高考数学二模理

高考数学二模理 Last revised by LE LE in 2021北京市朝阳区2006～2007学年度高三年级第二次统一考试数学试卷(理科)(考试时间120分钟, 满分150分)第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的 4个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知复数z 1=2+mi (m ∈R)，z 2=4-3i ，若z 1·z 2为实数，则m 的值为 （ ） A. 32 B. -32 C. -83 D. 83(2) 不等式272x x-->-1的解集是（ ）A. ｛x | x >5或 x <2｝B. ｛x | 2< x <5｝C. ｛x | x >5或 x <-2｝D.｛x | -2< x <5｝(3) 与函数y =2x -1的图象关于y 轴对称的函数图象是 （ ）(4) 已知直线a 和平面α、β，α∩β=l ，a ⊄α，a ⊄β，a 在α、β内的射影分别为直线b 和c ，则b 、c 的位置关系是 （ ）A ．相交或平行B ．相交或异面C ．平行或异面D ．相交，平行或异面(5) 把函数sin(2)4y x π=-的图象向右平移8π个单位，所得的图象对应的函数（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数 (6) 某电视台连续播放5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( ) A ．120种B ．48种C ．36种D ．18种(7) 对函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0，b 、c ∈R)作x =h (t )的代换，使得代换前后函数的值域总不改变的代换是 （ ）A. h (t )=10tB. h (t )=t 2C. h (t )=sin tD. h (t )=log 2t (8) 已知圆F 的方程是x y y 2220+-=，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F ，过F 引倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线和圆依次交于A 、B 、C 、D 四点(在直线l 上，这四个点从左至右依次为A 、B 、C 、D)，若||AB ，||BC ，||CD 成等差数列，则α的值为 （ ）A ．±arctan22 B ．4πC ．2．arctan 2或π2 朝阳区高三第二次统一考试数学试卷(理科)第II 卷（非选择题 共110分）横线上.(9) 已知向量a = (4，3)，b = (x ，-4)，且a ⊥b ，则x = .(10) 若x ，y 满足约束条件0,2 6.y x x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤1,则z=x +y 的最大值为 .(11) 高三某班50名学生参加某次数学 模拟考试，所得的成绩(成绩均为整 数)整理后画出的频率分布直方图如 右图，则该班得120分以上的同学共有 人.(12) 已知曲线C 的参数方程是：22,2x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，则曲线C 的普通方程是 ；曲线C 被直线x 3y =0所截得的弦长是 .(13) 设常数0a >，51ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为-581，则a = ，2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=___ __.(14) 在△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，若AE AB =m ，AFAC=n ，则 二题9 101112 13 14二题总分三 题15 16 17 18 19 20Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅰ Ⅱ Ⅲ三题 总分 二卷总分得分 评卷人AEFABCS S ∆∆= mn . 拓展到空间：在三棱锥S-ABC 中，D 、E 、F 分别是侧棱SA 、SB 、SC 上的点，若SD DA = m ，SE EB =n ，SFFC= p ，则S DEF S ABC V V --= .:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过. 13分）中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .bc a c b 21222=-+，求cosA 的值； （Ⅱ）若A ∈[2π，23π]，求A C B 2cos 2sin 2++的取值范围.(16)（本小题满分13分）一个袋子里装有大小相同，且标有数字1~5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个.(Ⅰ) 从中任意取出3个小球,求取出的小球都标有偶数数字的概率； （Ⅱ）从中任意取出2个小球,求小球上所标数字之和为6的概率；(Ⅲ) 设任意取出的1个小球上所标数字为ξ，求E ξ.(17) （本小题满分13分） 已知：四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥底面ABCD ，且PD=1.(Ⅰ) 求证：BC ∥平面PAD ；(Ⅱ)若E 、F 分别为PB 、AD 的中点，求证：EF ⊥平面PBC ；(Ⅲ)求二面角B-PA-C 的余弦值. (18)（本小题满分13分） 已知函数c bx ax x x f ++-=23)(．(Ⅰ) 若函数()y f x =的图象上存在点P ，使P 点处的切线与x 轴平行，求实数a ,b 的关系式；(Ⅱ) 若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值，且其图象与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围．(19)（本小题满分14分）已知O 为坐标原点，点E 、F 的坐标分别为（-1，0）、（1，0），动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．（Ⅰ）求点M 的轨迹W 的方程；C A B C SDEF P D ABCE F（Ⅱ）点0(,)2mP y 在轨迹W 上，直线PF 交轨迹W 于点Q ，且PF FQ λ=，若12λ≤≤，求实数m 的范围． (20)（本小题满分14分）在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列．ija 表示位于第i 行第j 列的数，其中241a =，421a =，545a =．（Ⅰ） 求q 的值； （Ⅱ） 求ij a 的计算公式；（Ⅲ）设数列｛b n ｝满足b n =a nn ，｛b n ｝的前n 项和为n S ，试比较n S 与T n =6115(1)n n ++( n ∈N*) 的大小，并说明理由.朝阳区高三第二次统一考试数学试卷答案(理科)一.选择题（1）A （2）B （3）A （4）D （5）B （6） C （7） D （8）D 二.填空题（9）3 （10）5 （11）15 （12）( x -2)2+ y 2=2，2（13）13，12（14）(1)(1)(1)mnp m n p +++三.解答题(15) 解：解：（Ⅰ）∵bc a c b 21222=-+，∴412222=-+bc a c b . ∴41cos =A . …………………………………5分 （Ⅱ）2sin cos 22B CA ++ =21cos()2cos 12BC A -++-=2cos 2A+12cosA-12=2(cosA+18)2-1732， …………………………………………………9分∵A ∈[2π，23π]，∴cosA ∈[-12，0].∴2(cosA+18)2-1732∈[-1732，-14].即A C B 2cos 2sin 2++的取值范围是[-1732，-14].…………………………13分(16) 解: 袋子里共装有1+2+3+4+5=15个小球.(Ⅰ) 标有偶数数字的小球共有2+4=6个， 取出的3个小球全标有偶数数字的概率为36315491C P C ==.…………………4分(Ⅱ) 2个小球上所标数字之和为6有三种情况，即（1，5），（2，4），（3，3）.所求概率 111121524321516.105C C C C C P C ++== …………………………8分 (∴E ξ=12345.1515151515153⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ……………13分(17) 方法1：(Ⅰ)解：因为ABCD 是正方形， 所以BC ∥AD.因为AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ，所以BC ∥平面PAD. …………………………………………………………4分 (Ⅱ)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，且ABCD 是正方形， 所以PC⊥BC .设BC 的中点为G ， 连结EG ，FG ，则EG ∥PC，FG∥DC .AB CDEP FGH所以BC⊥EG，BC⊥FG . 因为 EG ∩FG=G ， 所以BC⊥面EFG. 因为EF ⊂面EFG ，所以BC⊥EF. ① …………………………………6分 又设PC 的中点为H ，且E 为PB 中点， 连结DH ，所以EH 12BC.又BC AD ，且EH 12AD.所以四边形EHDF 是平行四边形. 所以EF∥DH .因为等腰直角△PDC 中，H 为底边PC 的中点， 所以DH⊥PC，即EF⊥PC . ② 因为PC∩BC=C， ③由①②③知EF ⊥平面PBC. …………………………………………8分 （②的证明也可以通过连结PF 、FB ，由△PFB 为等腰三角形证明）(Ⅲ)（理科）解法1：设PA 的中点为M ，连结MC ， 依条件可知△PAC 中PC=AC ， 所以MC ⊥PA. ①又PD ⊥平面ABCD ，∠BAD=90°，所以AB ⊥PA. 因为M 、E 均为中点， 所以ME∥AB .所以ME⊥PA. ②由①②知∠EMC 为所求二面角的平面角. ……………………………………11分连结EC ，在△MEC 中，容易求出ME=12，.所以cos ∠163+-=33…………13分解法2：过点C 作CS ⊥平面ABCD ，使CS=PD.连结PS ，SB ， 因为PD ，AD ，DC 两两垂直，且四边形 ABCD 为正方形，故容易证明几何体PAD-SBC 为三棱柱.(即以PAD 为底面，以DC 为高构造三棱柱PAD-SBC)A BCDE P FN Q S A BC DE PF M设BS 的中点为Q ，PA 中点为N ， 连结NQ ，NC.因为ABSP 为矩形，N 、Q 分别为中点， 所以NQ ⊥PA.又△APC 中，AC=PC ，N 为中点， 所以NC ⊥PA.所以∠CNQ 为所求二面角的平面角. ……………………………………11分 因为BC=CS ，所以CQ ⊥BS.又面BCS ⊥面ABSP ，所以CQ ⊥面ABSP. 因为NQ ⊂面ABSP ，所以CQ ⊥NQ. 在R t△NCQ 中，容易求出NQ=1，所以cos ∠CNQ=NQ NC3…………13分方法2：如图，以点D 为原点O ，有向直线OA 、OC 、OP 分别为x 、y 、z 建立空间直角坐标系.(Ⅰ)证明：因为CB =(1，0，0)， 平面PAD 的一个法向量为 r PAD =(0，1，0)，由· r PAD =0，可得⊥r PAD .于是BC ∥平面PAD. ……………………………………………………………4分(Ⅱ)证明：因为EF =(0，-21，-21)，=(1，0，0)，=(0，-1，1)且EF ·=0，EF ·=0，CB ∩CP=C ，所以EF ⊥平面PBC. ……………………………………………………………8分 （也可以证明EF 平行于平面PBC 的一个法向量）(Ⅲ) 解：容易求出平面PAB 的一个法向量为r PAB =(21，0，21)，及平面PAC 的一个法向量为r PAC =(1，1， 1)，因为r PAB · r PAC =21+21=1，|r PAB |=22，|r PAC |=3，所以cos<r PAB ， r PAC ………13分(18)解：(Ⅰ) b x a x x f +-='23)(2, 设切点为),(00y x P ,B则曲线)(x f y =在点P 处的切线的斜率b ax x x f k +-='=020023)(, 由题意，知023)(0200=+-='b ax x x f 有解，∴ 24120a b ∆=-≥ 即23a b ≥. ………………………………………………5分 (Ⅱ)由已知可得1x =-和3x =是方程2()320f x x ax b '=-+=的两根， ∴ 2133a -+=，133b-⨯=，∴ 3a =，9b =-． ……………………………7分 ∴ ()3(1)(3)f x x x '=+-，∴ ()f x 在1x =-处取得极大值，在3x =处取得极小值．∵ 函数()y f x =的图象与x 轴有且只有3个交点， ∴ (1)0,(3)0.f f ->⎧⎨<⎩ ………………9分又32()39f x x x x c =--+， ∴ 1390,2727270c c --++>⎧⎨--+<⎩解得527c -<<．………13分(19) 解：（Ⅰ）∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =，∴ ||||2||ME MF m EF +=>， ………………………………………………4分 ∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．……………………………6分 （Ⅱ）设11(,)Q x y ∵ 0(,)2mP y ，PF FQ λ=， ∴ 1011(1),2.m x y y λλ⎧-=-⎪⎨⎪-=⎩ ∴ 1101(1),21.m x y y λλλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………8分由点P 、Q 均在椭圆W 上，∴ 22220222211,411(1) 1.2(1)y m y m mm λλλ⎧+=⎪-⎪⎨⎪+-+=⎪-⎩ ……………………………10分 消去0y 并整理，得2211m m m λ-+=-，由221121m m m -+-≤≤及1m >，解得12m <≤． ……………………………14分 (20)解：（Ⅰ）设第4列公差为d ，则542451116852316a a d --===-．故445451116164a a d =-=-=，于是2444214a q a ==．由于0ij a >，所以0q >，故12q =． ………………………………………3分 （Ⅱ）在第4列中，424111(2)(2)81616i a a i d i i =+-=+-=．由于第i 行成等比数列，且公比12q =，所以， 4441111622j jj ij i a a q i i --⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ………………………………6分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知12nnn a n ⎛⎫= ⎪⎝⎭．即b n =12nn ⎛⎫⎪⎝⎭．所以123n n S b b b b =++++112233nn a a a a =++++.即23111111123(1)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故2341111111123(1)222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．两式相减，得231111111222222nn n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221*********nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⋅=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，所以11222n n n n S -=--． ………………………………………………8分 设f (x )=2-112x --2x x ( x >0)， 即f (x )=2-22x -2x x =2-22x x +=2-(2+ x )2-x . 因为f ′(x )= -[2-x +(2+ x )2-x (-1)ln 2]= 2-x [(2+ x )ln 2-1] =2-x [ln 22+ x - lne ]=2-x ln 22x e +， 且当x >0时，x +2>2. 所以22+ x >22= 4. 于是22x e +>4e>1. 所以ln 22xe+>0. 又2-x >0，所以在(0，+∞)上f ′(x ) =2-x ln 22xe +>0. 因此函数f (x )=2-112x --2xx 在(0，+∞)单调递增. 所以11222n n n n S -=-- ( n ∈N*)是递增数列. ……………………………10分 同理设g(x )=6115(1)x x ++( x >0)， 因为g ′(x )=15·26(1)(611)(1)x x x +-++= -21(1)x +<0 ( x >0)， 故g(x )=6115(1)x x ++在(0，+∞)单调递减. 所以T n =6115(1)n n ++( n ∈N*)是递减数列. ………………………………………12分 容易计算S 1=f (1)=12，S 2=f (2)=1，S 3=f (3)=138，S 4=f (4)=158， T 1= g(1)=1710，T 2= g(2)=1815，T 3= g(3)=1920，T 4= g(4)=125， 显然S 1< T 1，S 2< T 2，S 3< T 3，S 4> T 4， 所以当n ≤3时，n S <T n ；当n >3时，n S >T n . ……………………………14分注：（1）2个空的填空题，第一个空给3分，第二个空给2分.（2）如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.。