高中数学一轮复习课件 第7章 平面集合 直线与圆、圆与圆的位置关系

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三、圆系方程 1.经过两个圆交点的圆系方程:经过圆x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x +E2y+F2=0的交点的圆系方程是:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+ F2)=0(不表示后一个圆).
若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)= 0.
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【解析】(法一)(代数法)联立方程
y = kx + 5, (x −1)2 + y2
=
1,
消去y整理得:
(k2+1)x2+(10k-2)x+25=0,则Δ=(10k-2)2-4(k2+1)×25=-40k-96,
∴当直线l与圆C相离时,有-40k-96<0,故k>- 12 ;
5
(1)证明:不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点; (2)求直线l被圆C截得的弦长最小时的方程. 【解析】(1)l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.
∵m∈R,∴由2xx++yy−−47==00,
得
x
y过定点A(3,1).
∵圆心C(1,2),|AC|= 5 <5(半径),∴点A在圆C内,从而直线l与圆C恒交
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从近几年高考来看,涉及本节内容的试题主要考查直线与圆,圆 与圆的位置关系,考查用代数方法处理几何问题的思想,题型以选择 题、填空题为主,属中档题.可以预测2013年高考考查的热点问题是 利用直线与圆的位置关系求弦长问题.求圆的方程或求参数范围问 题,同时着重考查数形结合思想的应用.
x
+ 2
x0
+E·y + y0
2
+F=0表示切点弦
的方程.
这个结论只能用来做选择或者填空题,若是做解答题,只能按求切线
方程的常规过程去做.
(3)过圆外一点的切线方程:一般求法是设点斜式,利用圆心到切线的
距离等于半径求斜率.
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二、圆与圆的位置关系 判定方法:设两圆圆心分别为O1、O2,半径分别为r1、r2,|O1O2|=d. ①d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线; ②d=r1+r2⇔外切⇔3条公切; ③|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线; ④d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线; ⑤0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.
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当点P(x0,y0)在曲线外时,(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2表示切点弦的方程.
(2)一般地,曲线Ax2+Cy2-Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的切线方
x + x0
程是:Ax0x+Cy0y-D· 2
y + y0
+E· 2
+F=0.
当点P(x0,y0)在曲线外时,Ax0+Cy0y-D·
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第七章 平面集合直线 与圆、圆与圆的位置关系
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考点 1 直线与圆的位置关系
考纲解读 能根据给定的直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系.
2 圆与圆的位置关系 3 直线和圆的方程的应用
能根据给定的两个圆的方程判断两圆的位置关系.
能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,初步了解用代数方法处 理几何问题的思想.
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一、直线与圆的位置关系 1.常用研究方法:①判别式法;②考查圆心到直线的距离与半径的大 小关系. 2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种: 若d= | Aa + Bb + C | ,则d>r⇔相离⇔Δ<0;
A2 + B2
d=r⇔相切⇔Δ=0;d<r⇔相交⇔Δ>0. 3.直线和圆相切 (1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2的以P(x0,y0)为切点 的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
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题型1直线与圆的位置关系 例1 已知动直线l:y=kx+5和圆C:(x-1)2+y2=1,试问k为何值时,直
线l与圆C相离、相切、相交. 【分析】联立方程,消去一个未知数(如y),可得关于x的二次方程,再 利用判别式Δ<0,Δ=0和Δ>0,求k的取值范围.或者利用圆心到直线的 距离与半径的大小关系,求参数k的取值范围.
k2 +1
5
当d=r,即 | k + 5 | =1,即k=- 12 时,直线l与圆相切;
k2 +1
5
当d<r,即 | k + 5 | <1,即k<- 12 时,直线l与圆相交.
k2 +1
5
【点评】研究直线与圆的位置关系有两种方法:代数法和几何法,可 根据题设选用适当的方法.
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变式训练1 已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0 (m∈R).
取值范围是
.
【解析】圆心(3,2)到直线的距离d= | 3k +1| ,
k2 +1
则由|MN|≥2 3 及圆的半径为2,得d= | 3k +1| ≤1,解得- 3 ≤k≤0.
k2 +1
4
【答案】[- 3 ,0]
4
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2.经过直线与圆交点的圆系方程:经过直线l:Ax+By+C=0与圆x2+y2+ Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 (不表示直线l).
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1.与圆x2+(y-2)2=1相切,且在两坐标轴上截距相等的直线共有 ( ) (A)2条. (B)3条. (C)4条. (D)6条. 【解析】由题意可知,过原点且与圆相切的直线共有2条,此时与两 坐标轴的截距都是0;当圆的切线与两坐标轴截距相等且不为零时, 此切线过一、二、四象限,易知满足题意的切线有2条,综上共有4条. 【答案】C
于两点.
(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=-
1 2
,得kl=2,∴l的方程为2x-y-5=0.
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1.判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法:比较圆心到 直线的距离与圆半径的大小;(2)代数法:讨论圆的方程与直线方程的 实数解的组数.注意:两种方法中优先考虑使用几何法. 2 求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的方法:(1)几何法:当斜率存在 时,设为k,切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距 离等于半径,即可得出切线方程;(2)代数法:当斜率存在时,设切线方 程为y-y0=k(x-x0),即y=kx-kx0+y0,代入圆方程,得一个关于x的一元二次 方程,由Δ=0,求得k,切线方程即可求出.
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3.圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d=
.
【解析】圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0距离为 | 31+ 4 2 + 4 | =3.
5
【答案】3
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4.直线y=kx+3与圆(x-3)2+(y-2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2 3 ,则k的
当直线l与圆C相切时,有-40k-96=0,故k=- 12;
5
当直线l与圆C相交时,有-40k-96>0,故k<-152 .
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(法二)(几何法)圆C:(x-1)2+y2=1的圆心为C(1,0),半径r=1.
设直线l与圆心C的距离为d,则d= | k + 5 | .
k2 +1
当d>r,即 | k + 5 | >1,即k>- 12 时,直线l与圆C相离;
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2.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A、B两点,则线 段AB的中垂线方程为 ( ) (A)x+y-3=0. (B)x-y-3=0. (C)x-y+3=0. (D)x+y+3=0. 【解析】AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2,又C1(3,0),C2(0,3), C1C2的方程为x+y-3=0,即线段AB的中垂线方程为x+y-3=0. 【答案】A