随机过程课后习题解答 毛用才_胡奇英
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
随机过程第四版参考答案
随机过程第四版参考答案随机过程第四版参考答案随机过程是概率论中的一个重要概念，研究的是随机事件在时间上的演化过程。
它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用，例如通信系统、金融市场和生物学等。
随机过程第四版是一本经典的教材，为学习者提供了理论和实践的结合，帮助读者更好地理解和应用随机过程。
在随机过程第四版中，作者首先介绍了随机过程的基本概念和性质。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型，而在每个时间点上的随机变量可以是离散型或连续型的。
通过对这些基本概念的介绍，读者可以建立起对随机过程的初步认识，并为后续的学习打下坚实的基础。
接下来，随机过程第四版详细讨论了不同类型的随机过程。
其中，最常见的两种类型是马尔可夫过程和泊松过程。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
泊松过程则是一种连续时间的随机过程，其具有独立增量和平稳增量的特点。
通过对这些经典模型的介绍，读者可以更深入地了解随机过程的特性和应用。
随机过程第四版还涉及了随机过程的数学建模和分析方法。
在实际问题中，我们常常需要通过建立数学模型来描述随机过程的行为。
这些模型可以是基于统计数据的参数估计，也可以是基于物理规律的微分方程。
通过对这些数学方法的学习，读者可以了解如何将实际问题转化为数学模型，并通过数学分析来解决问题。
除了理论部分，随机过程第四版还包含了大量的例题和习题。
这些例题和习题涵盖了不同类型的随机过程和应用场景，帮助读者巩固所学知识，并提供了实践的机会。
通过解答这些例题和习题，读者可以更深入地理解随机过程的概念和性质，并培养解决实际问题的能力。
总的来说，随机过程第四版是一本权威且实用的教材，为学习者提供了理论和实践相结合的学习方式。
通过对随机过程的介绍、不同类型的讨论、数学建模和分析方法的学习，以及大量的例题和习题的解答，读者可以全面地了解和掌握随机过程的基本概念、性质和应用。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程1(1)
4.根据参数集与状态空间离散与否,随机过程可分为
●离散参数,离散状态的随机过程 (例3)
● 离散参数,连续状态的随机过程 (例4)
● 连续参数,离散状态的随机过程 (例1)
● 连续参数,连续状态的随机过程 (例2)
参数集为离散的随机过程也称为随机序列， 或时间序列．
二
随机过程的有限维分布函数族
设X={X(t),t∈T}是S.P.
2 0 2 0
0 h( x ) 1 其它
0 2x 1 其它
2
x0
2 其它
(3)
t
2
时，X (t ) V cos
2
0,
此时X （
2
）是单点分布, 则
F
ห้องสมุดไป่ตู้X(
2
( x ) P{ X (
)
2
) x}
1 x 0 0 x 0
特别注意： 一族随机变量Ｘ(t) 的两个特点：随机性与函数性
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R,
若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记X={X(ω,t), ω∈Ω,t∈T},
注意： 设{X(ω,t), ω∈Ω, t∈T}为一S.P.
1. X(ω ,t),实质上为定义在T×Ω上的二元单值函数. 2.对每一个固定的t, X(t)为一随机变量. 随机变量X(t) (t∈T)所有可能取值的集合,称为随机过 程X(ω,t),的状态空间.记为S. S中的元素称为状态. 3.对每一个ω0∈Ω,X(ω0,t)是定义在T上的普通函数. 记为 x(ω0,t), 称为为随机过程的一个样本函数.也称轨 道或实现. 样本函数的图形称为样本曲线．
随机过程1.1
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
8
一. 随机过程的定义——引例
补例1. 给定t0( >0)，考察 [0，t0]时间内某站点的访 问次 数Ｘ, 则Ｘ是一个随机变量，可记为X t0 ．
思考：Ｘ是否全面反映了该站点的访问情况？ 如果X不能，则怎样的量才能够反映？
则需要对每个t, 去观察随机变量Ｘt ，即Ｘt可以更 为全面的反映站点的访问情况。 此时Ｘt是一族随机变量. 即一簇随机变量方能反映要了解的随机现象. 记这样一簇随机变量为{Ｘt, t∈［0,∞)}
样本曲线x1本曲线x2(t)
状态空间S=[-A,A],参数集T=[-∞,+ ∞]
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林 19
例3 的样本曲线与状态
X(t)
70 60 50 40 30 20 10
状态空间S={0,1,2,….},
T=[0,24,……)
12
以上4个例子说明： 用一族随机变量可以较全面的反映所想了解的随机 现象.
为此将概率论中的随机变量推广为一族随机变量. ——随机过程 以下是其定义:
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
13
随机过程定义
设(Ω,F,P)为一概率空间,T为一参数集,T R, 若对每一 t ∈T,均有定义在(Ω,F,P)上的一个 随机变量X(ω,t),(ω∈Ω)与之对应, 则称X(ω,t)为(Ω,F,P)上的一个随机过程(S.P.) 记X={X(ω,t), ω∈Ω,t∈T},
随机过程——西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林 16
4. 样本轨道的连续性定义
设X={X(ω,t), t∈T} 为定义在(Ω,F,P)上的一个随机过程。 （1）若对任意的t∈T有
随机过程课后习题答案
标准教材：随机过程基础及其应用/赵希人，彭秀艳编著索书号：O211.6/Z35-2备用教材：（这个非常多，内容一样一样的）工程随机过程/彭秀艳编著索书号：TB114/P50历年试题（页码对应备用教材）2007一、习题0.7（1）二、习题1.4三、例2.5.1—P80四、例2.1.2—P47五、习题2.2六、例3.2.2—P992008一、习题0.5二、习题1.4三、定理2.5.1—P76四、定理2.5.6—P80五、1、例2.5.1—P802、例2.2.2—P53六、例3.2.3—P992009（回忆版）一、习题1.12二、例2.2.3—P53三、例1.4.2与例1.5.5的融合四、定理2.5.3—P76五、习题0.8六、例3.2.22010一、习题0.4（附加条件给出两个新随机变量表达二、例1.2.1三、例2.1.4四、例2.2.2五、习题2.6六、习题3.3引理1.3.1 解法纠正 许瓦兹不等式()222E XY E X E Y ⎡⎤⎡⎤≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦证明：()()()()222222222220440E X Y E X E XY E Y E XY E X E Y E XY E X E Y λλλ +⎡⎤⎡⎤=++≥⎣⎦⎣⎦∴∆≤⎡⎤⎡⎤∴-≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤∴≤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦例1.4.2 解法详解已知随机过程(){},X t t T ∈的均值为零，相关函数为()121212,,,,0a t t t t et t T a --Γ=∈>为常数。
求其积分过程()(){},t Y t X d t T ττ=∈⎰的均值函数()Y m t 和相关函数()12,Y t t Γ。
解：()0Y m t =不妨设12t t >()()()()()()1212222112121122122100,,Y t t t t t t t t t EY t Y t E X d X d d d τττττττττΓ===Γ⎰⎰⎰⎰()()()()()222121122221222112222212221212121212000220022002200222211||111111||211ττττττττττττττττττττττττ--------------=+-=+=---=+-+⎡=++--⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t a a t t a a a a t t t a a at a t a at t a t t at at ed d ed de d e d a ae d e d a a t t e e a a a a t e e e a a⎤⎦同理当21t t >时()()2112112221,1a t t at at Y t t t e e e a a----⎡⎤Γ=++--⎣⎦ （此处书上印刷有误）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法详解 普松过程公式推导：(){}()()()()()()()()()()()1lim !lim 1!!!1lim 1!!lim 1lim !lim lim !第一项可看做幂级数展开：第二项将分子的阶乘进行变换：→∞-→∞-→∞---∆-→∞→∞-→∞→∞===-∆∆-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-∆==⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⋅∆=∆⎢⎥--⎣⎦N k N N kkN N k kN N kN kq t qtN N k N kk k N N P X t k C P N q t q t k N k N q t q t N k k q t e e N N N q t q t N k N ()()()()()!lim 1!-→∞⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=∆⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦N k k k k kN k N q t N qt qt N k (){}()()()()!1lim 1!!!N kkN kqt P X t k N q t q t N k k qt ek -→∞-∴=⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎣⎦⎣⎦=例2.1.2 解法详解设(){},X t t -∞<<+∞为零均值正交增量过程且()()2212121,E X t X t t t t t -=->⎡⎤⎣⎦，令()()()1Y t X t X t =--，试证明(){},Y t t -∞<<+∞为平稳过程。
随机过程课后习题Word版
习题一1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,...k P X k pq k ===。
求X 的特征函数、EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
2．（1）求参数为（p,b ）的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2）求其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
3．设X 是一随机变量，F （x ）是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）Z=ln F()X ，并求()k E Z （k 为自然数）。
4．设12,,...,n X X X 相互独立，具有相同的几何分布，试求 的分布。
5．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
6．试证函数 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
7．设12,,...,n X X X 相互独立同服从正态分布2(,)N a σ，试求n 维随机向量12,,...,n X X X 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 的概率密度函数。
8．设X 、Y 相互独立，且（1）分别具有参数为(m, p)及(n, p)的二项分布；（2）分别服从参数为12(,),(,)p b p b 的Γ分布。
求X+Y 的分布。
9．已知随机向量（X, Y ）的概率密度函数为试求其特征函数。
10．已知四维随机向量X ,X ,X ,X 1234（）服从正态分布，均值向量为0，协方差矩阵为B σ⨯kl 44=()，求(X ,X ,X ,X E 1234)。
11．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从(0,1)N ，试求随机变量112Y X X =+和213Y X X =+组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
12．设X 1，X 2 和X 3相互独立，且都服从2(0,)N σ，试求：1,0()0,0()p p bxb x e x p x p x --⎧>⎪Γ⎨⎪≤⎩=0,0b p >>1nkk X =∑(1)()(1)jt jnt jt e e f t n e -=-21()1f t t=+11ni i X X n ==∑221[1()],1,1(,)40,xy x y x y p x y ⎧+--<<⎪=⎨⎪⎩其他（1）随机向量(X 1, X 2, X 3)的特征函数；（2）设112123123,,S X S X X S X X X ==+=++，求随机向量(S 1, S 2, S 3)的特征函数；（3）121Y X X =-和232Y X X =-组成的随机向量(Y 1, Y 2)的特征函数。
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）（2）当i=j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，因此：P112/9．解：（1）（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，令矩阵则有：因此有：P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
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n e i1 k 1 l1
n n
nn
1 e e =
jlti i
jltk k
n i1 l 1
k 1 l 1
nn
f (ti tk )i k 0
i1 k 1
非负定
（2）
f
(t)
e jt (1 e jnt ) n(1 e jt )
= e jt (1 e jt )(1 e jt e2 jt e(n1)tj )
n(1 e jt )
= 1 n e jtk
n k 1
P{xk
k}
1 n
（ k 0, 2,n ）
6、证函数 f (t) 1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。
1 t2
nn
解 （1）
f (ti tk )i k
i1 k 1
5
= n i1
n
i k
k 1 1 (ti tk )2
＝
exp[
1 2
(t12
(t1
t2 )2
t22 ]
2}
13、设（X1，X2，X3）服从三维正态分布 N（0，B），其中协方差矩阵为 B=（ ） ld 33, ，且
11 22 33 2. 试求 。
解
E
[(
X
2 1
2 )( X
2 2
2 )( X
2 3
2 )]
＝
E[
X 12
X
2 2
X
2 3
]
E[
X
k 0
= p (q e jt ) k
k 0
p 1 qe jt
又 E ( X )
kpq k
k 0
p kq k
k 0
p
q p2
q p
D(X ) E(X 2) [E(X )]2 q P2
（其中 nxn (n 1)xn xn ）
n0
n0
n0
令 S(x) (n 1)xn n0
则
Байду номын сангаас
X Y ( p1 p2 ,b)
9、已知随机向量（X、Y）的概率密度函数为
p( x,
y)
1 4
[1
xy ( x 2
y2
)],
1
x,
y
1
0, 其他
求其特征函数。
解
f ( t1 , t 2 ) E {e j ( t1 x t2 y ) }
7
11
＝
e
j (1
x t2
y
)
1 4
(1
x3
y
xy3
p( p 1) b2
D(X)
E(X2
)
E2(X)
P b2
（4） 若 Xi (pi,b) i 1, 2 则
fX1X2
(t)
fX1
(t)
fX2
(t)
(1
jt )(P1P2 ) b
Y X1X2 (P1 P2,b)
2
同理可得：
f
Xi
(t )
( b
b
jt
)
Pi
3、设 X 是一随机变量， F(x) 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量
n
jt x k
解
f n (t) E (e Xk
k 1
)
k 1
n
=
E (e jtxk )
k 1
n
=
p
k 1 1 qe jt
= pn (1 qe jt )n
= Cnk pn (q)k e jtk k 0
n
P{ xk n k} Cnk pn (q)k k 1
5、
试证函数
f
(t)
e jt (1 e jt ) n(1 e jt )
3
解 fX1,X2,X3 (t1, t2 , t3 ) exp{ j tk xk } k 1
3
3
＝
e jtk xk
exp{
1 2
tk2 }
k 1
k 1
＝ f (u X1,X2 ,X3 1 u2 , u3 , u4 )
＝
exp{
1 2
[((u1
u
2
)2
u
2 1
u22
)]}
12、设 X1，X 2和X3 相互独立，都服正态分布 N（0， 2），试求：
则 f X ,Y (t1,t2 ) ( pe jt1 q)m ( pe jt2 q)n
fX Y (t) f X (t) fY (t) ( pe jt q)mn X Y b(m n, p)
（2）
f X (t)
(1
jt ) p1 b
f X Y (t) (1
jt )( p1 p2 ) b
F(x) 的特征函数为
fX
(t)
1 0
ejtxdx
ejtx jt
1 0
1 (ejt 1) jt
fY (t ) e jbt f X (at ) e jbt (e jta
1)
1 jat
（2） f Z (t ) E (e jtz ) E[e jt ln F ( x) ]
1
= e j t ln y 1 d y
u ( jt b ) x b p e u u p 1 du
bp
1
( p) 0 (b jt) p
(b jt ) p (1 jt ) p
b
( ( p ) e x x p 1 d x )
0
（2） E(X )
1 j
fX ' (0)
p b
E(X 2)
1 j2
f X '' (0)
} i
k
=
n i 1
n k 1
e jti e jtk
{1
e jti ( e jtk
)(1
e jti e jtk
n(1
e jti e jtk
)
)} i k
n n n
1 j(ti tk ) l
[e ] =
ik
n i1 k 1 l 1
n n n jlti
1 e =
jltk i k
k0
k0
令 S(x) (k 1)2 xk 则 k 0
x
S (t )d t ( k 1) 2 t k d t ( k 1)x k 1 k x k ）
0
k 0
k0
k 1
1
2、（1） 求参数为 ( p,b) 的 分布的特征函数，其概率密度函数为
p(
x)
b (
p
p)
x
e p1 bx
n i1
n i k k1 1 M 2
0
（M
max{
1i, jn
ti
tk } ）
且 f (t) 连续 f (0) 1 f (t) 为特征函数
（2） f (t) 1 1 1 [ 1 1 ]
1 t2 1 ( jt)2 2 1 jt 1 jt
=
1
[
e(
jt1) xdx
e(
jt 1)
x dx]
第一章习题解答
1． 设随机变量 X 服从几何分布，即： P(X k) pqk , k 0,1, 2,。求 X 的特征函
数，EX 及 DX。其中 0 p 1, q 1 p 是已知参数。
解 f X ( t ) E ( e jtx )
e jtk p q k
k 0
p
( q k e jtk )
20
0
1
=
e jtx x dx
2
= e jtx 1 e x dx
2
P(x) 1 e x
2
7 、 设 X1，X 2， X n 相 互 独 立 同 服 从 正 态 分 布 N ( , 2 ) ， 试 求 n 维 随 机 向 量
( X1, X 2, X n ) 的分布，并求出其均值向量和协方差矩阵，再求 X
f (ti ) exp{
(
jati
1 2
2ti2 )}
i1
i 1
均值向量为 { , ,}
协方差矩阵为 B diag( 2, 2, 2 )
又
6
n
f (t) X
f
(
t n
,
t n
,
t n
)
f
(
t n
)
exp{
jat
1 2n
2t 2
]
i 1
8、设 X．Y 相互独立，且（1）分别具有参数为 (m, p) 及 (n, p) 分布；（2）分别服
kl cov( X k , Xl )
(k,l 1, 2,3, 4)
E（X1X2X3X4）= 12 34 13 24 2314
11 、 设 X1，X 2和X3 相 互 独 立 ， 且 都 服 从 N（0，1） ， 试 求 随 机 变 量
Y1 X1 X 2和Y2 X1 X 2 组成的随机向量（Y1，Y2）的特征函数。
从参数为 ( p1,b), ( p2, b)的分布 。求 X+Y 的分布。
n
解（1） fX (t)
e jtxk Pk
e
C jtx x n
p
x
q
nx
k
x0
n
= ( peit )xCnxqnx x0
n
= qn ( qpe jt )x Cnx x0
=
qn (1
p q
e
jt )n
= (q pe jt )n
2 1
X
2 2
X
2 1
X
2 3