复变函数课后习题答案(全)(2020年10月整理).pdf
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
lim f (z) lim Arg( a i y)
y 0y 0
显然函数在负实轴上不连续。
lim f (z) lim Arg (rei)
2sin
cos( )
2 2 2
isin(
2
i
2sin e2 2
2
(5)
z3
解：
i3
3i
re
cos3
isin3
(6)
e1 i
解：
ee
cos1 i sin1
(7)
1i
解：
1i
1i
i ei3 /4cos3
/ 4 isin3 /4
1i
1i
、计算下列数值
(1)
a ib
解：
ib
i ar ctgb2k
2 2 abe
cos2
L
L
cosn
1i i(e e
2
L
L
in i i2e ) (e e
L
in
L ein)
1 ei
(1
ine
)e
i(1 ein)
1
ie
(1
in i ie ) 1 e e
(1
in ie ) 1 e
2
1
ie
1 ei
2
2(1cos
)
cos
i i i(n 1) i(n 1) in in
1 e e 2 e e e e
22(1cos )
2sin
2
(8)
sin
复变函数课后部分答案
1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求：
3
2）区域0 arg z
解： 2）设z = re ,
3
3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,
3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导？何处解析？ 1 ）f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
复变函数课后部分习题解答精编版
（1）(3-i)5解：3-i=2[cos( -30°)+isin(-30°)] =2[cos30°- isin30°](3-i)5=25[cos(30°⨯5)-isin(30°⨯5)]=25(-3/2-i/2) =-163-16i（2）（1+i ）6解：令z=1+i 则x=Re （z ）=1，y=Im （z ）=1 r=z =22y x +=2tan θ=x y =1x>0,y>0∴θ属于第一象限角∴θ=4π ∴1+i=2（cos4π+isin 4π） ∴（1+i ）6=（2）6（cos 46π+isin 46π） =8（0-i ）=-8i1.2求下式的值 (3)61-因为-1=（cos π+sin π）所以61-=[cos(ππk 2+/6)+sin(ππk 2+/6)] (k=0,1,2,3,4,5,6).习题一1.2（4）求(1-i)31的值。
解：(1-i)31 =[2(cos-4∏+isin-4∏)]31=62[cos(12)18(-k ∏)+isin(12)18(-k ∏)](k=0,1,2)1.3求方程3z +8=0的所有根。
解：所求方程的根就是w=38-因为-8=8（cos π+isin π） 所以38-= ρ [cos(π+2k π)/3+isin(π+2k π)/3] k=0,1,2其中ρ=3r=38=2即w=2[cosπ/3+isinπ/3]=1—3i1w=2[cos(π+2π)/3+isin(π+2π)/3]=-22w=2[cos(π+4π)/3+isin(π+4π)/3]= 1—3i3习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。
(1) Im(z)>0解：设z=x+iy因为Im(z)>0，即，y>0而)x-∞∈,(∞所以，不等式所确定的区域D为：不包括实轴的上半平面。
复变函数课后答案
复变函数课后答案复变函数是数学中的一个重要的分支，它将实变函数的概念引入到复数域中。
复变函数的研究对于科学和工程领域有着广泛的应用，因此学习复变函数是数学学生的必修课程之一。
在学习过程中，课后习题是一个不可或缺的重要环节。
本文将为读者提供复变函数课后答案，希望可以帮助大家在学习上得到更好的理解和掌握。
一、Cauchy-Riemann方程Cauchy-Riemann方程是研究复变函数的基础。
它是一个关于函数的实部和虚部的偏微分方程组。
具体而言，设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是一个复变函数，其中$x,y\in\mathbb{R}$是实数，$z=x+iy$是一个复数，那么Cauchy-Riemann方程可以表示为：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$当且仅当复变函数满足Cauchy-Riemann方程时，它才是解析的。
此外，如果$f(z)$是解析的，则它在一个开放的区域内是无限可微的。
这是我们在复分析中经常使用的重要性质。
二、复积分复积分是计算复变函数的积分的一种方法。
与实变函数中的积分不同的是，复变函数的积分是在复平面上的路径上取值的。
具体而言，设$f(z)$是一个在复平面上连续的函数，$C$是一条连接$z_0$和$z_1$的可求长曲线，则$f(z)$沿着$C$的积分定义为：$$\int_Cf(z)dz=\int_C [u(x,y)dx-v(x,y)dy]+i\int_C [u(x,y)dy+v(x,y)dx] $$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别是$f(z)$的实部和虚部。
如果$\int_Cf(z)dz=0$，则称$f(z)$沿着$C$是可积的。
三、Laurent级数在复分析中，我们经常需要将一个复变函数表示为一个Laurent 级数的形式，这个级数包含一部分关于$z$的负次幂，并且它可以用于计算发生奇点的复变函数。
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数课后习题答案(全)(2020年7月整理).pdf
为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有 zn + a zn + a 1+ a ，
在上面两个不等式都取等号时 zn + a 达到最大，为此，需要取 z n
与 a 同向且 zn = 1，即 z n 应为 a 的单位化向量，由此， zn = a ， a
z=n a a
8．试用 z1, z2 , z3 来表述使这三个点共线的条件。
解：要使三点共线，那么用向量表示时， z2 − z1 与 z3 − z1应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差 0 或 的整数倍，再由复数的除法运算规
则知 Arg z2 − z1 应为 0 或 的整数倍，至此得到： z3 − z1
z1,
z2 ,
z3
三个点共线的条件是
z2 z3
− −
z1 z1
为实数。
（1） z = (1+ i)t
（2） z = acost + ibsint
解：只需化为实参数方程即可。
（3） z = t + i t
（1） x = t, y = t ，因而表示直线 y = x
（2） x = a cos t, y
=
b
sin
t
，因而表示椭圆
x a
2 2
+
y2 b2
=1
（3） x = t, y = 1 ，因而表示双曲线 xy = 1 t
结论得证。
13．函数 w = 1 把 z 平面上的曲线 x = 1和 x2 + y2 = 4 分别映成 w 平面中 z
的什么曲线？
解：对于 x = 1，其方程可表示为 z = 1 + yi ，代入映射函数中，得
复变函数课后习题答案
习题一 P311题 (2)i ii i -+-11 = 1)1(2)1(--++i i i i =223i --)R e (z 23-= ; 21)(-=z I m ; z = 23-2i + ; z =210;arg(z) = arctan-31π (4) 8i i i +-214 i i +-=41 i 31-= ;;1)Re(=z ;3)Im(-=z ;31i z += ;10=z 3a r c t a na r g -=z ; 5题(2) πππi e i 2)sin (cos 22=+=-；(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-)43sin(arctan )43cos(arctan 5)43sin(arctan )43cos(arctan 91634i i i;5θi e = );43arctan(-=θ (6) θθθθθθθθϑθθ7sin 7cos )()()2sin 2(cos )sin (cos )7(4322323i e e e e e i i i i i i i -====+---- ; 8题(2) 16)2()1(848==+πie i (4));3432sin 3432(cos2163ππππ-+-=--k i k i ;431arctan ππθ-=-= ;2,1,0=K);1(24)2222(2360i i K -=-= );125sin 125(cos261ππi K += );1213sin 1213(cos 262ππi K +=12题(2) ;3)2(=-z R e 即 ;3])2[(e =+-iy x R ;32=-x 5=x 直线(6) ;4)arg(π=-i z ;4))1(arg(π=-+y i x arctan;41π=-x y ;11=-xy 1+=x y 以i 为起点的射线（x>0）. 13题(1) 0)(<z I m ; 即y<0, 不含实轴的下半平面，开区域，无界，单连通。
复变函数—课后答案傅氏变换习题解答
即
∫
+∞
0
cos ωt π − β |t| dω = e 2 2 β +ω 2β
+∞ +∞ −∞ −∞
（2） F (ω ) = ¶ [ f (t )] = ∫ e −|t | cos te − i ωt dt = ∫ e −|t |
e i t + e − i t − i ωt e dt 2
+∞ ⎡ −1+ i (1−ω )⎦ ⎤t
f (t ) = ∫ a(ω ) cos(ωt )dω
0
+∞
其中
a (ω ) =
证 设 f (t ) 是奇函数
2
π
∫
+∞
0
f (τ ) cos (ωτ ) dτ
f (t ) =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
+∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
+∞
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ )( cos ωτ − jsin ωτ ) dτ e jωt dω
+∞ 0
1
0
π
∫
+∞
−∞ +∞
f (τ ) cos ωτ dτ cos ωtdω
+∫
因
π
∫
+∞
−∞
f (τ ) sin ωτ dτ sin ωtd ω = ∫ a (ω ) cos ωtd ω + ∫ b(ω ) sin ωtdω
0
+∞
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10
3
10 10
（3） z = 1 − 3i = −i + 3 − 3i = 3 − 5i ，
i 1−i
2
2
因此， Re z = 3 , Im z = − 5 ，
3
2
z = 34 , arg z = −arctan 5 , z = 3 + 5i
2
3
2
（4） z = −i8 + 4i21 − i = −1+ 4i − i = −1+ 3i
+
i sin ) 12
，
z1 = 1 [cos( + ) + i sin( + )] = 1 (cos 5 + i sin 5 )
z2 2
46
4 6 2 12
12
5． 解下列方程：
（1） (z + i)5 = 1
（2） z4 + a4 = 0 (a 0)
解：（1） z + i = 5 1, 由此
（3） (1− 3i)(cos + i sin ) (1− i)(cos − i sin )
2[cos(− ) + i sin(− )](cos + i sin )
=
3
3
2[cos(− ) + i sin(− )][cos(− ) + i sin(− )]
4
4
= 2[cos(− ) + i sin(− )](cos 2 + i sin 2 )
3
z=
5
1
−i
=
2 k i
e5
−
i
，
(k = 0,1, 2,3, 4)
（2） z = 4 −a4 = 4 a4 (cos + i sin )
= a[cos 1 ( + 2k ) + i sin 1 ( + 2k )] ，当 k = 0,1, 2,3时，对应的 4
4
4
个根分别为： a (1+ i), a (−1+ i), a (−1− i), a (1− i)
因此， Re z = −1, Im z = 3，
z = 10, arg z = − arctan 3, z = −1− 3i
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：
（1） i
（2） −1+ 3i
（3） r(sin + i cos )
（4）r(cos − i sin )
（5）1− cos + i sin (0 2 )
习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1） 1 3 + 2i
（2）
i
(i −1)(i − 2)
（3） 1 − 3i i 1−i
（4） −i8 + 4i21 − i
解：（1） z = 1 = 3 − 2i ， 3 + 2i 13
因此： Re z = 3 , Im z = − 2 ，
i
解：（1） i = cos + i sin = e 2
2
2
1
（2） −1+
3i
=
2(cos
2
+
i
sin
2
)
=
2 i
2e 3
3
3
（3） r(sin
+ i cos )
= r[cos(
− ) + i sin(
( − )i
− )] = re 2
2
2
（4） r(cos − i sin ) = r[cos(− ) + i sin(− )] = re−i
i
2e 8 ,
k k
=0 =1
4．
设
z1
=
1+ i 2
,
z2 =
3
−
i,
试用三角形式表示
z1 z2
与
z1 z2
解： z1 = cos 4 + i sin 4 , z2 = 2[cos(− 6 ) + i sin(− 6 )]，所以
z1 z2
=
2[cos( 4
−
6
)
+
i sin( 4
−
6
)]
=
2(cos 12
（5）1− cos + i sin = 2sin2 + 2i sin cos
2
22
=
2sin
[cos
−
+ i sin
−
]=
2sin
− i
e2
2
2
2
2
3． 求下列各式的值：
（1） ( 3 − i)5
（2） (1+ i)100 + (1− i)100
（3） (1− 3i)(cos + i sin ) (1− i)(cos − i sin )
13
13
z = 1 , arg z = −arctan 2 , z = 3 + 2 i
13
3
13 13
（2） z =
i
= i = −3 + i ，
(i −1)(i − 2) 1− 3i 10
因此， Re z = − 3 , Im z = 1 ，
10
10
z = 1 , arg z = − arctan 1 , z = − 3 − 1 i
2
2
3 2
+
1 i, 2
k =0
=
cos
1 3
( 2
+
2k
)
+
i
sin
1 3
( 2
+
2k
)
=
−
3 + 1 i, 22
k =1
−i,
k=2
（6） 1+ i = 2(cos + i sin )
4
4
=
4
2[cos
1 2
( 4
+
2k
)
+
i sin
1 2
( 4
+
2k
)]
=
4
i
2e 8 ,
− 4
12
12
=
2[cos(2 − ) + i sin(2 − )] =
(2 − )i
2e 12
12
12
2
（4）
(cos (cos
5 3
+ −
i i
sin sin
5 3
)2 )3
= cos10 + i sin10 = cos19 + i sin19 cos(−9) + i sin(−9)
（5） 3 i = 3 cos + i sin
（4）
(cos (cos5 3Leabharlann + −i i
sin sin
5 3
)2 )3
（5） 3 i
（6） 1+ i
解：（1） ( 3 − i)5 = [2(cos(− ) + i sin(− ))]5
6
6
= 25 (cos(− 5 ) + i sin(− 5 )) = −16( 3 + i)
6
6
（2） (1+ i)100 + (1− i)100 = (2i)50 + (−2i)50 = −2(2)50 = −251
2
2
2
2
x+ y
6． 证明下列各题：（1）设 z = x + iy,则
z x+ y
2
证明：首先，显然有 z = x2 + y2 x + y ；
其次，因
x2 + y2 2 x y ,
固此有
2(x2 + y2 ) ( x + y )2,
从而 z = x2 + y2 x + y 。 2
（2）对任意复数 z1, z2 , 有 z1 + z2 2 = z1 2 + z2 2 + 2 Re(z1 z2 ) 证明：验证即可，首先左端 = (x1 + x2 )2 + ( y1 + y2 )2 ， 而右端 = x12 + y12 + x22 + y22 + 2 Re[(x1 + iy1)(x2 − iy2 )] = x12 + y12 + x22 + y22 + 2(x1x2 + y1 y2 ) = (x1 + x2 )2 + ( y1 + y2 )2 ，