空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式 12 上、下底面半径，R 表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3） 由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
（1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。
图1 图2解析：（1）如图2，连结A 1O ，则A 1O ⊥底面ABCD 。
作OM ⊥AB 交AB 于M ，作ON ⊥AD 交AD 于N ，连结A 1M ，A 1N 。
由三垂线定得得A 1M ⊥AB ，A 1N ⊥AD 。
∵∠A 1AM=∠A 1AN ，∴Rt △A 1NA ≌Rt △A 1MA,∴A 1M=A 1N ， 从而OM=ON 。
∴点O 在∠BAD 的平分线上。
（2）∵AM=AA 1cos3π=3×21=23∴AO=4cosπAM =223。
又在Rt △AOA 1中，A 1O 2=AA 12 – AO 2=9－29=29， ∴A 1O=223，平行六面体的体积为22345⨯⨯=V 230=。
题型2：柱体的表面积、体积综合问题例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．23B ．32C ．6D ．6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为a =1，b ＝2，c ＝3，则对角线l 的长为l =6222=++c b a ；答案D 。
点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。
例4．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。
解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。
∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。
点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。
最后用统一的量建立比值得到结论即可。
题型3：锥体的体积和表面积（2015湖北卷3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为B A.38πB. 328πC. π28D. 332π点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。
在能力方面主要考查空间想象能力。
例6．（2015北京，19）． （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB DC ∥，PAD △是等边三角形，已知28BD AD ==，245AB DC ==．（Ⅰ）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的体积．（Ⅰ）证明：在ABD △中，由于4AD =，8BD =，45AB =， 所以222AD BD AB +=．故AD BD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，ABCM PD ABCM PD O所以BD ⊥平面PAD ， 又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）解：过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， 由于平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．因此PO 为四棱锥P ABCD -的高， 又PAD △是边长为4的等边三角形． 因此34232PO =⨯=． 在底面四边形ABCD 中，AB DC ∥，2AB DC =，所以四边形ABCD 是梯形，在Rt ADB △中，斜边AB 边上的高为8545=， 此即为梯形ABCD 的高， 所以四边形ABCD 的面积为2545852425S +=⨯=． 故124231633P ABCD V -=⨯⨯=． 点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。
要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。
题型4：锥体体积、表面积综合问题例7．ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离？解：如图，取EF 的中点O ，连接GB 、GO 、CD 、FB 构造三棱锥B －EFG 。
设点B 到平面EFG 的距离为h ，BD ＝42，EF =22，CO ＝344232×=。
GO CO GC =+=+=+=222232218422()。
而GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2。
由V V B EFG G EFB --=，得16EF GO h ··=13S EFB △· 点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。
构造以点B 为顶点，△EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。
例8．（2015江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1<S2 B．S1>S2C．S1=S2 D．S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则V A－BEFD＝V O－ABD＋V O－ABE＋V O－BEFDV A－EFC＝V O－ADC＋V O－AEC＋V O－EFC又V A－BEFD＝V A－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD＋S ABE＋S BEFD＝S ADC＋S AEC ＋S EFC又面AEF公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
题型5：棱台的体积、面积及其综合问题例9．（2015四川理，19）．（本小题满分12分）如图，面ABEF⊥面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥12AD，BE∥12AF，G、H分别是FA、FD的中点。
(Ⅰ)证明：四边形BCHG是平行四边形；(Ⅱ)C、D、E、F四点是否共面？为什么？(Ⅲ)设AB=BE，证明：平面ADE⊥平面CDE.)解法一：(Ⅰ)由题设知，FG=GA,FH=HD.所以GH 12 AD，又BC 12AD,故GH BC.所以四边形BCHG是平行四边形.(Ⅱ)C、D、F、E四点共面.理由如下：由BE 12AF,G是FA的中点知，BE GF，所以EF∥BG.DBOCEFG HFEDCBA由(Ⅰ)知BG ∥GH ，故FH 共面.又点D 在直线FH 上. 所以C 、D 、F 、E 四点共面.(Ⅲ)连结EG ，由AB =BE ，BE AG 及∠BAG =90°知ABEG 是正方形. 故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ， 因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，根据三垂线定理，BG ⊥ED . 又ED ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(Ⅰ)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(Ⅱ)知F ∈平面CDE .故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE . 解法二：由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直.如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向建立直角坐标系A -xyz. (Ⅰ)设AB=a,BC=b,BE=c ，则由题设得A (0,0,0),B (a ,0,0),C (a ,b,0),D (0,2b ,0),E (a ,0,c ),G (0,0,c ),H (0,b,c ). 所以，(0,,0),(0,,0).GH b BC b == 于是.GH BC =又点G 不在直线BC 上. 所以四边形BCHG 是平行四边形. (Ⅱ)C 、D 、F 、E 四点共面.理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，所以(,0,),(,0,),,EF a c CH a c EF CH =-=-=.C EF H FD C D F E ∉∈又，，故、、、四点共面(Ⅲ)由AB=BE ，得c=a ，所以(,0,),(,0,).CH a a AE a a =-= 又(0,2,0), 0,0.AD b CH AE CH AD ===因此 即 CH ⊥AE ,CH ⊥AD ,又 AD ∩AE =A ,所以CH ⊥平面ADE , 故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题，是极具实际意义的问题。
专题03 空间几何体的表面积与体积(深度精讲)(原卷版)
2019-2020学年高一数学知识讲学（必修2）专题03 空间几何体的表面积与体积【知识导图】【重难点精讲】重点一、柱体的表面积(1)侧面展开图：棱柱的侧面展开图是平行四边形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长，如图①所示；圆柱的侧面展开图是矩形，其中一边是圆柱的母线，另一边等于圆柱的底面周长，如图②所示．(2)面积：柱体的表面积S表＝S侧＋2S底．特别地，圆柱的底面半径为r，母线长为l，则圆柱的侧面积S侧＝2πrl，表面积S表＝2πr(r＋l)．重点二、锥体的表面积(1)侧面展开图：棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，则侧面积为各个三角形面积的和，如图①所示；圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长，如图②所示．(2)面积：锥体的表面积S表＝S侧＋S底．特别地，圆锥的底面半径为r，母线长为l，则圆锥的侧面积S侧＝πrl，表面积S表＝πr(l＋r)．重点三、台体的表面积(1)侧面展开图：棱台的侧面展开图是由若干个梯形拼接而成的，则侧面积为各个梯形面积的和，如图①所示；圆台的侧面展开图是扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，如图②所示．(2)面积：台体的表面积S表＝S侧＋S上底＋S下底．特别地，圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则侧面积S 侧＝π(r ＋r ′)l ，表面积S 表＝π(r 2＋r ′2＋rl ＋r′l )．重点四、柱体的体积(1)棱柱(圆柱)的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这个点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)柱体的底面积S ，高为h ，其体积V ＝Sh .特别地，圆柱的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝πr 2h ． 重点五、锥体的体积(1)棱锥(圆锥)的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．(2)锥体的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝13Sh .特别地，圆锥的底面半径为r ，高为h ，其体积V ＝13πr 2h ． 重点六、台体的体积(1)圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离．(2)台体的上、下底面面积分别是S ′、S ，高为h ，其体积V ＝13(S ＋SS ′＋S ′)h .特别地，圆台的上、下底面半径分别为r 、r ′，高为h ，其体积V ＝13π(r 2＋rr ′＋r ′2)h ． 重点七、球的体积球的半径为R ，那么它的体积V ＝ 43πR 3． 重点八、球的表面积球的半径为R ，那么它的表面积S ＝ 4πR 2．重点九、与球有关的组合体问题(1)若一个长方体内接于一个半径为R 的球，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2(a 、b 、c 分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R ＝3a (a 为正方体的棱长)；(2)半径为R 的球内切于棱长为a 的正方体的每个面，则2R ＝a ．【典题精练】考点1、空间几何体的表面积例1．一个圆锥的底面半径为2cm ，高为6cm ，在其内部有一个高为x cm 的内接圆柱.（1）求圆锥的侧面积；（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值.考点点睛：空间几何体的表面积的求法技巧(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．考点2、空间几何体的体积例2．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？考点点睛：求几何体体积的常用方法：(1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．考点3、与三视图有关的几何体的表面积与体积例3．已知一几何体的三视图如图所示．（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．考点点睛：(1)解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．(2)若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．考点4、球的表面积与体积例4．有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，若正方体的棱长为a ，求这三个球的表面积.考点点睛：求球的表面积与体积的方法：(1)确定半径与球心(2)熟记球的表面积公式S 球＝4πR 2与球的体积公式V 球＝43πR 3.考点5、根据三视图计算球的体积与表面积例5．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，求该几何体的外接球的表面积。
考点24空间几何体体积及表面积(讲解)(解析版)
【思维导图】 表面积与体积旋转体多面体考点24:空间几何体的表面积和体积名称他面枳（*） 全面积（S.） 体积（，）枝 柱棱柱 汽戳面周长X ，X •…・口 •/直棱柱 ch检傩 梭隹 各便面职之和沁•卜正枝锥 32粳台粳什 各例面面积之和 ，坳一%；A （S —正校台：（…川】中s 表示面机.，"分别&示上、下虱曲网呆，h h z 泉示a 高，।泉示例幢长.名称 圆柱 阚锥 国台球5副 2E xris 金 2zr(/+r) m. + rjV /h (即+J)3* + T)3分割求和法 不规则的题型分割成规则图形再进行体积求和等体积法 又名换顶点，一般多用于求三棱钳的体积或者点到面的距禺体积常见方法正四面体补成正方体/对枝相等的三棱钱、三条侧棱相互垂直的三棱卷补成长方体 补形法J---------------- - -------------- —二^工三棱镇补成三棱柱或平行六面体台体补成椎体【常见考法】考法一：体积1.（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥P —ABCD中，底面48CD是平行四边形，AD = BD = ^AB = 2,2平而R4OL底面ABC。
，且PA = PD = 0, E,尸分别为PC, 8。
的中点.（1）求证：环〃平面A4O：（2）求证：平面24。
_1_平面尸30：（3）求三棱锥4一28的体积.2【答案】（D证明见解析（2）证明见解析（3〉j【解析】（1）如图，连接AC.因为底而A8CD是平行四边形，旦尸是30的中点，所以厂也是AC的中点.又因E是尸C的中点，所以瓦7/A4.因为P4u平而PAO, EFC平面PAO,所以七尸〃平而PAQ(2)在中，因为AO = 8O =走A8 = 2, 2所以4。
2+3。
2=8 = 48'则BDLAD.又因为侧而皿JJL底而ABCD，父线为AD，而BDu平面ABCD,所以8。
L平面PAD.因为u平而尸3D,所以平面24。
专题4 第1讲 空间几何体(教师版)
第1讲 空间几何体【要点提炼】考点一 表面积与体积1．旋转体的侧面积和表面积(1)S 圆柱侧＝2πrl ，S 圆柱表＝2πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(2)S 圆锥侧＝πrl ，S 圆锥表＝πr(r ＋l)(r 为底面半径，l 为母线长)．(3)S 球表＝4πR 2(R 为球的半径)．2．空间几何体的体积公式V 柱＝Sh(S 为底面面积，h 为高)；V 锥＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)； V 球＝43πR 3(R 为球的半径)． 【热点突破】【典例】1 (1)已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°.若△SAB 的面积为515，则该圆锥的侧面积为________．【答案】 402π【解析】 因为母线SA 与圆锥底面所成的角为45°，所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形．设底面圆的半径为r ，则母线长l ＝2r.在△SAB 中，cos ∠ASB ＝78，所以sin ∠ASB ＝158. 因为△SAB 的面积为515，即12SA ·SBsin ∠ASB＝12×2r ×2r ×158＝515， 所以r 2＝40，故圆锥的侧面积为πrl ＝2πr 2＝402π.(2)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，点D 在棱AA 1上，则三棱锥D －BB 1C 1的体积为________．【答案】 233 【解析】 如图，取BC 的中点O ，连接AO.∵正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∴AC ＝2，OC ＝1，则AO ＝ 3.∵AA 1∥平面BCC 1B 1，∴点D 到平面BCC 1B 1的距离为 3.又11BB C S ＝12×2×2＝2， ∴11D BB C V ＝13×2×3＝233. 易错提醒 (1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)．(2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解．(3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值．【拓展训练】1 (1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π【答案】 B【解析】 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意可知2r ＝h ＝22，∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πr ·h ＝4π＋8π＝12π.故选B.(2)如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝1，D 和E 分别是边BC 和AC 上异于端点的点，DE ⊥BC ，将△CDE 沿DE 折起，使点C 到点P 的位置，得到四棱锥P －ABDE ，则四棱锥P －ABDE 的体积的最大值为________．【答案】 327 【解析】 设CD ＝DE ＝x(0<x<1)，则四边形ABDE 的面积S ＝12(1＋x)(1－x)＝12(1－x 2)，当平面PDE ⊥平面ABDE 时，四棱锥P －ABDE 的体积最大，此时PD ⊥平面ABDE ，且PD ＝CD ＝x ，故四棱锥P －ABDE 的体积V ＝13S ·PD ＝16(x －x 3)，则V ′＝16(1－3x 2)．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，33时，V ′>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1时，V ′<0. ∴当x ＝33时，V max ＝327. 【要点提炼】考点二 多面体与球解决多面体与球问题的两种思路(1)利用构造长方体、正四面体等确定直径．(2)利用球心O 与截面圆的圆心O 1的连线垂直于截面圆的性质确定球心．【典例】2 (1)已知三棱锥P －ABC 满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AB ＝4，∠APB ＝30°，则该三棱锥的外接球的表面积为__________．【答案】 64π【解析】 因为AC ⊥BC ，所以△ABC 的外心为斜边AB 的中点，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以三棱锥P －ABC 的外接球球心在平面PAB 上，即球心就是△PAB 的外心，根据正弦定理AB sin ∠APB＝2R ，解得R ＝4， 所以外接球的表面积为4πR 2＝64π.(2)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．【答案】 23π 【解析】 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB ，如图所示，则△PAB 的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB 中，PA ＝PB ＝3，D 为AB 的中点，AB ＝2，E 为切点，则PD ＝22，△PEO ∽△PDB ，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22， 故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 规律方法 (1)长方体的外接球直径等于长方体的体对角线长．(2)三棱锥S －ABC 的外接球球心O 的确定方法：先找到△ABC 的外心O 1，然后找到过O 1的平面ABC 的垂线l ，在l 上找点O ，使OS ＝OA ，点O 即为三棱锥S －ABC 的外接球的球心．(3)多面体的内切球可利用等积法求半径．【拓展训练】2 (1)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π【答案】 C【解析】 如图所示，设球O 的半径为R ，因为∠AOB ＝90°，所以S △AOB ＝12R 2，因为V O －ABC ＝V C －AOB ，而△AOB 的面积为定值，当点C 位于垂直于平面AOB 的直径端点时，三棱锥O －ABC 的体积最大，此时V O －ABC ＝V C －AOB ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36， 故R ＝6，则球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.(2)中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，AD ＝5，ED ＝3，若鳖臑P －ADE 的外接球的体积为92π，则阳马P －ABCD 的外接球的表面积为________．【答案】 20π【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ，即AD ⊥CE ，且AD ＝5，ED ＝3，∴△ADE 的外接圆半径为r 1＝AE 2＝AD 2＋ED 22＝2， 设鳖臑P －ADE 的外接球的半径为R 1，则43πR 31＝92π，解得R 1＝322. ∵PA ⊥平面ADE ，∴R 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 21， 可得PA 2＝R 21－r 21＝102，∴PA ＝10. 正方形ABCD 的外接圆直径为2r 2＝AC ＝2AD ＝10，∴r 2＝102，∵PA ⊥平面ABCD ，∴阳马P －ABCD 的外接球半径R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA 22＋r 22＝5， ∴阳马P －ABCD 的外接球的表面积为4πR 22＝20π.专题训练一、单项选择题1.水平放置的△ABC 的直观图如图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中只有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形【答案】 A【解析】 AO ＝2A ′O ′＝2×32＝3，BC ＝B ′O ′＋C ′O ′＝1＋1＝2.在Rt △AOB 中，AB ＝12＋32＝2，同理AC ＝2，所以原△ABC 是等边三角形．2．(2020·全国Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.5－14 B.5－12 C.5＋14 D.5＋12 【答案】 C【解析】 设正四棱锥的底面正方形的边长为a ，高为h ，侧面三角形底边上的高(斜高)为h ′，则由已知得h 2＝12ah ′. 如图，设O 为正四棱锥S －ABCD 底面的中心，E 为BC 的中点，则在Rt △SOE 中，h ′2＝h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， ∴h ′2＝12ah ′＋14a 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫h ′a 2－12·h ′a －14＝0， 解得h ′a ＝5＋14(负值舍去)． 3．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S 1，外接球的表面积为S 2，则S 1S 2等于( ) A.12 B.13 C.14 D.18【答案】 C【解析】 如图，由已知圆锥侧面积是底面积的2倍，不妨设底面圆半径为r ，l 为底面圆周长，R 为母线长， 则12lR ＝2πr 2， 即12·2π·r ·R ＝2πr 2， 解得R ＝2r ，故∠ADC ＝30°，则△DEF 为等边三角形，设B 为△DEF 的重心，过B 作BC ⊥DF ，则DB 为圆锥的外接球半径，BC 为圆锥的内切球半径，则BC BD ＝12，∴r 内r 外＝12，故S 1S 2＝14. 4．(2020·大连模拟)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，如图，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体的费用最少为( )A ．4 500元B ．4 000元C ．2 880元D ．2 380元【答案】 B【解析】 因为文物底部是直径为0.9米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5米，又文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2(米)，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)，则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物的体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，因为气体每立方米1 000元，所以气体的费用最少为4×1 000＝4 000(元)，故选B.5.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，动点E 在BB 1上，动点F 在A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则三棱锥O －AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关【答案】 B【解析】 由已知得V 三棱锥O －AEF ＝V 三棱锥E －OAF ＝13S △AOF ·h(h 为点E 到平面AOF 的距离)．连接OC ，因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值．又AO ∥A 1C 1，OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值，所以△AOF 的面积是定值，所以三棱锥O －AEF 的体积与x ，y 都无关．6．在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 【答案】 C【解析】 如图，过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3. 7．(2020·全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π【答案】 A【解析】 如图，设圆O 1的半径为r ，球的半径为R ，正三角形ABC 的边长为a.由πr 2＝4π，得r ＝2， 则33a ＝2，a ＝23， OO 1＝a ＝2 3.在Rt △OO 1A 中，由勾股定理得R 2＝r 2＋OO 21＝22＋(23)2＝16，所以S 球＝4πR 2＝4π×16＝64π.8．(2020·武汉调研)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的表面上，若AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，则球O 的体积为( ) A.32π3 B ．3π C.4π3 D ．8π【答案】 A【解析】 设△ABC 外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3， ∴2r ＝AB sin ∠ACB ＝112＝2， 即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3， ∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，∴球O 的体积V ＝43π·OA 3＝32π3.故选A. 9.如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球对接而成，在该封闭的几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上、下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为( )A.2 000π9B.4 000π27 C ．81πD ．128π【答案】 B 【解析】 小圆柱的高分为上、下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为5，下部分深入底部半球内．设小圆柱下部分的高为h(0<h<5)，底面半径为r(0<r<5)．由于r ，h 和球的半径构成直角三角形，即r 2＋h 2＝52，所以小圆柱的体积V ＝πr 2(h ＋5)＝π(25－h 2)(h ＋5)(0<h<5)，把V 看成是关于h 的函数，求导得V ′＝－π(3h －5)(h ＋5)．当0<h<53时，V ′>0，V 单调递增；当53<h<5时，V ′<0，V 单调递减．所以当h ＝53时，小圆柱的体积取得最大值．即V max ＝π⎝⎛⎭⎪⎫25－259×⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋5＝4 000π27，故选B. 10．已知在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等．若点P ，A ，B ，C 都在半径为1的球面上，则球心到平面ABC 的距离为( )A.36B.12C.13D.32【答案】 C【解析】 ∵在三棱锥P －ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，且长度相等，∴此三棱锥的外接球即以PA ，PB ，PC 为三边的正方体的外接球O ，∵球O 的半径为1， ∴正方体的边长为233，即PA ＝PB ＝PC ＝233， 球心到截面ABC 的距离即正方体中心到截面ABC 的距离，设P 到截面ABC 的距离为h ，则正三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×h ＝13 S △PAB ×PC ＝13× 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2333， ∵△ABC 为边长为263的正三角形， S △ABC ＝233，∴h ＝23， ∴球心(即正方体中心)O 到截面ABC 的距离为13. 二、多项选择题11．(2020·枣庄模拟)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD －A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器一边AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值C ．随着容器倾斜度的不同，A 1C 1始终与水面所在平面平行D ．当容器倾斜如图③所示时，AE ·AH 为定值【答案】 AD【解析】 由于AB 固定，所以在倾斜的过程中，始终有CD ∥HG ∥EF ∥AB ，且平面AEHD ∥平面BFGC ，故水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱)，且AB 为棱柱的一条侧棱，没有水的部分也始终呈棱柱形，故A 正确；因为水面EFGH 所在四边形，从图②，图③可以看出，EF ，GH 长度不变，而EH ，FG 的长度随倾斜度变化而变化，所以水面EFGH 所在四边形的面积是变化的，故B 错；假设A 1C 1与水面所在的平面始终平行，又A 1B 1与水面所在的平面始终平行，则长方体上底面A 1B 1C 1D 1与水面所在的平面始终平行，这就与倾斜时两个平面不平行矛盾，故C 错；水量不变时，棱柱AEH －BFG 的体积是定值，又该棱柱的高AB 不变，且V AEH －BFG ＝12·AE ·AH ·AB ，所以AE ·AH ＝2V AEH －BFG AB ，即AE ·AH 是定值，故D 正确． 12. (2020·青岛检测)已知四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1的上、下底面均为正方形，其中AB ＝22，A 1B 1＝2，AA 1＝BB 1＝CC 1＝DD 1＝2，则下列叙述正确的是( )A ．该四棱台的高为 3B ．AA 1⊥CC 1C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台外接球的表面积为16π【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥P －ABCD ，并取E ，E 1分别为BC ，B 1C 1的中点，记四棱台上、下底面中心分别为O 1，O ，连接AC ，BD ，A 1C 1，B 1D 1，A 1O ，OE ，OP ，PE.由条件知A 1，B 1，C 1，D 1分别为四棱锥的侧棱PA ，PB ，PC ，PD 的中点，则PA ＝2AA 1＝4，OA ＝2，所以OO 1＝12PO ＝12PA 2－OA 2＝3，故该四棱台的高为3，故A 正确；由PA ＝PC ＝4，AC ＝4，得△PAC 为正三角形，则AA 1与CC 1所成角为60°，故B 不正确；四棱台的斜高h ′＝12PE ＝12PO 2＋OE 2＝12×232＋22＝142，所以该四棱台的表面积为(22)2＋(2)2＋4×2＋222×142＝10＋67，故C 不正确；易知OA 1＝OB 1＝OC 1＝OD 1＝O 1A 21＋O 1O 2＝2＝OA ＝OB ＝OC ＝OD ，所以O 为四棱台外接球的球心，所以外接球的半径为2，外接球表面积为4π×22＝16π，故D 正确．三、填空题13．(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm 2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．【答案】 1【解析】 如图，设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积S 侧＝πrl ＝2π，即r ·l ＝2.由于侧面展开图为半圆，可知12πl 2＝2π， 可得l ＝2，因此r ＝1.14.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm ，母线长最短50 cm ，最长80 cm ，则斜截圆柱的侧面面积S ＝________cm 2.【答案】 2 600π【解析】 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S ＝12×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm 2)． 15．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为________．【答案】 823π 【解析】 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π. 16．(2020·新高考全国Ⅰ)已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2，∠BAD ＝60°.以D 1为球心，5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________．【答案】2π2【解析】 如图，设B 1C 1的中点为E ，球面与棱BB 1，CC 1的交点分别为P ，Q ，连接DB ，D 1B 1，D 1P ，D 1E ，EP ，EQ ，由∠BAD ＝60°，AB ＝AD ，知△ABD 为等边三角形， ∴D 1B 1＝DB ＝2，∴△D 1B 1C 1为等边三角形，则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1，∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心， 设截面圆的半径为r ，则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2，∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ. 又D 1P ＝5，∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1，同理C 1Q ＝1，∴P ，Q 分别为BB 1，CC 1的中点，∴∠PEQ ＝π2， 知PQ 的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
立体几何的体积和表面积辅导讲义
旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连
线所在直线旋转得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到.
(4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到.
2.三视图与直观图
三视图
画法规则：长对正，高平齐，宽相等
空间几何的直观图：常用斜二测画法来画.
基本步骤是：
(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观
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综上可得，S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 思维升华 (1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些简单的几何体的 组合情况；(2)由三视图求几何体的面积、体积，关键是由三视图还原几何体，同时还需掌握求体积的常用 技巧如：割补法和等价转化法．
(2)把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起，使得平面 ABD⊥平面 CBD，形成三棱锥 C－ABD 的正视 图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
空间几何体的表面积和体积
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等的多边形.
多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
(1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到.
(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.
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5
10
1
A.27
B.9
C.27
D.3
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(2)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )
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A. 3
B. 6
C．6
空间几何体的表面积和体积经典例题(教师讲义打印一份)
空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测2016年高考有以下特色：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长. 解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
空间几何体的表面积与体积(上课用)
7.965449.847≈517053.791 (g) 解得 r≈22.4 (cm), ≈517.054 (kg) >145 kg, ∴ 球是2空r≈心44的.8 .(cm). 设答内:径这为个r球, 是则空心球, 它的内径约为44.8 cm.
练习: (补充) 已知球 O1、球O2、球O3 的体积比为 1 : 8 : 27, 求它们的半径比. 解: 由题意得 V1: V2: V3 = 1 : 8 : 27,
解: 此问题是求棱台和棱柱的侧面积之和.
棱台侧面的梯形高为
∴ S = S台侧S柱侧 ≈14359 (cm2).
(答略)
6. 我国铁路路基是用碎石 铺设的 (如图), 请你查询北京 到上海的铁路长度, 并估计所 用碎石方数 (结果精确到 1 m3).
资料: 京沪铁路全长1462 km, 京沪高铁全长1318 km.
第 1、2、4、5、6 题.
习题 1.3 A组
1. 五棱台的上、下底面均是正五边形, 边长分 别是 8 cm 和 18 cm, 侧面是全等的等腰梯形, 侧棱 长是 13 cm, 求它的侧面面积.
解: 所求侧面面积是5个等腰梯形之和,
一个梯形的高为
8
= 12,
13
∴ S侧 =
18
= 780 (cm2),
(尺寸如图, 单位: mm) 形, 电镀这
25
种零件需要用锌, 已知每平方米用
锌 0.11 kg, 问电镀 10000个零件需
5
要锌多少千克? (结果精确到 0.01 kg)
12
解: 这个零件的表面积为
S = S棱柱表S圆柱侧
≈1579.485 (mm2), 10000个零件的表面积约为15794850 mm2,
2018-2019学年人教A版高中数学必修二：空间几何体的表面积和体积(知识讲解+例题演练)
空间几何体的表面积和体积【学习目标】1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法；2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系；3.了解球的表面积和体积公式推导的基本思想，掌握球的表面积和体积的计算公式，并会求球的表面积和体积；4.会用柱、锥、台体和球的表面积和体积公式求简单几何体的表面积和体积. 【要点梳理】要点一、棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是多面体，它们的各个面均是平面多边形，它们的表面积就是各个面的面积之和．计算时要分清面的形状，准确算出每个面的面积再求和．棱柱、棱锥、棱台底面与侧面的形状如下表：求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积．要点二、圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台是旋转体，它们的底面是圆面，易求面积，而它们的侧面是曲面，应把它们的侧面展开为平面图形，再去求其面积．1．圆柱的表面积（1）圆柱的侧面积：圆柱的侧面展开图是一个矩形，如下图，圆柱的底面半径为r ，母线长l ，那么这个矩形的长等于圆柱底面周长C=2πr ，宽等于圆柱侧面的母线长l （也是高），由此可得S 圆柱侧=C l =2πr l ．（2）圆柱的表面积：2222()S r rl r r l πππ=+=+圆柱表．2．圆锥的表面积（1）圆锥的侧面积：如下图（1）所示，圆锥的侧面展开图是一个扇形，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，那么这个扇形的弧长等于圆锥底面周长C=πr ，半径等于圆锥侧面的母线长为l ，由此可得它的侧面积是12S Cl rl π==圆锥侧． （2）圆锥的表面积：S 圆锥表=πr 2+πr l ．3．圆台的表面积（1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r ＇、r ，母线长为l ，那么这个扇形的面积为π(r ＇+r)l ，即圆台的侧面积为S 圆台侧=π(r ＇+r)l ．（2）圆台的表面积：22('')S r r r l rl π=+++圆台表．要点诠释：求旋转体的表面积时，可从旋转体的生成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系．4．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系如下图所示．要点三、柱体、锥体、台体的体积 1．柱体的体积公式棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S 和高h 的乘积，即V 棱柱=Sh ． 圆柱的体积：底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是V 圆柱=Sh=πr 2h ． 综上，柱体的体积公式为V=Sh ． 2．锥体的体积公式棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =棱锥． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S ，高是h ，那么它的体积13V Sh =圆锥；如果底面积半径是r ，用πr 2表示S ，则213V r h π=圆锥． 综上，锥体的体积公式为13V Sh =． 3．台体的体积公式棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S ＇、S ，高是h ，那么它的体积是1(')3V h S S =棱台．圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r ＇、r ，高是h ，那么它的体积是2211(')('')33V h S S h r rr r π=+=++圆台．综上，台体的体积公式为1(')3V h S S =． 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系如下图所示．要点四、球的表面积和体积 1．球的表面积（1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积公式 S 球=4πR 2． 即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2．球的体积设球的半径为R ，它的体积只与半径R 有关，是以R 为自变量的函数． 球的体积公式为343V R π=球． 要点五、侧面积与体积的计算 1．多面体的侧面积与体积的计算在掌握直棱柱、正棱锥、正棱台侧面积公式及其推导过程的基础上，对于一些较简单的几何组合体的表面积与体积，能够将其分解成柱、锥、台、球，再进一步分解为平面图形（正多边形、三角形、梯形等），以求得其表面积与体积．要注意对各几何体相重叠部分的面积的处理，并要注意一些性质的灵活运用．（1）棱锥平行于底的截面的性质：在棱锥与平行于底的截面所构成的小棱锥中，有如下比例关系：S S S S S S ===小锥底小锥全小锥侧大锥底大锥全大锥侧对应线段（如高、斜高、底面边长等）的平方之比．要点诠释：这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式．（2）有关棱柱直截面的补充知识．在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式：S 棱柱侧=C 直截l （其中C 直截、l 分别为棱柱的直截面周长与侧棱长）， V 棱柱=S 直截l （其中S 直截、l 分别为棱柱的直截面面积与侧棱长）． 2．旋转体的侧面积和体积的计算（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形式及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解决有关问题的关键．（2）计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关问题的关键．【典型例题】类型一、简单几何体的表面积例1．如右图，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为345(0)a a a a >、、．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是 ．【答案】03a <<． 【解析】底面积为26a ，侧面面积分别为6、8、10，拼成四棱柱时，有三种情况：221(86)2462428s a a =+⨯+⨯=+222242(108)2436,s a a =++=+ 223242(106)2432,s a a =++=+拼成三棱柱时也有三种情况：表面积为22262(1086)1248a a ⨯+++=+，24a 2+36, 24a 2+32由题意得2224281248a a +<+，解得03a <<． 【总结升华】（1）直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧面积与上、下两个底面的面积之和．（2）求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公式求解．举一反三：【变式1】一个圆柱的底面面积是S ，侧面展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为（ ）A ．4S πB ．2S πC ．S πD S 【答案】A【解析】由圆柱的底面面积是S ，求出圆柱的半径为r =4S π．例2．在底面半径为R ，高为h 的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．【思路点拨】一般要画出其轴截面来分析，利用相似三角形求解。
考点24 空间几何体体积及表面积(讲解)(解析版)
考点24:空间几何体的表面积和体积【思维导图】【常见考法】考法一：体积1．（等体积法之换顶点）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，222AD BD AB ===，平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA PD ==E ，F 分别为PC ，BD 的中点.（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PBD ；（3）求三棱锥B PCD -的体积.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）23【解析】（1）如图，连接AC .因为底面ABCD 是平行四边形，且F 是BD 的中点，所以F 也是AC 的中点.又因E 是PC 的中点，所以//EF PA .因为PA ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD .（2）在ABD △中，因为222AD BD AB ===，所以2228AD BD AB +==，则BD AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，而BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD .因为BD ⊂平面PBD ，所以平面PAD ⊥平面PBD .（3）取AD 中点为O ，连接PO .因为PA PD =，O 为AD 的中点，所以PO AD ⊥，又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，交线为AD ，所以PO ⊥平面ABCD .因为PA PD ==2AD =，所以2224PA PD AD +==，所以PA PD ⊥.所以1PO =，所以三棱锥B PCD -的体积11122213323B PCD P BCD BCD V V S PO --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.2.（等体积法之点面距）已知三棱锥A BPC -中，,AP PC AC BC ⊥⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB ∆为正三角形.（1）求证：BC ⊥平面APC ；（2）若310BC AB ==，，求点B 到平面DCM 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）125.【解析】（1）证明：如图，∵PMB ∆为正三角形，且D 为PB 的中点，∴MD PB ⊥.又∵M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，∴//MD AP ,∴AP PB ⊥.又已知AP PC ⊥,∴AP ⊥平面PBC ,∴⊥AP BC .又∵,AC BC AC AP A ⊥⋂=,∴BC ⊥平面APC .（2）解：法一：记点B 到平面MDC 的距离为h ，则有M BCD B MDCV V --=∵10AB =∴5MB PB ==，又3BC BC PC =⊥，,∴4PC =，∴11324BDC PBC S S PC BC ∆∆==⋅=，又532=MD ，∴15332M BCD BDC V MD S -∆=⋅=，在PBC ∆中，1522CD PB ==，又∵MD DC ⊥，∴125328MDC S MD DC ∆=⋅=，∴11255333382B MDC MDC V h S h -∆=⋅==，∴125h =即点B 到平面MDC 的距离为125.法二：∵平面DCM ⊥平面PBC 且交线为DC ，过B 作BH DC ⊥，则BH ⊥平面DCM ，BH 的长为点B 到平面DCM 的距离；∵10AB =，∴5MB PB ==，又3,BC BC PC =⊥，∴4PC =，∴11324BDC PBC S S PC BC ∆∆==⋅=.又1522CD PB ==，∴15324BCD S CD BH BH ∆=⋅==，∴125BH =，即点B 到平面MDC 的距离为125.3．（补形法）将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】（1）取AC 中点为1O ，连接1OO 、11B D 、11O D ．在正方形1111D C B A 中，O 为11A C 的中点，O ∴为11B D 的中点．在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC 且11AA CC =，∴四边形11AA C C 为平行四边形，11//AC A C ∴且11AC A C =，O 、1O 分别为11A C 、AC 的中点，11//AO A O ∴且11AO A O =，所以，四边形11AA OO 为平行四边形，11//OO AA ∴且11OO AA =，11//AA BB 且11AA BB =，11//OO BB ∴且11OO BB =，所以，四边形11OO BB 为平行四边形，11//O B OB ∴且11O B OB =，O 为11B D 的中点，11//OD O B ∴且11OD O B =，则四边形11O BOD 为平行四边形，11//OB O D ∴，又BO ⊄平面1ACD ，11O D ⊂平面1ACD ，因此，//OB 平面1ACD ；（2）∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，1111328ABCD A B C D V -∴==，1112223243D ACD V -=⨯⨯⨯⨯=．又11111111111ACB A D ABC C D A B A BCB C B C D V V V V ---=--，且111111111420833ABC C D A B ABCD A B C D D ACD V V V ---=-=-=，而111143A BCB C B C D V V --==，1112042433ACB A D V ∴=-⨯=．4．（分割法）如图，矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，E 、F 是边DC 的三等分点.现将DAE ∆、CBF ∆分别沿AE 、BF 折起，使得平面DAE 、平面CBF 均与平面ABFE 垂直.（1）若G 为线段AB 上一点，且1AG =，求证：DG 平面CBF ；（2）求多面体CDABFE 的体积.【答案】(1)见证明(2)2【解析】（1）分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MG ，MN ，因为1AD DE ==，90ADE ︒∠=，所以DM AE ⊥，且22DM =.因为1BC CF ==，90BCF ∠= ，所以CN BF ⊥，且2CN =.因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE ，CN ⊥面ABFE ，所以DM CN ，且DM CN =.因为cos45AM AG ︒=，所以90AMG ︒∠=，所以AMG ∆是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故45MGA ︒∠=，而45FBA ︒∠=，则MG FB ，故面DMG 面CBF ，则DG 面CBF .（2）如图，连接BE ，DF ，由（1）可知，DM CN ，且DM CN =，则四边形DMNC 为平行四边形，故22EF AB DC MN +===.因为D ABE B EFCD V V V --=+33D ABE B DEF D ABE D BEF V V V V ----=+=+，所以1131322V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭113113222⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.考法二：表面积1．如图，在四棱锥P ABCD -中，2AD =，1AB BC CD ===，//BC AD ，90PAD ∠=︒.PBA ∠为锐角，平面PAB ⊥平面PBD.（Ⅰ）证明：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）AD 与平面PBD 所成角的正弦值为24，求三棱锥P ABD -的表面积.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3362+.【解析】（Ⅰ）如图所示：作AM PB ⊥于M ，因为平面PAB ⊥平面PBD所以AM ⊥平面PBD .所以AM BD⊥取AD 中点为Q ，则=BC QD ，且//BC QD所以1====BQ CD QD QA所以90ABD ∠=︒，BD AB⊥又PBA ∠为锐角，∴点M 与点B 不重合.所以DB ⊥平面PAB DB PA ⇒⊥.又PA AD ⊥，DB 与AD 为平面ABCD 内两条相交直线，故PA ⊥平面ABCD .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AM ⊥平面PBD ，故ADM ∠即为AD 与平面PBD 所成角，2242AM AM AD =⇒=.在Rt PAB 中，2452AM PBA =⇒∠=︒，故1PA =，12PAB S =△，1PAD S =△，322ABD AB BD S ⋅==△.而90PBD ∠=︒，所以236222△⋅===PBD PB BD S故所求表面积为：136********+++++=.2．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1222AA AB BC ===，M ，N ，D 分别为AB ，1BB ，1CC 的中点，E 为线段MN 上的动点.（1）证明：//CE 平面1ADB ；（2）若将直三棱柱111ABC A B C -沿平面1ADB 截开，求四棱锥1A BCDB -的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）2632++.【解析】（1）证明：连接CM ，CN ，因为N ，D 分别为1BB ，1CC 中点，所以1112NB BB =，1112C D CC =，又因为11//BB CC ，11BB CC =，所以1//NB CD ，1NB CD =，所以四边形1NCDB 为平行四边形，所以1//NC DB ，又M 为AB 中点，所以1//MN AB ，又CM CN C ⋂=，111AB DB B ⋂=，所以平面//MCN 平面1ADB ，又CE ⊂平面MCN ，所以//CE 平面1ADB .（2）连接BD ，因为AB BC ⊥，1B B AB ⊥，1BC BB B = ，BC ⊂平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以AB ⊥平面11BCC B ，所以AB BD ⊥，11122ABC S ⨯==△，12112ABB S ⨯==△，12222ACD S ==△，1(12)1322BCDB S +⨯==梯形，在1ADB ∆中，3AD =，15AB =12DB =，所以22211AD DB AB +=，所以1AD DB ⊥，123622ADB S ==△，所以四棱锥1A BCDB -的表面积1236261322222S +=++++=+.3．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是菱形,PA ⊥平面ABCD ,3ABC π∠=,M 是PC 上一动点.（1）求证:平面PAC ⊥平面MBD ;（2）若PB PD ⊥,三棱锥P ABD -的体积为624,求四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】（1）证明见解析（2【解析】(1) PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,PA BD ∴⊥.底面ABCD 是菱形BD AC ∴⊥.又PA AC A =Q I ,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,BD ∴⊥平面PAC .又 BD ⊂平面MBD ,∴平面PAC ⊥平面MBD .(2)设菱形ABCD 的边长为x ,3ABC π∠=Q ,23BAD π∴∠=.在ABD ∆中,22222212cos 22()32BD AD AB AD AB BAD x x x =+-⋅∠=-⋅-=BD ∴=.又 PA ⊥平面ABCD ,AB AD =,PB PD ⊥,PB PD ∴==,故22PA x =.又22112sin sin 223ABD S AB AD BAD x π∆=⋅⋅∠=⋅=,2-11326=334224ABD P ABD V S PA x ∆∴=⋅⋅=⋅⋅三棱锥,解得:1x =,2PA PB PD ∴===,3ABC π∠= 1AC AB ∴==又 PA ⊥平面ABCD ,2PC PB ∴==,∴四棱锥P ABCD -的侧面积为:11222(11)2222PAB PBC S S ∆∆+=⨯+=.考法三：求参数1．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠= .（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -的体积为312，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1.【解析】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ，所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠= ，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=o ，1203090ADB ∠=-= ，即AD BD ⊥，又AE AD A = ，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂Q 平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a a == ，//AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，231333341212D BCF F BCD V V a a a --∴==⋅⋅==，故1a =.2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD ∆是等边三角形，O 是AD 上一点，平面PAD ⊥平面,ABCD //,,1,2,3AB CD AB AD AB CD BC ⊥===.（1）若O 是AD 的中点，求证：OB ⊥平面POC ；（2）设=OD OAλ=，当λ取何值时，三棱锥B POC -【答案】（1）证明见解析；（2）1λ=.【解析】（1）因为//,,1,2,3AB CD AB AD AB CD BC ⊥===，所以AD ==.因为O 是AD 的中点，所以OA OD ==223,6OB OC ==，所以222OB OC BC +=，所以OB OC ⊥.又因为平面PAD ⊥平面,ABCD 所以PO ⊥平面,ABCD 所以PO ⊥,0OB PO OC ⋂=，所以OB ⊥平面POC .（2）设OD OAλ=，所以0OD A λ=，因为PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面,ABCD点P 到平面ABCD 的距离，即为四棱锥P ABCD -的高，且h =因为13B POC P BOC POC V V S h --∆===所以()111322222BOC S AB CD AD AB OA AD OD ∆=+⨯-⨯-⨯=整理得：()12OA λ+=又因为OD OA OA OA λ+=+=解得1λ=考法四：求最值1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，2BC =，13,90,BB ABC =∠=点D 为侧棱1BB 上一个动点（1）求此直三棱柱111ABC A B C -的表面积；（2）当1AD DC +最小时，求三棱锥1D ABC -的体积.【答案】（1）11+2）13【解析】（1）1111112ABB A ACC A BCC B ABCS S S S S ∆=+++表113233212112=⨯+⨯++⨯⨯⨯=+（2）将三棱柱展开成矩形11ACC A ，连接1AC ，交1BB 于点D ，则此时1AD DC +最小.1BD AB CC AC = ，1313BD ∴=⨯=.11111222ABD S AB BD ∆∴=⨯=⨯⨯=.1BB ⊥ 平面111A B C ，且11B C ⊂平面111A B C ，1BB ∴⊥11B C ，又11B C ⊥11A B 且11A B 11BB B ⋂=，11A B ，1BB ⊂平面11ABB A ，11B C ∴⊥平面11ABB A 11B C ∴为1C 到平面11ABB A 的距离，1111111123323D ABC C ABD ABD V V S B C --∴==⋅=⨯⨯=.2．如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在线段BC 上，2BE EC =.把BAE ∆沿AE 翻折至1B AE ∆的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2.（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）31919-.【解析】（1）依题意得，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，2BE EC =，所以3AD =，1EC =.在线段1B A 上取一点M ，满足12AM MB =，又因为12DF FB =，所以11B M B F MA FD=，故//FM AD ，又因为//EC AD ，所以//EC FM ，因为113FM AD ==，所以EC FM =，所以四边形FMEC 为平行四边形，所以//CF EM ，又因为CF ⊄平面1B AE ，EM ⊂平面1B AE ，所以//CF 平面1B AE .（2）设1B 到平面AECD 的距离为h ，113B AED AED V S h -∆=⋅⋅，又3AED S ∆=，所以1B AED V h -=，故要使三棱锥1B AED -的体积取到最大值，仅需h 取到最大值.取AE 的中点O ，连结1B O ，依题意得1B O AE ⊥，则1h B O ≤=，因为平面1B AE 平面AECD AE =，1B O AE ⊥，1B O ⊂平面1B AE ，故当平面1B AE ⊥平面AECD 时，1B O ⊥平面AECD ，1h B O =.即当且仅当平面1B AE ⊥平面AECD 时，1B AED V -取得最大值，此时h =如图，以D 为坐标原点，DA ，DC的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，得(0,0,0)D ，(1,2,0)E ，1B ，1DB = ，(1,2,0)DE = ，设(,,)n x y z = 是平面1B ED 的一个法向量，则10,0,n DB n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,20,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，解得n ⎛=- ⎝ ，又因为平面CDE 的一个法向量为(0,0,1)m = ，所以319cos 19||||m n m n m n ⋅⋅===⋅ ，因为1B DE C --为钝角，所以其余弦值等于31919-3．如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是CD 的中点，现将三角形DEF 沿EF 翻折成如图2所示的五棱锥P ABCFE -.（1）求证：AC 平面PEF ；（2）求五棱锥P ABCFE -的体积最大时PAC ∆的面积.【答案】（1）见证明；（2）【解析】证明：（1）在图1中，连接AC .又E ，F 分别为AD ，CD 中点，所以//EF AC .即图2中有//EF AC .又EF ⊂平面PEF ，AC ⊄平面PEF ，所以//AC 平面PEF .解：（2）在翻折的过程中，当平面PEF ⊥平面ABCFE 时，五棱锥P ABCFE -的体积最大.在图1中，取EF 的中点M ，DE 的中点N .由正方形ABCD 的性质知，//MN DF ，MN AD ⊥，1MN NE ==，2AE DF ==，AM ===.在图2中，取EF 的中点H ，分别连接PH ，AH ，取AC 中点O ，连接PO .由正方形ABCD 的性质知，PH EF ⊥.又平面PEF ⊥平面ABCFE ，所以PH ⊥平面ABCFE ，则PH AH ⊥.由4AB =，有2PF AE PE ===，EH PH HF ===AC =，PA ==.同理可知PC =.又O 为AC 中点，所以OP AC ⊥，所以2OP ==，所以11222PAC S OP AC ∆=⨯⨯=⨯⨯=4．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ；（Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值；（Ⅲ）若BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262．【解析】（Ⅰ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点，所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面，所以C PO ⊥A ．因为D O PO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（Ⅱ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1．又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=．又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =，故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=．（Ⅲ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB = ，所以PB ==．同理C P =C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C B 'P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．又因为OP =OB ，C C 'P ='B ，所以C O '垂直平分PB ，即E 为PB 中点．从而2626222C C O '=OE +E '=+=，亦即C E +OE 的最小值为2+．。
2020届高三理数一轮讲义：8.2-空间几何体的表面积和体积(含答案)
第2节空间几何体的表面积和体积最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13S底h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3[微点提醒]1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.(2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm解析由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).答案 B3.(必修2P27例4改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱的体积比V球∶V柱为()A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶3解析设球的半径为R，则V球V柱＝43πR3πR2×2R＝23.答案B4.(2016·全国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.323π C.8π D.4π解析设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝3 a，即R＝ 3.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.答案 A5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.πB.3π4 C.π2 D.π4解析如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝1 2.∴底面圆半径r＝OA2－OM2＝32，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·⎝⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.答案 B6.(2018·浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.解析 由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6. 答案 6考点一 空间几何体的表面积【例1】 (1)(2019·南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A.4 3B.4 5C.4(5＋1)D.8(2)(2018·洛阳模拟)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A.17π2B.9πC.19π2D.10π解析 (1)因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图.由题意知底面正方形的边长为2，正四棱锥的高为2，则正四棱锥的斜高PE＝22＋12＝ 5.所以该四棱锥的侧面积S＝4×12×2×5＝4 5.故选B.(2)由三视图可知该几何体由一个圆柱与四分之一个球组合而成. 圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，所以几何体的表面积为π×12＋2π×1×3＋4π×12×14＋12π×12＋12π×12＝9π.故选B.答案(1)B(2)B规律方法 1.由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【训练1】(1)(2019·西安模拟)如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20πB.24πC.28πD.32π(2)(2018·烟台二模)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图右侧曲线为半圆弧，则几何体的表面积为( )A.3π＋42－2B.3π＋22－2C.3π2＋22－2D.3π2＋22＋2解析 (1)由三视图知，该几何体由一圆锥和一个圆柱构成的组合体， ∵S 圆锥侧＝π×3×32＋42＝15π，S 圆柱侧＝2π×1×2＝4π，S 圆锥底＝π×32＝9π.故几何体的表面积S ＝15π＋4π＋9π＝28π.(2)由三视图，该几何体是一个半圆柱挖去一直三棱柱，由对称性，几何体的底面面积S 底＝π×12－(2)2＝π－2.∴几何体表面积S ＝2(2×2)＋12(2π×1×2)＋S 底 ＝42＋2π＋π－2＝3π＋42－2. 答案 (1)C (2)A考点二 空间几何体的体积多维探究角度1 以三视图为背景的几何体的体积【例2－1】 (2019·河北衡水中学调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.6B.4C.223D.203解析 由三视图知该几何体是边长为2的正方体挖去一个三棱柱(如图)，且挖去的三棱柱的高为1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边长为2.故几何体体积V ＝23－12×2×2×1＝6.答案 A角度2 简单几何体的体积【例2－2】 (2018·天津卷)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________.解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC .因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC .所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形.又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫222×12＝112.答案 112角度3 不规则几何体的体积【例2－3】 如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12， AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱锥F －BCH ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝2V 三棱锥E －ADG ＋V 三棱柱AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A. 答案 A规律方法 1.(直接法)规则几何体：对于规则几何体，直接利用公式计算即可.若已知三视图求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解.2.(割补法)不规则几何体：当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算.经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体.3.(等积法)三棱锥：利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面.(1)求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算；(2)利用“等积性”可求“点到面的距离”，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥.【训练2】 (1)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A.3B.32C.1D.32(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π－163B.4π－163C.8π－4D.4π＋83解析(1)如题图，在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝32AB＝3，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，∴V A－B1DC1＝13S△B1DC1·AD＝13×12×2×3×3＝1.(2)该几何体为一个半圆柱中间挖去一个四面体，∴体积V＝12π×22×4－13×12×2×4×4＝8π－163.答案(1)C(2)A考点三多面体与球的切、接问题典例迁移【例3】(经典母题)(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A.4πB.9π2 C.6π D.32π3解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝3 2.故球的最大体积V＝43πR3＝92π.答案 B【迁移探究1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积. 解 将直三棱柱补形为长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1，则球O 是长方体ABEC －A 1B 1E 1C 1的外接球.∴体对角线BC 1的长为球O 的直径.因此2R ＝32＋42＋122＝13.故S 球＝4πR 2＝169π.【迁移探究2】 若将题目的条件变为“如图所示是一个几何体的三视图”，试求该几何体外接球的表面积.解 设外接球的半径为R ，由三视图可知该几何体是两个正四棱锥的组合体(底面重合)，上、下两顶点之间的距离为2R ，正四棱锥的底面是边长为2R 的正方形，由R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22R 2＝32解得R 2＝6，故该球的表面积S ＝4πR 2＝24π. 规律方法 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【训练3】 (2019·广州模拟)三棱锥P －ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝PC ＝AC ＝2，AB ＝4，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为( )A.23πB.234πC.64πD.643π解析如图，设O′为正△PAC的中心，D为Rt△ABC斜边的中点，H为AC中点.由平面PAC⊥平面ABC.则O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，则交点O为三棱锥外接球的球心，连接OP，又O′P＝23PH＝23×32×2＝233，OO′＝DH＝12AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝43＋4＝163.故几何体外接球的表面积S＝4πR2＝64 3π.答案 D[思维升华]1.转化与化归思想：计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.2.求体积的两种方法：(1)割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高.[易错防范]1.求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错.2.由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误.3.底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.直观想象——简单几何体的外接球与内切球问题1.直观想象主要表现为利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物，解决与球有关的问题对该素养有较高的要求.2.简单几何体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题，其中球心的确定是关键.类型1外接球的问题1.必备知识：(1)简单多面体外接球的球心的结论.结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.(2)构造正方体或长方体确定球心.(3)利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心.2.方法技巧：几何体补成正方体或长方体.【例1－1】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为()A.25πB.26πC.32πD.36π解析由三视图可知，该几何体是以俯视图的图形为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥.如图，三棱锥A－BCD即为该几何体，且AB＝BD＝4，CD＝2，BC＝23，则BD2＝BC2＋CD2，即∠BCD＝90°，故底面外接圆的直径2r＝BD＝4.易知AD 为三棱锥A －BCD 的外接球的直径.设球的半径为R ，则由勾股定理得4R 2＝AB 2＋4r 2＝32，故该几何体的外接球的表面积为4πR 2＝32π.答案 C【例1－2】 (2019·东北三省四市模拟)已知边长为2的等边三角形ABC ，D 为BC的中点，沿AD 进行折叠，使折叠后的∠BDC ＝π2，则过A ，B ，C ，D 四点的球的表面积为( )A.3πB.4πC.5πD.6π解析 连接BC ，由题知几何体ABCD 为三棱锥，BD ＝CD ＝1，AD ＝3，BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，BD ⊥CD ，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是3，1，1的长方体，其体对角线长为1＋1＋3＝5，故该三棱锥外接球的半径是52，其表面积为5π.答案 C【例1－3】 (2019·广州二测)体积为3的三棱锥P －ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2，∠ABC ＝120°，则球O 的体积的最小值为( ) A.773πB.2873πC.19193π D.76193π 解析 设AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，由题可得3＝13×S △ABC ×2，解得S △ABC ＝332.因为∠ABC ＝120°，S △ABC ＝332＝12ac sin 120°，所以ac ＝6，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ≥2ac ＋ac ＝3ac ＝18，当且仅当a ＝c 时取等号，此时b min＝3 2.设△ABC外接圆的半径为r，则bsin 120°＝2r(b最小，则外接圆半径最小)，故3232＝2r min，所以r min＝ 6.如图，设O1为△ABC外接圆的圆心，D为PA的中点，R为球的半径，连接O1A，O1O，OA，OD，PO，易得OO1＝1，R2＝r2＋OO21＝r2＋1，当r min＝6时，R2min＝6＋1＝7，R min＝7，故球O体积的最小值为43πR3min＝43π×(7)3＝287π3.答案 B类型2内切球问题1.必备知识：(1)内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.(2)正多面体的内切球和外接球的球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.2.方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法.【例2】体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________. 解析设球的半径为R，由4π3R3＝4π3，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.设底面边长为a，则13×32a＝1，所以a＝2 3.所以V＝34×(23)2×2＝6 3.答案6 3基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A.163πB.323πC.16πD.24π解析 设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝16π，解得R ＝2，则球的体积V ＝43πR 3＝323π.答案 B2.(2015·全国Ⅰ卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛解析 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π.所以米堆的体积为V ＝14×13π·r 2·5＝π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2·5≈3209(立方尺). 故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛).答案 B3.(2018·茂名模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.7B.152C.233D.476解析 由三视图可知，该几何体是正方体去掉一个三棱锥，正方体的棱长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V ＝23－13×12×1×1×1＝8－16＝476.答案 D4.(2019·安徽皖南八校二联)榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为( )A.24＋52π，34＋52πB.24＋52π，36＋54πC.24＋54π，36＋54πD.24＋54π，34＋52π解析 由三视图可知，这榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V ＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面积S ＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.答案 C5.(2019·商丘模拟)一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10 cm的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近()A.3 cmB.4 cmC.5 cmD.6 cm解析由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于侧视图直角三角形内切圆的半径，设为r cm，则10－r＋10－r＝10 2. ∴r＝10－52≈3(cm).答案 A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析设新的底面半径为r，由题意得13πr2·4＋πr2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r＝7.答案77.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为1，P为侧棱B1B上的一点，则四棱锥P－ACC1A1的体积为________.解析 设点P 到平面ABC 、平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1，h 2，则棱柱的高为h ＝h 1＋h 2，又记S ＝S △ABC ＝S △A 1B 1C 1，则三棱柱的体积为V ＝Sh ＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P －ACC 1A 1的剩余体积为V ′＝V P －ABC ＋VP －A 1B 1C 1＝13Sh 1＋13Sh 2＝13S (h 1＋h 2)＝13，从而VP －ACC 1A 1＝V －V ′＝1－13＝23.答案 238.(2018·广州调研)如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为22的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是________.解析 如图所示，由三视图可得该几何体是三棱锥A －BCD ，其中点A ，B ，C ，D 均是该三棱锥所在长方体的棱的中点，AB ＝CD ＝22，长方体的高为2，易得该三棱锥的外接球的半径R ＝12＋（2）2＝3，因此该三棱锥的外接球的体积为4πR 33＝43π.答案 43π三、解答题9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍，若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积是多少？解 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m.因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)，所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3).故仓库的容积是312 m 3.10.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16，BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝D 1F ＝4.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解 (1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.(2)如图，作EM ⊥AB ，垂足为M ，则AM ＝A 1E ＝4，EB 1＝12，EM ＝AA 1＝8. 因为四边形EHGF 为正方形，所以EH ＝EF ＝BC ＝10.于是MH ＝EH 2－EM 2＝6，AH ＝10，HB ＝6.故S 四边形A 1EHA ＝12×(4＋10)×8＝56，S 四边形EB 1BH ＝12×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·德阳模拟)已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3π＋6B.6π＋6C.3π＋12D.12解析 由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，则其体积V ＝14×13×π×32×4＋13×12×3×3×4＝3π＋6.故选A.答案 A12.用长度分别为2，3，5，6，9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258 cm2B.414 cm2C.416 cm2D.418 cm2解析设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为a，b，c，则长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)≤12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(a＋c)2]，当且仅当a＝b＝c时上式“＝”成立.由题意可知，a，b，c，不可能相等，故当a，b，c的大小最接近时，长方体的表面积最大，此时从同一顶点出发的三条棱的长为8，8，9，用长度为2，6的木棒连接，长度为3，5的木棒连接各为一条棱，长度为9的木棒为第三条棱，组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为2×(8×8＋8×9＋8×9)＝416(cm2).答案 C13.(2019·合肥一检)如图，已知平面四边形ABCD满足AB＝AD＝2，∠A＝60°，∠C＝90°，将△ABD沿对角线BD翻折，使平面ABD⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为________.解析在四面体ABCD中，∵AB＝AD＝2，∠A＝60°，∴△ABD为正三角形.设BD的中点为M，连接AM，则AM⊥BD，又平面ABD⊥平面CBD，平面ABD∩平面CBD＝BD，∴AM⊥平面CBD.∵△CBD为直角三角形，∴其外接圆的圆心是斜边BD的中点M，由球的性质知，四面体ABCD外接球的球心必在线段AM上.又△ABD为正三角形，∴球心是△ABD的中心，则外接球的半径为23×32×2＝233，∴四面体ABCD外接球的体积为43×π×⎝⎛⎭⎪⎫2333＝323π27.答案323π2714.(2018·沈阳质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点.(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1－ABC的体积.(1)证明因为AA1＝A1C，且O为AC的中点，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.(2)解∵A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离.由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝AA21－AO2＝3，∴V C1－ABC ＝V A1－ABC＝13S△ABC·A1O＝13×12×2×3×3＝1.。