2016-2017年黑龙江省哈尔滨市松北区初三上学期期末数学试卷及答案

2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市松北区初三上学期期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）的倒数是（）A．﹣B．C．﹣D．2．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2x+2y=2xy B．（x2y3）2=x4y5C．（xy）2÷=（xy）3D．2xy﹣3yx=xy3．（3分）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k≤2C．k＞2D．k≥24．（3分）如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．5．（3分）松北某超市今年一月份的营业额为50万元．三月份的营业额为72万元．则二、三两个月平均每月营业额的增长率是（）A．25%B．20%C．15%D．10%6．（3分）若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+3B．y=2x2﹣3C．y=2（x﹣3）2D．y=2（x+3）2 7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E、F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点B′重合，若∠B′FC=50°，则∠AEF等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°8．（3分）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（）A．6B．2C．3D．29．（3分）如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=1，则EC=（）A．2B．3C．4D．610．（3分）甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲、乙两地相距210千米；②甲速度为60千米/小时；③乙速度为120千米/小时；④乙车共行驶3小时，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）数字12800000用科学记数法表示为．12．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是．13．（3分）计算：=．14．（3分）把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是．15．（3分）不等式组的解集为．16．（3分）分式方程=的解为x=．17．（3分）若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为．18．（3分）已知，平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积=．19．（3分）已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B=．20．（3分）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，点P为CD上一动点，当BP+CP最小时，DP=．三、解答题（21、22小题各7分，23、24小题各8分，25、26、27小题各10分，共60分）21．（7分）先化简，再求代数式÷（1﹣）的值，其中x=2sin45°﹣tan45°．22．（7分）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点A、C、E、F均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形：（1）在图1中，画一个以AC为一边的△ABC，使∠ABC=45°（画出一个即可）；（2）在图2中，画一个以EF为一边的△DEF，使tan∠EDF=，并直接写出线段DF的长．23．（8分）为便于管理与场地安排，松北某中学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计．并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：（1）在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人？并补全条形统计图．（2）如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．24．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO ⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．25．（10分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元．（1）求这种衬衫原进价为每件多少元？（2）经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折？26．（10分）已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B=∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．27．（10分）如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y =6，点P为第一象限内抛物线上的一点．轴于点C，S△ABC（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC=AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年黑龙江省哈尔滨市松北区初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）的倒数是（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：因为，的倒数是，而=故：选D2．（3分）下列运算中，正确的是（）A．2x+2y=2xy B．（x2y3）2=x4y5C．（xy）2÷=（xy）3D．2xy﹣3yx=xy【解答】解：A、2x+2y无法计算，故此选项错误；B、（x2y3）2=x4y6，故此选项错误；C、此选项正确；D、2xy﹣3yx=﹣xy，故此选项错误；故选：C．3．（3分）反比例函数y=的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜2B．k≤2C．k＞2D．k≥2【解答】解：∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k﹣2＞0，解得k＞2．故选：C．4．（3分）如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从上面看易得左边第一列有3个正方形，中间第二列有1个正方形，最右边一列有1个正方形．故选：D．5．（3分）松北某超市今年一月份的营业额为50万元．三月份的营业额为72万元．则二、三两个月平均每月营业额的增长率是（）A．25%B．20%C．15%D．10%【解答】解：设增长率为x，根据题意得50（1+x）2=72，解得x=﹣2.2（不合题意舍去），x=0.2，所以每月的增长率应为20%，故选：B．6．（3分）若将抛物线y=2x2向上平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y=2x2+3B．y=2x2﹣3C．y=2（x﹣3）2D．y=2（x+3）2【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=2x2向上平移3个单位可得到函数y=2x2+3，故选：A．7．（3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠（E、F分别是AD、BC上的点），使点B与四边形CDEF内一点B′重合，若∠B′FC=50°，则∠AEF等于（）A．110°B．115°C．120°D．130°【解答】解：∵四边形A′EFB′是四边形ABFE折叠而成，∴∠BFE=∠EFB′，∵∠B'FC=50°，∴∠EFB===65°，∵AD∥BC，∴∠AEF=180°﹣∠EFB=115°．故选：B．8．（3分）在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，那么AC边的长是（）A．6B．2C．3D．2【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，BC=4，∴sinA===，∴AB=6．∴AC==2．故选：B．9．（3分）如图，DE∥BC，分别交△ABC的边AB、AC于点D、E，=，若AE=1，则EC=（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=，∴EC=2．故选：A．10．（3分）甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留），前往终点B地，甲、乙两车之间的距离S（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲、乙两地相距210千米；②甲速度为60千米/小时；③乙速度为120千米/小时；④乙车共行驶3小时，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图可知，甲车的速度为：60÷1=60千米/时，故②正确，则A、B两地的距离是：60×=210（千米），故①正确，则乙的速度为：（60×2）÷（2﹣1）=120千米/时，故③正确，乙车行驶的时间为：2﹣1=1（小时），故④错误，故选：C．二、填空题（每小题3分，共30分）11．（3分）数字12800000用科学记数法表示为 1.28×107．【解答】解：将12800000用科学记数法表示为：1.28×107．故答案为：1.28×107．12．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≠﹣2．【解答】解：根据题意得x+2≠0，解得x≠﹣2．故答案为：x≠﹣2．13．（3分）计算：=﹣．【解答】解：原式=2﹣3=﹣．14．（3分）把多项式2m2﹣8n2分解因式的结果是2（m+2n）（m﹣2n）．【解答】解：2m2﹣8n2=2（m2﹣4n2）=2（m+2n）（m﹣2n）．故答案为：2（m+2n）（m﹣2n）．15．（3分）不等式组的解集为﹣2≤x＜．【解答】解：∵解不等式①得：x≥﹣2，解不等式②得：x＜，∴不等式组的解集为﹣2≤x＜，故答案为：﹣2≤x＜．16．（3分）分式方程=的解为x=3．【解答】解：去分母得：2x﹣2=x+1，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解，故答案为：317．（3分）若弧长为4π的扇形的圆心角为直角，则该扇形的半径为8．【解答】解：∵扇形的圆心角为90°，弧长为4π，∴l=，即4π=，则扇形的半径r=8．故答案为：8．18．（3分）已知，平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，则△AOB的面积=4．【解答】解：∵一次函数y=x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（﹣4，0），B（0，2），∴△AOB的面积=×2×4=4．故答案为：4．19．（3分）已知，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于E，交AC所在直线于P，若∠APE=54°，则∠B=72°或18°．【解答】解：分为两种情况：①如图1，∵PE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠A=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，∴∠A=∠ABP=36°，∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=72°；②如图2，∵PE是AB的垂直平分线，∴AP=BP，∴∠PAB=∠ABP，∠APE=∠BPE=54°，∴∠PAB=∠ABP=36°，∴∠BAC=144°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=（180°﹣∠A）=18°，故答案为：72°或18°．20．（3分）如图，△ABC中，CD是AB边上的高，AC=8，∠ACD=30°，tan∠ACB=，点P为CD上一动点，当BP+CP最小时，DP=2．【解答】解：如图，作PE⊥AC于E，BE′⊥AC于E′交CD于P′．∵CD⊥AB，∠ACD=30°，∠PEC=90°，AC=8，∴PE=PC，∠A=60°，∠ABE′=30°，AD=4，CD=4，∴PB+PC=PB+PE，∴当BE′⊥AC时，PB+PE=BP′+P′E′=BE′最小，∵tan∠ACB==，设BE′=5，CE′=3k，∴AE′=8﹣3k，AB=16﹣6k，BD=16﹣6k﹣4=12﹣6k，∴BC2=BD2+CD2=BE′2+CE′2，∴（12﹣6k）2+48=9k2+75k2，整理得k2+3k﹣4=0，∴k=1或﹣4（舍弃），∴CE′=3，CP′=CE′÷cos30°=2，∴DP′=CD﹣CP′=4﹣2=2．故答案为2．三、解答题（21、22小题各7分，23、24小题各8分，25、26、27小题各10分，共60分）21．（7分）先化简，再求代数式÷（1﹣）的值，其中x=2sin45°﹣tan45°．【解答】解：÷（1﹣）===，当x=2sin45°﹣tan45°=2×﹣1=，原式=．22．（7分）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，各个小正方形的顶点称之为格点，点A、C、E、F均在格点上，根据不同要求，选择格点，画出符合条件的图形：（1）在图1中，画一个以AC为一边的△ABC，使∠ABC=45°（画出一个即可）；（2）在图2中，画一个以EF为一边的△DEF，使tan∠EDF=，并直接写出线段DF的长．【解答】解：（1）如图1，△ABC为所作；（2）如图2，△DEF为所作，DF==4．23．（8分）为便于管理与场地安排，松北某中学校以小明所在班级为例，对学生参加各个体育项目进行了调查统计．并把调查的结果绘制了如图所示的不完全统计图，请你根据下列信息回答问题：（1）在这次调查中，小明所在的班级参加篮球项目的同学有多少人？并补全条形统计图．（2）如果学校有800名学生，请估计全校学生中有多少人参加篮球项目．【解答】解：（1）抽查总人数是：20÷40%=50（人），参加篮球项目的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人），即小明所在的班级参加篮球项目的同学有5人，补全条形图如下：（2）800×=80（人）．答：估计全校学生中大约有80人参加篮球项目．24．（8分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，作CO ⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE=AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC=6，求两条分割线段长度的和．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=30°，CD为△ABC的中线，∴BC=AB，CD=AB=AD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠BDC=30°+30°=60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD=OB，∴DE=BE，∵DE=AD，∴CD=BC=DE=BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN=MC=BM，∠ABM=∠A=30°，∴AM=BM，∵AC=6，∴BM+MN=AM+MC=AC=6；即两条分割线段长度的和为6．25．（10分）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用0.8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．于是，商厦又用1.76万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件预定售价都是58元．（1）求这种衬衫原进价为每件多少元？（2）经过一段时间销售，根据市场饱和情况，商厦经理决定对剩余的100件衬衫进行打折销售，以提高回款速度，要使这两批衬衫的总利润不少于6300元，最多可以打几折？【解答】解：（1）设这种衬衫原进价为每件x元=，解得：x=40．经检验：x=40是原分式方程的解．答：这种衬衫原进价为每件40元；（2）设打m折，8000÷40×3=600（件），58×（600﹣100）=29000（元），29000+58×100×≥8000+17600+6300，解得：m≥5．答：最多可以打5折．26．（10分）已知，AB、AC是圆O的两条弦，AB=AC，过圆心O作OH⊥AC于点H．（1）如图1，求证：∠B=∠C；（2）如图2，当H、O、B三点在一条直线上时，求∠BAC的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点E为劣弧BC上一点，CE=6，CH=7，连接BC、OE交于点D，求BE的长和的值．【解答】证明：（1）如图1中，连接OA．∵AB=AC，∴=，∴∠AOC=∠AOB，在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB，∴∠B=∠C．解：（2）连接BC，∵OH⊥AC，∴AH=CH，∵H、O、B在一条直线上，∴BH垂直平分AC，∴AB=BC，∵AB=AC，∴AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°．解：（3）过点B作BM⊥CE延长线于M，过E、O作EN⊥BC于N，OK⊥BC于K．∵CH=7，∴BC=AC=14，设ME=x，∵∠CEB=120°，∴∠BEM=60°，∴BE=2x，∴BM=x，△BCM中，∵BC2=BM2+CM2，∴142=（x）2+（6+x）2，∴x=5或﹣8（舍弃），∴BM=5，∴sin∠BCM==，∴NE=，∴OK=CK=，∵NE∥OK，∴DE：OD=NE：OK=45：49．27．（10分）如图，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于点A、B（A左B右），交y =6，点P为第一象限内抛物线上的一点．轴于点C，S△ABC（1）求抛物线的解析式；（2）若∠PCB=45°，求点P的坐标；（3）点Q为第四象限内抛物线上一点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，连接PC、AQ，当PC=AQ时，求点P的坐标以及△PCQ的面积．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x+1）（x﹣3），∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AB=4，OC=|﹣3a|=|3a|，=6，∵S△ABC∴AB•OC=6，∴×4×|3a|=6，∴a=﹣1或a=1（舍），∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3a），∴C（0，3），∴OB=3，OC=3，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=∠OBC=45°，∵点P为第一象限内抛物线上的一点，且∠PCB=45°，∴PC∥OB，∴P点的纵坐标为3，由（1）知，抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，令y=3，∴﹣x2+2x+3=3，∴x=0（舍）或x=2，∴P（2，3）；（3）如图2，过点P作PD⊥x轴交CQ于D，设P（3﹣m，﹣m2+4m）（0＜m＜1）；∵C（0，3），∴PC2=（3﹣m）2+（﹣m2+4m﹣3）2=（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]，∵点Q的横坐标比点P的横坐标大1，∴Q（4﹣m，﹣m2+6m﹣5），∵A（﹣1，0）．∴AQ2=（4﹣m+1）2+（﹣m2+6m﹣5）2=（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]∵PC=AQ，∴81PC2=25AQ2，∴81（m﹣3）2[（m﹣1）2+1]=25（m﹣5）2[（m﹣1）2+1]，∵0＜m＜1，∴[（m﹣1）2+1]≠0，∴81（m﹣3）2=25（m﹣5）2，∴9（m﹣3）=±5（m﹣5），∴m=或m=（舍），∴P（，），Q（，﹣），∵C（0，3），∴直线CQ的解析式为y=﹣x+3，∵P（，），∴D（，﹣），∴PD=+=，∴S=S△PCD+S△PQD=PD×x P+PD×（x Q﹣x P）=PD×x Q=××=．△PCQ28．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点、是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A （﹣1，0），B（5，0）两点，∴解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|﹣m+15|①若﹣m2+m+2=﹣m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（﹣m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM∽△CDO，∴==，即=，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P坐标为（0，5）或（﹣，）或（4，5）或（3﹣，2﹣3）．。