2022年新高考数学一轮复习练习：专练43 圆的方程(含解析)

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2022高考数学一轮复习课时规范练43 圆的方程(文,含解析)新人教A版-2022高考数学一轮

课时规范练43 圆的方程基础巩固组1.已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( )A.(-1,1)B.(1,-1)C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2020山东滨州期末)已知圆的方程为x 2+y 2-6x=0,过点P (1,2)的该圆的所有弦中,最短弦的长为( ) A.12B.1C.2D.43.(2020河北五个一名校联盟一诊)已知点P 为圆C :(x-1)2+(y-2)2=4上一点,A (0,-6),B (4,0),则|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4 C.2√26+4D.2√26+24.圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0)和B (1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√55.如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( ) A.[√2,2] B.[√2,2√2] C.[1,√2]D.[1,2√2]6.(2020广东广州期中)圆x 2+y 2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为√22的点的个数为( ) A.1B.2C.3D.47.(2020北京,5)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( ) A.4B.5C.6D.78.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2图象上的任意一点,点Q 坐标为(2a ,a-3)(a ∈R ),则|PQ|的最小值为 .9.已知等腰三角形ABC ,其中顶点A 的坐标为(0,0),底边的一个端点B 的坐标为(1,1),则另一个端点C 的轨迹方程为 .10.已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x+5=0相交于不同的两点A ,B. (1)求圆C 1的圆心坐标;(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程.综合提升组11.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.-12,12C.[-√2,√2]D.-√22,√2212.(2020福建厦门一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 13.(2020山东聊城期中)已知曲线方程为x 2+y 2-2x-4y+m=0. (1)若此曲线是圆,求m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M ,N 两点,且OM ⊥ON (O 是坐标原点),求m 的值.创新应用组14.(2020安徽安庆三环高中月考)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.15.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1 a+1+1b的最小值为.参考答案课时规范练43圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-k2,-1),半径为r=√4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.C由x2+y2-6x=0,得(x-3)2+y2=9,所以圆心坐标为(3,0),半径为3.如图所示,当过点P(1,2)的直线与连接P与圆心的直线垂直时,弦AB最短,则最短弦长为2√32-[(3-1)2+(0-2)2]=2.3.C 取AB 的中点D (2,-3),则PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为圆心C (1,2)与D (2,-3)的距离d 再加半径r ,又因为d=√1+25=√26, 所以d+r=√26+2.所以|2PD⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为2√26+4.即|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√26+2.故选C. 4.A 由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M 的坐标为(-1,1).又A (-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5, 则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A .5.B (x-a )2+(y-a )2=1(a>0),圆心为(a ,a ),半径为1,圆心到原点的距离为√2a ,如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在一点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d ∈[2,4],即2≤√2a ≤4⇒√2≤a ≤2√2,故选B .6.D 圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=8,表示以C (1,-2)为圆心,以2√2为半径的圆. 圆心到直线x+y+3=0的距离为d=|1-2+3|√2=2√2=√2,故圆x 2+y 2-2x+4y-3=0上到直线x+y+3=0的距离为√22的点共有4个. 7.A 设圆心C (x ,y ),则√(x -3)2+(y -4)2=1,化简得(x-3)2+(y-4)2=1, 所以圆心C 的轨迹是以M (3,4)为圆心,以1为半径的圆,所以|OC|+1≥|OM|,又|OM|=√32+42=5,所以|OC|≥4, 当且仅当C 在线段OM 上时,等号成立.故选A.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2a ,y =a -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=|1-2×0-6|√12+(-2)2=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1). 所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.解(1)由x 2+y 2-6x+5=0,得(x-3)2+y 2=4,所以圆C 1的圆心坐标为(3,0). (2)设点M (x ,y ),因为点M 为线段AB 的中点,所以C 1M ⊥AB , 所以k C 1M ·k AB =-1,当x ≠3时,可得y x -3·y x=-1,整理得(x -32)2+y 2=94,又当直线l 与x 轴重合时,M 点坐标为(3,0),代入上式成立.设直线l 的方程为y=kx ,与x 2+y 2-6x+5=0联立,消去y ,得(1+k 2)x 2-6x+5=0.令其判别式Δ=(-6)2-4(1+k 2)×5=0,得k 2=45,此时方程为95x 2-6x+5=0,解得x=53,因此53<x ≤3.所以线段AB的中点M 的轨迹C 的方程为(x -32)2+y 2=9453<x ≤3.11.A 如图所示,设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ,则点P 在圆O 上, 且MP 与圆O 相切,而点M 在直线y=1上运动,圆上存在点N 使∠OMN=45°, 则∠OMN ≤∠OMP=∠OMA , ∴∠OMA ≥45°,∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM=45°时,x 0=±1.∴结合图象知,当∠AOM ≤45°时,-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1].故选A . 12.5-2√7如图,以A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则点A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设点P (x ,y ),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.则(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7. 13.解(1)曲线方程为x 2+y 2-2x-4y+m=0.整理,得(x-1)2+(y-2)2=5-m , 因为此曲线是圆,所以5-m>0, 解得m<5.即m 的取值范围是(-∞,5).(2)设直线x+2y-4=0与圆:x 2+y 2-2x-4y+m=0的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 则{x +2y -4=0,x 2+y 2-2x -4y +m =0,整理,得5y 2-16y+8+m=0, Δ=162-20(8+m )>0,得m<245. 则y 1+y 2=165,y 1y 2=8+m 5,由OM ⊥ON (O 为坐标原点),得x 1x 2+y 1y 2=0, 又因为x 1=4-2y 1,x 2=4-2y 2,所以(4-2y 1)(4-2y 2)+y 1y 2=5y 1y 2-8(y 1+y 2)+16=0, 将y 1+y 2=165,y 1y 2=8+m 5代入上式,可得m=85,符合Δ>0,故m 的值为85.14.125根据题意,设P 的坐标为(m ,n ),圆(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为N ,则N (3,4),PQ 为圆(x-3)2+(y-4)2=1的切线,则有|PN|2=|PQ|2+|NQ|2=|PQ|2+1,又由|PQ|=|PO|,可得|PN|2=|PO|2+1,即(m-3)2+(n-4)2=m 2+n 2+1,整理,得6m+8n=24,即P 在直线6x+8y=24上,则|PQ|的最小值即为点O 到直线6x+8y=24的距离,且d=|6×0+8×0-24|√62+82=125,即|PQ|的最小值是125.15.1 曲线C 可整理为(x-2)2+y 2=25,则曲线C 表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a ,设d=√(x +6)2+(y -6)2,则d 表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max =√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max =152-222-a=b ,整理得a+1+b=4,∴1a+1+1b =141a+1+1b(a+1+b )=14×1+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b≥2√ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1b ≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

2022版新教材高考数学一轮复习课时规范练40 圆的方程(含解析)新人教A版

课时规范练40 圆的方程基础巩固组1.圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0),B (1,0)的圆的方程为( ) A.(x+1)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y+1)2=√5 C.(x-1)2+(y+1)2=5 D.(x+1)2+(y-1)2=√52.方程|x|-1=√1-(y -1)2所表示的曲线是( ) A.一个圆 B.两个圆 C.半个圆D.两个半圆3.已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,那么四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2 C.6√2D.4√24.已知P 为圆C :(x-1)2+(y-2)2=4上的一点,点A (0,-6),B (4,0),那么|PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A.√26+2 B.√26+4 C.2√26+4D.2√26+25.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A (8,0),以OA 为直径的圆与直线y=2x 在第一象限的交点为B ,那么直线AB 的方程为( ) A.x+2y-8=0 B.x-2y-8=0 C.2x+y-16=0 D.2x-y-16=06.(多项选择)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0),且被x 轴分成两段,弧长比为1∶2,那么圆C 的方程可能为( ) A.x 2+(y +√33)2=43B.x 2+(y -√33)2=43C.(x-√3)2+y 2=43D.(x+√3)2+y 2=437.(多项选择)已知点A (-1,0),B (0,2),P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,假设△PAB 面积的最大值为a ,最小值为b ,那么 ( )A.a=2B.a=2+√52 C.b=2-√52D.b=√52-18.在平面直角坐标系xOy 内,假设曲线C :x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0上所有的点均在第四象限内,那么实数a 的取值范围为 .9.(2020福建厦门一模)在△ABC 中,AB=4,AC=2,A=π3,动点P 在以点A 为圆心,半径为1的圆上,那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 . 综合提升组10.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2的图象上的任意一点,点Q (2a ,a-3)(a ∈R ),那么|PQ|的最小值为( )A.8√55-2 B.√5C.√5-2D.7√55-211.点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,假设a,b均为正实数,那么1a+1+1b的最小值为.12.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)假设圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组13.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径且过点C的圆?假设存在,求出该圆的方程;假设不存在,请说明理由.(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.参考答案课时规范练40 圆的方程1.A 由题意可知圆心在直线x=-1上.又圆心在直线x+y=0上,所以圆心的坐标为(-1,1).所以半径r=√(-1+3)2+(1-0)2=√5.所以圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.应选A . 2.D 由题意得{(|x |-1)2+(y -1)2=1,|x |-1≥0,即{(x -1)2+(y -1)2=1,x ≥1或{(x +1)2+(y -1)2=1,x ≤-1.故原方程表示两个半圆. 3.A 圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆的圆心坐标为(3,4),半径为3,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意,知最长弦AC 为圆的直径,最短弦BD 与最长弦AC 垂直,故|BD|=2√32-12=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD 的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2.应选A .4.C 取AB 的中点D (2,-3),那么PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 由已知得C (1,2),半径r=2,所以|CD|=√(1-2)2+(2+3)2=√26.又P 为圆C 上的点,所以|PD|max =|CD|+r=√26+2,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |max =2√26+4.应选C . 5.A如下列图,由题意知OB ⊥AB ,因为直线OB 的方程为y=2x ,所以直线AB 的斜率为-12,所以直线AB 的方程为y-0=-12(x-8),即x+2y-8=0.应选A .6.AB 由已知得圆C 的圆心在y 轴上,且被x 轴所分得的劣弧所对的圆心角为2π3,设圆心的坐标为(0,a ),半径为r ,那么r sin π3=1,r cos π3=|a|,解得r=2√33,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33.故圆C 的方程为x 2+(y +√33)2=43或x 2+(y -√33)2=43.7.BC 由题意知|AB|=√(-1)2+(-2)2=√5,直线l AB 的方程为2x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,所以圆心到直线l AB 的距离d=|2-0+2|√4+1=4√55.因为P 是圆(x-1)2+y 2=1上任意一点,所以点P 到直线l AB 的距离的最大值为4√55+1,最小值为4√55-1.所以△PAB 面积的最大值为12×√5×(4√55+1)=2+√52,最小值为12×√5×(4√55-1)=2-√52.故a=2+√52,b=2-√52.8.(-∞,-2) 由x 2+y 2+2ax-4ay+5a 2-4=0,得(x+a )2+(y-2a )2=4,所以曲线C 为圆,圆心坐标为(-a ,2a ),半径r=2.由题意知{a <0,|-a |>2,|2a |>2,解得a<-2.故实数a 的取值范围为(-∞,-2).9.5-2√7如下列图,以A 为原点,AB 边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,那么点A (0,0),B (4,0),C (1,√3).设点P (x ,y ),那么PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x ,-y ),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x ,√3-y ),所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4-x )(1-x )-y (√3-y )=x 2-5x+y 2-√3y+4=(x -52)2+(y -√32)2-3.那么(x -52)2+(y -√32)2表示圆A 上的点P 与点M (52,√32)之间的距离|PM|的平方,由几何图形可得|PM|min =|AM|-1=√(52)2+(√32)2-1=√7-1,所以PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为(√7-1)2-3=5-2√7.10.C 由题意可知点P 在半圆C :(x-1)2+y 2=4(y ≤0)上,圆心C (1,0),半径r=2,设点Q 的坐标为(x ,y ),那么{x =2a ,y =a -3,消去a 得x-2y-6=0,即点Q 在直线l :x-2y-6=0上.如下列图,过圆心C 作直线l 的垂线,垂足为A ,那么|CA|=√5.故|PQ|min =|CA|-r=√5-2.应选C .11.1 由x 2-4x+y 2-21=0,得(x-2)2+y 2=25,那么曲线C 表示圆心为(2,0),半径为5的圆.t=x 2+y 2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a.设d=√(x +6)2+(y -6)2,那么d 表示圆C 上的点到点(-6,6)的距离,那么d max =√(2+6)2+(0-6)2+5=15,故t max =152-222-a=b ,整理得a+1+b=4,所以1a+1+1b =141a+1+1b (a+1+b )=14×1+ba+1+a+1b+1≥14×(2+2)=1,当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时等号成立.所以1a+1+1b 的最小值为1.12.解(1)将圆C 的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为0时,设切线方程为y=kx. 由|k+2|√1+k 2=√2,得k=2±√6.故切线方程为y=(2+√6)x ,y=(2-√6)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为0时,设切线方程为x+y-a=0(a ≠0),由|-1+2-a |√2=√2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.故切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,所求切线方程为y=(2+√6)x 或y=(2-√6)x 或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,且|PM|2=|PC|2-|CM|2得x 12+y 12=(x 1+1)2+(y 1-2)2-2,整理得2x 1-4y 1+3=0,即点P在直线l :2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO ⊥l. 故直线PO 的方程为2x+y=0.解方程组{2x +y =0,2x -4y +3=0,得点P 的坐标为(-310,35).13.解令y=0,得x 2-mx+2m=0.设点A (x 1,0),B (x 2,0),那么Δ=m 2-8m>0,即m<0或m>8,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,故点C (0,2m ).(1)假设存在以AB 为直径且过点C 的圆,那么AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0,解得m=0或m=-12.因为m<0或m>8,所以m=-12,此时点C (0,-1),所求圆的圆心为线段AB 的中点M (-14,0),半径r=|CM|=√174,故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716.(2)证明:设过A ,B 两点的圆的方程为x 2+y 2-mx+Ey+2m=0,将点C (0,2m )的坐标代入,可得E=-1-2m ,所以过A ,B ,C 三点的圆的方程为x 2+y 2-mx-(1+2m )y+2m=0, 整理得x 2+y 2-y-m (x+2y-2)=0.令{x 2+y 2-y =0,x +2y -2=0,解得{x =0,y =1或{x =25,y =45.故过A ,B ,C 三点的圆过定点(0,1)和(25,45).。

2022届高考数学统考一轮复习第九章圆的方程学案文含解析新人教版

高考数学统考一轮复习：第三节圆的方程【知识重温】一、必记3个知识点1．圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，方程表示圆心为①________，半径为②________的圆．2．圆的一般方程对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2＋E2－4F＞0时，表示圆心为③____________，半径为④____________________的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示一个点⑤____________；(3)当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径r，若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝⑥________；若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑦________；若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2⑧________.二、必明1个易误点对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一成立条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．()二、教材改编2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝43．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则其外接圆的方程为________________．三、易错易混4．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是()A．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B．(－∞，－22)∪(22，＋∞)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－23)∪(23，＋∞)5．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( ) A ．－1<a <1 B ．0<a <1 C ．a >1或a <－1 D ．a ＝±4 四、走进高考 6．[2016·全国卷Ⅰ]圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2考点一求圆的方程[自主练透型]1．[2021·石家庄质检]若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝12．若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 3．[2021·广东珠海联考]已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 悟·技法1.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上． (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质. 考点二与圆有关的最值问题[互动讲练型] 考向一：借助圆的几何性质求最值[例1] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则yx的最大值为________，最小值为________．悟·技法与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关的代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.考向二：建立函数关系求最值[例2] (1)若点P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，点A (－1,0)，B (1,0)为两个定点，则|P A |＋|PB |的最大值为( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 (2)[2021·山东潍坊模拟]设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2,0)，B (－2,0)，则P A →·P B →的最大值为________．类题通法建立函数关系式求最值根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值.[变式练]——(着眼于举一反三)1．已知两点A (0，－3)，B (4,0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为( )A ．6 B.112C ．8 D.2122．已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y －1)2＝1，则z ＝y ＋1x的最大值与最小值分别为________和________．考点三与圆有关的轨迹问题[互动讲练型][例3] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．第三节圆的方程【知识重温】①(a ，b ) ②r ③⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2 ④12D 2＋E 2－4F ⑤⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2 ⑥r 2 ⑦＞r 2 ⑧＜r 2 【小题热身】1．答案：(1)√ (2)× (3)×2．解析：显然A ，B 两点关于直线y ＝x 对称，令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以圆心坐标是(1,1)，半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 答案：C3．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧－D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 4．解析：将x 2＋y 2＋mx －2y ＋3＝0化为圆的标准方程得⎝⎛⎭⎫x ＋m 22＋(y －1)2＝m24－2.由其表示圆可得m 24－2>0，解得m <－22或m >2 2.答案：B5．解析：因为点(1,1)在圆内，所以(1－a )2＋(1＋a )2<4，即－1<a <1，故选A. 答案：A6．解析：由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43，故选A. 答案：A课堂考点突破考点一1．解析：因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.答案：A2．解析：因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x ＝2上，又圆与y 轴相切，所以半径r ＝2，设圆心坐标为(2，b )，则(2－1)2＋b 2＝4，b 2＝3，b ＝±3，选D.答案：D3．解析：由题意设圆心坐标为(a ，－a )，则有|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.答案：B 考点二例1 解析：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.答案：3 － 3例2 解析：(1)由已知可得线段AB 是圆x 2＋y 2＝1的直径，且|AB |＝2，∴∠APB ＝90°. ∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝4，由基本不等式可得⎝⎛⎭⎫|P A |＋|PB |22≤|P A |2＋|PB |22＝2，当且仅当|P A |＝|PB |时取等号，∴|P A |＋|PB |≤2 2.即|P A |＋|PB |的最大值是2 2.(2)由题意知P A →＝(2－x ，－y )，P B →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·P B →＝x 2＋y 2－4.由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·P B →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12. 由圆的方程x 2＋(y －3)2＝1知2≤y ≤4，所以当y ＝4时，P A →·P B →的值最大，最大值为12. 答案：(1)B (2)12 变式练 1．解析：x 2＋y 2－2y ＝0可化为x 2＋(y －1)2＝1，则圆C 为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．如图，过圆心C 向直线AB 作垂线交圆于点P ，连接BP ，AP ，这时△ABP 的面积最小，直线AB 的方程为x 4＋y －3＝1，即3x －4y －12＝0，圆心C 到直线AB 的距离d ＝165，又|AB |＝32＋42＝5，所以△ABP 的面积的最小值为12×5×⎝⎛⎭⎫165－1＝112. 答案：B2．解析：由题意，得y ＋1x表示过点A (0，－1)和圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上的动点(x ，y )的直线的斜率．当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值．设切线方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则|2k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝4±73，所以z max ＝4＋73，z min ＝4－73.答案：4＋73 4－73考点三例3 解析：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON (图略)，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 变式练3．解析：(1)设顶点C (x ，y )，因为AC ⊥BC ，且A ，B ，C 三点不共线，所以x ≠3且x ≠－1.又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，且k AC ·k BC ＝－1，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(x ≠3且x ≠－1)．(2)设点M (x ，y )，点C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32(x ≠3且x ≠1)，y ＝y 0＋02，于是有x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝4(x ≠3且x ≠－1)上运动，将x 0，y 0代入该方程得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(x ≠3且x ≠1)．悟·技法[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．。

2022版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.3圆的方程练习苏教版

9.3 圆的方程考点一求圆的方程1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.(2022·长沙模拟)三点A(1,0),B(0,),C(2,),那么△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )A. B. C. D.3.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为( )A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=54.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是 ( )A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=45.圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,那么圆C的方程为________.【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,那么圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==.3.选A.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d==2.故所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为=,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),那么有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0. ③设x1,x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0求圆的方程的两种方法(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的根本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:①假设条件与圆心(a,b)和半径r有关,那么设圆的标准方程,依据条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.②假设条件没有明确给出圆心或半径,那么选择圆的一般方程,依据条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.【秒杀绝招】第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以x M ′=2cos 60°=1,y M ′=2sin 60°=.考点二与圆有关的轨迹问题【典例】1.(2022·贵阳模拟)圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,那么这些弦的中点P的轨迹方程为________.2.直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程.(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【解题导思】序号联想解题1 看到中点想到中点坐标公式看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者2向量的数量积为0【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.方法二:由得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,又k AC=,k BC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y ≠0).求与圆有关的轨迹问题的方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与点的关系,代入点满足的关系式等.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为邻边作平行四边形MONP,求点P的轨迹.【解析】如下图,设P(x,y),N(x0,y0),那么线段OP的中点坐标为,线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分,故=,=.从而又N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点和(点P在直线OM 上时的情况).考点三与圆有关的最值问题命题精解读考什么:(1)圆的几何性质;(2)根本不等式;(3)函数的单调性. 怎么考:以选择题或填空题的形式考查新趋势:(1)借助几何性质求解.(2)建立函数关系求解.学霸好方法方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件:A=C≠0,B=0,且D2+E2-4AF>0.1.解决与圆上点(x,y)有关的最值问题:转化为与圆心有关的最值问题.2.过x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程:x0x+y0y=r2.利用几何法求最值【典例】1.(2022·南宁模拟)在平面直角坐标系xOy中,(x1-2)2+=5,x2-2y2+4=0,那么(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( )A. B. C. D.【解析】选B.由得点(x1,y1)在圆(x-2)2+y2=5上,点(x2,y2)在直线x-2y+4=0上,故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方,而距离的最小值为-=,故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为.2.(2022·聊城模拟)M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,(1)求m+2n的最大值.(2)求的最大值和最小值.【解析】(1)因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C(2,7),半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解上式得:16-2≤t≤16+2,所以,所求的最大值为16+2.(2)记点Q(-2,3).因为表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,那么=k.由直线MQ与圆C有公共点,所以≤2.可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.用代数法求最值【典例】1.假设点P为圆x2+y2=1上的一个动点,点A(-1,0),B(1,0)为两个定点,那么|PA|+|PB|的最大值为( )A.2B.2C.4D.4【解析】选B.由得,线段AB为圆的直径.所以|PA|2+|PB|2=4,由根本不等式得≤=2,当且仅当|PA|=|PB|时取等号,所以|PA|+|PB|≤2.2.圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程.(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.【解析】(1)设圆心C(a,b),由得M(-2,-2),那么解得那么圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x,y),那么x2+y2=2,·=(x-1,y-1)·(x+2,y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos θ,y=sin θ,所以·=x+y-2=(sin θ+cos θ)-2=2sin-2,又=-1,所以·的最小值为-4.1.(2022·厦门模拟)两点A(0,-3),B(4,0),假设点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,那么△ABP 的面积的最小值为( )A.6B.C.8D.【解析】选B.x2+y2-2y=0可化为x2+(y-1)2=1,那么圆C为以(0,1)为圆心,1为半径的圆.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,连接BP,AP,这时△ABP的面积最小,直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离d=,又|AB|==5,所以△ABP的面积的最小值为×5×=.2.点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,那么的最大值与最小值分别为________.【解析】设=k,那么k表示点P(x,y)与点A(2,1)连线的斜率.当直线PA与圆相切时,k取得最大值与最小值.设过(2,1)的直线方程为y-1=k(x-2),即kx-y+1-2k=0.由=1,解得k=±.答案:,-1.点P(t,t),t∈R,点M是圆x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆(x-2)2+y2=上的动点,那么|PN|-|PM|的最大值是 ( )A.-1B.2C.3D.【解析】选B.易知圆x2+(y-1)2=的圆心为A(0,1),圆(x-2)2+y2=的圆心为B(2,0),P(t,t)在直线y=x上,A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0),那么|PN|-|PM|≤-=|PB|-|PA|+1=|PB|-|PA′|+1≤|A′B|+1=2.(此时|PN|最大,|PM|最小)2.设点P(x,y)是圆:x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0),那么·的最大值为________.【解析】由题意,知=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以,当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.答案:123.设点P是函数y=-图象上的任意一点,点Q坐标为(2a,a-3)(a∈R),那么|PQ|的最小值为________.【解析】函数y=-的图象表示圆(x-1)2+y2=4在x轴及下方的局部,令点Q的坐标为(x,y),那么得y=-3,即x-2y-6=0,作出图象如下图,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d==>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y2=4相离,因此|PQ|的最小值是-2.答案:-2。

2022届高考文科数学一轮复习：圆的方程练习题

圆的方程一、基础练习1、以椭圆1692x ＋1442y ＝1的右焦点为圆心，且与双曲线92x －162y ＝1的渐近线相切的圆的方程是_____________。

2、长为2的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上滑动，则线段AB 中点的轨迹是（） A ：圆 B ：椭圆 C ：双曲线 D ：抛物线3、在平面直角坐标系x O y 中，以点(1，0)为圆心且与直线m x －y －2m －1＝0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为___________。

4、已知直线x －2＋λ＝0与圆2x ＋2y ＋2－4＝0相切，则实数λ的值是（）A ：0B ：10C ：0或5D ：0或105、从原点向圆2x ＋2y －8y ＋12＝0引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是（） A ：3πB ：32πC ：D ：π6、在圆(x －3)2＋(y －5)2＝2的切线中，满足在两坐标轴上截距相等的直线共有（） A ：2条 B ：3条 C ：4条 D ：5条7、过定点(1，2)可以作两条与圆2x ＋2y ＋k x ＋2y ＋2k －15＝0相切，则k 的取值范围是___________。

A ：k ＞2B ：－3＜k ＜2C ：k ＜－3或k ＞2D ：以上答案都不对8、若圆上恰好存在两个点P 、Q ，他们到直线：3＋4－12＝0的距离为1，则称该圆为“完美型圆”，下列圆是是“完美型”圆的是（）A ：＋2y ＝1B ：2x ＋2y ＝16C ：(x －4)2＋(－4)2＝4D ：(x －4)2＋(－4)2＝169、已知圆＋＋2－4y ＋1＝0关于直线2a x －b y ＋2＝0（a ＞0，b ＞0）对称，则a 4＋的最小值是（）A ：4B ：6C ：8D ：910、若直线x －y ＋m ＝0将圆C ：2x ＋2y －2x －1＝0分成两总分的圆弧之比是1：2，则m ＝（） A ：0 B ：－2 C ：0或－2 D ：111、若A 、B 、C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，O 是圆心，且OA ·OB ＝0，存在实数λ、μ使得OCy x y 34πl x y 2x y y 2x 2y x b1＝λOA ＋μOB ，则实数λ、μ满足的关系是（） A ：2λ＋2μ＝1 B ：μ1＋λ1＝1 C ：λ×μ＝1 D ：λ＋μ＝1 12、若直线y ＝x ＋与曲线x ＝22y y -有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是__________。

【精品提分练习】高考数学一轮复习第43课__圆的方程

第43课圆的方程1. 掌握圆的标准方程和圆的一般方程，理解方程中各字母参数的实际意义.2. 能根据已知条件合理选择圆的方程的形式，并运用待定系数法求出圆的方程. 注重数形结合的思想方法，并灵活运用平面几何的知识解决有关圆的问题.3. 会进行圆的标准方程与一般方程的互相转化，熟练掌握配方法的应用.1. 阅读：必修2第107～110页.2. 解悟：①圆的标准方程和一般方程的结构有什么特征？其中各参数有怎样的含义？②方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆需要什么条件？③圆的标准方程和一般方程如何转化？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第111页练习第3、4、5题.基础诊断1. 若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 的值为－1 ；若方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围为 ⎝⎛⎭⎫－∞，14∪(1，＋∞) . 解析：若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a ＋2≠0，⎝⎛⎭⎫2a a ＋22－4a a ＋2>0，解得a ＝－1.若x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆，则4m 2－5m ＋1>0，解得m<14或m>1. 2. 已知A ，B 两点的坐标分别为(0，4)，(4，6)，则以AB 为直径的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －5)2＝5 .解析：由题意得，圆心即AB 的中点(2，5)，半径为12AB ＝12（0－4）2＋（4－6）2＝5，故以AB 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －5)2＝5.3. 已知圆过点(1，2)，圆心在y 轴上，半径为1，则该圆的方程为 x 2＋(y －2)2＝1 Ｗ. 解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b －2）2＝1，得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.4. 如果点P(1，1)在圆(x －a)2＋(y －a)2＝4的内部，那么实数a解析：由题意得(1－a)2＋(1－a)2<4，解得1－2<a<1＋ 2.范例导航考向❶ 确定圆的方程例1 分别求满足下列条件的圆的方程：(1) 已知圆过两点A(3，1)，B(－1，3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0上；(2) 经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)；(3) 已知圆C ：x 2＋y 2＋4x －12y ＋39＝0，直线l ：3x －4y ＋5＝0，求圆C 关于直线l 对称的圆的方程.解析：(1) 设所求圆的圆心C(a ，b)，因为CA ＝CB ＝r ，点C 在直线3x －y －2＝0上，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －3）2＋（b －1）2＝（a ＋1）2＋（b －3）2，3a －b －2＝0，解得a ＝2，b ＝4，r ＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝10.(2) 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，因为该圆经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)，分别代入，得⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－7，E ＝－3，F ＝2，故所求圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.(3) 由已知得，圆C 的圆心为C(－2，6)，半径为1.设圆D 与圆C 关于直线l 对称，设D(a ，b)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3·a －22－4·b ＋62＋5＝0，b －6a ＋2＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，故所求圆的方程为(x －4)2＋(y ＋2)2＝1.圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5).(1) 若圆的面积最小，求圆C 的方程；(2) 若圆心在直线x －2y －3＝0上，求圆的方程.解析：(1) 要使圆的面积最小，则AB 为圆的直径，圆心C(0，－4)，半径r ＝12AB ＝5，所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝5.(2) 因为k AB ＝12，AB 的中点为(0，－4)，所以AB 中垂线方程为2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以圆心为(－1，－2)，则半径r ＝10，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.考向❷ 含参的圆的方程问题例2 已知圆C 的方程x 2＋y 2－2ax ＋2y ＋a ＋1＝0.(1) 若圆C 上任意点A 关于直线l ：x ＋2y －5＝0的对称点也在圆上，求实数a 的值；(2) 求圆心C 到直线ax ＋y －a 2＝0距离的取值范围.解析：(1) 将圆C 的方程配方得(x －a)2＋(y ＋1)2＝a 2－a.由题意知圆心C(a ，－1)在直线l ：x ＋2y －5＝0上，即a －2－5＝0，所以a ＝7.(2) 由圆方程可知， a 2－a ＞0，解得a ＞1或a ＜0.由方程得圆心C (a ，－1)到直线ax ＋y －a 2＝0的距离d ＝|a 2－1－a 2|a 2＋1＝1a 2＋1. 因为a ＞1或a ＜0，所以a 2＋1＞1，所以0＜d ＜1，所以所求距离的取值范围为(0，1).已知圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1.(1) 求圆C 的方程；(2) 过原点O 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1交圆C 于E ，F 两点，l 2交圆C 于G ，H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.解析：(1) 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则点C ⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. 因为圆C 经过不同的三点P(m ，0)，Q(2，0)，R(0，1)，且CP 的斜率为－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，－D 2＝2＋m 2，－E 2－0－D 2－m＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝5，F ＝－6，m ＝－3，故圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.(2) 由(1)得圆心C ⎝⎛⎭⎫－12，－52，R ＝52，设圆心C 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1，d 2，则d 21＋d 22＝OC 2＝132. 又因为⎝⎛⎭⎫EF 22＋d 21＝R 2，⎝⎛⎭⎫GH 22＋d 22＝R 2，两式相加，得EF 2＋GH 2＝74≥2EF·GH ，当且仅当EF ＝GH ＝37时取等号，所以S 四边形EGFH ＝12EF·GH ≤372，即四边形EGFH 面积最大为372. 【备用题】已知点(x ，y)在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上.求：(1) x ＋y 的最大值和最小值；(2) y x的最大值和最小值； (3) x 2＋y 2的取值范围.答案：(1) x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2) y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233. (3) x 2＋y 2的取值范围是[14－213，14＋213].自测反馈1. 当m ＝ 2 时，方程mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0表示的圆的面积最小.解析：因为mx 2＋my 2－4(m －1)x ＋4y ＝0，化为标准方程为⎣⎡⎦⎤x －2（m －1）m 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2m 2＝4（m －1）2＋4m 2，所以R 2＝4（m 2－2m ＋2）m 2＝4⎝⎛⎭⎫2m 2－2m ＋1＝8⎝⎛⎭⎫1m －122＋2，当1m －12＝0，即m ＝2时，R 2取最小值，此时圆的面积最小.2. 已知点P(2，1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b ＝0上，P 关于直线x ＋y －1＝0对称的点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为 (0，1) ，半径为 2 .解析：由题意知圆心C ⎝⎛⎭⎫－a 2，1在直线x ＋y －1＝0上，所以－a 2＋1－1＝0，得a ＝0，所以圆心C(0，1)，半径r ＝（2－0）2＋（1－1）2＝2.3. 已知圆C 的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r>0)，下列结论正确的是 ①②③ Ｗ.(填序号)①当a 2＋b 2＝r 2时，圆C 必过原点；②当a ＝r 时，圆C 与y 轴相切；③当b ＝r 时，圆C 与x 轴相切；④当b<r 时，圆C 与x 轴相交.解析：①②③正确；当b<r 时，圆心到x 轴的距离为|b|，只有当|b|<r 时，圆与x 轴相交，而b<r 不能保证|b|<r ，故④错.4. 已知圆C ：x 2＋(y ＋4)2＝4，点A(－2，0)，B(2，0)，P(x ，y)是圆C 上的任意一点，则PA 2＋PB 2的取值范围为 [16，80] Ｗ.解析：PA 2＋PB 2＝(x ＋2)2＋y 2＋(x －2)2＋y 2＝2(x 2＋y 2)＋8.又因为P(x ，y)是圆C 上的任意一点，设x 2＋y 2＝r 2，则r ∈[OC －2，OC ＋2]，即r ∈[2，6]，所以x 2＋y 2∈[4，36]，所以PA 2＋PB 2∈[16，80].1. 熟练掌握圆的标准方程和圆的一般方程，熟练掌握由圆的标准方程和一般方程求圆心和半径.2. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，同样用代数方法(方程)研究圆时，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a ，b ，r ；反映在圆的一般方程中也有三个参数D ，E ，F.在求圆的方程时要根据具体条件选择适当的形式通过待定系数法解方程(组)得到.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

2022版高考数学一轮复习练案第八章解析几何第三讲圆的方程练习新人教版

2022版高考数学一轮复习练案第八章解析几何第三讲圆的方程练习新人教版年级：姓名：第三讲圆的方程A 组基础巩固一、选择题1．(2021·衡水中学月考)若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝1的关系为( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能[解析] ∵|a ×0＋b ×0－1|a 2＋b 2<1，∴a 2＋b 2>1， ∴P (a ，b )在圆外．2．(2016·课标全国Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2[解析] x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，∴圆心为(1,4)．由1＝|a ＋3|1＋a2，得a ＝－43. 3．(2021·北京延庆统测)圆(x －3)2＋(y －4)2＝1上一点到原点的距离的最大值为( C )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 显然圆心(3,4)到原点的距离为5，圆的半径为1，故所求最大值为6. 4．(2020·3月份北京市高考适应性考试)圆心为(2,1)且和x 轴相切的圆的方程是( A )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x －2)2＋(y －1)2＝5D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5[解析] 由题意知圆的半径r ＝1，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1. 5．(2021·河北保定模拟)过点P (－1,0)作圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的两条切线，设两切点分别为A ，B ，则过点A ，B ，C 的圆的方程是( A )A ．x 2＋(y －1)2＝2B ．x 2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝1[解析] P ，A ，B ，C 四点共圆，圆心为PC 的中点(0,1)，半径为12|PC |＝121＋12＋22＝2，则过点A ，B ，C 的圆的方程是x 2＋(y －1)2＝2.6．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的和是( C )A ．30B ．18C ．10 2D ．52[解析] 由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32＝22，故最大距离与最小距离的和为10 2. 7．(2021·江苏如皋镇江联考)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为F ，则以F 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为( D )A ．x 2＋y 2＋4x ＋1＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＋3＝0 C ．x 2＋y 2－4x －1＝0D ．x 2＋y 2－4x ＋1＝0[解析] ∵c ＝1＋3＝2，∴F (2,0)，点F 到渐近线3x －y ＝0的距离r ＝|23－0|1＋32＝3，∴所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝3，即x 2＋y 2－4x ＋1＝0，故选D ．8．(2021·福建厦门)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( A )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1[解析] 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B ′(x ′，y ′)，由题意得，⎩⎨⎧x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩⎨⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A ．9．(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( A )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32][解析] 由题意|AB |＝22，又圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，∴P 到直线距离的取值范围为[2，32]，∴S △ABP ∈[2,6]，故选A ．10．(2021·重庆巴蜀中学阶段测试)过点M (2,0)的直线l 将圆C ：(x －3)2＋(y ＋3)2＝18分成两段弧，当其中的优弧最长时，直线l 的方程是( B )A ．3x ＋y －6＝0B ．x －3y －2＝0C ．x ＝2D ．y ＝0[解析] 将点M (2,0)代入圆的方程左边得(2－3)2＋(0＋3)2＝10<18，所以点M (2,0)在圆的内部；圆心C (3，－3)，当CM ⊥l 时优弧最长，故k CM ·k l ＝－1；k CM＝0－－32－3＝－3，故k l ＝13；故l 的方程为v －0＝13(x －2)，即x －3y －2＝0，故选B ．二、填空题11．已知直线x －y ＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且△OAB 为正三角形，则实数m 的值为 ±62. [解析] ∵△AOB 为正三角形，∴圆心O 到直线x －y ＋m ＝0的距离为32，即|m |2＝32，∴m ＝±62. 12．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝10__.[解析] 依题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，把所给两点坐标代入方程，得⎩⎨⎧5－a 2＋1＝r 2，1－a2＋9＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，r 2＝10，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.另解：k AB ＝3－11－5＝－12，∴AB 中垂线的方程为y －2＝2(x －3)，即2x －y －4＝0，由⎩⎨⎧2x －y －4＝0y ＝0得圆心坐标(2,0)，∴r 2＝(3－0)2＋(1－2)2＝10， ∴所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.13．(理)(2021·天津河东区一模)已知圆O 过点A (0,0)、B (0,4)、C (1,1)，点D (3,4)到圆O 上的点最小距离为 5 .(文)(2021·安徽江南十校联考)数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A (－2,0)，B (2,4)，其欧拉线的方程为x －y ＝0，则△ABC 的外接圆方程为__(x －1)2＋(y －1)2＝10__.[解析] (理)设圆O 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， ∵圆O 过点A (0,0)、B (0,4)、C (1,1)，∴⎩⎨⎧F ＝00＋16＋0＋4E ＋F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0求得⎩⎨⎧D ＝2E ＝－4，F ＝0故圆的方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＝0，即(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，表示圆心为O (－1,2)、半径为5的圆． ∵|OD |＝3＋12＋4－22＝25，故点D (3,4)到圆O 上的点最小距离为25－5＝5，故答案为 5.(文)线段AB 的垂直平分线方程为x ＋y －2＝0，与欧拉线的方程联立，得圆心坐标为D (1,1)，线段AD 的长度10为半径．故△ABC 的外接圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝10.14．(2017·天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ．若∠FAC ＝120°，则圆的方程为 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1 .[解析] 如图，由题意易知F (1,0)，l ：x ＝－1，∠OAF ＝30°，∴OA ＝3，∴C (－1，3)，又|CA |＝1，故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1. 三、解答题15．(2021·洛阳统考)已知圆S 经过点A (7,8)和点B (8,7)，圆心S 在直线2x －y －4＝0上．(1)求圆S 的方程；(2)若直线x ＋y －m ＝0与圆S 相交于C ，D 两点，若∠COD 为钝角(O 为坐标原点)，求实数m 的取值范围．[解析] (1)线段AB 的中垂线方程为y ＝x ，由⎩⎨⎧2x －y －4＝0，y ＝x ，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4，所以圆S 的圆心为S (4,4)，圆S 的半径为|SA |＝5，故圆S 的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.(2)由x ＋y －m ＝0变形得y ＝－x ＋m ，代入圆S 的方程，消去y 并整理得2x 2－2mx ＋m 2－8m ＋7＝0.令Δ＝(－2m )2－8(m 2－8m ＋7)>0，得 8－52<m <8＋5 2.设C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－8m ＋72.依题意，得OC →·OD →<0，即x 1x 2＋(－x 1＋m )(－x 2＋m )<0，即m 2－8m ＋7<0，解得1<m <7.故实数m 的取值范围是{m |8－52<m <8＋52}∩{m |1<m <7}＝{m |1<m <7}．B 组能力提升1．(2021·广州调研)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( D )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4。

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专练43
[基础强化一、选择题 1．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0
2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2
3．已知点A 是直角△ABC 的直角顶点，且A (2a,2)，B (－4，a )，C (2a ＋2,2)，则△ABC 外接圆的方程是( )
A ．x 2＋(y －3)2＝5
B ．x 2＋(y ＋3)2＝5
C ．(x －3)2＋y 2＝5
D ．(x ＋3)2＋y 2＝5
4．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋a ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(－∞，2) D ．(－∞，1)
5．点P (5a ＋1,12a )在(x －1)2＋y 2＝1的内部，则a 的取值范围是( )
A ．|a |<1
B ．a <1
13
C ．|a |<15
D ．|a |<1
13
6．直线y ＝kx －2k ＋1恒过定点C ，则以C 为圆心，以5为半径的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝25 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝25 D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5
7．已知圆M 与直线3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0都相切，圆心在直线y ＝－x －4，则圆M 的方程为( )
A ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1
D ．(x －3)2＋(y －1)2＝1
8．圆(x －1)2＋(y －1)2＝2关于直线y ＝kx ＋3对称，则k 的值是( ) A ．2B ．－2 C ．1D ．－1
9．(多选)已知点A (－1,0)，B (1,0)，若圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1上存在点M 满足M A →·M B →
＝3，则实数a 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．2
D ．0 二、填空题
10．若a ∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－2，0，1，34，则方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为
________．
11．过点A (1，－1)，B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是________________．
12．直线l ：x 4＋y
3
＝1与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 内切圆
的方程为________．
[能力提升] 13．已知一个圆的圆心在曲线y ＝2
x
(x >0)上，且与直线2x ＋y ＋1＝0相切，则当圆的面积
最小时，该圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
D ．(x －2)2＋(y －1)2＝25
14．若直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
15．已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.
16．已知点P (x ，y )在(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上，则x ＋y 的取值范围是________．
专练43 圆的方程
1．D 设所求的直线l 的方程为x －y ＋C ＝0，∵直线l 过圆心(0,3)，∴－3＋C ＝0，C ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋3＝0.
2．D 半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2， ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.
3．D ∵A 为直角，∴AB ⊥AC ，∴2a ＝－4，a ＝－2，
∴△ABC 外接圆的圆心(－3,0)，半径r ＝|BC |
2＝(－4＋2)2＋(－2－2)22
＝5，
∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5.
4．C 由题意得D 2＋E 2－4F >0，∴4＋4－4a >0， ∴a <2.
5．D 由题意得25a 2＋144a 2<1，∴a 2<1
13
2，
得|a |<
113
. 6．B ∵y ＝kx －2k ＋1可化为y ＝k (x －2)＋1，恒过定点(2,1)，则所求的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25.
7．C 3x －4y ＝0及3x －4y ＋10＝0的距离为d ＝|10－0|32＋(－4)2
＝2，显然圆的半径r ＝2
2＝1，
与3x －4y ＝0和3x －4y ＋10＝0的距离相等的直线为3x －4y ＋5＝0，由⎩
⎪⎨⎪⎧
3x －4y ＋5＝0，
y ＝－x －4，得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，
y ＝－1，
∴圆心(－3，－1)，
∴所求的圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝1.
8．B 由题意得圆心(1,1)在直线y ＝kx ＋3上， ∴k ＝－2.
9．BD 设点M (x ，y )，则M A →＝(－x －1，－y )，M B →
＝(－x ＋1，－y )，
所以M A →·M B →
＝(－x －1)(－x ＋1)＋y 2＝3，
所以点M 的轨迹方程为圆x 2＋y 2＝4，圆心为(0,0)，半径为2.
由此可知圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1与圆x 2＋y 2＝4有公共点．又圆(x －2a ＋1)2＋(y －2a －2)2＝1的圆心为(2a －1,2a ＋2)，半径为1，
所以1≤(2a －1)2＋(2a ＋2)2≤3，解得－1≤a ≤1
2
.故选BD.
10．1
解析：方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件是a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，
即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23，又a ∈⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时该方程表示圆．
11．(x －1)2＋(y －1)2＝4
解析：线段AB 的中垂直线方程为y ＝x ，则圆心坐标(x ，y )应满足⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，
x ＋y －2＝0.
∴x ＝y ＝1.半径r ＝(1－1)2＋(－1－1)2＝2，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.
12．(x －1)2＋(y －1)2＝1
解析：设△AOB 内切圆的圆心为M (m ，m )(m >0)，半径为m ，直线x 4＋y
3
＝1可化为3x ＋4y
－12＝0，由题意得|3m ＋4m －12|
32＋42
＝m ，得m ＝1或m ＝6(舍去)．∴△AOB 内切圆的方程为(x
－1)2＋(y －1)2＝1.
13．A 设圆心为⎝⎛⎭⎫x ，2
x (x >0)，r ＝⎪⎪⎪⎪
2x ＋2x ＋15≥55
＝5，当且仅当x ＝1时等号成立，所以当圆的面积最小时，即圆的半径最小时，此时圆心(1,2)，半径为5，所以圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.
14．A 圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0，可化为：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， ∵直线l ：y ＝kx ＋1(k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切， ∴|－2k |
k 2＋1
＝2(k <0)，∴k ＝－1，
∴圆心D (2,0)到直线的距离d ＝|－2＋1|1＋1
＝2
2<3，
∴直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3相交，故选A. 15．4
解析：如图：
∵y ＝
3
3
x ＋23，∴k AC ＝－3， ∴∠ACD ＝60°，过D 作DE ⊥AC 于E ，则|DE |＝|AB |.
∵圆心到直线l 的距离d ＝6
1＋3
＝3，
∴⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2
－d 2
＝12－9＝3. ∴|AB |2＝12，则|AB |＝2 3.
在Rt △DEC 中，|CD |＝|AB |sin60°＝23
3
2
＝4.
16．[－2－1，2－1]
解析：设x ＝2＋cos α，y ＝－3＋sin α
∴x ＋y ＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π
4－1∈[－2－1，2－1]．。