2010年考研数学二试题及答案

2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案

一、选择题

(1)【答案】 (B).

【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为

0lim ()lim x x x f x →→→==

其中0

0lim 1,lim 1x x +-

→→===-,所以0x =为跳跃间断点.

显然1

lim ()x f x →=

=所以1x =为连续点.

而1

lim ()lim

x x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.

(2)【答案】 (A)．

【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以

()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣

⎦

⎣

⎦

,

而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以

()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以

()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,

整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦

,

即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得1

2

λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).

【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以

2a

x x

=

,

即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,

当x =时2

a

y =

；在ln y a x =上

,x =

, ln

ln 22

a a

y a ==. 所以

ln 222

a a a

= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).

【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成

dx =+⎰

,

用比较判别法的极限形式,对于

,由于12

10

12[ln (1)]

lim 11m

n

x n m

x x

x

+

→--=.

显然,当12

01n m

<

-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,12

1

0[ln (1)]lim m

x n

x x

+

→-存在,

此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数

,总收敛.对于

,取01δ<<,

不论,m n 是什么正整数,

12

112

1

1

[ln (1)]

lim lim ln (1)(1)01(1)m

n

m

x x x x

x x x δ

δ

-

-

→→-=--=-,

所以收敛,故选(D).

(5) 【答案】 (B).

【解析】122212122221x z y z y z

F F F F F yF zF z

x x x x x F F xF F x

⎛⎫⎛⎫

''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-

=-==∂'

'''⋅,

11221

1y z F F F z x y F F F x

'⋅

'

'∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''

． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()2222

1111

1()n

n

n

n i j i j n n

n i n j n i n j =====++++∑

∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211

111

lim lim ,11()

n

n n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011

11

1lim lim ,11()

n

n n n i i n dx i n i n x n

→∞→∞====+++∑∑⎰

()()2222111111

lim lim()()n n

n n

n n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞

=====++++∑∑∑∑ 221(lim )n

n j n n j →∞==+∑1(lim )n

n i n

n i

→∞

=+∑ 1

120011()()11dx dy x y =++⎰

⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．

【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即

11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L

若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).

【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,