三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。

第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）。

如：1、已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____///3222、02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+///4907293、已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______///43(1)55y x x =<<(2)三角函数名互化(切割化弦)，如 1、求值sin 50(13tan10)+///1 2、已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值///18(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。

如1、A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝_____///-2、ABC ∆，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A = ____三角形///等边(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，2)。

如1、若32(,)αππ∈为_____///sin 2α2、25f (x )sin x cos x x =-x R )∈递增区间＿＿＿＿＿＿51212[k ,k ](k Z )ππππ-+∈(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。

如 1、tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αααα+++ ///sin α2、求证：21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=--；3、化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+ ///1cos 22x(6)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等）。

如已知tan 2α=，求22sin sin cos 3cos αααα+- （答：35）(7)正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内存联系――“知一求二”。

如 1、若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：212t -±)，特别提醒：这里[t ∈；2、若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

///3、已知2sin 22sin 1tan k ααα+=+()42ππα<<，试用k 表示sin cos αα-的值（8）、辅助角公式中辅助角的确定：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。

如（1）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. ///[－2,2] （2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______///32- （3）如果()()sin 2cos()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= ///－2专题辅导二三角函数的图像性质及解题思路课时：10课时 学习目标：1会求三角函数的定义域 2会求三角函数的值域3会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法。

如x y sin =与x y cos =的周期是π. 4会判断三角函数奇偶性 5会求三角函数单调区间6对sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>函数的要求 （1）五点法作简图（2）会写sin y x =变为sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的步骤 （3）会求sin()y A x ωϕ=+的解析式（4）知道cos()y A x ωϕ=+，tan()y A x ωϕ=+的简单性质 7知道三角函数图像的对称中心，对称轴 8能解决以三角函数为模型的应用问题（一） 、知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。

（2）值域：都是[]1,1-，对sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；对cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

如 （1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿1,12a b ==或1b =-）； （2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是____/// [－1, 2]（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是___、___///7，－5（4）函数2()2cos sin()3f x x x x π=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝__________（答：2；()12k k Z ππ+∈）； （5）己知21cos sin =βα，求αβcos sin =t 的变化范围///1[0,]2（6）αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最值///1max =y ，222min -=y ）特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有界性了吗？34、周期性：①sin y x =，cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。

如(1)若3sin )(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___///—1/2 (2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4sin x -的最小正周期为____///π (3) 设函数)52sin(2)(ππ+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____///25、奇偶性与对称性：(1)正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；(2)余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

如（1）函数522y sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的奇偶性是______、 （答：偶函数）；（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是_______、_______（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28k x (k Z )ππ=+∈）； （4）已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。