浙江大学期末考试微积分上试题
浙江大学-2014学年秋冬学期-微积分i期末试卷
浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
浙江大学《微积分(1)》历年期末考试试题
13、 求 lim(sin 2 x + cos x) x ．
2
x→0
2 + cos x x2 14、 求 lim( ) . x→0 3
1
第 2 页 共 10 页
1 − 1 − x2 1 15、 若 lim = ， 求： a 的值. x→0 xa 2 1 2 n n 16、 设 un = （ 1 + （ ) 1 + ) L （ 1 + ) ，求： lim un . n →∞ n n n
】
1 ( f (a ) + f (b)) ． 2
三、
1、 求 2、 求
不定积分
∫x
2
2x + 1 dx . + 2x + 2 1
2
∫ ( x + 1)( x
1
2
+ 1)
dx
3、 求
∫ x ( x + 1) dx . ∫
3
4、 求
1 dx ． x+5x
5、 求
arcsin e x ∫ e x dx . arctan e x ∫ e2 x dx .
x 24、 设 x > 0, 证明 f ( x) = ( x − 4) e 2 − ( x − 2)e + 2 < 0 ． 2 2 25、 证明：若 e < a < b < e 2， 则 ln b − ln a > x
4 (b − a ). e2
第 4 页 共 10 页
e x sin x 26、 已知 F ( x ) = x a
5、 设 y = x ln(1 + x ) ，求： y 对 x 的 10 阶导数 y (10) ( x) .
浙江微积分试卷上
考试试卷(2)课程名称： 微积分(上) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、函数6323arcsin2--+-=x x xx y 的定义域为 。
2、=-+→552limx x x 。
3、要使函数xx x f )sin(sin )(=在0=x 处连续，须补充定义=)0(f _________。
4、设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，则=')(t f 。
5、已知某商品的需求函数为210PQ -=，则当价格3=P 时的需求弹性为 。
（其中Q 为需求量，P 为商品的单价）6、函数x x y cos 2+=在区间]2,0[π上的最大值是 。
7、设xx f -=e )(，则⎰='x xx f d )(ln 。
8、⎰=+x x d 232 。
二、单项选择题(每题3分,共15分) 1、下列命题中，正确的是( )。
(A) 无界数列必发散 (B) 有界数列必收敛(C) 发散数列必无界(D) 收敛数列的极限不一定唯一2、当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小量的是( )。
(A) x sin(B) 2x x +(C)3x (D) x cos 1-3、设函数,0,00,1sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x xx x f 则0=x 是函数的( )。
(A) 间断点 (B) 连续点但不可导点 (C) 可导点但不连续点(D) 连续且可导点4、设)(x f 在点0=x 处连续，且1)(lim=→xx f x ，则命题不正确的是（ ）。
(A) 0)(lim 0=→x f x(B) 0)0(=f (C) 0)0(='f (D)1)0(='f5、设函数)(x f 在),(+∞-∞上连续，则⎰]d )([d x x f （ ）。
(A) )(x f(B) x x f d )((C) C x f +)( (D) x x f d )('三、计算题(每小题5分,共20分) 1、计算)43)(1(lim 24+-+++∞→n n n n n 。
浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷
精品文档浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：0x →4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x o內可导，且()0.g x '≠ （3）0()lim()x x f x A g x →'='（或∞）。
微积分3试卷(07)
L AC
原式
L AC
0
CB
( x y) d x ( x y) d y
3 1
dx x
[(cost sin t )( sin t ) (cost sin t ) cost ]dt ln 3 ln 3
方法 2: 设 C (1,1), D(3,1),
解 2：直接法（第二类曲面积分）.
S : x 1 y z , Dyz : 0 z y 1, 1 y 0, cos 0 S : z 1 x y, Dxy : 0 x y 1, 1 y 0, cos 0 S : y x z 1, Dxz : 0 z 1 x, 0 x 1, cos 0 I dy
I
LOB BO
AB
（格林公式）
2
3 d 3 d (e x sin x 1)dx 0 0 2 2
1 2
解 2: I (e
L
x2
sin x 3 y )d x + cos y d x x sin y d y y 4d y
3
计算平面第二型曲线积分
y [1 y
l
1
2
f ( x y )] d x
x 2 [ y f ( x y ) 1] d y. y2
3
参考解答：
4 5 2 一．（1） R ；（2） 11 a ； （3） 37 A ； （4） 2 ; (5) 16 a .
2
5
3
微积分1试卷(10年)浙江大学
y (10 ) (u v) (10 ) u (10 ) x 10 u ( 9) 1 x
2 3 2 [ x x o( x 2 )] [ x x o( x 3 )] x o( x 2 ) 3 2 6 解 2：原式 lim 3 lim 2 2 2 x 0 x 0 1 x 2 x 3
n 1
13、设 f ( x) 在 (,) 上存在二阶导数， f (0) 0, f ( x) 0, 证明：(1) f ( x) 至多有两 个零点，至少有一个零点；(2) 若 f ( x) 的确有两个零点，则此两零点必反号（注： f ( x) 的零 点就是方程 f ( x) 0 的根）.
S (n ) S ( x) S ((n 1) ) 2n S ( x) 2(n 1) , , 即 (n 1) x n x x x 2n 2 2(n 1) 2 S ( x) 2 , lim , 令 x , 则由夹逼准则， lim 而 lim . n ( n 1) x n n x
1 0 1 1
7、
x sin t 10
8、 | u n |
2 0
3 5 1 sin 2 t cos 2 t dt 10 2 ( sin 2 t sin 4 t ) dt 10 (1 ) . 0 4 8 2 2
1 1 ~ ( ), 故级数 | un | 发散. n (1 a n ) n n n 1
《微积分 I》期末试卷(2010-2011 学年秋冬学期)
浙江大学 2010–2011 学年秋冬学期 《 微积分(I)》课程期末考试试卷
1 至 9 题及 14 题每题 6 分，10 至 13 题每题 10 分. 1、求曲线 ln( y x) cos( x y ) x 上点 x 0 处的切线方程.
浙江大学2005-2006学年春夏学期《常微分方程》期末考试
浙江大学2005-2006学年春夏学期《常微分方程》期末考试
数学系必修课 方道元 2006-07-05
Moqi@88 根据记忆整理，仅供参考
一、（21分）考虑初值问题0
220x x dy x y dx y y =⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中00,x y 是实数。
1. 写出毕卡叠代序列的前三项
2. 应用解的存在定理确定000,0x y ==时解的最大存在区间
3. 讨论一般情形解的最大存在区间
二、（16分）已知方程30xy y xy y ′′′′′′+−−=的一个解1y x
=
，求出方程的通解 三、（20分）求解下述初值问题 (0)(0)0y y tgx y y ′′+=⎧⎨′==⎩
四、（16分）求解线性方程组
3253232dx x y z
dt dy x y z dt
dz x y z dt ⎧=−−+⎪⎪⎪=−−⎨⎪⎪=−−⎪⎩
五、（20分）求系统
3
(0)16dx y dt dy x y x dt
αα⎧=⎪⎪≥⎨⎪=−−+⎪⎩其中 的奇点并确定其类型。
画出草相图并讨论系统稳定性。
六、（7分）求解如下边值问题0,(0)0,(1)(1)0x x x x x λ′′′+==+=。
浙江大学微积分复习资料
I = lim (x2 + 2x + sin x) - (x + 2)2 = lim
-2x + sin x + 4
x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2) x®+¥ x2 + 2x + sin x + (x + 2)
= lim
-2 + x-1 sin x + 4x-1
= -1.
x®+¥ 1 + 2x-1 + x-2 sin x + (1 + 2x-1)
x
= 1.
x®0
x®0
x2
x®0 2x(ex - x) x®0 2x(ex - x) 2
1
1
因此，lim (ex - x) x2 = e2 .
x®0
6、 求：lim sin x - tan x . x®0 tan x(ex - 1) ln(1 - x)
I
=
lim
x®0
tan
x(cos -x3
x
- 1)
若为高阶无穷小量，可考虑用 Taylor 展开，不过在应用Taylor 展开时，要求 对有关展开式比较熟悉；否则还是“慎用”.
常见的等价无穷小量：
· 当x ® 0 时，常见的等价无穷小量： (1)sin x ~ x ； (2) tan x ~ x ； (3)ln(1+ x) ~ x ； (4) ex -1 ~ x ； (5) arctan x ~ x ；(6) arcsin x ~ x ； (7) 1 - cos x ~ x2 ；(8) (1 + x)a -1 ~ a x.
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浙江大学2001级期末考试微积分上试题浙江大学2001级微积分（上）期终考试试卷
系__________ 班级__________ 学号__________
姓名__________ 考试教室__________
一二三四五六七八总分复核题
号
得
分
评卷人
一、选择题：（每小题2分，共8分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中
1.设，其中，，，互不相等，
且，则的值等于（）.
（A）.（B）.（C）.（D）.
2.曲线，当时，它有斜渐进线（）.
（A）.（B）.（C）.（D）.
3.下面的四个论述中正确的是（）.
（A）.“函数在上有界”是“在上可积”的必要条件；（B）.函数在区间内可导，，那末是在处取到极值的充分条件；
（C）.“函数在点处可导”对于“函数在点处可微”而言既非充分也非必要；
（D）.“函数在区间上连续”是“在区间上原函数存在”的充要条件.
4.下面四个论述中正确的是（）.
（A）.若，且单调递减，设，则；（B）. 若，且极限存在，设，则；（C）. 若，则；
（D）. 若，则存在正整数，当时，都有.
二、填空题：（每空格2分，共12分）只填答案
1. =____________；=____________.
2.函数可导，，则=____________.
3. =____________.
4. =____________；=____________.
三、求极限：（每小题7分，共14分）
1.数列通项，求.
2.求.
四、求导数：（每小题7分，共21分）
1. ，求.
2. 求，.
3.函数由确定，求
五、求积分：（每小题7分，共28分）
1.求.
2.求.
3.求.
4.计算.
六、（6分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第1题，未学常微分方程的专业做第2题.
1.求解常微分方程：
2.有一半径为4米的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高6米的水箱内，问至少要做多少功？
七、（6分）
在平面上将连结原点与点的线段（即区间）作等分，分点记作，对，过作抛物线的切线，切点为.
1.设的面积为，求；
2.求极限.
八、证明题（5分）
设在上连续，且，.
证明：对任意，且，必有.。