5.1.2积的算术平方根
5.1.2_二次根式的化简
例3、化简：
(1) 16 9
(2) 32 25
解：（1）
16 9
=
16 = 4 93
（2）
32 25
=
16 2 52 =
16 52
2=4 2 5
（1） 8a2 （3） 9a2
16
（2） 16b4 （4） 25a4
64
例4 化简下列二次根式：
(1)
9； 5
(2)
27 . 8
解 (1) (2)
( 1 ) b3 ； 8a 2
( 2 ) 3a2 +6a+3 .
解 (1)
b3 = 8a2
b2· b = 2· 22 · a2
2
b b 2a 2
·
=
b 2a
b 2
=
b 2a
b×b =
·
b 4a
2b
( 2 ) 3a2 +6a+3 = 3(a2 +2a+1) = 3(a+1)2 = 3(a+1).
（1） 4 = ， （2） 9= ，
（3） 25= ， （4） 81= ，
（5） 144 = ，（6） 196= ，
(7) a（2 a 0）
.
二次根式
一般地，我们把形如 a(a 0)的式子 叫做二次根式，“ ”称为二次根号。
本课节内容
5.1 二次根式和它的化简
——5.1.2 二次根式的化简
例1 化简下列二次根式
(1) 18
(2) 20
解1：18 9 2 9 2 3 2
2 20
32 2
45 4 5 2 5
积的算术平方根
课堂小结
1. 运用二次根式的乘法法则时注意被开方数都必须是非负 数，否则公式不成立．
2. 运用积的算术平方根公式时必须将被开方数(式)进行因数( 式)分解，再进 行计算，将开得尽方的因数(式)移到根号外 ．化简时注意 题目中隐含的条件．
3．把根号外的因式移到根号内的方法：先要根据题意确定根 号外因式的符号，当根号外因式的符号为正时，直接平方 后移到根号内，当根号外因式的符号为负时，只能将正因 式平方后移到根号内，负号留在根号外．
次根式的乘法运算，且将二次根式被开方数中 能开得尽方的因数(式)从根号中开出来．
解： (1)方法一： 8 15 20 815 20
25 52 3 (22 5)2 6
20 6.
方法二： 8 15 20 4 2 3 5 4 5
4 4 5 5 2 3
2
2
4 5 23
3. 拓展：(1)几个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不 变，即：
(2)几个二次根式相乘，可利用交换律、结合律使运算简便．
ag bg c abc a 0,b 0,c 0;
注意：在上式中，a、 b都表示非负数.在本 章中，如果没有特别 说明，字母都表示正 数.
2.下列各等式成立的是 D .
b3 a
a3 b
=ab
2
xy g
1 x
=2
y
1. 法则：一般地，有 ag b ab a 0,b 0 . 这就是
说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平 方根． 2. 要点精析：(1)法则中被开方数a、b既可以是数，也可以是代 数式，但都必须是非负数； (2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式乘单项式的 法则进行运算，即根号外因数(式)之积作为根号外因数(式) ，被开方数之积作为被开方数； (3)二次根式相乘的结果是一个二次根式或一个有理式； (4)如果没有特别说明，本章中的所有字母都表示正数．
二次根式的性质(积的算术平方根)
课题：二次根式的性质(积的算术平方根)课型：新授课学习目标：1、学习2a (a ≥0）的性质并能利用这一性质解决一些简单的问题2、学习二次根式的性质：积的算术平方根等于积中每一个因式的算术平方根的积.并能利用这一性质进行二次根式的化简。
一、自主探究：（阅读课本126-127页回答下列问题）1、当a ≥0时二次根式2a 的值是什么？计算2)4(-= 2)21(-= 2)44(-= 你能发现什么？2、思考2a 与(a ）2有怎样的相同点和不同点？3、积的算术平方根的性质:公式：语言叙述为： 二、合作交流成果展示1、交流上面的问题，教师点拨2、例题：（当a ≥0时2a =a 的运用)：(1）已知=-2)4(a a —4成立， 则a 的范围为（2）已知1≤x ≤3 化简2)1(-x +4-x3、例题：（积的算术平方根的运用）：（1）已知式子)2)(1(--x x =21-⨯-x x 成立，则x 的范围为(2）化简：①259⨯ ②216a ③300 ④y x 2三、利用规律巩固新知：1、已知=-2)21(a 21——a 成立， 则a 的范围为 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值3、判断下列各式是否成立：(1）94)9()4(-⨯-=-⨯- (2）5121322=-(3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=⨯-4、化简下列式子：（1）188⨯ （2）225253⨯⨯ （3）2)4(9-x （4）428n m(5）2243+ （6）32a a + (7）)()(223b a b a --选做题：1、化简：325025m m +=2、将根号外的因式移入根号内 aa 1= 四、课堂小结，检测反馈1、通过这节课的学习你的学习目标完成了吗？2、检测：（1）已知式子)2)(1(x x -+=x x -⨯+21成立，则x 的范围为(2)化简下列各式： 4625⨯ b a 316 3)2(8-x 221213-选做题： 1、将根号外的因式移入根号内 a a1-= 2、若x ≤0 化简y x 28=五、课外自评:课本随堂练习2以及试一试六、教后反思：。
湘教版八年级数学上册第五章《二次根式》教案
第5章二次根式5.1 二次根式第1课时二次根式的概念及性质1.了解二次根式的概念.2.掌握二次根式的基本性质.3.会判断二次根式，能求简单的二次根式中的字母的取值范围.4.经历二次根式的基本性质、运算法则的探究过程，培养学生从具体到抽象的概括能力.5.经历观察、比较、总结和应用数学等活动，感受数学活动充满了探索性与创造性.体会发现的快乐，并提高应用的意识.【教学重点】二次根式的概念及意义.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.一、情景导入，初步认知1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？3.16的平方根是什么? 算术平方根是什么？4.0的平方根是什么？算术平方根是什么？5.－7有没有平方根？有没有算术平方根？【教学说明】评价学生与本节课相关的旧知识的掌握情况.二、思考探究，获取新知1.说一说：（1）5的平方根是什么？正实数a的平方根是什么？（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度，才能克服地球引力，从而将飞船送入环地球运行的轨道，而第一宇宙速度u与地球半径R之间存在如下关系：u 2=gR ，其中重力加速度常数g ≈9.5m/s 2.如已知地球半径R ，则第一宇宙速度v 是多少？我们已经知道：每一个正实数a 有且只有两个平方根，一个记作a ，称为a 的算术平方根，另一个是-a . 【归纳结论】我们把形如a 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.思考二次根式“a ”中被开方数a 能取任意实数吗？【归纳结论】只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.对于非负实数a,由于a 是a 的一个平方根，因此（a ）2=a(a ≥0)3.做一做：填空.22272 1.25，()，===⋯⋯根据上述结果猜想，当a ≥0时，2a = . 【归纳结论】2a =a(a ≥0) 4.议一议：当a<0时，2a =a 是否依然成立？为什么?【归纳结论】二次根式的性质：【教学说明】学生小组交流期间师巡回指导,引导学生小结形成新知，理解新知;引导学生对二次根式的性质做出合理的解释.三、运用新知，深化理解1.教材P155例1、P156例2、例3.2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（B ）A ．5B ．5C ．15D ．以上皆不对 3.()25x --x 有（B ）个．A ．0B ．1C ．2D ．无数4.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：5.当x 是多少时，31x - 在实数范围内有意义？【分析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，31x -才能有意义．6.当x 是多少时，223x x x++ 在实数范围内有意义？7.当x 1231x x ++在实数范围内有意义？ 【分析】1231x x +++在实数范围内有意义，23x + 中的2x+3≥0和11x +中的x+1≠0．8.已知a 、b 为实数，且521024a a b -+-=+ ，求a 、b 的值．答案：a=5，b=-4【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材第159页“习题5.1”中第1 、2 题.学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础.本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用.通过复习引入新知，注重将新知识与旧知识进行联系与对比.随后从学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得的结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念，对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法，在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密，以此充分调动学生学习的兴趣.第2课时二次根式的化简1.了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断.2.能熟练地把二次根式化为最简二次根式.3.了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用.4.进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力.5.通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点.【教学重点】会把二次根式化简为最简二次根式.【教学难点】准确运用化二次根式为最简二次根式的方法.一、情景导入，初步认知1.什么叫二次根式？使二次根式有意义的条件是什么？2.当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？【教学说明】复习上节课的内容，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？2.化简下列二次根式（118（220（372【教学说明】化简二次根式时，可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外.（注意：从根号下直接移到根号外的数必须是非负数）3.化简下列二次根式4.观察上面几个二次根式化简的结果，它们有什么特点？【归纳结论】我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后的结果化为最简二次根式.【教学说明】引导学生计算，观察计算结果，总结规律.三、运用新知，深化理解1.下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是.，不是最简二次根式.因为解：最简二次根式有1545=⨯=⨯=，45595935被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式.2.化简216x(x>0)6.化简：7.一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，玻璃容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？【分析】根据倒出的水的体积等于铁桶的体积，列出方程求解即可．解：设正方形铁桶的底面边长为x，则10x2=30×30×20，x2=1800，解得x=302（厘米）．答：正方形铁桶的底面边长是302厘米．【教学说明】检测本节课学生对新知识的掌握情况，了解不足，以便查缺补漏，个别辅导.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P160“习题5.1”中第4、5、8 题.学生的主体意识和自主能力不是生来就有的，主要靠教师的激励和主导，才能达到彼此互动.正是在这一教育思想的指导下，促进学生的认知活动与情感活动的协调发展，有效地唤起学生的主体意识，在和谐、愉快的情境中达到师生互动，生生互动.互动式教学模式的目的是让教师乐教、会教、善教，促使学生乐学、会学、善学，从而优化课堂教学、提高教学质量，在和谐、愉快的情景中实现教与学的共振.5.2 二次根式的乘法和除法第1课时二次根式的乘法⨯=(a≥0,b≥0).1.使学生掌握二次根式乘法法则a b ab2.使学生掌握2a=a（a≥0）,并能加以初步应用以化简二次根式.3.通过猜想，体验探究二次根式的乘法法则，实践应用，巩固法则.4.培养良好的学习习惯，体验成功的喜悦.【教学重点】会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式对一些式子进行化简.【教学难点】二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用.一、情景导入，初步认知一块正方形的木板面积为200cm22=1.414，你能不用计算器以最快的速度求出正方形木板的边长吗？【教学说明】通过实际问题引入新课.二、思考探究，获取新知1.积的算术平方根的性质是什么？a b a b=a≥0,b≥0)··2.试一试：并观察结果，你能发现什么规律？⋅⋅（）与；（）与14949216251625【教学说明】让学生计算，由学生总结,（1）（2）两式均相等.【教学说明】组织学生计算，验证猜想.让学生自主探究，通过类比得到规律，让学生体验到成功的喜悦，激发学生学习的兴趣.⨯=（a≥0,b≥0)，老师【归纳结论】二次根式乘法的运算公式：a b ab应引导学生关注a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，上述法则不能成立．因a b在实数范围内却没有意义，乘为当a<0，b<0时，虽然ab有意义，而，法法则显然不能成立．3.计算.三、运用新知，深化理解1.教材P161例1、例2.2.下列各式正确的是（D）8.已知正方形A，矩形B,圆C的面积均为628cm2，其中矩形B的长是宽的2倍，如果π取3.14，试比较它们的周长L A,L B,L C解完本题后，你能得到什么启示？解：略.【教学说明】训练学生对待计算题也要认真分析，找出合理快捷的方法解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第1、4 题.这一堂课的教学对我的启发很大，好像又回到了初一年级，学生对数的认识是一个很难的问题，很多同学在数的认识中有着很大的欠缺.对根式的认识，特别是对根式的性质的认识总是转换不过来，没有办法只有花上很大的一段时间进行巩固学习，少数同学对负数中的符号问题容易出现错误.今后，应充分给学生训练时间，合理利用学案，让学生把知识掌握好.第2课时二次根式的除法1.会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算.2.经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.3.培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值.【教学重点】二次根式除法运算.【教学难点】探索二次根式除法法则.一、情景导入，初步认知1.积的算术平方根的性质是什么？2.二次根式乘法法则是什么？用语言怎样表达？用式子怎样表示？【教学说明】复习旧知，为学习新知做准备.二、思考探究，获取新知1.计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么？【教学说明】发现规律，归纳出二次根式的除法公式.三、运用新知，深化理解1.教材P163例4、P164例5、例6.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P165“习题5.2”中第2、3、4 题.这节课原本希望学生能在一节课内就体会到先局部化简再计算起来比较简洁.但这节课并没有实现这个目的,而且没有想到学生竟然给出多种方法.我想应当把这个问题延伸到下一节课,可以在下一节课中把学生的课后作业的解法对比,让学生去体会哪种方法更好,更简洁.不要急于在这一节课中去解决,这一节课只要能用自己的方法解决就可以.5.3二次根式的加法和减法第1课时二次根式的加减运算1.知道二次根式加减运算的步骤,2.会用合并同类二次根式正确进行二次根式的计算.3.经历探究二次根式加减法法则的过程，体会类比的思想方法.4.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美.【教学重点】二次根式的加减法运算.【教学难点】被开方数是分数(式)或含字母的二次根式加减运算.一、情景导入，初步认知1.下列根式中，哪些是最简二次根式？2.计算下列各式：(1)2x+3x (2)3x-2y+y【教学说明】复习整式加减法的内容，为下面探究二次根式加减法的解法做铺垫.二、思考探究，获取新知1.二次根式的加减运算能否依据整式的加减法运算进行？【教学说明】在此过程中，使学生理解掌握二次根式加减法的解法，并体会类比的思想方法.2.如图，是由面积分别为8和18的正方形ABCD和正方形CEGH拼成，求BE的长.3.你能根据上面的计算过程总结二次根式加减法运算的步骤吗？【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】通过例题由浅入深，层层深入，激发学生求知的欲望.在二次根式加减法的整个教学环节中，要及时纠正学生的错误认识.三、运用新知，深化理解1.教材P168例1、例2.2.下列二次根式中，能与127合并的二次根式是（B）7.有一艘船在点O处测得一小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向上，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔在船的西北方向.问再向西航行多少海里，船离电视塔最近？（结果保留根号）答案：()1031+【教学说明】独立完成，之后相互交流，纠错.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第1、2 题.将法则的教学与整式的加减比较学习.在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣.巩固本节内容，作业分层布置，使不同层次学生都有发展和提高.通过学习二次根式加减法运算培养学生简洁解题的能力，体会数学的简洁美，通过题目练习，复习同类二次根式的概念，温故而知新.第2课时二次根式的混合运算1.使学生会熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.2.讲练结合，通过例题由浅入深，层层深入，从例题的讲解中帮助学生寻找解题的方法、规律及注意点.3.培养学生进行类比的学习思想和理解运算律的广泛意义.【教学重点】二次根式的混合运算.【教学难点】由整式运算知识迁移到含二次根式的运算.一、情景导入，初步认知1.二次根式有哪些性质？2.已学过的整式的乘法公式和法则有哪些？3.怎样化简二次根式？【教学说明】进一步梳理和巩固已学过的知识，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.甲、乙两个城市间计划修建一条城际铁路，其中有一段路基的横截面设计为上底宽42m,下底宽62m，高6m的梯形，这段路基长500 m,那么这段路基的土石方大小为多少立方米呢？路基的土石方大小等于路基横截面面积乘以路基的长度，所以，这段路基的土石方为：【教学说明】从上面的解题过程可以看到，二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.2.计算：【教学说明】引导学生类比实数的运算进行计算.从上面的运算可以看到，二次根式相乘，与多项式的乘法相类似，我们可以利用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法教学简便运算.三、运用新知，深化理解1. 教材P170例4、P171例5.4.下面的三个大三角形中各有三个小三角形，每个大三角形中的四个数都有规律，请按左、右每个大三角形内填数的规律，在中间的大三角形的中间，填上恰当的数.432【教学说明】学生先做，教师之后挑选部分进行点评.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P172“习题5.3”中第3、4、6题.本节课是二次根式加减的第二节课，它是在二次根式加减的基础上的进一步学习，利用二次根式加减法解决一些实际问题.在设计本课时教案时，着重从以下几点考虑：1.先通过对实际问题的解决来引入二次根式的加减运算，再由学生自主讨论并总结二次根式的加减运算法则.2.四人小组探索、发现、解决问题，培养学生用数学方法解决实际问题的能力.本节课秉着以学生发展为本的教育理念，注重对学生的启发引导，鼓励学生主动探究思考，获取新知识，通过启发引导，让学生经历知识的发现和完善的过程，从而利用二次根式加减法解决一些实际问题，并及时进行巩固练习和应用新知，以深化学生对所学知识的理解和记忆.同时加强师生交流，以激发学生的学习兴趣.章末复习1.了解二次根式的概念和意义、理解并掌握二次根式的性质和混合运算法则.2.用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算.3.会初步运用二次根式的性质及运算解决简单的实际数学问题.4.经历梳理本章所学内容，形成知识体系，培养学生归纳和概括能力.5.通过本章的复习过程，进一步让学生体会数学知识（二次根式）来源于实际又应用于实际的辩证唯物主义思想.【教学重点】运用二次根式的意义和性质进行求取值范围、化简和运算；梳理整章知识，形成二次根式知识体系.【教学难点】运用分类讨论数学思想解决本节的有关问题，是本节复习课的难点，这就要求学生有严密的数学思维.一、知识结构【教学说明】揭示知识之间的内在联系，将所学的零散的知识连接起来，形成一个完整的知识结构，有助于学生对知识的理解和运用.二、释疑解惑，加深理解1.二次根式的概念：我们把形如a的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数.2.二次根式的意义：只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义.3.二次根式的性质：4.最简二次根式的概念：我们把被开方数中不含开方开得尽方的因数（因式），被开方数不含分母的二次根式，叫作最简二次根式.在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.5.二次根式乘法的运算公式：6.二次根式的除法运算公式：7.二次根式的加减运算方法：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【教学说明】引导学生回顾本章知识点，使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系.三、典例精析，复习新知1.下列式子一定是二次根式的是（C）m 有意义，则m能取的最小整数值是（B）2.31A．m=0 B．m=1 C．m=2 D．m=33.下列二次根式中属于最简二次根式的是（A）4.化简：【教学说明】使学生通过二次根式的化简及化简依据的说明，引导学生回忆二次根式的性质.进而让学生明白二次根式的化简的依据和二次根式的计算的依据一样，源自二次根式的性质.四、复习训练，巩固提高【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.五、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:完成教材P174和P175“复习题5”中第4、5、6、8、12题.从整堂课来看，效果比较好，学生从未知到已知，并且进行了消化.整堂课始终把学生摆在第一位，让他们主动去学习.真正把课堂交给学生，让他们变成学习的主体.层层问题给学生提供自主探索的机会，让学生的学习过程成为一个再探索、再发现的过程.在这种学习过程中，学生的创新意识和主动探求知识的兴趣得到了培养，同时使所有学生都能在数学学习中获得发现的乐趣、成功的愉悦，树立了自信心，增强了克服困难的勇气和毅力.当然本节课也有不足之处，在处理某些题的时候没有能注意学生能力的差异，基础比较薄弱的学生可能没有真正的把握.因此通过这节课，我要在以后的教学过程中注意分层作业，让每一个同学都能体验成功的喜悦.31 / 31。
初二上册数学《平方根》知识点
初二上册数学《平方根》知识点平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
中被开方数的取值范围：被开方数a≥0平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
②0的平方根是它本身0。
③负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方。
平方根与算术平方根区别：1、定义不同。
2表示方法不同。
3、个数不同。
4、取值范围不同。
1、二者之间存在着从属关系。
2、存在条件相同。
3、0的算术平方根与平方根都是0含根号式子的意义：表示a的平方根，表示a的算术平方根，表示a的负的平方根。
求正数a的算术平方根的方法：完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示。
求正数a的'算术平方根，只需找出平方后等于a的正数。
三个重要的非负数：求正数a的平方根的方法;完全平方数类型①想谁的平方是数a。
②所以a的平方根是多少。
③用式子表示=。
公式：(a≥0)∣a∣=如果我们知道了这两个平方根的一个，那么就可以及时的根据相反数的概念得到它的另一个平方根。
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。
0的平方根是0。
负数在实数范围内不能开平方，只有在正数范围内，才可以开平方根。
例如：-1的平方根为i，-9的平方根为3i。
平方根包含了算术平方根，算术平方根是平方根中的一种。
平方根和算术平方根都只有非负数才有。
被开方数是乘方运算里的幂。
求平方根可通过逆运算平方来求。
开平方：求一个非负数a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做被开方数。
若某的平方等于a，那么某就叫做a的平方根，即√a=某算术平方根的双重非负性1.√a中a≧02.√a≧0算术平方根产生根号(即算术平方根)的产生源于正方形的对角线长度“根号二”，这个“根号二”的发现一度引起了毕达哥拉斯学派的恐慌。
因为按当时的权威解释(也就是毕达哥拉斯学派的学说)，世界的一切事物都可以用有理数代表。
对于这个无理数“根号二”，最终人们选取了用根号来表示算术平方根举例9的平方根为±3;9的算术平方根为3，正数的平方根都是前面加±，算术平方根全部都是正数。
2.积的算术平方根
2. 积的算术平方根
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
解：(1) 【归纳总结】积的算术平方根本卷须知：
【归纳总结】积的算术平方根本卷须知：
18＝
9×2＝
32×2＝ຫໍສະໝຸດ 32×2＝32.
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
(2)应用积的算术平方根化简的一般步骤： ①将被开方数(式)分解因数或分解因式； ②根据二次根式的性质 a2＝a(a≥0)化简．
2. 积的算术平方根
化简： （－4）×（－9）. 解： （－4）×（－9）＝ －4× －9＝(－2)×(－3)＝6. 以上解答过程正确吗？若不正确，请改正．
[答案] 不正确，改正如下： （－4）×（－9）＝ 4×9＝ 4× 9＝2×3＝6.
2. 积的算术平方根
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
例 2 教材例 2 针对训练化简： (1) 18； (2) 72×52； (3) 49×121.
[解析]首先将被开方数进行因数分解，化为乘积的形式，如果根号 内有开得尽方的因数就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，到 达化简的目的．
目标二 能应用积的算术平方根的性质进行计算和化简
(2) 7 ×5 ＝ 7 × 5 ＝7×5＝35. 目标一 归纳出积的算术平方根的性质 2
2
2
2
[解析]首先将被开方数进行因数分解，化为乘积的形式，如果根号内有开得尽方的因数就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，到达化简的目的．
【归纳总结】积的算术平方根本卷须知：
[解析]首先将被开方数进行因数分解，化为乘积的形式，如果根号内有开得尽方的因数就移到根号外面来，用它的算术平方根来代替，到达化简的目的．
21.2.2 积的算术平方根(课件)华东师大版数学九年级上册 - 副本
21.2.2 积的算术平方根
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根据积的算术平方根化简二次根式
重 ■题型
难
题
例
化简：（1） · ； （2）
×
； （3
型
突
破 ） ×× ．
21.2.2 积的算术平方根
重
难
题
型
突
破
［解析］（1）将原式变为
× 计算即可；
21.2.2 积的算术平方根
● 考点清单解读
● 重难题型突破
21.2.2 积的算术平方根
■考点
积的算术平方根
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考
点
公式
= · （a≥0，b≥0）
清
单
解 文字叙述 积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积
读
· ⋯ · = · · ·…· （a，
推广
b，c，…，n≥0）
21.2.2 积的算术平方根
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归纳总结
考
点
（1）公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必
清
单 须满足a≥0，b≥0（若积的因数或因式不是非负数，应先将
解
读 其化为非负数，再运用性质进行化简）；
（2）当被ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方数有完全平方因数或因式时，常用积的算
术平方根进行二次根式的化简计算，要避免出现
− = - 的错误.
21.2.2 积的算术平方根
考
点
清
单
解
读
对点典例剖析
典例
化简：
（1） ； （2） × ；
（3） （ − ） × （ − ）.
二次根式乘法与积算术平方根
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
第十九页，共20页。
谢谢
第二十页，共20页。
第十三页，共20页。
(2) 6 15 10 6 1510 233552 (2 3 5)2 302 30
第十四页，共20页。
ab a • b;(a 0,b0)
积的算术平方根法则：
积的算术平方根，等于各因式算术平 方根的积。
第十五页，共20页。
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15 (3) 4a3
2
2
(3). 2 3 2 1 3 2 2
3 2 2 3 2 6
第九页，共20页。
例题讲解
计算：
(1) 3 12 (2) x x3
(3)2 ab 3 b (4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2) x x3 x x3 x4 x2
第七页，共20页。
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公式
相乘。
m a n b mn ab（a≥0，b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积为结
果的系数。
第八页，共20页。
例题1：计算
(1). 7 6
(2). 1 32 2
(3). 2 3 2
解：（1） 7 6 6 7 42
(2). 1 32 1 32 16 4
100 0.01 = 100 0.01
问:从上面的计算你发现了什么规律？如何用a，b 表示？成立的条件是什么?
第五页，共20页。
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合作交流
例1 :把下列各式化成最简二次根式：
（1） 12 ； （2） 45a2b(a、b ０)
解：（1） 12
22 3
（2） 45a2b
32 5a2b
2 3
3a 5b
练习一 1、把下列各式化成最简二次根式：
（1） 32
（2） 2 a3b（ 3 a、b ０）
2、P159 T1
例2: 把下列各式化成最简二次根式：
ab a • b (a 0,b 0)
非 负 数
(4) (9)
36 6
课堂检测
１.判断下列各等式是否成立；若不成立，
请说出正确解法和答案。
（1）16 9 4 3（× ）（2）
3 2
６ ２
（√ ）
（3）4
1 2
2
1 2 （×）（4）2
52 99
5 （ ×）
２.（a+１）(１-a) a １• １a成立的条件是（ Ｃ ）
知识回顾
指出下列二次根式中x的取值范围：
(1) 2 - x
(2) x 2 x -1
(3) x2 3
(4) 5 x x 1
探索
计算： 49 6
4 9 6
916 12
9 16 12
425 10
4 25 10
归纳： 16 25 20
16 25 20
1.积的算术平方根的性质：
1 2
０２ . ５
２５１ ４
２３ ５
４x３ x y（xx ０0y, y０）0)
５
x3
练习二 1、把下列各式化成最简二次根式：
（1） 0.8 （2） 4 1
2
（3） 20a2b c
（4）x2
1 8x3
ห้องสมุดไป่ตู้
(a(、a、b、b、c>c0)０)
2、P159 T2
3、 （ 4）（ 9） 4 9对吗?
怎样化简 （ -4）×（ -9）呢？ 答：不对
1
a1
a a3 2a2 a
(５) a３ __a____a_.
Ａ.a -１ Ｂ.-１＜a 1 Ｃ.１ a １ Ｄ.a １
３.下列各式中属于最简二次根式的是（Ｃ）
Ａ. ５ １ Ｂ. ０５ . Ｃ. ５ Ｄ. ５０
４.对于任意不相等的两个实数a、b,定义运算“”如下：
a b=
ab ab
,如３２＝３３－２２＝
５ ５，那么８１２＝__２___
.
课堂小结：
1.最简二次根式.
a • b ____a____b____ .(a ０, b ０)
简记：积的算术平方根等于算术平方根的积.
作用：在化简二次根式时，可以直接把根 号下的每一个平方因子去掉平方号 后移到根号外，即直接开方.
2、最简二次根式 满足下列条件的二次根式,叫最简二次根式。
(1)被开方数中不含开得尽方的因数(或 因式). (2)被开方数中不含分母.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次 根式。 （１）被开方数中不含能开得尽方的因数 或因式； （２）被开方数不含有分母。
2.如何化二次根式为最简二次根式 .
拓展提升
把下列各式化成最简二次根式：
（1） 82 4 4
（2） 25m4 225m2 (m ０) （3） 0.04 0.01
（4）a 1