2 2 ( θ 为 a 与 b 的夹角 ) ．x 1＋1x 2＋ 2y y2．平面向量在物理中的应用(1) 由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决．(2) 物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移 s 的数量积．即 W ＝ F ·s ＝ |F || s|cos θ ( θ 为 F 与 s 的夹角 ) ．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时， 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上， 可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．二．难点正本疑点清源1．向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物．在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合．2．要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题．三．基础自测1．在平面直角坐标系xOy 中，四边形 ABCD 的边 AB ∥ DC ， AD ∥BC . 已知 A ( － 2,0) ， B (6,8) ， C (8,6) ．则 D 点的坐标为 ________．2．已知平面向量α、β，|α |＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β |的值是________．y3．平面上有三个点A(－2， y)，B 0，2， C( x， y)，若AB⊥BC，则动点 C的轨迹方程为_______________．4．已知A、B是以C为圆心，半径为5的圆上两点，且| AB | ＝5，AC·CB等于()5A．－2C．05．某人先位移向量a：“向东走 3 km”，接着再位移向量b：“向北走 3 km”，则 a＋b 表示( ) A．向东南走 3 2 km B ．向东北走 3 2 kmC．向东南走 3 3 km D ．向东北走 3 3 km四．题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例 1 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE＝ 2EB. 求证：AD⊥ CE.变式训练1在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)， B(2,3)， C(－2，－1)．(1) 求以线段AB、 AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2) 设实数t→→→t满足( －) ·＝0，求的值．AB tOC OC题型二平面向量在解析几何中的应用→3→例 2 已知点P（0， -3 ），点A在x轴上，点M满足PA AM =0，AM＝－2MQ，当点A在x轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．变式训练 2 已知圆 C ： ( x -3) 2+( y -3)2及点 A （ 1,1 ）， M 是圆上的任意一点，点 N 在线段 MA 的延长线上，=4→且 MA ＝ 2AN ，求点 N 的轨迹方程．题型三平面向量与三角函数例 3已知向量 a ＝ (sin x ， cos x ) ， b ＝ (sin x ， sin x ) ，c ＝ ( － 1,0) ．π(1) 若 x ＝ 3 ，求向量 a 与 c 的夹角；3ππ(2) 若 x ∈ － 8 ， 4 ，求函数 f ( x ) ＝ a ·b 的最值；2(3) 函数 f ( x ) 的图象可以由函数 y ＝ 2 sin 2 x ( x ∈R)的图象经过怎样的变换得到变式训练 3 已知 (3,0) ， (0,3) ， (cosα ， sinα ) ．ABCα＋ π若| OA +OC→(1) 若AC ·BC ＝－ 1，求 sin的值； (2) | ＝ 13，且 α∈(0 ，π ) ，求与 OC 的夹角．4OB五．易错警示9．忽视对直角位置的讨论致误试题：已知平面上三点A 、B 、C ，向量 BC ＝ (2 －k, 3) ， AC ＝ (2,4) ．(1) 若三点 A 、 B 、C 不能构成三角形，求实数k 应满足的条件； (2) 若△ ABC 为直角三角形，求 k 的值．v1.0可编辑可修改六．思想方法感悟提高方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．有关线段的长度或相等，可以用向量的线性运算与向量的模．4．用向量方法解决平面几何问题的步骤(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．5．向量的坐标表示，使向量成为解决解析几何问题的有力工具，在证明垂直、求夹角、写直线方程时显示出了它的优越性，在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程，从而使问题解决．失误与防范→1．向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别．例如：向量AB ∥CD并不能说明AB∥CD.2．加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题．七．课后练习1．已知△ABC，AB AC ,则一定有()A．AB⊥AC B．AB=ACC．( AB + AC) ⊥(AB - AC)D．AB+AC=AB-AC2．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点 P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为| v| 个v1.0可编辑可修改单位 ) ．设开始时点 P 的坐标为 ( － 10,10) ，则 5 秒后质点 P 的坐标为 ( )A ． ( － 2,4)B ． ( － 30,25)C ． (10 ，－ 5)D ． (5 ，－ 10)3. 平面上有四个互异点、、、，已知 (DB DC 2DA) ( AB AC) 0 ，则△ 的形状是 ()ABCD ABC A ．直角三角形 B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4. 如图，△ ABCO , AB =2, AC =3, BC = 7 , 则 AO BC 等于 ( )的外接圆的圆心为C ．2D ．35．平面上 、 、B 三点不共线，设 OA a,OB b ，则△ 的面积等于 ()O AOAB| a | 2| b | 2 －( a · b ) 2| a | 2| b | 2＋ ( a · b ) 26．已知 |a| ＝ 3， |b| ＝ 2，〈 a ， b 〉＝ 60°，则 |2a ＋b| ＝ ________. 7．河水的流速为 2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．8. 已知△ ABO 三顶点的坐标为 A (1,0), B (0,2), O (0,0), P ( x,y ) 是坐标平面内一点，且满足→→ →AP · OA ≤0， BP ·OB ≥0，则→OP · AB 的最小值为 ________．9．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 AB · AC ＝ BA BC1，那么 c ＝________.10. 如右图，在 Rt △ ABC 中，已知 BC =a, 若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中心，问 →→PQ 与 BC 的夹角 θ 取何值时BP · CQ的值最大并求出这个最大值．11．已知向量 a ＝ (sin θ， cos θ－ 2sinθ) ， b ＝ (1,2) ．(1) 若 a ∥ b ，求 tan θ 的值； (2) 若 | a | ＝ | b |,0< θ<π，求 θ 的值．12．在△ ABC 中，角 A 、B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 AB ·AC BA ·BC ＝ k ( k ∈R)．(1) 判断△ ABC 的形状； (2) 若 c ＝2，求 k 的值．v1.0可编辑可修改。
高考数学平面向量知识点及相关题型word版本
平面向量1、向量：既有大小，又有方向的量。
向量不能比较大小，只可以判断是否相等，向量的模可以比较大小。
数量：只有大小，没有方向的量。
数量可以比较大小，也可以判断是否相等。
2、有向线段的三要素：起点、方向、长度．起点的选择是任意的，对于模相等且方向相同的两个向量，无论他们的起点在哪里，都认为这两个向量相等。
零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．3、向量既有代数特征又有几何特征，可以起到数形结合的作用。
4、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r r r r r ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算（坐标加减）：设()11,a x y =r，()22,b x y =r ， 则()1212,a b x x y y +=++rr ．5、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r．6、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr．①a a λλ=r r ；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=rr ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r ；③()a b a b λλλ+=+r r r r．b ra rCBAa b C C-=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．【向量相等，坐标相同；向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关】7、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r．//)a b r r （ 设()11,a x y =r，()22b ,x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r共线．[练习]设a,b 是两个不共线的向量，2,,2AB a pb BC a b CD a b =+=+=-u u u r u u u r u u u r，若A,B,D 三点共线，则实数p 的值是对于OA OB OC λμ=+u u u r u u u r u u u r(,λμ均为实数)，若A,B,C 三点共线，则+=1λμ，反之仍然成立。
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9级高三数学总复习讲义——向量知识清单一、向量的有关概念1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量 .向量的大小叫向量的模 ( 也就是用来表示向量的有向线段的长度 ).2.向量的表示方法:r r r⑴字母表示法 : 如a, b,c,L等 .uuur uuur⑵几何表示法 : 用一条有向线段表示向量.如AB,CD等.uuurO 为在坐标原点 , 终点 A 坐标为⑶坐标表示法 : 在平面直角坐标系中 , 设向量OA的起点x, y ,则 x, yuuur uuur称为 OA 的坐标,记为 OA =x, y.注: 向量既有代数特征 , 又有几何特征 , 它是数形兼备的好工具 .3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等r .两向量ar r r与 b 相等,记为 a b .注: 向量不能比较大小,因为方向没有大小.4.零向量 :长度为零的向量叫零向量 .零向量只有一个 ,其方向是任意的 .5. 单位向量 :长度等于 1 个单位的向量 .单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量 : 方向相同或相反的非零向量 ,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同一直线r上.规定 : 0与任一向量共线.注: 共线向量又称为平行向量.7.相反向量 : 长度相等且方向相反的向量 .二、向量的运算(一 )运算定义①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算 ,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具 .特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算 ,向量运算问题可以完全坐标化 .刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与OA+OB= OC记 OA =(x1,y1), OB =( x1减法,y2)uur uuurOB OA= AB则 OA OB=(x1+x2,y1+y2)uuur uurOB OA=（x2-x1,y2-y1）OA + AB = OB实 数 与 AB =λ a记 a =(x,y) 向 量 的乘积λ∈ R则λ a =( λx,λ y)两 个 向 r r r r r r r r ( x 2 , y 2) 量 的 数a b a bcos a,b记 a (x 1, y 1 ),b量积则 a · b =x 1x 2+y 1y 2(二 )运算律r rr r r r r r r r加法：① a bb a (交换律 );② (ab) c a (b c) (结合律 )r r r rr r rrr 实数与向量的乘积：①(a b)ab ; ② ()aaa ; ③ (a) ()a两个向量的数量积: ① a · b = b · a ; ② ( λ a ) · b = a · ( λ b )= λ ( a · b ); ③( a + b )· c = a ·c + b · c注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，222 a b b 例如 ( a ± b )2= a(三 )运算性质及重要结论ur uur⑴平面向量基本定理: 如果 e 1 ,e 2 是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这个平面内任一rruruurur uurur uur向量 a , 有且只有一对实数1, 2,使 a1e12e2，称1 e 12 e 2为e 1 ,e 2 的线性组合。
ur uur; ①其中 e ,e叫做表示这一平面内所有向量的基底12ur uur, 并且这种分②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量e , e 的方向分解为两个向量的和12解是唯一的 .ruruurr uruur这说明如果 a1e12e2 且a1' e 12'e 2 , 那么1122 .ur uur, 就建立了平面直角坐标系, 因此平面向量基本③当基底 e ,e 是两个互相垂直的单位向量时 1 2定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 A( x ， y)，则 OA =（ x,y ）；当向量起点不在原点时，向量AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 A （ x 1,y 1）， B （ x 2,y 2），则 AB =(x 2-x 1,y 2-y 1)⑵两个向量平行的充要条件符号语言： a// bab(b 0)rr ,则 a ∥ b坐标语言为：设非零向量ax 1, y 1 , b x 2 , y 2(x 1,y 1)=λ (x 2 ,y 2 )，即x 1x 2 ,或 x 1y 2-x 2 y 1 =0, 在这里 ,实数λ是唯一存在的 ,当 a 与 b 同向时 ,λ >0；当 a 与 by 1 y 2异向时 ,λ <0。
|λ |=| a |,λ的大小由 a 及 b 的大小确定。
因此,当 a , b 确定时，λ的符号与| b |大小就确定了 .这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件符号语言： aba b 0rr坐标语言：设非零向量 ax 1, y 1 , b x 2 , y 2 ，则 abx 1 x 2 y 1 y 2⑷两个向量数量积的重要性质：2| a |22① a即 | a |a (求线段的长度 );② aba b 0 (垂直的判断 );r r③ cosa b(求角度 )。
rra b以上结论可以 (从向量角度 )有效地分析有关垂直、 长度、角度等问题 ,由此可以看到向量知识的重要价值 .注: ①两向量 a , b 的数量积运算结果是一个数 r r r ra b cos (其中a,b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.rrr② b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影（如图） .r r r r r数量积的几何意义是数量积a b 等于 a 的模与 在 a 方向上的投影的积 . g buuuur③如果 P 1 (x 1, y 1 ) , P 2 (x 2 , y 2 ) , 则 PP = (x 2 x 1, y 2y 1) ,1 2uuuur22, 这就是平面内两点间的距离公式.∴ PP( x 2 x 1 )( y 2y 1)1 2课前预习uuur uuur uuur1．在 YABCD 中， BC CDBA（）uuuruuuruuur uuur( A)BC(B)DA(C)AB(D)AC2.平面内三点 A(0, 3), B(3,3), C (x, 1) ,若 AB ∥ BC ，则 x 的值为 ()(A) - 5 (B) -1 (C)1 (D)53. 设 a ， b ， c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：①( a · b ) c ( c · a ) b =0② | a |- | b |<| ab |③( b · c ) a ( c · a ) b 不与 c 垂直 ④ (3 a +2 b )· (3 a 2 b )=9| a |2- 4 b |2 中，真命题是 ()(A) ①②(B) ②③ (C)③④(D) ②④4. △ OAB 中 ,OA = a , OB = b , OP = p ,若 p = t(ab) ， t ∈ R ，则点 P 在()|a | | b |(A) ∠ AOB 平分线所在直线上 (B) 线段 AB 中垂线上 (C)AB 边所在直线上(D)AB 边的中线上5. 正方形 PQRS 对角线交点为 M ，坐标原点 O 不在正方形内部，且 OP =（ 0， 3）， OS =（4， 0），则 RM =()(A) （7 , 1 ） (B)（ 7, 1 ）(C)（ 7， 4）(D)（ 7, 7）22r2 2 r2 2r2,4 r6.已知 ax,3 , b , a b ,则实数 x=_______.r r 2, r r r r r r7.已知 ab 8 , a b 6, 4 , 则 a _____, b ______, a 与 b 的夹角的余弦值是_____.uuuruuuruuur uuur(2cos , 2sin ) ,(5cos,5sin 5 , 则8．在△ OAB 中,OAOB),若OAOB SOAB =▲.；9. 已知 V ABC 的三个顶点分别为A 3, 3 ,B 6,0,C 5,3 ,求 ACB 的大小 .10. 已知△ ABC 中， A （ 2， - 1）， B （3， 2）， C （- 3， - 1）， BC 边上的高为 AD ，求点 D 和 向量 AD 坐标。
11.在△ OAB 的边 OA 、OB 上分别取点 M 、 N ，使 | OM |∶ | OA |=1∶ 3， | ON |∶ | OB |=1∶ 4， 设线段 AN 与 BM 交于点 P ，记 OA =a ， OB =b ，用 a ， b 表示向量 OP .典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念uuur uuur uuurEG1. 如图 1，设 O 是正六边形的中心，分别写出图中与 OA 、 OB 、 OC 相等的向量。
B A变式 1：如图 1，设 O 是正六边形的中心，分别写出C O FD E图 1uuur uuur图中与 OD 、 DC 共线的向量。
解：uuur变式 2：如图 2，设 O 是正六边形的中心，分别写出图中与DAB A的模相等的向量以及方向相同的向量。
解：C O F二、平面向量的线性运算uuur uuurEG2. 如图，在平行四边形ABCD 中，AB a ，AD b ，你能用 a，b 表示向量uuur uuur D E D AC ，DB吗？图 2 CA Buuur uuur变式 1：如图，在五边形 ABCDE 中，AB a ，BC b ，uuur uuur uuur uuurCD c ，EA d ，试用 a， b ， c ， d 表示向量CE和DE .DEAuuur uuur变式 2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA a ，OB b D则下列各表述是正确的为（）uuur uuur uuur uuur uuur uuur A A．OA OB AB B．OC OD ABuuur uuurC．CD a + b D．BC(a + b)变式 3：已知OA =a，OB =b, OC =c, OD =d, 且四边形ABCD 为平行四边形，则（A. a+b+c+d=0B. a－ b+c－ d=0C. a+b－ c－d=0D. a－ b－ c+d=0uuur1 uuur变式 4：在四边形 ABCD 中，若 AB CD ，则此四边形是 ()2A ．平行四边形B ．菱形C．梯形D．矩形变式 5：已知 a、 b是非零向量，则|a|=|b|是 (a+b)与 (a－ b)垂直的CBC OB）（）A ．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件变式 6：在四边形ABCD 中， AB =a+2b ， BC =－ 4a － b ， CD =－ 5a － 3b ，其中 a 、b 不共线，则四边形 ABCD 为（ ）A. 平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形变式 7：已知菱形 ABCD ，点 P 在对角线 AC 上（不包括端点A 、 C ），则 AP 等（ ）A. λ( AB + AD ),λ∈ (0,1)2 )B. λ ( AB + BC ),λ∈ (0,2C.λ( AB － AD ),λ∈ (0,1)D. λ( ABBC ),λ∈(0,2)2rr变式 8：已知 D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 的中点，且BC = a ， CA = b ， r 1 r 1 rr1 r =－1 r 1 r AB = c , 则下列各式：① EF = c － b ② BE = a +2b ③ CF 2a +2b22r④ AD + BE + CF = 0 其中正确的等式的个数为（）A.1B.2C.3D.4uuur uuurEG3 ． 如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作 OA a + b ， OB a + 2b ，buuuraOC a + 3b ，你能判断 A 、 B 、 C 三点之间的位置关系吗？为什么？uuur uuur uuur变式 1：已知 OA a + 2b ， OB 2a + 4b ， OC 3a + 6b(其中 a 、 b 是两个任意非零向量 ) ，证明： A 、 B 、 C 三点共线．uuur uuur uuur uuur uuur uuur证明：∵ AB OB OA a + 2b ， AC OC OA 2a + 4b ，uuur uuur∴ AC2AB所以， A 、 B 、C 三点共线．2A B Cuuuruuuruuur变式a +b ，OB(m 2) a + 2b ，OC (n 1) a：已知点 、 、 在同一直线上， 并且 OA+ 3b (其中 a 、 b 是两个任意非零向量 ) ，试求 m 、n 之间的关系．uuur uuurEG4. 已知四边形ABCD ，点 E 、F 、G 、H 分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证： EF HG变式 1：已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为E 、F ，uuur uuur uuur求证： AB DC 2EF .DCEFAB三、平面向量的基本定理及坐标表示EG4. 已知 a = (4 ， 2)， b = (6 ， y)，且 a // b ，求 y ．变式 1：与向量 a = (12 ，5) 平行的单位向量为（）A ． 12，-51313C ． 12 ，5或12， - 513 131313B ．12， - 513 13D ．12 ，5 或 12 ， -513 1313 13变式 2：已知 a (1,2) ， bx,1 ，当 a+2 b 与 2a － b 共线时， x 值为 （）A ． 1B ． 2C ．1 13D ．2变式 3：已知 A(0,3)、 B(2,0) 、 C(－ 1,3) 与 AB 2AC 方向相反的单位向量是 ()A ． (0,1)B ． (0,－1)C ． ( －1,1)D ． (1,－ 1)变式 4：已知 a = (1 ， 0)， b = (2 ， 1) ．试问：当 k 为何实数时，ka － b 与 a+3b 平行 , 平行时它们是同向还是反向？EG5. 设点 P 是线段 P 1P 2 上的一点， P 1 、 P 2 的坐标分别为 x 1，y 1 ， x 2，y 2 ．(1) 当点 P 是线段 P 1P 2 上的中点时，求点 P 的坐标；(2) 当点 P 是线段 P 1P 2 的一个三等分点时，求 P 的坐标变式 1：已知两点 M3,2 ，N 5,uuur1 uuuur5 ，MPMN ，则 P 点坐标是（2A ． 8,1B ．1,3C ． 1,3D ． 8,122uuurB变式 2：如图，设点 P 、 Q 是线段 AB 的三等分点，若 OA ＝a ，uuur uuur uuur (用 a 、 b 表示 ) OB ＝b ，则 OP ＝ ，OQ ＝四、平面向量的数量积bEG6. 已知 |a|＝6， |b| ＝ 4 且 a 与 b 的夹角为 60 ，求 (a + 2b)· (a3b) ．）QPAarr r r r r r rO变式 1：已知 a3, b 4, a b g a 2b 23, 那么 a 与 b 夹角为A 、 60B 、 90C 、 120D 、 150变式 2：已知向量a 和b 的夹角为 60°， | a | ＝ 3， | b | ＝ 4，则（ 2a –b ）·a 等于（A ）15（B ）12（C ） 6（D ）3变式 3：在△ ABC 中，已知 | AB |=4 ，| AC |=1 ，S = 3，则 AB · AC 等于（）△ ABCA. －2B.2C.±2D.± 4变式 4：设向量 2te 1 7e 2 与向量 e 1 t e 2 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围 .EG7. 已知 |a|＝3，|b| ＝4 且 a 与 b 不共线， k 为何实数时，向量 a + kb 与 a k b 互相垂直？ 变式 1：已知 a ⊥ b ，|a|＝ 2，|b| ＝3，且向量 3a + 2b 与 ka b 互相垂直， 则 k 的值为（ ）333D ．1A ．B ．C ．222变式 2：已知 |a|＝ 1， |b| ＝2 且（ a －b ）⊥ a ，则 a 与 b 夹角的大小为．EG8. 已知 a = (4 ， 2)，求与向量 a 垂直的单位向量的坐标． 变式 1：若 i = (1,0), j =(0,1) ，则与2i+3 j 垂直的向量是 ()A ． 3i+2 jB ．－ 2i+3jC ．－ 3i+2 jD ．2i －3j变式 2：已知向量 a(1 , 1) ， b (2 , 3) ，若 k a 2b 与 a 垂直，则实数 k =（）A ． 1B ．－ 1C ． 0D ． 2变式 3：若非零向量 a, b 互相垂直，则下列各式中一定成立的是（）A ． a b a bB ． | a b | | a b |C ． (a b)(ab) 0D ． ( a b) 2变式 4：已知向量 a ＝（ 3，－ 4），b ＝（ 2， x ）， c ＝（ 2，y ）且 a ∥ b ，a c ．求 |b －c|的值．EG9. 已知 A (1， 2)， B (2，3)， C ( 2 ， 5)，试判断ABC 的形状，并给出证明．变式 1： O 是ABC 所在的平面内的一点，且满足uuur uuur uuur uuur0 ，则OB OC OC OAABC 一定为（）A ．正三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形变式 2：已知 A 、 B 、 C 三点不共线， O 是 △ ABC 内的一点，若 OA ＋ OB ＋ OC ＝ 0，则 O是△ ABC 的（）A ． 重心B ． 垂心C ． 内心D ． 外心变式 3：已知 AB BC AB20 ，则△ ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形变式 4：四边形 ABCD 中， AB (6,1), BC ( x, y), CD ( 2, 3)（1）若 BC // DA ，试求 x 与 y 满足的关系式；（2）满足（ 1）的同时又有AC BD ，求 x, y 的值及四边形 ABCD 的面积。