如何讲解直线与圆位置关系
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
《直线与圆的位置关系》教案
《直线与圆的位置关系》教案第一章：引言教学目标：1. 让学生了解直线与圆的位置关系的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆的位置关系。
教学内容：1. 直线与圆的定义。
2. 直线与圆的位置关系的分类。
教学步骤：1. 引入直线和圆的定义，让学生回顾相关概念。
2. 提问：直线和圆有什么关系？它们可以相交、相切还是相离？3. 引导学生观察和思考直线与圆的位置关系，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线x=2与圆x^2+y^2=4b) 直线y=3与圆x^2+y^2=9c) 直线x+y=4与圆x^2+y^2=8第二章：直线与圆的相交教学目标：1. 让学生了解直线与圆相交的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相交的性质。
教学内容：1. 直线与圆相交的定义。
2. 直线与圆相交的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相交的概念，让学生了解相交的含义。
2. 提问：直线与圆相交时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相交的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=2x+3与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第三章：直线与圆的相切教学目标：1. 让学生了解直线与圆相切的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相切的性质。
教学内容：1. 直线与圆相切的定义。
2. 直线与圆相切的性质。
教学步骤：1. 引入直线与圆相切的概念，让学生了解相切的含义。
2. 提问：直线与圆相切时，会有什么特殊的性质？3. 引导学生观察和思考直线与圆相切的性质，让学生举例说明。
练习题目：a) 直线y=3x+2与圆x^2+y^2=16b) 直线x-y+4=0与圆x^2+y^2=16c) 直线x+y-6=0与圆x^2+y^2=36第四章：直线与圆的相离教学目标：1. 让学生了解直线与圆相离的概念。
2. 引导学生通过观察和思考，探索直线与圆相离的性质。
《直线与圆的位置关系》说课稿(附教学设计)
《直线与圆的位置关系》说课稿一、教材的理解与处理本节课的内容是平面解析几何的基础知识，是对前面所学直线与圆的方程的进一步应用。
而解决问题的主要方法是解析法。
解析法不仅是定量判断直线与圆的位置关系的方法，更为后续研究直线与圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。
本节课的教学目的是使学生掌握直线与圆的位置关系的判定方法，教材处理问题的方法主要是：用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d后与圆的半径r比较作出判断；类比利用直线方法求两条直线交点的方法，联立直线与圆的方程，通过解方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆的位置关系。
考虑到圆的性质的特殊性，以及渗透给学生解决问题尽力选择简捷途径，以及学生的认知结构特征，课堂上师生着力用第一种方法来解决直线与圆的位置关系，对于第二种方法主要留给学生自主探究，教师做适当的点拨总结。
二、教学目标确定说明学生在初中已经学习了直线与圆的位置关系，也知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的大小比较两种方法判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，这两种方法都是以结论性的形式呈现，在高一学习了解析几何以后要求学生掌握用直线和圆的方程来判断直线与圆的位置关系，解决问题的主要方是解析法。
高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。
根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：（1）知识与技能目标：①理解直线与圆三种位置关系。
②掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法。
（2）能力目标：①通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考，自主探究，动手实践，合作交流的学习方式。
直线和圆有哪几种位置关系
直线和圆有哪几种位置关系？
答：直线和圆有三种位置关系．它们是直线和圆相交；直线和圆相切；直线和圆相离．
直线和圆的三种位置关系是这样定义的：
(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．
(2)直线和圆有唯一个公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
根据定义，容易看出：
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么
直线和圆的位置关系可以用它们交点的个数来区分，也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分，它们是一致的．
直线和圆的位置关系，可用下表表示．
例1 已知⊙O的半径为11厘米，当直线MN与⊙O的位置是相离、相切、相交时，O点到直线MN的距离分别如何？
解⊙O的半径r=11厘米，所以有：
当直线MN与⊙O相离时，圆心O到直线MN的距离d大于半径11厘米．当直线MN与⊙O相切时，圆心O到直线MN的距离d等于11厘米．
当直线MN与⊙O相交时，圆心O到直线MN的距离d小于11厘米．
例2 已知Rt△ABC的斜边AB=6厘米，直角边AC=3厘米．圆心为C，半径分别为2厘米、4厘米的两个圆与AB有怎样的位置关系？半径多长时，AB 与圆相切？
解：过C作CD⊥AB，垂足为D(如图)．
在直角△ABC中，有
根据三角形的面积公式，有
CD·AB=AC·BC．
当⊙C的半径为2厘米时，⊙C与AB相离；
当⊙C的半径为4厘米时，⊙C与AB相交；
由以上两例可以看出：直线和圆的位置关系是由公共点的个数确定的，可以由圆心到直线的距离与圆的半径的关系来决定．。
圆与直线的位置关系与判定
圆与直线的位置关系与判定圆与直线是几何学中最基本的图形，它们之间的位置关系和判定方法在数学问题中有着广泛的应用。
本文将从不同角度探讨圆与直线之间的位置关系，并介绍几种常用的判定方法。
一、圆与直线的位置关系1. 直线经过圆心：当一条直线穿过圆心时，我们称其为圆的直径线或直径。
直径线是圆的特殊位置关系，它将圆分成两个相等的半圆，且直径线的长度等于圆的直径。
2. 直线在圆内部：当一条直线完全位于圆的内部时，我们称之为直线在圆内部。
在这种情况下，直线与圆相交于两个不同的点。
例如，图中的直线AB位于圆O的内部。
3. 直线切圆：当一条直线与圆相切时，我们称之为直线切圆。
直线与圆相切于圆上的一点，此点既属于圆，又属于直线。
例如，图中的直线AB切圆O于点C。
4. 直线在圆外：当一条直线完全位于圆的外部时，我们称之为直线在圆外部。
在这种情况下，直线与圆没有交点。
例如，图中的直线AB位于圆O的外部。
二、圆与直线的位置判定方法1. 判断直线是否经过圆心：通过直线的方程可以判断该直线是否经过圆心。
直线的方程一般可以表示为y = kx + b的形式，其中k为斜率，b为截距。
如果圆的圆心坐标为(x0, y0)，则当直线方程中的x0和y0满足方程y = kx + b时，直线经过圆心。
2. 判断直线与圆的位置关系：通过直线与圆的方程可以判断它们的位置关系。
设圆的方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，直线的方程为y =kx + c。
将直线的方程代入圆的方程中，可得一个关于x的一元二次方程。
通过求解该方程，可以得到方程的解，从而判断直线与圆的位置关系。
3. 判断直线是否切圆：通过直线与圆的切点个数可以判断直线是否切圆。
直线与圆相切时，方程的解只有一个，此时直线切圆。
当方程有两个不相等的解或者无解时，直线与圆没有交点。
4. 判断直线是否在圆内部或外部：通过圆的半径和圆心到直线的距离可以判断直线是否在圆的内部或外部。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系一直线和圆的位置关系是几何学中的经典问题之一。
直线和圆的相交情况可以分为三种情况：相离、相切和相交。
在本文中，我们将探讨这些情况，并讨论在给定条件下如何确定直线和圆之间的位置关系。
相离的情况是指直线和圆不相交，也不相切。
换句话说，直线没有交叉或触及圆。
当直线与圆没有公共点时，它们被认为是相离的。
这种情况是最简单的情况，因为直线上的任意一点到圆的距离都大于圆的半径。
因此，如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离，来确定它们是否相离。
接下来是相切的情况。
当直线与圆相切时，直线刚好触及圆的一个点。
在几何学中，相切的定义是两个图形仅有一个公共点。
对于直线和圆的情况而言，这个点就是直线与圆的切点。
在相切的情况下，直线的斜率与直线上的切点与圆心的连线的斜率相等。
因此，我们可以通过计算直线上两个点的斜率，并比较其与圆心的斜率是否相等，来确定它们是否相切。
最后是相交的情况。
当直线与圆相交时，它们有两个公共点。
如果给定一个直线和一个圆，并且它们的半径和位置都已知，我们可以通过解方程组来确定直线与圆的交点。
一种常见的方法是使用二次方程，通过将直线的方程和圆的方程联立，然后求解二次方程来计算交点的坐标。
如果二次方程有实数解，那么直线与圆相交；如果二次方程没有实数解，那么直线和圆不相交。
当直线与圆相交时，它们的交点具有很多有趣的性质。
例如，交点的坐标可以用来计算直线与圆的切线方程、直线与圆之间的夹角等。
另外，当直线与圆相交时，我们还可以根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
如果交点在圆心的左侧，那么直线与圆在交点处是外切的；如果交点在圆心的右侧，那么直线与圆在交点处是内切的。
总结起来，直线和圆的位置关系可以通过计算直线上的任意一点到圆的距离来判断它们是否相离；可以通过比较直线上两个点的斜率与圆心的斜率是否相等来判断它们是否相切；可以通过解方程组来计算直线和圆的交点，并根据交点和圆心的相对位置来判断交点的位置关系。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系 【基础知识】1、直线和圆的位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时，直线叫做圆的割线，这两个公共点叫做交点。
（2）相切：直线与圆有一个公共点时，叫做直线与圆想切这时直线叫做圆的切线，唯一的（1） 切线的性质：定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
（2） 推论1：经过圆心且垂直于切线的直径必过切点。
（3） 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
3、切线的判定定理及判定方法（1）切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（2）切线的判定方法： ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于半径的直线是远的切线。
③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
4、证明圆的切线的辅助线的方法：①连半径，证明垂直。
②做垂直，证半径。
例题1、如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，且AD=21BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，求证:以E 、F 为直径的的圆与BC 边相切。
【跟踪练习】1、已知：如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE，求证：DE与半圆O相切．2、如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线；5、三角形的内切圆（1）内切圆：和三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外接三角形。
三角形的内心到三边的距离相等。
例题2．如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F．（1）求证：BF=CE；（2）若∠C=30°，AC的长．例题3、如图，⊙I切△ABC的边分别为D，E，F，∠B=70°，∠C=60°，M是 DEF上的动点（与D，E不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求出∠DMF的大小；若不一定，请说明理由．【跟踪练习】1．图1，⊙O内切于△ABC，切点为D，E，F．已知∠B=50°，∠C=60°，•连结OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于（）A．40°B．55°C．65°D．70°图1 图2 图32．如图2，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∠A=50°，∠C=60°，•则∠DOE=（）A．70°B．110°C．120°D．130°3．如图3，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=（）A．112.5°B．112°C．125°D．55°6、切线长定理及切线长概念（1）切线长的概念：在经过员外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点倒圆的切线长。
直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系介绍直线和圆是几何中常见的元素，它们在空间中的相对位置关系对于多个学科领域都具有重要意义。
本文将介绍直线和圆的四种基本位置关系：相离、相切、相交和包含。
相离相离是指直线和圆没有任何交点，它们在空间中完全没有重叠部分。
如果一条直线与一个圆都是无限延伸的，直线与圆的位置关系就可以通过它们的公式来确定。
设直线方程为Ax + By + C = 0，圆心坐标为(h, k)，半径为r，则直线与圆的位置关系可以通过以下公式判断：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d > r：相离else：其他位置关系其中，d为直线到圆心的距离。
相切相切是指直线与圆只有一个交点，这个交点同时位于直线上和圆上。
相切的情况可以进一步分为两种：外切和内切。
外切外切是指直线与圆相切，且直线在圆的外部。
对于直线方程Ax + By + C = 0和圆心坐标(h, k)，半径r，判断直线与圆是否外切的公式如下：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = r：外切else：其他位置关系内切内切是指直线与圆相切，且直线在圆的内部。
同样，可以通过直线方程和圆的参数来判断直线与圆是否内切：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d = -r：内切else：其他位置关系相交相交是指直线与圆有两个不重复的交点。
如果直线方程和圆的参数已知，可以通过以下公式来判断直线与圆是否相交：d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2)if d < r：相交else：其他位置关系包含包含是指直线经过圆的中心，这是一种特殊的位置关系。
如果直线方程和圆心坐标已知，可以通过以下公式判断直线是否包含圆：Ah + Bk + C = 0结论直线与圆的位置关系可以通过直线方程和圆的参数来判断。
相离、相切、相交和包含是直线和圆的四种基本位置关系。
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如何讲解直线与圆位置关系
【摘要】我觉得在整个数学教学过程中，既要体现学生的主体地位，更要强调教师的主导地位，所以尽量恰当的利用多媒体课件并采用“启发式”问题教学法，科学地教会学生清晰的思维和严谨的推理模式。
【关键词】直线与圆位置关系
一、巧妙提问题，创情景引入
问题1“轮船的航线和台风的问题”
问题2直线与圆有哪些位置关系？请学生例举生活中具有直线与圆位置关系的事物。
问题3从“形”上来看，可以用哪些数学量来判断直线与圆的位置关系？
问题4三种位置关系下，直线与圆的公共点个数分别在发生哪些改变？
问题5我们现在已学习了直线的方程和圆的方程，怎样根据这两个方程来判断直线与圆的位置关系？
设计意图。
通过上述问题，把学生的思维从生活中引进数学，激发学生学习的好奇心和探究意识。
问
题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始抓住了学生的注意力，此时再深入问题，进入第二环节.
二、自己建构知识，探究发现问题
（学生活动）学生对于以上问题1，在图形的情境下，很容易想到初中熟悉的知识，然后对问题1到4给出答案，问题5从“形”的研究变成了“数”的研究，学生可能一时回答不出来。
（教师活动）学生解决的问题3就是判断直线与圆位置关系的“几何法”，即通过圆心到直线的距离与半径的大小进行比较来判断位置关系，让学生画出三种位置关系的图示，同桌之间总结对应的圆心到直线的距离与半径的大小关系。
（学生活动）完成直线与圆三种位置关系与公共点个数的表格。
为了引导学生解决问题5，先让学生思考求直线与圆的公共点的求法，进一步提出：问题6求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系。
（学生活动）通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求的解。
（教师活动）在引导学生解决问题6同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的思考。
再提出：问题7 方程
组解的情况与直线与圆的位置关系具有怎样的一般性结论？
（学生活动）由方程组消元得到一元二次方程组的判别式，完成上表中的“代数法”，总结一般性的方程的解与公共点及直线与圆的位置关系判断方法，并且比较“几何法”与“代数法”的适用性。
设计意图，通过问题6与问题7，使学生置身于符合自身实际的数学学习中去，从自己已有的经验和已知的基础知识出发，经历具体的问题的求解，从而升华为解决问题的思想方法，体现了由具体到一般的思想。
在问题解决过程中，不仅提高了学生知识水平，整合了知识结构，而且渗透了“数形结合”的思想方法，培养学生从多角度思考问题的发散性思维能力。
三、提高巩固，应用提高
（一）新知内化，直接应用。
为了正确理解这两种方法，及时的运用是非常有必要的。
为此，提出：问题8试就实数的值讨论直线和圆的位置关系。
（学生活动）学生选择自己总结的方法对该问题进行解答，可以知道两种方法都可解决问题，但计算的难易程度有所不同。
（教师活动）指出学生解决问题时可能出现的错误，分析两种方法的优劣。
设计意图在学生认知结构
的基础上提出新问题，初步掌握运用两种方法判断直线与圆的位置关系。
（二）能力提升，应用灵活问题9（1）自点作圆的切线，求切线的方程。
（2）自点作圆的切线，求切线的方程。
（3）自点作圆的切线，求切线的方程。
你能归纳出具有一般性的结论吗？
（学生活动）学生相互讨论，研究尝试求该圆的切线的方程的方法，并且寻找这两题中存在的区别和联系，再次寻找一般性的结论。
（教师活动）深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的方法和进展，展示学生的解题过程，指出错误，特别指出用待定系数法时的避免遗漏斜率不存在的情况，并规范书写格式。
设计意图，此题设置了三小问，第一小问的点A 在圆上，第二小问点在圆外，第三小问过点的切线中有一条斜率不存在，旨在让学生从中自己发现问题、解决问题，引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，并且发现一般的结论，这样的问题模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮。
因为有效的学习过程，不能单考单调的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更需要学生亲身经历和实践体验，因此，必须构建师生互动学习，生生合作交
流，共同探究的数学课堂。
四、训练变式，方法形成
（教师活动）给出一组题：问题10（1）已知直线与圆相切，则的值为。
（2）若点在圆内部，则直线与圆的位置关系为。
（3）自点（-3，3）发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆C：相切，求光线所在直线的方程。
（学生活动）相互讨论，寻求解决问题的方法和解答过程。
设计意图这一组习题的设计，使问题由“生活”中来，到“生活”中去，通过学生的主动参与，让每一位学生有“用武之地”，深刻体会本节课的重要内容和思想方法，体验学习数学的乐趣，增强学习数学的愿望与信心。
五、拓展延伸，回顾反思
（教师活动）引导学生进行课堂小结，给出下列提纲，并就学生回答进行点评。
（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与圆位置关系的方法？
（2）在求圆的切线方程时应注意哪些问题？
设计意图，通过让学生阅读课本的作业设置，其中课本例2是本节课关于切线的求法，，使学生养成先复习后做作业的习惯，也使他们养成预习新知识的习
惯。
基于本节课内容和学生的实际，对课后的书面作业分为三个层次，分别安排了基础巩固题、理解题和拓展探究题。
使学生完成基本学习任务的同时，在知识拓展时起激学生探究的热情，让每一个不同层次的学生都可以获得成功的喜悦。
六、总结
通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。