量子力学练习题

第 五 篇第 一 章 波粒二象性 玻尔理论一、选择题1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤λ (B) 0eU hc≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0=λhc=eU 0，即00eU hc =λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0eU hc≤λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0为[ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0解： λεhc=，00λεhc=，02.1λλ= ，所以2.100==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选[ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。

这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到：141934)(01086.101063.6106.15.4⨯=⨯⨯⨯=--钨ν(Hz)141934)(01007.121063.6106.10.5⨯=⨯⨯⨯=--钯ν(Hz) 141934) (01059.41063.6106.19.1⨯=⨯⨯⨯=--铯ν(Hz) 141934)(01041.91063.6106.19.3⨯=⨯⨯⨯=--铍ν(Hz)可见应选铯4. 以一定频率的单色光照射在某种金属上，测出其光电流曲线在图中用实线表示。

然后保持光的频率不变，增大照射光的强度，测出其光电流曲线在图中用虚线表示，满足题意的图是 [ B ]解：光的强度I=Nhv , 其中N 为单位时间内通过垂直于光线的单位面积的光子数。

保持频率v 不变，增大光强I ，则光子数N 增加，光电子数也随之增加，电流i 也增加，截止电压与频率有关，因之不变。

所以选B5. 氢原子从能量为 -0.85eV 的状态跃迁到激发能(从基态到激发态所需的能量)为10.19eV 的状态时，所发射的光子的能量为[ A ] (A) 2.56eV (B) 3.41eV (C) 4.25eV (D) 9.95eV解：激发态的能量 (eV)41.319.1036.11-=+-=∆+=E E E n发射出的光子能量为(e V)56.2)85.0(41.3=---=-=E E n ε6. 假定氢原子原来是静止的，则氢原子从n =3的激发态直接通过辐射跃迁到基态的反冲速度大约为[ C ] (A) 10m ⋅s -1 (B) 100 m ⋅s -1 (C) 4 m ⋅s -1 (D) 400 m ⋅s -1(氢原子的质量m =1.67× 10-27kg)解：从 n = 3 到n = 1辐射光子的能量为13E E h -=ν,动量大小为ch hp νλ==光， 氢原子辐射光子前后动量守恒，有 氢光p p -=0, 光氢p p =，所以，反冲速度为 41031067.11316.13 8272=⨯⨯⨯-⨯-===-）（氢氢氢m c h m p v ν(m ⋅s 1-) 7. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A) v ∝λ (B) v 1∝λ (C) 2211cv -∝λ (D) 22v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 22011c v m mv hp -===λ得22011c v m h -=λ，即2211c v -∝λ(A)(B)(C)(D)8. 不确定关系式 ≥∆⋅∆x p x 表示在x 方向上[ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定(C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定9. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2D 倍。

(B) 增大2D 倍。

(C) 增大D 倍。

(D) 不变。

10. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：)(23cos1)(a x a a x ax ≤≤-=πψ那么粒子在65ax =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A)a 1(B) a21(C) a 1(D) 解：概率密度 )23(cos 1)(22axa x πψ=将65a x =代入上式，得 aa a a x 21)6523(cos 1)(22=⋅=πψ11. 波长 λ = 5000 Å的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量∆λ=103-Å，则利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆可得光子的x 坐标的不确定量至少为：[ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p =λh知： △322105000-⨯-=∆-=h hp λλ 利用不确定关系h p x x ≥∆⋅∆，可得光子的x 坐标满足91025⨯=∆≥∆xp hx Å=250cm 二、填空题1. 当波长为300nm (1nm =10-9m) 的光照射在某金属表面时， 光电子的动能范围为0 ~ 4.0×10-19J 。

此金属的遏止电压为|U a | = 2.5 V, 红限频率为0ν = 4.0×1014 Hz 。

(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e =1.6×10-19C)解：遏止电压为 |U a |=5.2106.1100.41919k =⨯⨯=--e E m (V) 由光电效应方程 m E h h k 0+=νν, 得红限频率14341998k k 0100.41063.610410300103⨯=⨯⨯-⨯⨯=-=-=---h E c h E hv m m λν(Hz) 2. 某光电管阴极对于λ = 4910 Å的入射光, 发射光电子的遏止电压为0.71伏。

当入射光的波长为 3.82×103 Å时, 其遏止电压变为1.43伏。

( e = 1.60×10-19C, h = 6.63×10-34J·s)3. 康普顿散射中, 当出射光子与入射光子方向成夹角θ = π 时, 光子的频率减少得最多；当θ = 0 时, 光子的频率保持不变。

4. 氢原子的部分能级跃迁示意如图。

在这些能级跃迁中,(1) 从 n = 4 的能级跃迁到 n = 1 的能级时发射的光子的波长最短; (2) 从 n = 4 的能级跃迁到 n = 3 的能级时所发射的光子的频率最小。

5. 氢原子从能级为 -0.85eV 的状态跃迁到能级为 -3.4eV的状态时, 所发射的光子能量是 2.55 eV, 它是电子从n = 4 的能级到 n = 2 的能级的跃迁。

6. 处于基态的氢原子吸收了13.06eV 的能量后, 可激发到n = 5 的能级。

当它跃迁回到基态时, 可能辐射的光谱线有 10 条。

7. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。

解：由p =λh知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ；由非相对论动能公式m p E 22k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==pm mE E α8. 在B = 1.25×102-T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗意波长是 0.1 Å 。

(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10-19C)n =2 n =3 n =4 n =5 n=12=1=n 4=3=解：由牛顿第二定律=evB 2Rm v 2得eBR mv p 2==，又由λh p =得1.0(m)10998.01066.11025.1106.121063.6211221934≈⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===-----eBR h p h λÅ 9. 若令cm he c =λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普朗克常量)。

当电子的动能等于它的静止能量时，它的德布罗意波长是λ= 31λc 。

解：由题意,202k c m mc E -= 所以220222c m c m mc E e ===又λh c m E E c p E c p E e ==-=∴+=31,20220222所以有c e c m h p h λλ313===。

10. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1nm (1nm =10-9m), 电子束垂直射在单缝上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量=∆y p s N 1006.124⋅⨯-（或s N 1063.624⋅⨯-）。

(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s)解：根据a y p y y =∆≥∆⋅∆, ，得 249341006.1101.01006.1---⨯=⨯⨯=≥∆a p y (N ⋅s)若用公式h p y y ≥∆⋅∆，则可得 241063.6-⨯=≥∆ahp y (N ⋅s)11. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是概率波，波函数不表示某实在物理量在空间的波动，其振幅无实在的物理意义。

三、计算题 1.图中所示为在一次光电效应实验中得出的曲线 (1) 求证：对不同材料的金属，AB 线的斜率相同．(2) 由图上数据求出普朗克恒量h ． (基本电荷e =1.60×10-19C)解：(1) 由 A h U e a -=ν 得 e A e h U a //-=ν3分e h U a /d /d =ν (恒量)由此可知，对不同金属，曲线的斜率相同． 3分|14 Hz)(2) h = e tg θ 1410)0.50.10(00.2⨯--=e2分=6.4×10-34 J ·s 2分2. 设康普顿效应中入射X 射线(伦琴射线)的波长λ =0.700 Å，散射的X 射线与入射的X 射线垂直，求：(1) 反冲电子的动能E K ． (2) 反冲电子运动的方向与入射的X 射线之间的夹角θ．(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，电子静止质量m e =9.11×10-31 kg)解：令p 、ν和p '、ν'分别为入射与散射光子的动量和频率，v m 为反冲电子的动量(如图)．因散射线与入射线垂直，散射角φ =π / 2，因此可求得散射X 射线的波长 )A ( 0.724 )c o s 1( =-+='ϕλλc m he 2分 (1) 根据能量守恒定律22mc h h c m e +'=+νν且 22c m mc E e K -= 得 )/()(λλλλνν'-'='-=hc h h E K = 9.42×10-17 J 4分(2) 根据动量守恒定律 vm p p +'=则 2222)/()/(λλ''+='+=h h p p m v 22)/()/(/cos λλλθ'+==h h h m p v 2)/(11λλ'+=='+=-21)/(11cos λλθ44.0° 4分3. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为4340 Å，试求： (1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特？ (2) 该谱线是氢原子由能级E n 跃迁到能级E k 产生的，n 和k 各为多少？ (3) 最高能级为E 5的大量氢原子，最多可以发射几个线系，共几条谱线？ 请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线． 解：(1) ==λν/hc h 2.86 eV ． 2分(2) 由于此谱线是巴耳末线系，其 k =22分 4.32/21-==E E K eV (E 1 =－13.6 eV) νh E n E E K n +==21/51=+=νh E E n K ． 4分(3) 可发射四个线系，共有10条谱线． 2分 见图 1分 波长最短的是由n =5跃迁到n =1的谱线． 1分p '4. α粒子在磁感应强度为B = 0.025 T 的均匀磁场中沿半径为R =0.83 cm 的圆形轨道运动． (1) 试计算其德布罗意波长．(2) 若使质量m = 0.1 g 的小球以与α粒子相同的速率运动．则其波长为多少？(α粒子的质量m α =6.64×10-27 kg ，普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ，基本电荷e =1.60×10-19 C)解：(1) 德布罗意公式：)/(v m h =λ由题可知α 粒子受磁场力作用作圆周运动R m B q /2v v α=，qRB m =v α又 e q 2= 则 eRB m 2=v α 4分故nm 1000.1m 1000.1)2/(211--⨯=⨯==eRB h αλ 3分(2) 由上一问可得 αm eRB /2=v 对于质量为m 的小球αααλλ⋅=⋅==mm m m eRB hm h 2v =6.64×10-34 m 3分5. 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系。