浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《高等代数》试卷及答案解析

O
In
又
λIm A = λm−n Im A = λm−n|λIn − BA|.
B In
B λIn
所以 |λIm − AB| = λm−n|λIn − BA|. 当 λ = 0 时，若 m > n，因为 r(AB) < m，所以 | − AB| = 0，结论成
立；若 m = n，显然结论也成立。 （2）设 A = In − 2αT α，由（1）可得
(αT
AT
)
(Aα)
=
( λ0
αT
)
(λ0α)
.
由此可得，αT
α
=
λ20αT
α,
即
(λ20
−
) 1
αT
α
=
0,
由于
α
̸=
0,
因此
αT
α
̸=
0.
从而 λ20 − 1 = 0. 于是 λ0 = ±1.
（2）如果正交矩阵 A 的行列式 |A| = −1, 那么
| − I − A| =
A (−AT
−
) I
= |A| (−A − I)T
(xj − xi) .
1≤i<j≤n
二、证明:
1
A
0 第一行左乘以B加到第二行 A
0
0 I − BA
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
BA I − BA
第一列加到第二列 A A
−−−−−−−−−−−−−→ BA I
第二行左乘以-A加到第一行 A − ABA 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
2020-2021 学年秋冬学期高等代数期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
一、解：将行列式升阶为
10
0 ··· 0
1 −1 −1 · · · −1
1 1 + x1 1 + x21 · · · 1 + xn1
1 x1 x21 · · · xn1
|A| = 1 1 + x2 1 + x22 · · · 1 + xn2 = 1 x2 x22 · · · xn2 .
2020-2021 学年秋冬学期高等代数期末模拟考试
命题、组织：丹青学业指导中心
欢迎大家参加期末模拟考，下面是考试须知: 1. 请将除答题必备工具外的物品放到讲台上，电子设备关机或静音。 2. 请对号入座，并将身份证或校园卡放在桌面左上角。 3. 本场考试持续两个小时，开考后迟到二十分钟及以上不得参加本次考试，考试进行三十 分钟后方能交卷离开。 4. 开考信号发出后方可开始答题，考试终了信息发出后，应立即停止答题，离开考场。 5. 遵守考场纪律。
阵, 求证: A 为可逆矩阵.（10’）
七、设 A, B 都是数域 F 上的 m × n 矩阵, 求证: 方程组 Ax = 0, Bx = 0 同
解的充要条件是存在可逆矩阵 P, 使 B = P A. （10’）
八、设 A 是 n 阶实反对称矩阵, D = diag {d1, d2, · · · , dn} 是同阶对角矩阵 且主对角线上元素全大于零, 求证: |A + D| > 0. （15’）
|λIn − A| = (λ − 1)In + 2αT α = (λ − 1)n−1(λ − 1 + 2) = (λ − 1)n−1(λ + 1).
所以矩阵 A 的特征值为 −1 和 1. 四、证明：（1）如果 λ0 是正交矩阵 A 的一个特征值，那么在 Rn 中存在
2
α ̸= 0, 使得 Aα = λ0α. 该式两边取转置得，αT AT = λ0αT . 两式相乘有
一、计算下列行列式:（10’）
1 + x1 1 + x21 · · · 1 + xn1
|A| =
1 + x2 ...
1 + x22 ...
···
1 + xn2 ...
.
1 + xn 1 + x2n · · · 1 + xnn
二、设 A, B 是 n 阶矩阵, 证明（10’） r(A − ABA) = r(A) + r(I − BA) − n.
... ... ...
...
... ... ...
...
1 xn x2n · · · xnn
1 xn x2n · · · xnn
后面一个行列式的第一行提出公因子 −1 后是一个关于 1, x1, x2, · · · , xn 的 Vandermonde 行列式, 从而可得
∏
|A| = (2x1x2 · · · xn − (x1 − 1) (x2 − 1) · · · (xn − 1))
ααT
为正交矩阵，a
̸=
0,
I
为
3 阶单位矩阵。（15’）
(1) 求 a 的值；
(2) 当 α = (1, 1, 0)T 时，求正交变换 x = Qy 将二次型 f (x1, x2, x3) = xTAx 化为规范型。
六、设 A 是 n 阶实对称矩阵, 若存在 n 阶实矩阵 B, 使 AB + BT A 是正定
...
...
...
...
... ... ...
...
1 1 + xn 1 + x2n · · · 1 + xnn
1 xn x2n · · · xnn
将第一行拆开, 得
2 0 0 ··· 0
−1 −1 −1 · · · −1
1 x1 x21 · · · xn1
1 x1 x21 · · · xn1
|A| = 1 x2 x22 · · · xn2 + 1 x2 x22 · · · xn2 .
= −| − I − A|.
于是 2| − I − A| = 0. 从而 | − I − A| = 0. 因此 −1 是 A 的一个特征值。 （3）如果 |A| = 1, 且 n 是奇数, 那么
三、设 A 是 m × n 矩阵, B 是 n × m 矩阵, 且 m ≥ n. 求证:（15’） （1）|λIm − AB| = λm−n |λIn − BA|. （2）设 α = (a1, a2, · · · , an) 是实 n 维行向量，且 ααT = 1. 试求矩阵 In−
2αT α 的特征值。
BA I
第二列右乘以-BA加到第一列 A − ABA 0
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
0
I
以上变换都是初等变换，均保持秩不变，从而等式成立。
三、证明：（1）当 λ ̸= 0 时，考虑分块矩阵
λIm
B
A In
因为
λIm A
λIm − AB A
=
= |λIm − AB|.
B In
1
四、设 A 是一个 n 阶正交矩阵，证明：（15’）
（1）如果 A 有特征值，那么它的特征值是 1 或 −1；
（2）如果 |A| = −1，那么 −1 是 A 的一个特征值；
（3）如果 |A| = 1，且 n 是奇数，那么 1 是 A 的一个特征值。
五、设
α
为Hale Waihona Puke 3维非零实列向量，A
=
I
−
a αT
α