浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
浙江大学-2014学年秋冬学期-微积分i期末试卷
浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
微积分1试卷(10年)浙江大学
y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2：原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1
13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数， f (0) 0, f ( x) 0, 证明：(1) f ( x) 至多有两 个零点，至少有一个零点；(2) 若 f ( x) 的确有两个零点，则此两零点必反号（注： f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根）.
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则， lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |
2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2
1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分，10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.
（完整版）大一期末考试微积分试题带答案
（完整版）⼤⼀期末考试微积分试题带答案第⼀学期期末考试试卷⼀、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每⼩题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极⼤值点为________.⼆、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出⼀个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每⼩题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤?，使lim[()()]0x g x x ?→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且⼀定等于零B. 存在但不⼀定等于零C.不⼀定存在D. ⼀定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -?>=?+≤?处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. ⼋、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:⾄少存在⼀点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第⼀学期期末考试参考答案与评分标准⼀、填空题（3×5=15）2、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -?+ 5、3x = ⼆、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e e e+→++→→---===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
(完整word版)大一期末考试微积分试题带答案
第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→xx x 1sinlim 0___0_____. 2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx x n x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____. 3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______. 5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________.A.)2lg ,0(B. ]2lg ,0[C. )100,10(D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则 lim ()x f x →∞______. A.存在且一定等于零 B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在.3. 极限=-→x x x x e 21lim 0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim 0________. A.0 B. 1 C. 2 D. 5.5. 曲线221x y x =-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3.三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求20sin 1lim sin x x e x x→--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 求210lim (cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax bx -⎧>=⎨+≤⎩处处可导. 六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''.八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点. 九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x =二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e x xe x →→→→----=-=+==分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim 01sin cos lim 112lim(cos )268x x x x x x x xx e ee +→++→→-⋅--===分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
浙江大学历年微积分(1)试卷解答-极限与连续
常见的等价无穷小量：
• 当x → 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ∼ x ； (2) tan x ∼ x ； (3)ln(1 + x) ∼ x ； (4) e x − 1 ∼ x ； x2 ； (8) (1 + x)α − 1 ∼ α x. 2
(5) 1 − cos x ∼
= lim
4−
u →+∞
1
9、 求： lim(cos x) sin x .
x →0
2
I = lim (1 + (cos x − 1) ) cos x −1
x →0
1
⋅
cos x −1 sin 2 x
= e 2.
−
1
1 − x2 cos x − 1 1 其中： lim = lim 22 = − . 2 x →0 x →0 sin x 2
3
浙江大学微积分（1）历年试题分类解答——极限与连续
6、 求： lim
x →0
ln(1 + x) − sin x
3
1 − x2 − 1
.
1 − cos x ln(1 + x) − sin x + 1 x = −3lim 【方法一】：I = lim x→0 x→0 1 2x − x2 3 1 − + sin x 3 (1 + x) 2 = −3lim = . x →0 2 2 1 x3 [ x − x 2 + o( x 2 )] − [ x − + o( x 3 )] 3 2 6 【方法二】：I = lim = . x→0 1 2 − x2 3
【方法二】：记 y = (e − x) ，则： lim ln y = lim
浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 1 页 共 2 页浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→ 4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫-⎪⎝⎭ 6. 求积分：21ln(1)d .x x x +∞+⎰ 7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
《微积分Ⅰ》期末试卷（2013-2014学年秋冬学期）第 2 页 共 2 页11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
微积分(一)_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
微积分（一）_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.设【图片】均为非负数列，且【图片】,则必有( )参考答案:极限不存在2.设函数【图片】，则【图片】在【图片】处的参考答案:左导数存在，右导数不存在3.设常数【图片】,函数【图片】在【图片】内零点个数为( )参考答案:24.设【图片】为【图片】内不恒为零的可导奇函数，则【图片】参考答案:一定是内的偶函数5.设【图片】,则使【图片】存在的最高阶数【图片】为( )参考答案:26.【图片】在【图片】连续，求常数a.参考答案:-27.当【图片】时，函数【图片】的极限（）参考答案:不存在但也不为8.设【图片】是奇函数，除【图片】外处处连续，【图片】是其第一类间断点，则【图片】是( )参考答案:连续的偶函数9.设【图片】 , 则在点【图片】处参考答案:取得极大值10.设【图片】,则在点【图片】处函数【图片】( )参考答案:不连续11.函数【图片】的图形，在参考答案:是凹的12.设函数【图片】, 其中【图片】是有界函数，则【图片】在【图片】处参考答案:可导13.设函数【图片】，则在【图片】处参考答案:当且仅当时才可微14.设【图片】在【图片】处连续，则下列命题错误的是（）。
参考答案:若存在，则存在15.若【图片】, 则方程【图片】参考答案:有唯一的实根16.设【图片】，则在【图片】处，有（）成立。
参考答案:在处连续,但不可导17.函数【图片】不可导点的个数是( )参考答案:218.设【图片】在闭区间【图片】连续，则下列选项错误的是（）。
参考答案:存在，使19.要使函数【图片】在【图片】处的导函数连续，则【图片】可取值\参考答案:320.当【图片】时，曲线【图片】( )参考答案:有且仅有水平渐近线21.曲线【图片】渐近线的条数为参考答案:322.设函数【图片】连续,且【图片】 ,则存在【图片】, 使得参考答案:对任意的, 有23.若函数【图片】有【图片】，则当【图片】时，该函数在【图片】处的微分【图片】是( )参考答案:与同阶的无穷小24.函数【图片】不可导点的个数为参考答案:225.设【图片】, 则参考答案:，但在处不连续26.设【图片】, 则【图片】是（）参考答案:偶函数27.设【图片】，则在【图片】处，【图片】（）。
浙江大学级微积分期终考试试卷
浙江大学级微积分（上）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、选择题：（每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）.（）.a（）.b（）.c（）.d.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.（）.1y x=+（）.1y x=-+（）.1y x=--（）.1y x=-.下面的四个论述中正确的是（）.（）.“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（）.函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；（）.“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要；（）.“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件..下面四个论述中正确的是（）.（）.若0nx≥(1,2,)n=，且{}n x单调递减，设lim nnx a→+∞=，则0a>；（）. 若0nx>(1,2,)n=，且limnnx→+∞极限存在，设limnnx a→+∞=，则0a>；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则0nx≥(1,2,)n=；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则存在正整数N，当n N>时，都有2nax>.二、填空题：（每空格分，共分）只填答案. 2lim (1)tgxx x π→-；2lim (1)tgxx x π→--..函数()f u 可导，(sin )y f x x =，则dy dx.. cos sin x xxe e dx e ⎰. . 50sin tdt π⎰；50cos tdt π⎰.三、求极限：（每小题分，共分）.数列{}n x通项21n x n =++++，求lim n n x →+∞..求300sin lim sin xx t dt t x x→-⎰.四、求导数：（每小题分，共分）. 2sin 1xx y x x =+，求dydx.. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx ，22d ydx ..函数()y y x =由sin x y y +=确定，求221,;x y dydxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分：（每小题分，共分） .求21(1)x dx x x ++⎰..求0sin cos x x dx π-⎰..求0⎰(0)a >..计算2cos x e xdx π+∞-⎰.六、（分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第题，未学常微分方程的专业做第题..求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩.有一半径为M 的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高M 的水箱内，问至少要做多少功？七、（分）在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA （即区间[]0,1）作n 等分，分点(,0)k n记作k P ，对1,2,,1k n =-，过k P 作抛物线2y x =的切线，切点为k Q ..设k k P Q A ∆的面积为k S ，求k S ；.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题（分）设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()0f x >，0()()xG x tf x t dt =-⎰.证明：对任意,(,)a b ∈-∞+∞，且a b ≠，必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学级微积分（下）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、填空题：（每小题分，共分）只填答案.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z-+=垂直，则此平面的方程是。
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13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页 共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = ， 求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx ． x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、 证明：若 e < a < b < e 2， 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
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e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .
6、 设函数 x = x( y ) 由 y − x + sin x = 0 所确定，求： 7、 设 y = arcsin
dx d 2 x ， . dy dy 2
x − 1 + x e ，求： dy .
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浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
一、 极限与连续
2 1、 求 lim [ x + 2 x + sin x − ( x + 2)] x →+∞
2、 求 lim( −
x→0
1 x
1 ) e −1
x
3、 求 lim
x →−∞
x 2 + sin x − x x + ln x ln(1 + x ) − sin x
y = f ( x)
【
】
（A）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点. （C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点. （D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.
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32、曲线 y =
1 + ln(1 + e x ) 的渐近线的条数 x( x − 1)
数连续.
x≠0 x=0
为连续函数.（1）求常数 a ；
（2）证明 F ( x) 的导函
27、 设常数 a > 0 ，讨论曲线 y = ax 与 y = 2ln x 在第一象限中公共点的个数. 28、 设 f ( x) 在 ( −∞, +∞ ) 上存在二阶导数, f (0) < 0, f ′′( x) > 0 ,证明: (1) f ( x) 至多有两 个零点,至少有一个零点； （2） 若 f ( x) 的确有两个零点， 则此两个零点必反号 （ . 注：f ( x) 的零点就是方程 f ( x ) = 0 的根） 29、 设 f ( x) 在闭区间 [ a，b] 上连续， ( a，b) 内可导， （Ｉ）叙述并证明拉格朗日中值定理； （ II ） 如果再 设 f ( a) = f (b) ，且 f ( x) 不是常数， 试 证明至 少 存在一点 ξ ∈ ( a，b) 使
.
sin x 3 是 f ( x) 的一个原函数，求： ∫ x f ′( x)dx . x
15. 设 b 为常数，且积分 16. 设 S ( x ) =
∫
+∞ 1
(
x 2 + bx + 1 − 1)dx 收敛，并求 b 的值及该积分的值. x ( x + 2)
(1) 求： S (π ) 及 S ( nπ ) ；(2) 求： lim
dy . dx
x+ y 13、 设 y = y ( x ) 是由方程 e − 2 x − xy − 1 = 0 确定的 x 的可导函数，求： dy x = 0 .
14、 设 f ′′( a) 存在， f ′( a) ≠ 0 ，求： lim[
x →a
1 1 − ]. f ′(a)( x − a ) f ( x ) − f (a)
x 6 x − x 2 dx dx x x2 − 1 dx . x x −1 x3e − x dx . dx . x ( x + 1)
+∞ 0
2
7. 求
+∞ 2
8. 求
+∞ 1 +∞ 0 +∞ 0
9. 求
10. 求
11. 已知
∫
e − x dx =
2
−x +∞ 1 − e π ，求： ∫ dx ． 0 2 x3 1
3
4、 求 lim
x→0
1 − x2 −1
1
2
．
5、 求 lim( e − x ) x
x x →0
6、 求 lim
sin x − tan x x → 0 tan x(e x − 1) ln(1 − x) 1 2 + cos x x [( ) − 1] x3 3 ln(1 + x ) − sin x
3
x
21、 求由方程 2 y 3 − 2 y 2 + 2 xy + y − x 2 = 0 确定的函数 y = y ( x ) 的极值,并问此极值是极大 值还是极小值，说明理由． 22、 求曲线 y = arctan x 在横坐标为 1 的点处的切线方程. 23、 求曲线 ln( y + x) − cos( xy ) = x 上点 x = 0 处的切线方程.
6、 求
7、 求
∫ sin
x cos x dx . 2 x
ln(1 + x 2 ) 8、 求 ∫ dx , x3
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9、 求
x2 − x + 1 ∫ x( x − 1)2 ln xdx ,
四、
1. 求
定积分
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 −1 1 −1 1 −1 2 −2 π 0 6 0
ex 3.设 y ( x) = arccote − ln ，求 y ′( x) . ex + 1
d2y x = 1− t2 ,求 2 . dx y = arcsin t x = t + arctan t + 1 y = t + 6t
3
18、 设由参数式
，所确定的函数 y = y ( x ) 在 t = −1 处的一阶导数
x →∞
15、 设 f ( x) 在 ( a， + ∞) 内可导，且 lim f ′( x) = a, 证明： lim
x →∞
f ( x) =a． x
x
x = sin t − arctan t , 16、 设 2 y = ln(t + 1 + t ),
17、 设
dy d 2 y , 求 dx dx 2
．
x =0
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10、 设 y = arcsin
x − 1 + x e ，求： dy . dy dx
．
x =0
2x
11、 设 y = y ( x ) 是由方程 ln( x 2 + y ) = x 3 y + sin x 所确定，求：
x 12、 设 y = x sin 4 + (arctan 2 x) 3 + ln 2 ，求:
(
x3 1+ x
2
+ x 2 ) 1 − x 2 dx
2. 求 3. 求 4. 求 5. 求 6. 求
( x3 + x 2 ) 1 − x 2 dx ( x + 2 x )2 1 − x 2 dx , ( x 3 + 2 x ) 4 − x 2 dx , x sin 2 x dx ． 1 + cos 2 x
17、 设当 x > −1 时 f ( x ) = lim
1
x + e nx ，讨论 f ( x ) 的连续性． n →+∞ 1 + e nx
x→0 x→0
18、 设 f ( x) = u ( x) + v ( x)，g ( x) = u ( x) − v ( x ) ，并设 lim u ( x ) 与 lim v( x ) 均不存在，则下 列结论正确的是 （A）若 lim f ( x ) 不存在，则 lim g ( x) 必存在；
7、 求 lim
x→0
8、 求 lim
x→0
1 − x2 −1
,
9、 求 lim
4x2 + x +1 + x + 1 x 2 + sin x
1 sin 2 x
x →−∞
10、 求 lim(cos x )
x →0
11、 求 lim(
x→0
sin x x2 ) x
1