专题01 曲线和方程(训练篇B)含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题
圆锥曲线专题题型小结ppt课件
2、两条直线 l1 : y k1x b1,l2 : y k2x b2 垂直：则 k1k2 1
3、一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 有两
个根 x1, x2 ，
则
x1
x2
b a
, x1x2
c a
。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
★ 变式1：过点P（8,1）的直线与双曲线 x2 y2 1
4
相交于A,B两点，且P为AB的中点，这样的直线 AB是否存在，如果存在，求出直线AB的直线方 程，若不存在，请说明理由。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设
E(xE ,
yE ), F (xF ,
yF ) ,则
xE
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yE
k xE
3 2
k
以 - k代k得：xF
(3 2k)2 12 3 4k 2
,
yF
-k xF
3 2
k
KEF
yF xF
yE xE
k(xF xE ) 2k xF xE
1 2
即直线 EF 的斜率为定值，其值为 1 2
直线与圆锥曲线的位置关系
1.有关位置关系的问题：
例 1:已知直线 l : y kx 1与椭圆 C : x2 y2 1 4m
始终有交点，求 m 的取值范围
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
高中数学压轴培优教程—圆锥曲线篇
高中数学压轴培优教程圆锥曲线篇目录第一章基础篇1.1曲线与方程 (1)1.2顶角最大问题 (19)1.3渐近线性质 (25)1.4共焦点问题 (35)1.5面积问题 (49)1.6抛物线的性质 (67)1.7定点问题 (83)1.8定值问题 (111)1.9最值与范围问题 (161)第二章技法篇2.1垂径定理与第三定义 (189)2.2点差法与定比点差法 (205)2.3点乘双根法 (225)2.4齐次化巧解双斜率问题 (233)2.5同构式方程简化运算 (251)2.6非对称韦达定理 (265)第三章观点篇3.1椭圆的共轭直径 (279)3.2圆锥曲线等角定理 (293)3.3蒙日圆及其应用 (307)3.4阿基米德三角形 (321)3.5椭圆中的蝴蝶模型 (335)3.6曲线系及其应用 (347)3.7极点极线与调和点列 (363)参考文献 (411)第二章 技法篇2192.2 点差法与定比点差法一、知识纵横1、点差法的原理（1）假设点1111(,),(,)A x y B x y 在有心二次曲线22221±=x y a b 上，且弦AB 的中点为00(,)M x y ．,A B 代入曲线，有22112222222211⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，两式作差，得1212121222()()()()0+−+−±=x x x x y y y y a b ；左右两边同除以1212()()++x x x x ，得1212221212110+−±⋅⋅=+−y y y y a b x x x x ．变形得220201⋅=±=−AB y b k e x a ，其中e 为有心二次曲线的离心率(圆的离心率0=e )．（2）抛物线22=y px ，任意弦AB 的中点为00(,)M x y ，,A B 代入曲线，有21122222⎧=⎪⎨=⎪⎩y px y px ，两式作差，得121212()()2()+−=−y y y y p x x ，左右两边同除以12()−x x ，得0⋅=AB k y p ．2、有心二次曲线实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线，所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线． 3、点差法基本题型（1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等． 4、点差法在双曲线中的适用条件已知双曲线22221(0,0)−=>>x y a b a b，任意弦AB 的中点00(,)M x y ，若当中点00(,)M x y 满足22002201−x y a b ≤≤，则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）；若当中点00(,)M x y 满足2200221−>x y a b 或2200220−<x y a b，则这样的双曲线的中点弦存在．高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇5、定比分点若λ=AM MB ，则称点M 为点,A B 的λ定比分点． 当0λ>时，点M 在线段AB 上，称为内分点；当0(1)λλ<≠−时，点M 在线段AB 的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AM MB ，则点M 的坐标为1212(,)11λλλλ++++x x y y M ． 6、定比点差法原理：若λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则称,M N 调和分割,A B ，根据定义，那么,A B 也调和分割,M N ．定理：设,A B 为有心二次曲线22221±=x y a b上的两点，若存在,M N 两点，满足λ=AM MB ，λ=−AN NB ，则一定有221⋅⋅±=M N M Nx x y y a b ． 证明：（1）设点1122(,),(,)A x y B x y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ， 因为λ=AM MB ，λ=−AN NB ， 则由定比分点坐标公式可得1212(,)11λλλλ++++x x y y M ，1212(,)11λλλλ−−−−x x y y N (1)λ≠±， 将,A B 代入曲线，有221122222222 1 1 ⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩①②x y a b x y a b ，2222222222 λλλλ⨯±=②③得x y a b ①-③，得21212121222()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 这样就得到了12121212221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，则221⋅⋅±=M N M N x x y y a b ．（2）若点(,)M M M x y 为异于原点的定点，则点N 在直线221⋅⋅±=M M x x y ya b 上． 7、定比点差法基本题型（1）求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围；（2）简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题；二、典型例题第二章 技法篇2211、 点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，主要有以下四种基本题型． 1．1、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1．已知双曲线2212−=y x ，过()1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【解析】假设这样的直线存在，设点11(,)P x y 、22(,)Q x y 点B 是线段PQ 的中 121222+=⎧⎨+=⎩x x y y ，221122221212⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩y x y x 两式相减得：121212121()()()()02+−−+−=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得121212121102+−−⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即001111022−⋅⋅=−⋅=PQ PQ y k k x ，解得2=PQ k ，又直线l 过,,P Q B 三点，所以l 的方程为12(1)−=−y x ，即210−−=x y ．联立直线与双曲线2212210⎧−=⎪⎨⎪−−=⎩y x x y ，消去y 得22430,162480−+=∆=−=−<x x ， 此方程无实数解，与假设矛盾，所以满足题设的直线不存在．【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心．由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要．若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在． 1．2、求过定点的弦或平行弦的中点轨迹例2．已知椭圆22143+=x y 的弦AB 所在直线过点(1,1)E ，求弦AB 中点F 的轨迹． 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则弦AB 的中点(,)F x y ， 若直线AB 的斜率存在，将,A B 代入椭圆，的22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 两式作差，得12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，即121211043−+⋅⋅=−y y y x x x ，又四点,,,A B E F 共线， 所以直线EF 的斜率11−−y x 等于直线AB 的斜率1212−−y y x x ，则1110431−+⋅⋅=−y y x x ，整理得2234340+−−=x y x y ．若直线AB 的斜率不存在，则AB 的方程为1=x ，代入椭圆方程解得,A B 的坐标为33(1,),(1,)22−，所以(1,0)F 也满足上述方程．故2234340+−−=x y x y 为所求点F 的轨迹方程．【注】不难看出，在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时，利用点差法可以大大减少计算量，简化推理过程．1．3、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例3．已知中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线:32=−l y x 截得的弦的中点的横坐标为12，求椭圆的方程．【解析】设椭圆的方程为22221+=y x a b ，则2250−=a b ┅┅①设弦端点11(,)P x y 、22(,)Q x y ，弦PQ 的中点00(,)M x y ，则012=x ， 001322=−=−y x 所以12021+==x x x ，12021+==−y y y ,P Q 两点代入椭圆方程，得22112222222211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y x a b y x a b ，两式相减得1212121222()()()()0+−+−+=y y y y x x x x a b ， 即221212()()0−−+−=b y y a x x ，所以 212212−=−y y a x x b ，即 223=a b┅┅② 联立①②解得275=a ，225=b ，故所求椭圆的方程是2217525+=y x ． 1．4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例4．已知椭圆22143+=x y ，试确定的m 取值范围，使得对于直线4=+y x m ，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称．【解析】设111(,)P x y ，222(,)P x y 为椭圆上关于直线4=+y x m 的对称两点，00(,)P x y 为弦12PP 的中点，第二章 技法篇223则22112222143143⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式作差得：12121212()()()()043+−+−+=x x x x y y y y ， 左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得1212121211043+−+⋅⋅=+−y y y y x x x x ，由题意可知：1202+=x x x ，1202+=y y y ，121214−=−−y y x x ， 所以003=y x ，即00(,3)P x x ．由P 在直线4=+y x m 上得00034=+⇒=−x x m x m ，即(,3)−−P m m ．因为弦12PP 的中点P 必在椭圆内，所以22()(3)143−−+<m m，解得<m ． 例5．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y E a b a b的离心率=e ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．（1）求椭圆E 的方程．（2）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ，已知点(,0)−A a ，点0(0,)Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4⋅=QA QB ，求0y 的值．【解析】（1）由==c e a ，得2234=a c ．由222=−c a b ，得2=a b ． 由题意可知12242⋅⋅=a b ，即2=ab ．解方程组22=⎧⎨=⎩a b ab ，得2,1==a b ．所以椭圆E 的方程为2214+=x y ．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 的中点为33(,)M x y ，当直线l 与x 轴重合时，(2,0),(2,0)−A B ，于是00(2,),(2,)→→=−−=−QA y QB y ． 由2000(2,)(2,)44⋅=−−⋅−=−+=QA QB y y y，解得0=±y 当直线l 不过原点O 且不平行于x 轴时，于是321213,−==−l OM y y y k k x x x ， 又221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减，得121212121()()()()04+−++−=x x x x y y y y ，左右两边同除以1212()()+−x x x x ，得2112211214−+⋅=−−+y y y y x x x x ， 所以3314⋅=−l y k x ，则3314=−⋅l xk y ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇又333330330333124114⎧==−⋅⎪+⎪⎨−−⎪⋅=−⋅⋅=−⎪⎩l ly x k x y y y x y y k x y x ，所以30223330134(2)49⎧=−⋅⎪⎪⎨⎪+=−=−⋅⎪⎩y y x x y y ，因为M 为线段AB 的中点，所以2322=+x x ，231302223=−==−⋅y y y y y ，20303055(2,)(22,)2(22)433⋅=−−⋅+−=−++=QA QB y x y x y ，解得2305212=−x y ，所以22203300455(2)(2)(22)91212−⋅=+=−−+y x x y y，解得0=y ，综上所述：0=±y05=±y ． 2、定比点差法关于点差法的研究，在解析几何中有着广泛的应用，下面主要从三方面来研究． 2．1求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围例6．已知椭圆22194+=x y ，过定点(0,3)P 的直线与椭圆交于两点,A B （可重合），求PA PB 的取值范围．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，λ=AP PB ，则12120131λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，即120λ+=x x ，123(1)λλ+=+y y ，将,A B 两点代入椭圆方程：221122222221,(1)94,(2)94λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)λ−⋅得212121212()()()()194λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即124(1)3λλ−=−y y所以：132135(1)(1)2366λλλ=++−=+y ，又因为1[2,2]∈−y ，则1[5,]5λ∈−−，1[,5]5∈PA PB． 【注】根据两个调和调和定比分点的联立，将坐标求出与比值的关系式，两个定比分点的式子将问题解决，这就是定比点差法的核心．例7．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b b a的上下两焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2∆MNFC ．第二章 技法篇225（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知O 为坐标原点，直线:=+L y kx m 与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4λ+=OA OB OP ，求m 的取值范围． 【解析】（1）由题设条件得椭圆的方程为：2214y x +=．（2）当0m =时，1λ=−，显然成立；当0m ≠时，4OA OB OP λ+=144OP OA OB λ⇒=+，因为,,A P B 三点共线，所以3λ=；所以3AP PB =， 设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121233(,)1313x x y y P ++++，所以1234y y m +=，将,A B 两点代入椭圆方程：22112222 1 4 1 4y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得：12121212(3)(3)(3)(3)84y y y y x x x x +−+−+=−， 即1283y y m−=−，由上可知：224(2,2)33y m m =+∈−， 所以2(3,3)m m+∈−，解得：(2,1)(1,2)m ∈−−，综上所述：m 的取值范围为(2,1)(1,2){0}−−．2．2简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题例8．设椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b过点M，且左焦点为1(F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足⋅=⋅AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．【解析】（1）由题意：222222212,1,=+==−c c a b a b，解得224,2==a b ， 所以椭圆C 的方程为22142+=x y ． （2）证明：设点为(,)Q x y ，12(,)A x y ，22(,)B x y ． 由题设知,,,AP PB AQ QB 均不为零，记λ==AP AQ PBQB，则01λλ>≠且，又,,,A P B Q 四点共线，将点(4,1)P 代入椭圆方程得2241142+>，则点P 在椭圆外，又因为点Q 在线段AB 上，从而λ=−AP PB ，λ=AQ QB ，高中数学压轴培优教程———圆锥曲线篇于是12124,1(1)1,1λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩x x y y 1212,1(2),1λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x x y x y 又点AB 在椭圆C 上，即221122221,(3)421,(4)42⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(3)(4)λ−⋅，得212121212()()()()142λλλλλ+−+−+=−x x x x y y y y ，即12121212()()()()111411211λλλλλλλλ+−+−⋅⋅+⋅⋅=+−+−x x x x y y y y ， 将（1），（2）代入得1,2202+=+−=即yx x y ． 综上所述，点(,)Q x y 总在定直线220+−=x y 上．例9．已知12(,0),(,0)−F c F c 为有心二次曲线2222:1(0)±=>>x y E a b a b 的左、右两个焦点，P 为曲线上任意一点，直线12,PF PF 分别交曲线E 异于P 的点,A B ，设11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，证明：λμ+为定值．【解析】证明：设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，因为11λ=PF F A ，可得011101λλλλ+⎧=−⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x c y y ，将1100(,),(,)A x y P x y ，代入曲线方程有2200222211221,(1)1,(2)⎧±=⎪⎪⎨⎪±=⎪⎩x y a b x y a b ，2(2)λ⨯得222221122,(3)λλλ+=x y a b ，(1)(3)−得20101010122()()()()1λλλλλ+−+−±=−x x x x y y y y a b． 两边同除以21λ−整理得01010101221111111λλλλλλλλ+−+−⋅⋅±⋅⋅=+−+−x x x x y y y y a b ，所以01211λλ−−⋅=−x x c a ，即201(1)λλ−=−a x x c ．又01,1λλ+−=+x x c即01(1)λλ+=−+x x c ．两式相加得：222202λ−+=−a c a c x c c同理：222202μ+−=−a c a c x c c ，所以22222λμ++=⋅−a c a c． 【注】若将11λ=PF F A ，22μ=PF F B ，换成11λ=AF F B ，22μ=BF F P ，则有2222112λμ++=⋅−a c a c 为定值，11()()24μλλμλμλμ++=++≥，得22min 22()2λμ−+=⋅+a c a c ．第二章 技法篇227例10．已知椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b 的离心率为23，半焦距为(0)>c c ，且1−=a c ，经过椭圆的左焦点F ，斜率为11(0)≠k k 的直线与椭圆交于,A B 两点，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）当11=k 时，求∆AOB S 的值；（3）设(1,0)R ，延长,AR BR 分别于椭圆交于,C D 两点，直线CD 的斜率为2k ，求证：12k k 为定值． 【解析】（1）由题意：得231⎧=⎪⎨⎪−=⎩c a a c 解得32=⎧⎨=⎩a c 所以2225=−=b a c ，故椭圆C 的标准方程22195+=x y ． (2)由（1），知(2,0)−F 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12187+=−x x ，12914=−x x ，12|||=−=AB xx 307=， 设O 点到直线AB 的距离为d，则=d1130||227∆=⋅=⨯AOB S AB d ． (3)设AB 直线方程：(2)=+y k x ，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AR RC ，μ=BR BD ， 将,,,A B C D 坐标代入椭圆得：221122331,(1)951,(2)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，222222441,(3)951,(4)95⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−得：213131313()()()()195λλλλλ−+−++=−x x x x y y y y ，2(3)(4)μ−得：224242424()()()()195μμμμμ−+−++=−x x x x y y y y ，13131101λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，24241101μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩x x y y ，所以1391λλ−=−x x ，2491λμ−=−x x ， 由上式得：125445λλ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ，245445μμ=−⎧⎪⎨=−⎪⎩x x ， 所以12123434224444(5)(5)λμλμλμλμ−−++−−+−==−−−−−+y y kx kkx ky y x x (54)2(54)2117()7441144()λμλμλμλμλμ−+−+−+−−===−+−−k kk kk k ．【注】综上可知，若出现相交弦共点在坐标轴上的时候，常规联立非常繁琐，那么将坐标变换成比值，达到事半功倍的效果，其结果就是几步秒杀．例11．已知椭圆22143+=x y ，点(4,0)P ，过点P 作椭圆的割线PAB ，C 为B 关于x 轴的对称点，求证：直线AC 恒过定点．【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)−C x y ，设AC 与x 轴的交点为(,0)M m ，λ=AP PB ，μ=AM MC ，则1212(,)11λλλλ++++x x y y P ，1212(,)11μμμμ+−++x x y y M ， 于是124(1)λλ+=+x x ，120λ+=y y ，12(1)μμ+=+x x m ，120 (1)μ−=y y ，则μλ=−， 由点,A B 在椭圆上得：221122221,(1)431,(2)43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ， 2(1)(2)μ−⨯得：212121212()()()()143μμμμμ+−+−+=−x x x x y y y y ，所以124(1)μμ−−=x x m ，124(1)λλ++=x x m，由(1)可知：1=m ， 综上可知：直线AC 恒过定点(1,0)．【注】因为,,A B P 三点共线，,,A C M 三点也共线，且,,A B C 三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．例12．（2018·全国卷Ⅰ）设椭圆22:12+=x C y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程． （2）设O 为坐标原点，证明：∠=∠OMA OMB ．【解析】（1）由已知得(1,0),F l 的方程为1=x ，由已知可得点A的坐标为或(1,，所以AM的方程为2=−y x2=−y x （2）当l 与x 轴重合时，00∠=∠=OMA OMB ．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以∠=∠OMA OMB ．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，点B 关于x 轴对称的点22(,)'−B x y ，229根据几何性质可得：令ON 为∠ANB 的角平分线，AB 与x 轴交点为2F ，下面通过证明N 与M 重合来证明∠=∠OMA OMB ，根据角平分线定理有：22=='AF AN AN F B NB NB ，令λ'=AN NB ，则12(,0)1λλ++x x N ，由122211λλλ−=−⇒=−x x AF F B ，,A B 代入椭圆方程221122221,(1)21,(2)2⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 2(1)(2)λ−⨯得：212121212()()()()12λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ，即21212121011(2,0)21112λλλλλλ+−−⋅⋅+⋅=⇒=⇒+−−F N x x x x x x y y N ，即N 与M 重合，所以∠=∠OMA OMB ． 例13．（2018·北京文）已知椭圆2222:1(0)+=>>x y M a b a bk 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点,A B ，（1）求椭圆M 的方程．（2）若1=k ，求||AB 的最大值．（3）设(2,0)−P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ，若,C D 和点71(,)44−Q 共线，求k ．【解析】（1）由题意得2=cc=c e a=a 2221=−=b a c ，所以椭圆M 的标准方程为2213+=x y ．（2）设直线AB 的直线方程为=+y x m ，由2213=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y x m x y ，消去y 可得2246330++−=x mx m ， 则2223644(33)48120∆=−⨯−=−>m m m ，即24<m ，1122(,),(,)A x y B x y ，1232+=−mx x ，212334−=m x x ，12|||=−=AB x x=， 易得当20=m时，max ||=AB ||AB．（3）设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y C x y D x y ，λ=AP PC ，2424(,)(2,0)11μμμμ++=−++x x y y P ，有22112233 1 (1)3 1 (2)3⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，2(1)(2)λ−⨯得：213131313()()()()13λλλλλ+−++−=−x x x x y y y y ， 即13(2)()13(1)λλ−−=−x x ，1311333171244(3)172441λλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x ， 同理2422443171244(4)172441μλλλλλ−⎧⎧=−=−−⎪⎪⎪⎪−⇒⎨⎨+⎪⎪=−−=−⎪⎪⎩+⎩x x x x x x 故121()(5)4λμ−=−−x x ，同时1324λμ⎧=⎪−⎪⎨⎪=⎪−⎩y y y y ，由于CD 过定点71(,)44−Q ， 故21341234111114444()(6)711144444μλλμλμ−−−−−−=⇒=⇒−=−−+−−−y y y y y y x x ， 结合（5）（6）可得12121−=−y y x x ，即1=k ． 例14．已知点(0,1)P ，椭圆22:(1)4+=>x C y m m 上两点,A B 满足2=AP PB ，则当m 为何值时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,),(0,1)B x y P ，则22112222,(1)4,(2)4⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y m x y m ，由2=AP PB 得121220122112+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+x x y y ， 2(1)(2)2−⋅得222222212122(2)(12)4−⋅+−⋅=−x x y y m ，即1212121222221412121212+−+−⋅⋅+⋅=+−+−x x x x y y y y m ，则，122−=−y y m ，1223+=y y ，则234+=my ，所以2223()44++=x m m ， 即2221094−+−=m m x ，当5=m 时，()22max 4=x ，则2max2=x ．三、方法总结点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法．当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题．在解答圆锥曲线231的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程．当1λ=时，点M 为弦AB 的中点．若1λ≠时，点M 不再是中点，就成了定比分点．这时就会出现12λ+x x 这样形式的式子，若果再凑出12λ−x x ，我们就会想到222121212()()λλλ+−=−⋅x x x x x x ，则在有心二次曲线的方程上乘以2λ再作差，就会得到这样的式子，因此我们想到了“定比点差法”．定比点差法实际上是直线的参数方程的变异形式，只不过将其中的t 变作了λ，也就是说只要是共线点列的问题都可以在考虑运用直线的参数方程的同时考虑定比点差法．定比点差法在处理圆锥曲线上过定点的直线的证明题时往往可以起到简化运算的作用．但定比点差法无法应用于抛物线，并且它采用的参数λ在解析几何问题中并不通用，在求解具体的斜率、弦长与面积时往往会引起运算上的麻烦(当然，求坐标还是很简便的)，所以并不是所有的共线问题都适用用定比点差法解决．综上所述，在研究点差法及定比点差法时，主要核心思想统一体现为减元、消元以及方程的思想．四．巩固练习1．已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的一条准线方程是1=x ，有一条倾斜角为4π的直线交椭圆于、A B 两点，若AB 的中点为11,24⎛⎫− ⎪⎝⎭C ，则椭圆方程为 ．【答案】2211124+=x y【解析】设()()1122,,、A x y B x y ，则121211,2+=−+=x x y y ， 且2211221+=x y a b ①， 2222221+=x y a b②， −①②得：2222121222−−=−x x y y a b ，()()221212221212112+−−∴=−=−⋅−+b x x y y b x x a y y a ，21221221−∴===−AB y y b k x x a，222∴=a b ③又21=a c ，2∴=a c ④ 而222=+a b c ⑤由③④⑤可得212=a ，214=b ，所求椭圆方程为2211124+=x y ． 2．已知椭圆221259+=x y 上不同的三点()()11229,,4,,,5⎛⎫⎪⎝⎭A x yBC x y 与焦点()4,0F 的距离成等差数列．（1）求证：128+=x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 【解析】（1）略； （2）解128+=x x ，∴设线段AC 的中点为()04,D y ．又、A C 在椭圆上，∴22111259+=x y ①，22221259+=x y ②，−①②得：22221212259−−=−x x y y ， ()()1212121200998362525225+−∴=−=−⋅=−−+x x y y x x y y y y ． ∴直线DT 的斜率02536=DT y k ，∴直线DT 的方程为()0025436−=−y y y x ．令0=y ，得6425=x ，即64,025⎛⎫ ⎪⎝⎭T ，∴直线BT 的斜率9055644425−==−k ． 3．若抛物线2:=C y x 上存在不同的两点关于直线():3=−l y m x 对称，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(【解析】当0=m 时，显然满足．当0≠m 时，设抛物线C 上关于直线():3=−l y m x 对称的两点分别为()()1122,,、P x y Q x y ，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211=y x ①，222=y x ②， −①②得：221212−=−y y x x ，1212120112−∴===−+PQ y y k x x y y y ， 又1=−PQ k m ，02∴=−m y ． 中点()00,M x y 在直线():3=−l y m x 上，()003∴=−y m x ，于是052=x ． 中点M 在抛物线2=y x 内部，200∴<y x ，即2522⎛⎫−< ⎪⎝⎭m，解得<m综上可知，所求实数m的取值范围是(．4．（2011浙江理）设1F ，2F 分别为椭圆2213+=x y 的左、右焦点，点A ，B 在椭圆上，若125=F A F B ，则点A 的坐标是 ．233解答：记直线1F A 反向延长交椭圆于1B ，由125=F A F B 及椭圆对称性得1115=AF F B ，设11(,)A x y ，22(,)B x y，(F ．①定比分点公式得：12125155015+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩x x yy 1212550⎧+=−⎪⇒⎨+=⎪⎩x x y y ②又⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩221122221(1)31(2)3x y x y 221122221(1)4252525(3)3x y x y ⎧+=⎪⎪⇒⎨⎪+=⎪⎩③由（1）-（3）得+−++−=−12121212(5)(5)(5)(5)243x x x x y y yy ⇒−=125x x ，又+=−125x x ⇒=10x ⇒±(0,1)A ．5．（2009江理）双曲线()222210,0−=>>x y a b a b的右顶点A 作斜率为1−的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ．若12=AB BC ，则双曲线的离心率是（ ）ABCD【答案】C【解析】设11(,)C x y ，22(,)B x y ，(,0)A a ，由12=AB BC ，由12=AB BC 得121212112102112⎧+⎪=⎪⎪+⎪⎨⎪+⎪=⎪+⎪⎩a x x y y 12123230−=−⎧⇒⎨−=⎩x x a y y ． 又22112222222200⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩x y a b x y a b 2211222222220 990 ⎧−=⎪⎪⇒⎨⎪−=⎪⎩①②x y a b x y a b ， 由①-②得：1212121222(3)(3)(3)(3)0+−+−−=x x x x y y y y a b 1230⇒+=x x ，又1232−=−x x a所以1=−x a ，所以(,)−C a b ，所以01−=−=−−AC b k a a2⇒=ba ⇒=e 6．已知椭圆22162+=x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11λ=PF F A ，22μ=PF F B ．若2λ=，求μ的值．【解析】设()00,P x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 由11λ=PF F A 得()0101010111001λλλλλλλ+⎧−=⎪⎧+=−+⎪⎪+⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y 由22μ=PF F B 得()02020********μμμμμμμ+⎧=⎪⎧+=−++⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=⎪+⎩x x c x x c y y y y由22002222112211⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a bx y a b ⇒2200222222211221 λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②x y a bx y ab235由①-②得：()()()()010*******21λλλλ−+−++=−x x x x y y y yx ab()()()()()()20101201111λλλλλλ−+⇒=⇒−=−−−+x x x x a a x x c ，又()()011λλ+=−+x x c所以222202λ−+=−a c a c x c c ，同理可得222202μ−+=−+a c a c x c c 所以()()2222222222108λμλμμ−+++=⋅⇒+=⋅=⇒=−a c a c a c c c a c ． 7．已知椭圆22:12+=xy C ，设过点()2,2P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B ，点Q 是线段AB 上的点，且112+=PA PB PQ，求点Q 的轨迹方程．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，()00,Q x y ，由112+=PA PB PQ 22−+⇒+=⇒+=PQ PQ PA AQ PB QB PA PB PA PB0−⇒+=⇒=AQ QB PA AQ PAPBPBQB，记()0λλ==>AP AQ PBQB，即λ=−AP PB ，λ=AQ QB ．由λ=−AP PB 得:()()1212121222112121λλλλλλλλ−⎧=⎪⎧−=−⎪⎪−⇒⎨⎨−−=−⎪⎪⎩=⎪−⎩x x x x y y y y由λ=AQ QB 得:()()1201201212001111λλλλλλλλ+⎧=⎪⎧+=+⎪⎪+⇒⎨⎨++=+⎪⎪⎩=⎪+⎩x x x x x x y y y y y y又221122222222⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x y x y 221122222222 222 λλλ⇒⎪⎧+=⎪⎨+=⎩①②x y x y 由①-②得：()()()()()212121212221λλλλλ+⋅−+⋅+⋅−=−x x x x y y y y ()()()()()20021141121λλλλλ⇒+⋅−+⋅+⋅−=−x y 00242⇒+=x y ，即00210+−=x y ．注意到在椭圆内，故点Q 的轨迹方程为()2221022+−=+<x y x y ．8．（2019全国卷理）已知抛物线2:3=C y x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点分别为，A B ，与x 轴的交点为P ．（1）若4+=AF BF ，求直线l 的方程； （2）若3=AP PB ，求AB ．【答案】（1）3728=−y x ；（2）=AB 【解析】（1）设直线l 的方程为：32=+y x m ，与抛物线方程联立可得：()22239330342⎧=⎪⇒+−+=⎨=+⎪⎩y xx m x m y x m ， 设()()1122,,，A x y B x y ，故()12413+=−x x m 由抛物线定义可得：()12431432+=++=−+=AF BF x x p m ，解得78=−m ． 故直线方程为：3728=−y x ． （2）设直线l 的方程为：32=+y x m ，联立22322032⎧=⎪⇒−+=⎨=+⎪⎩y xy y m y x m设()()()11220,,,0，，A x y B x y P x ，则1212 2 2 +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩①②y y y y m 由3=AP PB 可得()12030−=−y y ，即123=−y y ③237由①②解得1231=⎧⎨=−⎩y y ，代入③式得32=−m ，故直线方程为3322=−y x ．解得：()53,3,13⎛⎫− ⎪⎝⎭，A B，故=AB ．联系2675512809购买。
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt
|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
设|F1F2|＝2c， 因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3， 整理得 a21＋3a22＝4c2， 故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32， 即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这 一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开 后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄 底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的 阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作 的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°， ∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.
2021届高考数学圆锥曲线压轴题专题01 圆锥曲线与重心问题(通用版解析版)
专题1、圆锥曲线与重心问题从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。
而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。
“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。
因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．三角形的重心：三角形三条中线的交点。
知识储备:（1）G 是ABC ∆的重心0GA GB GC ⇔++=；重心坐标(,)33A B C A B Cx x x y y y G ++++；（2）G 为ABC ∆的重心，P 为平面上任意点，则1(+)3PG PA PB PC =+；（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比； 经典例题例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点P 、Q 、R 在C 上，且PQR ∆的重心为F ，则PF QF +的取值范围为（ ） A ．993,,522⎛⎫⎛⎤ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ B ．994,,522⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C ．()93,44,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．[]3,5【答案】A【解析】由题意知，抛物线C 的焦点为()1,0F ，设点(),P P P x y 、(),Q Q Q x y 、(),R R R x y ，由重心的坐标公式得1303P Q RP Q R x x x y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，()3R P Q x x x ∴=-+，()R P Q y y y =-+，设直线PQ 的方程为x ky m =+，由24x ky m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y ky m --=，()221616160k m k m ∆=+=+>，由韦达定理得4P Q y y k +=，4P Q y y m =-，所以，()()()2242P Q P Q P Q x x ky m ky m k y y m k m +=+++=++=+，故()23342R P Q x x x k m =-+=--，()4R P Q y y y k =-+=-，将点R 的坐标代入抛物线C 的方程得()22164342k k m =⨯--，得2238m k =-， 则()()228228360k m k∆=+=->，得2102k≤<， 则(]222422543,5P Q PF QF x x k m k +=++=++=-∈.()1,0F 不在直线PQ 上，则1m ≠，此时，218k ≠，则92PF QF +≠. 因此，PF QF +的取值范围是993,,522⎛⎫⎛⎤⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：A. 【点睛】考查抛物线与直线的综合，求距离的取值范围，重心坐标的计算，属于难题．例2．（2020·浙江高三月考）已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则（ ） A ．12S S > B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系.【详解】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I M F F y F F r y S ⋅⋅===， 又因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =，所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选：B . 【点睛】本题考查椭圆的定义，其中涉及到三角形的内心和重心问题，对学生分析图形中关系的能力要求较高，难度一般.例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知1F 、2F 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 的椭圆上一点（左右顶点除外），G 为12PF F △为重心.若1223F GF π∠≤恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，再根据G 为12PF F △为重心，由111tan 336GO PO b F O π==≥=求解. 【详解】因为P 的椭圆上一点，且1223F GF π∠≤恒成立，不妨设点P 为上顶点，如图所示：因为G 为12PF F △为重心，所以1133GO PO b ==，而1tan6GO FO π≥，即1GO O ≥，所以13b ≥，所以223b c ≥，所以2223a c c -≥，即214e ≤，解得102e <≤.故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质以及焦点三角形的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.例4．（2020·全国高二单元测试）已知A 、B 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右顶点，P 为C 上一点，且P 在第一象限．记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，当122k k +取得最小值时，PAB △的重心坐标为（ ） A ．(1,1) B ．41,3⎛⎫⎪⎝⎭C ．4,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．44,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】由双曲线的性质可得点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>，则122k k =，再由基本不等式可得1222k k ==，进而可得点(3,4)P ，即可求得重心坐标.【详解】由题意点()1,0A -，()10B ,，设点()(,),1,0P x y x y >>， 则10k >，20k >，2212222(1)21111y y y x k k x x x x -=⋅===+---，所以1224k k +≥=，当且仅当1222k k ==时取等号，所以221112yx y x ⎧=⎪⎪+⎨⎪-=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩，所以点(3,4)P ， 则PAB △重心坐标为113004,33-++++⎛⎫⎪⎝⎭即41,3⎛⎫⎪⎝⎭．故选：B. 【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.例5．已知椭圆22:14x y C m+=的右焦点为()1,0F ，上顶点为B ，则B 的坐标为_____________，直线MN与椭圆C 交于M ，N 两点，且BMN △的重心恰为点F ，则直线MN 斜率为_____________.【答案】【分析】空1：由椭圆的标准方程结合右焦点的坐标，直接求出a ， c ，再根据椭圆中a ，b ，c 之间的关系求出m 的值，最后求出上顶点B 的坐标；空2：设出直线MN 的方程，与椭圆联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系，结合中点坐标公式求出弦MN 的中点的坐标，再利用三角形重心的性质，结合平面向量共线定理进行求解即可.【详解】空1：因为22:14x y C m+=右焦点为()1,0F ，所以有40m >>且2,1a b c ===，而222a b c =+，所以413m m =+⇒=，因此椭圆上顶点的坐标为：； 空2：设直线MN 的方程为：y kx m =+，由（1）可知：椭圆的标准方程为：22143x y+=，直线方程与椭圆方程联立：22143x y y kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得： 222(34)84120k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点为D ，于是有：122834km x x k -+=+，121226()234m y y k x x m k +=++=+，所以D 点坐标为：2243()3434km mk k -++， 因为BMN △的重心恰为点F ，所以有2BF FD =，即2243(1,2(1,)3434km mk k -=-++，因此有：22224432(1)1(1)343423623434km km k k m m k k --⎧⎧-==⎪⎪⎪⎪++⇒⎨⎨⎪⎪⋅==⎪⎪++⎩⎩，(1)(2)÷得：k =MN斜率为4.故答案为：；4【点睛】本题考查了求椭圆上顶点的坐标，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了三角形重心的性质，考查了数学运算能力.例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线L 交椭圆 2212016x y +=于M N 、两点，椭圆与y 轴的正半轴交于点B ，若BMN ∆的重心恰好落在椭圆的右焦点F 上，则直线L 的方程是__________． 【答案】65280x y --=【分析】结合重心坐标公式推导出弦中点坐标，可设()()1122,,,M x y N x y ，采用点差法，求出直线斜率，采用点斜式即可求出直线方程【详解】由题可知，()0,4B ，()2,0F ，设()()1122,,,M x y N x y ，由重心坐标得1212042,033x x y y ++++==， 所以弦MN 的中点坐标为12123,222x x y y ++==-，即()3,2-， 又()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，故221122221201612016x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差得()()()()12121212450x x x x y y y y +-++-= 将中点坐标代入得212165y y k x x -==-，所以直线L 的方程为：()6325y x =--，即65280x y --= 故答案为：65280x y --=【点睛】本题考查重心坐标公式，点差法的应用，点斜式的用法，属于中档题例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，()111,P x y ，()222,P x y ，()333,P x y 为抛物线C 上的三个动点，其中123x x x <<且20y <，若F 为123PP P △的重心，记123PP P △三边12P P ，13P P ，23P P 的中点到抛物线C 的准线的距离分别为1d ，2d ，3d ，且满足1322d d d +=，则13P P 所在直线的斜率为（ ） A ．1 B ．32C ．2D ．3【答案】C【解析】由题意知12313321222;;2222x x x x x x d d d +++=+++=；带入1322d d d +=中，得到：()123132;2x x x x x +++=即2132x x x =+； 又F 为123PP P △的重心，则有1231232;033x x x y y y ++++==，即2226x x =-，得到222,4x y ==-，因此有134y y +=，故13P P 的中点坐标为（2，2）. 所以直线的斜率为：13131382y y k x x y y -===-+；故答案为2.例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上存在点A ，使得点A与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F ∆的重心G 满足12//PG F F ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABC ．2 D【答案】C【解析】如图，由PG 平行于x 轴得G P y y a ==，则33A G y y a ==， 所以12AF F △的面积1232S c a =⋅⋅121(||||2)2AF AF c a =⋅++⋅，又12||||2AF AF a -=， 1||2AF c a =+则，2||2AF c a =-，由焦半径公式1||A AF a ex =+，2A x a =得，因此(23)A a a ，，代入椭圆方程得2222491a a a b-=，b =可得，2c a ==， 2.ce a==即故选C ．例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知P 为双曲线C ：221412x y -=上一点，1F 、2F 为双曲线C 的左、右焦点，M 、I 分别为12PF F △的重心、内心，若M I x ⊥轴，则12PF F △内切圆的半径为 。
专题05 参数方程与极坐标(训练篇B)含详解-用思维导图突破圆锥曲线压轴题
令 得点 由 得
所以
从而直线 的斜率
所以
.
所以 ,所以
综上可知，直线 与直线 平行.
8.自 引直线交抛物线 于 两点，在 上取一点 ，使 三者的倒数成等差数列，求 点的轨迹方程.
解设 ： （ 为倾斜角， 为参数）
代入 中得 ①
由题意得 即 ，
解得 或 .②
设Q对应的参数为 ，则 .
所以 的面积的最大值为 ．
注： 的范围不能仅有（*）确定，因直线AB还与椭圆 相交，还要得到（**），由两者共同确定 的范围.
解2用椭圆的参数方程.设 ， ，则AB中点 .
.
因为M在椭圆内，所以 ，即 ，于是
.
7.已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，直线 与直线 交于点 ．
（1）求椭圆 的离心率；
由于 在 上位于 的同侧，所以 ，
所以 ，由于点Q(x,y)满足
即 ③
由②得 .
将③化为普通方程得
注过定点作二次曲线的割线，运用直线的参数方程，通过参数来表示线段长度，回避了距离公式，显得事半功倍.
（2）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；
（3）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
解（1）椭圆 的标准方程为 ，所以 所以椭圆 的离心率
（2）因为 过点 且垂直于 轴，所以可设 直线 的方程为 令 ,得 所以直线 的斜率
（3）当直线 的斜率不存在时，由（2）可知
因为直线 的斜率 所以
当直线 的斜率存在时，设其方程为 .
从而点 到直线 的距离 .
当 时， .
因此，当点 的坐标为 时，曲线 上的点 到直线 的距离的最小值为 .
4.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数， 为倾斜角），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的经典题型和相关练习
FA P HBQ专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
高考数学圆锥曲线专题练习及答案解析
X = —½距离为6,点P,Q是椭圆上的两个动点©
C
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AP丄40,求证：直线P0过泄点R,并求出R点的坐标。
【例二・】已知一动圆经过点M(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,设该动圆圆心的轨迹为曲 线C。
(1)求曲线C的方程；
(2)过点N(1,O)任意作两条互相垂直的直线∕1,∕2,分别交曲线C于不同的两点A,B和
的焦点，直线4F的斜率为少，O为坐标原点。
3
（1）求E方程；
（2）设过点A的直线/与E相交于PQ两点，当AOP0的面积最大时，求/的方
程。
专题练习
1•在平面直角坐标系XOy中，已知点A（O,—OB点在直线y = -3±, M点满足
MB//QA,莎•亦=屁•鬲M点的轨迹为曲线C。
(1)求C的方程：
(2)P为C上的动点，/为C在P点处的切线，求O点到/距离的最小值。
10.抛汤钱屮阿基来德三角形鲂纟见般质及疝用
11.(S傩曲钱屮的戒切後龜哩
锥曲线中的求轨迹方程问题
解题技巧
求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的髙频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、
相关点法、泄义法、参数法等。它们的解题步骤分别如下：
1.直译法求轨迹的步骤：
(1)设求轨迹的点为P(χ,y);
(2)由已知条件建立关于x,y的方程；
D,Q设线段ABQE的中点分别为几。・
①求证：直线P0过左点R,并求出泄点/?的坐标;
②求PGl的最小值。
专题练习
1.设椭圆E:丄y+ =y=l（α> b > 0）的右焦点到直线x-y + 2√z2=0的距离为3,且过点Cr Ir
I
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
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专题01曲线和方程 训练篇 B1.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120，则E 的离心率为A.5B.2C.3D.2分析 要求e ，不一定要清楚a 和c ，可以求出a ，c 之间的关系，在转化为e 的方程或等式.解1 设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>. 如图所示，||||AB BM =，120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在△BMN 中，由于|BM |=|AB |=2a ，则||BN a =，||3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b c a ==-，即222c a =，所以2e =.解2 如图所示，不妨设点M 在第一象限，则直线AM 的方程3:()AMl y x a =+，直线BM 的方程:3()BM l y x a =-，联立解得23x ay a=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以点M 的坐标为(2,3)M a a ，以下同解1.2.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________.解 不妨令B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则双曲线如图所示.因为OABC 为正方形，2=OA ，所以22==c OB ，π4∠=AOB . 因为直线OA 是渐近线，方程为=by x a，所以tan 1=∠=bAOB a. 又2228+==a b c ，所以2=a .3.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42，|DE|=25，则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8解 因为抛物线焦点到准线的距离为p ，所以只要求出p ，因D 在圆上，A 既在圆上，又在抛物线上，从而可以得到三个方程，不妨设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，作出示意图如图所示.OCBAy xFA -1B 1MN xy-2-4-3234O1234-1-2-3-4由已知可设 (0A x ，2p D ⎛- ⎝，由于点(0A x 既在抛物线22y px =上，又在圆222x y r +=上，所以 082px = … ①2208x r += … ②又点2p D ⎛- ⎝在圆C 上，则2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭…③联立①②③解得：4p =，所以，焦点到准线的距离为4p =，故选B ．4． 设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B .已知1232ABF F . （1）求椭圆的离心率；（2）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点1F ，经过原点的1232F F 223b c ，把222a c 代入上式，平方整理得12a .所以，椭圆的离心率22e. （2）由（1）知222a c ，22bc ，故椭圆方程为222212x y cc .设00,P x y .由1,0F c ，0,B c ，则100,F P x c y ，1,F Bc c .由已知，有110FP FB ，即000x c cy c.因0c，所以00x y c. ①又因为点P 在椭圆上，故22002212x y cc . ②由①和②可得20340x cx ，而点P 不是椭圆的顶点，故00x ，所以043cx ，代入①得03cy ，即点P 的坐标为4,33c c .设圆的圆心为11,T x y ，则1402323c x c ，12323c cy c ，进而圆的半径2211503rx y cc . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y kx .由于l 11y r 22233531c c kc k ， 整理得2810kk ，解得415k .所以，直线l 的斜率为415或415.5.如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成，12,C C 的公共点为,A B ，其中1C 的离心率为2. （1） 求,a b 的值；（2）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ）， 若AP AQ ⊥，求直线l 的方程.解（1）由图可知，抛物线过点(1,0),(1,0)A B -，所以1b =.又222c a b c a ==+，解得22,1,3a b c ===，所以椭圆 方程为2214y x +=. （2）设过(1,0)B 的直线方程为(-1)y k x =（0k ≠）与椭圆方程214yx +=联立，并整理得2222(4)-2-40k x k x k ++=.设1122(,),(,)P x y Q x y ，因为直线过(1,0)B ，所以212-44k x k =+，从而112-8(-1)4k y k x k ==+，即222-4-8k(,)44k P k k ++. 把直线l 与抛物线方程21y x =-+联立得 2-k-10x kx +=.同理可得22221,(1)2x k y k x k k =--=-=--，即2(1,2)Q k k k ----. 因为(-1,0)A ，AP AQ ⊥，所以0AP AQ ⋅=，即2222-4-8(1, )(, 2)044k kk k k k k +⋅=++---，亦即 (,-4)(1,2)-4(2)0k k k k ⋅+=+=，解得83k =-，所以直线l 的方程8(1)3y x =--.6.已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62.（1）求2C 的方程； （2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与BD同向.② 若||||BD AC =，求直线l 的斜率； ②设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为 M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总 是钝角三角形.解 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a ，所以可设椭圆方程为 22221.1y x a a +=- 又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y轴对称，所以交点横坐标为，代入抛物线方程得交点纵坐标为32，代入椭圆方程2296141a a +=-，解得29a =，所以 2C 的方程为18922=+x y .（2）如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .易知直线l 的斜率存在，设为k ，则l 的方程为1+=kx y .由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩ 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x . （*） 由221,1,98y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得06416)89(22=-++kx x k ， 而43,x x 是这个方程的两根，所以3434221664,9898k x x x x k k+=-=-++. （**） ① 因为与同向，且 ||||BD AC =，所以=，从而2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，即43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+.将(*)(**)代入上式得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即 22222169(1)16(1),(98)k k k ⨯++=+ 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±.② 如图，因为,,A F D 三点共线，所以只要证明AFM ∠是锐角即可，即0.FM FA ⋅>由y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为 )(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=. 令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x.又)14,(211-=x x FA ，于是 014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.解2因为,,F B D 三点共线，所以要证明MFD ∠为钝角，只要证明MFB ∠为钝角，即只要证明0FM FB ⋅<.由解1可知，222(,1)4x FB x =-，212212x x FM FB y ⋅=+-. 由（*）可知， FM FB ⋅222+10y =--<，所以MFD ∠是钝角.注 第（2）题①的关键在于平方后再配方，以利用韦达定理；②则在于证明AFM ∠是锐角，而不要直接求D 的坐标，再求FD .这些都体现了转化的思想.7.设A ，B 为曲线C ：y =24x 上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.解答 （1）设1122(,),(,)A x y B x y ，则2221212121214414ABx x y y x x k x x x x --+====--. （2）设200(,)4x M x ，则C 在M 处的切线斜率为02x x x k y ='==切， 所以12x =，即02x =，所以(2,1)M . 又AM BM ⊥，所以22121212121111442222AM BMx x y y k k x x x x ----⋅=⋅=⋅----()()()121212222411616x x x x x x +++++===-，即()12122200x x x x +++=，又设直线AB 的方程为y x m =+，代入24x y =，得2440x x m --=，则124x x +=，124x x m =-，所以48200m -++=，即7m =.故直线AB 的方程为70x y -+=.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为2，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于B A ,两点，线段AB 的垂 直平分线分别交直线l 和AB 于点C P ,，若AB PC 2=， 求直线AB 的方程.解 (1)由题意，得22=a c 且32=+c a c ，解得2=a ，1=c ，则1=b ，所以椭圆的标准方程为1222=+y x . (2)当x AB ⊥轴时，2=AB ，又3=CP ，不合题意.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为)1(-=x k y ，),(11y x A ，),(22y x B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得22(12)k x +24k x -22(1)0k +-=， 则2222,121)1(22k k k x ++±=，C的坐标,212(22k k +)212k k +-，且AB 2221)1(22k k ++. 若0=k ，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意.若0≠k ，故直线PC 的方程为)212(121222kk x k k k y +--=++，点P 的坐标为))21(25,2(22k k k ++-，从而=PC )21(1)13(2222k k k k +++. 因为AB PC 2=，所以)21(1)13(2222k k k k +++2221)1(24k k ++=，解得1±=k .此时直线AB 方程为1-=x y 或1y x =-+.。