最新21.2.2积的算术平方根的性质
平方根的性质与运算
平方根的性质与运算平方根，是数学中常见的一个概念。
它是指一个数的平方等于给定的数。
在数学运算中，平方根有一些特性，这些特性是求解平方根、比较大小以及进行运算的基础。
本文将围绕平方根的性质与运算展开论述，通过详细的解释和实例演示，帮助读者更好地理解和应用平方根。
1. 平方根的定义与符号在数学中，平方根被定义为如果非负实数x的平方等于a，则x被称为a的平方根。
平方根的符号通常用√表示，如√a。
当a为正数时，平方根有两个解，一个为正根，另一个为负根。
而当a为0时，它的平方根为0，因为0的平方等于0。
当a为负数时，它没有实数平方根，这是因为没有实数的平方能等于负数。
2. 求解平方根的方法求解平方根有多种方法，其中最常见的方法是通过开方运算来得到平方根的值。
开方运算是指根据一个数的平方等于给定的数，来求得该数的平方根的运算。
例如，√25 = 5，可以通过开平方的方式得到25的平方根为5。
除了开方运算，还有一些其他的方法如牛顿法、二分法等，用于更精确地计算平方根。
3. 平方根的性质平方根具有一些重要的性质，这些性质对于理解和应用平方根都有着重要的意义。
性质一：平方根是正数根据平方根的定义，它是一个正数或0。
例如，√9 = 3，√16 = 4，√0 = 0。
因此，无论是完全平方数还是非完全平方数，它们的平方根都是正数。
性质二：平方根的大小关系对于两个正数a和b，若a大于b，则√a大于√b。
这一性质可以通过平方根的定义和平方的性质来证明。
例如，对于a = 25和b = 16，由于25大于16，所以√25大于√16，即5大于4。
性质三：平方根的运算平方根可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
在进行这些运算时，需要注意以下几点：a) 加法与减法：若a和b为正数，则√a ± √b ≠ √(a ± b)。
在进行平方根的加法或减法运算时，不能简单地将根号内的数相加或相减。
b) 乘法：(√a) * (√b) = √(a * b)，即两个数的平方根的乘积等于这两个数的乘积的平方根。
平方根知识点总结
平方根知识点总结
1. 平方根的定义
平方根是一个数字的平方的正值的那个根。
通常使用符号√来表示。
例如,√4 = 2,因为2的平方等于4。
2. 平方根的性质
a) √(a×b) = √a×√b
b) √(a/b) = √a/√b (b≠0)
c) (√a)^2 = a
d) (√a)^n = a^(n/2) (n为偶数)
e) √(a^n) = a^(n/2) (n为偶数)
3. 无理数和有理数的平方根
a) 完全平方数的平方根是有理数,例如√4 = 2,√9 = 3。
b) 非完全平方数的平方根是无理数,例如√2,√5,√π。
4. 计算平方根的方法
a) 对于有理数,可以通过长除法计算平方根的近似值。
b) 对于无理数,可以使用牛顿迭代法或其他数值方法来近似计算平方根。
c) 科学计算器和计算机可以快速精确地计算平方根。
5. 平方根在几何中的应用
平方根在计算三角形的边长、面积和体积等几何运算中有广泛应用。
例如,勾股定理就涉及到直角三角形的两条直角边的平方根和。
平方根是一个基本的数学概念,在各个学科领域中都有重要的应用。
掌握平方根的基本性质和计算方法,对于进一步学习高等数学和相关领域知识很有帮助。
平方根和立方根的计算和性质
平方根和立方根的计算和性质平方根和立方根是数学中的重要概念，它们的计算方法和性质对于数学运算和实际问题解决都具有重要意义。
本文将介绍平方根和立方根的计算方法，探讨它们的数学性质，并通过例题说明它们在实际应用中的作用。
一、平方根的计算和性质平方根是指一个数的二次方等于该数的非负实数。
平方根的计算可以通过开平方的方法得出。
在计算一个数的平方根时，可以利用求解方程的方法来进行计算。
设要求解的数为x，那么它的平方根即为满足方程x^2 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到平方根的计算公式：x = √a其中，√a表示a的平方根。
具体计算时，可以借助计算器等工具，或者利用牛顿迭代法逼近求解。
平方根具有一些重要的性质。
首先，平方根的值永远是非负的。
也就是说，对于任意的正数a，它的平方根√a总是大于等于0的。
而对于负数，其平方根则不存在于实数范围内。
其次，平方根满足数学上的运算规律。
如果a和b分别是两个非负实数，那么它们的平方根满足以下运算性质：（1）√(a*b) = √a * √b（2）√(a/b) = √a / √b （b ≠ 0）这些性质在实际问题的计算中十分有用，可以简化运算步骤，提高计算效率。
二、立方根的计算和性质立方根是指一个数的三次方等于该数的实数。
与平方根类似，立方根的计算也可以通过开立方的方法得出。
计算一个数的立方根时，可以利用求解方程的方法进行计算。
设要求解的数为x，那么它的立方根即为满足方程x^3 = a的解。
根据方程的性质，我们可以得到立方根的计算公式：x = ∛a其中，∛a表示a的立方根。
类似地，具体计算时可以借助工具或者迭代法进行逼近求解。
立方根也具有一些重要的性质。
与平方根类似，立方根的值可以为正数或者负数。
而在实际应用中，通常我们只考虑实数范围内的立方根。
此外，立方根满足一些运算规律。
如果a和b分别是两个实数，那么它们的立方根满足以下运算性质：（1）∛(a*b) = ∛a * ∛b（2）∛(a/b) = ∛a / ∛b （b ≠ 0）同样地，这些性质可以简化计算步骤，提高计算效率。
§21.2.2-二次根式的除法
1. 二次根式的除法有两种常用方法：
（1）利用公式：
a a (a 0，b 0) bb
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算。
a= a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式、分母有理化及有理化因式的概念；
注意： 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化 简的二次根式先化简，再考虑分母有理化。
那么2 a - 3 b和2 a + 3 b互为有理化因式。
一般地，a x与 x互为有理化因式； a x + b y与a x - b y互为有理化因式。
练一练：
1、化简下列各式（分母有理化）：
（1）－8 3 8
（2）3 2 27
（3） 5a 10a
（4）2y 2 4xy
说明;1、在进行分母有理化之前，可以先观察把 能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母 中的根号。
作业本： 第12页习题21.2 第2、 3、6题
练习本: 第11页练习 第1、2、3题 选作：第12页习题21.2 第7、8、9题
3、如图，在Rt△ABC中,∠C=900，∠A=300，
AC=2cm,求斜边AB的长
B
解：设BC x,因为在RtΔABC中，
C 900,A 300,所以，AB 2x A
解：原式 64 64 8 11 49 49 7 7
辨析训练
判断下列各等式是否成立。
× √ （1） 16 9 4 3（ ）（2） 3 3 （ ） 22
× × （3） 41 2 1 （ 22
）（4） 2
52 99
5（
）
（5） 4 4 4 4（ √ ）（6）5 5 5 5 （ √）
21.2.2 积的算术平方根
二、范例学习，提高认知
1．例1：计算．
（1） × （2）4 ×2
教师板书：（1） × = =7 ；
（2）4 ×2 =4×2 =8 =40 ．
三、随堂练习，理解新知
1．计算下列各式．
（1） × （2） × （3）6 ×（-2 ）
2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．
乘法法则推广使学生初步掌握如何计算二次根式乘法.
小结
这节课你学了哪些知识？解决了什么问题？
作业
课本页第题，页第题
板
书
设
计
课
后
反
思
周次
第1周
主备课人
总课时
3
审稿人
备课时间
2018.9.14
课题
21.2.2积的算术平方根
教
学
目
标
1．知识与技能．
会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．
2．过程与方法．
经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．
3．情感、态度与价值观
学情
分析
学生已经学习了二次根式的乘法打下了基础。学生具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，仍需老师引导其完成由感性认识到理性认识的过程。
教学方法
自主探索，师生互动
教学手段
“PPT”辅助教学
教学过程
个性修改
探
究
新
知
应
用
新
知
一、回顾交流，导入新知
请同学们完成下列各题．
1．填空．
（1） × =______， =_______．
平方根的概念及性质及运算
平方根的概念及性质及运算平方根是数学中一个重要的概念，它是指一个数的正平方根或负平方根。
具体来说，如果一个数的平方等于给定的数，那么该数就被称为该给定数的平方根。
在数学符号中，平方根通常表示为√，如√4表示4的平方根。
平方根具有以下一些性质：1. 非负数的平方根为正数，如√9=3。
这是因为一个数的平方是非负的，所以其平方根也要是非负的。
2. 负数的平方根是虚数，如√-4=2i。
这是因为任何实数的平方都是非负的，所以不存在一个实数的平方等于负数。
3. 特殊情况下，0的平方根是0，因为0乘以自己等于0。
4. 称为二次根式的平方根可以写成简化形式，如√4=2，√16=4。
这是因为平方根是指一个正数，所以我们通常写成最简形式。
5. 平方根具有乘法法则，即√(ab)=√a ×√b。
这意味着当我们将一个数的平方根乘以另一个数的平方根时，等于这两个数的乘积的平方根。
6. 平方根也具有乘法逆元的概念，即(√a) ×(√a) = a，这意味着一个数的平方根乘以自己等于该数本身。
7. 平方根具有指数法则，即(√a)^n = (√a) ×(√a) × ... ×(√a) (共n个√a)，这意味着一个数的平方根的n次幂等于该数的n次方根。
平方根的运算是数学中的一个重要内容，其中最常用的运算是开方运算。
开方运算是指找到一个数的平方根的过程。
一种常用的方法是通过试错法，我们可以逐个尝试不同的数，直到找到一个数的平方等于给定的数。
另一种方法是使用计算器或数表等工具来求得一个数的平方根。
除了常见的开方运算，还有一些其他与平方根有关的运算，如平方根的加法、减法和除法。
这些运算可以通过将数的平方根转换成指数形式来进行，然后进行相应的运算。
总之，平方根是数学中一个重要的概念，它具有一些特性和性质，包括非负数的平方根为正数、负数的平方根为虚数、平方根的乘法法则和乘法逆元等。
平方根的运算可以通过开方运算来求得，也可以使用其他方法进行。
二次根式的乘法与积的算术平方根课件华师大版数学九年级上册
第21章 二次根式
21.2.1&21.2.2 二次根式的乘法 与积的算术平方根
新课导入
1.当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义?
(1) 1 ； x 1
(2) x 3 . x 1
(3) 1 x 1 . x3
∴ x＞1.
∴ x＞-3 且 x ≠1.
∴ x ≤ 1.
(4) x 2 3 x. ∴ 2 ≤ x ≤ 3.
(2) 1 27 1 27 9 3.
3
3
(3) 2 3 7 ( 2 3) 7 6 7 42.
二次根式乘法法则 a b = ab （a≥0，b≥0）
ab＝ a b （a≥0，b≥0）
归纳知识 1.二次根式乘法法则
a b = ab （a≥0，b≥0）
2.积的算术平方根的性质 ab＝ a b （a≥0，b≥0）
解：（1） 14 7= 14 7= 72 2=7 2.
（3） 3x
1 xy．
3
（2）3 5 2 10=6 5 10=30 2.
（3） 3x 1 xy = 3x 1 xy =x y.
3
3
课堂小结
二 法则
算
次
术
根
平 方
式
根
乘
法 性质
a b ab (a≥0,b≥0) (计算) (化简)
猜想 a b＝ab (a≥0，b≥0)
归纳知识 二次根式乘法法则
a b a b a≥0，b≥0.
两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.
1.计算：
(1)
3
5 ； (2) (11)3 27 ；5 ； (2) 3
1 3
27 ；
初中数学知识归纳平方根的概念和性质
初中数学知识归纳平方根的概念和性质在初中数学中，平方根是一个非常重要的概念。
它不仅能够帮助我们解决各种问题，还有一些有趣的性质。
本文将归纳平方根的概念和性质，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 平方根的概念平方根，顾名思义，就是能够使平方得到某个数的根。
对于非负数a来说，如果存在一个非负数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
用数学符号表示为√a=b。
2. 平方根的性质a) 平方根的存在性：对于非负实数a，总是存在一个非负实数b，使得b的平方等于a。
换句话说，任何一个非负实数都有平方根。
b) 平方根的唯一性：非负实数a的平方根是唯一确定的。
也就是说，如果b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
这个性质可以用反证法来证明。
c) 平方根的范围：正数的平方根是正数，非正数的平方根是非正数。
例如，4的平方根为2和-2，-4的平方根为2i和-2i（其中i是虚数单位）。
3. 平方根的计算在初中数学中，我们通常使用近似值来计算平方根。
下面是一些常用的计算平方根的方法：a) 精确平方根：对于一些特殊的数，我们可以准确地求出它的平方根。
例如，√4=2，√9=3等。
这些可以直接通过记忆获得。
b) 估算法：如果某个数的平方根不是一个精确的整数，我们可以使用估算法来计算它的近似值。
这种方法常见的有牛顿迭代法、二分法等。
我们可以根据具体情况选择适当的方法来计算。
c) 计算器：在现代科技的帮助下，我们可以轻松地使用计算器来计算平方根。
大多数计算器都具有开方功能，只需要输入待求平方根的数，按下相应的键，就可以得到准确的结果。
4. 平方根的应用平方根在日常生活和数学领域中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用：a) 测量：在几何学中，我们可以使用平方根来计算物体的尺寸。
例如，通过计算一个矩形的面积的平方根，我们可以得到它的对角线的长度。
b) 方程求解：在代数学中，平方根经常被用于求解方程。
举个例子，对于一个一元二次方程，我们可以使用平方根的性质来求解它的根。
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21.2.2《积的算术平方根的性质》教 学案
年级： 九 学科： 数学 主备人： 关雯清
教学目标：
1.理解并掌握积的算术平方根的性质：b a ⋅=a ·b （a ≥0，b ≥0）.
2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。
教学重点：
积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。
教学难点：
将二次根号下的平方因子正确地移出根号。
教学过程
一、温故互查：
二、设问导读：
自主预习教材P6~P7的内容，完成下列各题。
1.用式子表示积的算术平方根的性质：
b a ⋅=__________(a ≥0，b ≥0). 2.化简 79⨯=___________, y x 2(x ≥0，y ≥0)=_________.
利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。
⑴
12； ⑵ 27； ⑶ b a 39（a ≥0,b ≥0）； ⑷ 242a a +(a ≥0).
议一议：化简二次根式的一般步骤是什么？
【归纳总结】
⑴ 将被开方数分解，化成______的形式。
⑵ 选出被开方数中的_________________.
⑶ 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个__________去掉平方号以后移到根号外(注意：移到根号外的数必须是___________). 三、自学检测：
1.化简下列二次根式：
⑴
72 ⑵ 28 ⑶ 7)5(2⨯- ⑷ 3253⨯
（5）188⨯ （6） 225253⨯⨯ （7） 428n m （8） 2)4(9-x
3127)4(32)3()2(123)1(3⨯-⋅⋅⨯ a b ab x x
四、巩固练习：
1、选择题
（1）等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥-1
C ．-1≤x ≤1
D ．x ≥1或x ≤-1
（2）下列各等式成立的是（ ）．
A ．45×25=85
B ．53×42=205
C ．43×32=75
D ．53×42=206
（3）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）
A ．26
B ．-26
C ．6
D ．12
3、判断下列各式是否成立：
（1）94)9()4(-⨯-=-⨯- （2）5121322=-
（3）b a b a +=+22 （4）323)2(2-=⨯-
4、化简（1（2） （3） （4）
5、化简二次根式：
（1）)0(182≥x x （2（3）b a 236；（4）4625⨯ （5） b a 316
（6） 221213-（7）2243+ （8）32a a + （9）)()(223b a b a --
（10）2257⨯ （11） 8116⨯ （12）3a （a ≥0） （13
6、计算下列各式：(1);)π14.3(2- (2)化简2x <）
7、下列各式成立的条件是什么？
（1）22)(a a = （2） 3392-⋅+=
-x x x ，
（3）x x x x --=--6)4()4)(6(2 （4）()22)()(x y y x y x -=--
（5）3323+-=+x x x x
8、已知=-2)21
(a 2
1--a 成立， 则a 的范围为 五、拓展延伸：
1.设a ≥0，b ≥0,化简下列二次根式：
⑴
328b a ⑵ 3222b ab b a ++ ⑶ 24ab ⑷ 5250b a
2.当b <0时，化简二次根式249b a .
板书设计：
课堂小结：
（10,0)b ab a b =≥≥
（2）积的算术平方根：(0,0)a b a b =
≥≥ 作业布置：
1. 化简下列二次根式,其中.0,0≥≥b a
⑴ 54 ⑵ 3527b a ⑶ 2232ab b a a ++ ⑷ 25
18 2、已知2≤x ≤4 化简2)4(-x +2)2(x -的值
课后反思：。