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直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解(提高)

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苏教版九年级上册数学[直线与圆、圆与圆的位置关系—知识点整理及重点题型梳理](提高版)

苏教版九年级上册数学[直线与圆、圆与圆的位置关系—知识点整理及重点题型梳理](提高版)

苏教版九年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点二、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点三、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离d＞r1+r2两圆外切d=r1+r2两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2 (r1≥r2)两圆内切d=r1-r2 (r1＞r2)两圆内含d＜r1-r2 (r1＞r2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.【典型例题】类型一、直线与圆的位置关系【356966 ：经典例题3-4】1.（2015•赤峰）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO 交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．（1）求证：PB是的切线．（2）若PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【答案与解析】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．【总结升华】此题考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．举一反三：【356966 ：切线长定理及例题5-7】【变式】已知:如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP【答案】如图，连接OA、AB，圆O为△ABC的外接圆，∴∠BAC＝90度，即AC⊥AB∵PA、PB为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，且OA＝OB＝r，∴OP是AB的的垂直平分线∴AB⊥OP∴AC‖OP(垂直同一条线的两直线平行)2.（2015•西青区二模）已知四边形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点．（1）如图1，求∠AOD的度数；（2）如图1，若AO=8cm，DO=6cm，求AD、OE的长；（3）如图2，若F是AD的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO的长．【思路点拨】（1）根据内切圆的定义得到AD、AB、CD为⊙O的切线，则根据切线长定理得∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，再利用平行线的性质得∠ADC+∠BAC=180°，所以∠ODA+∠OAD=90°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠AOD的度数；（2）先在Rt△AOD中利用勾股定理可计算出AD=10（cm），再根据切线的性质得OE⊥AD，然后利用面积法可计算出OE的长；【答案与解析】解：（1）∵⊙O为四边形ABCD的内切圆，∴AD、AB、CD为⊙O的切线，∴OD平分∠ADC，OA平分∠BAD，即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（2）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（3）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．类型二、圆与圆的位置关系3. 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8，∴ r＝3．当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8，∴ r＝13．∴当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切．(2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，解得3＜r＜13，即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r和d＝R-r(R ＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.4.如图所示，点A、B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A、⊙B的半径均为1厘米．⊙A以每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1+t(t≥0)．(1)试写出点A、B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式；(2)问点A出发后多少秒两圆相切?【思路点拨】本题通过平移，考查了圆和圆相切这一位置关系．相切包括内切与外切，不要漏解.【答案与解析】(1)当0≤t≤5.5时，函数表达式为d＝11-2t；当t＞5.5时，函数表达式为d＝2t－11．(2)两圆相切可分为如下4种情况：①当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1+1+t，∴ t＝3：②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1+t-l，∴113t ；③当两圆第二次内切，由题意，可得2t-11＝1+t-1，∴ t＝11；④当两圆第二次外切，由题意，可得2t-11＝1+t+1，∴ t＝13．综上可得：点A出发后3秒、113秒、11秒、13秒两圆相切．【总结升华】这里需要注意的是，学生常常只考虑一种情况而导致解答不全面，因此，解决这类问题时，要通过观察、分析搞清图形的变化过程，做到不重复，不遗漏．。

直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解提高

直线与圆、圆与圆的位置关系―知识讲解提高

直线与圆相交于一点 直线与圆相切于一点 直线与圆相离于一点 直线与圆相交于两点
判断直线与圆的位置关系，可以通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来实现。
圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；等于半径，则直线与圆相切；大于半径，则 直线与圆相离。
判断圆与圆的位置关系，可以通过比较两圆的圆心距与两圆半径之和或半径之差的大小来实 现。
圆心到直线的距离：利用圆心到直 线的距离判断圆与直线的关系
弦长：通过比较弦长来判断圆与圆 的位置关系
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圆的半径：比较两圆的半径大小， 判断圆与圆的位置关系
切线：利用切线性质判断圆与直线 的关系
距离公式：利用两点间的距离公式求解直线与圆之间的距离 角度公式：利用三角函数或余弦定理求解直线与圆之间的夹角 代数运算：利用代数方法简化计算过程，提高解题效率
交通路线规划：利用直线与圆的位置关系，确定最佳路线。 股市分析：通过分析股票价格与均线的位置关系，判断股票走势。 地球科学：利用圆与圆的位置关系，研究地球与其他天体的相对位置。 建筑学：在建筑设计时，利用直线与圆、圆与圆的位置关系，实现美观与实用的统一。
直线与圆的位置关系在解析几何中的应用 圆与圆的位置关系在几何证明题中的应用 利用直线与圆、圆与圆的位置关系解决数学竞赛中的难题 在数学竞赛中，直线与圆、圆与圆的位置关系常作为考点和难点
特殊情况处理：针对直线与圆相切、相交等特殊情况，采用相应的方法进行求解
理解数形结合的概念，将数学问题转化为图形问题 掌握常见的数形结合方法，如坐标法、向量法等 学会利用图形直观地分析问题，找到解题思路 练习数形结合的题目，提高解题能力
掌握直线与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 掌握圆与圆的位置关系的基本题型，包括相切、相交和相离等，并掌握相应的解题方法。 熟悉不同题型的特点和解题方法，能够根据题目的具体要求选择合适的解题方法。 掌握解题技巧，如利用几何性质、数形结合等方法，提高解题效率。

2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(解析版)

2-5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精讲)(解析版)

2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（精讲）考点一直线与圆的位置关系【例1】（1）（2021·遵义师范学院附属实验学校）圆22(3)(3)8x y-+-=与直线3460x y++=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定（2）．（2021·全国高二专题练习）直线():120l kx y k k R-++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．1个或2个（3）（2021·黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A的直线l与曲线22231x y有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．⎡⎣B．(C．33⎡-⎢⎣⎦D．,33⎛-⎝⎭（4）（2021·浙江高二期末）已知曲线y=与直线10kx y k-+-=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B．30,4⎛⎫⎪⎝⎭C．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】（1）C （2）D （3）C （4）A【解析】（1）圆心为()3,3，半径r =()3,3到直线3460x y ++=的距离为333462755d r ⨯+⨯+==>所以直线与圆相离故选：C（2）将直线l 的方程变形为()210k x y ++-=，由2010x y +=⎧⎨-=⎩，可得21x y =-⎧⎨=⎩，所以，直线l 过定点()2,1P -，()22215-+=，即点P 在圆C 上，因此，直线l 与圆C 相交或相切.故选：D.（3）由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()34y k x -=-，即340kx y k -+-= 曲线22231x y 表示圆心()2,3，半径为1的圆，圆心()2,3到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，1≤，即2k -≤，解得k ≤≤.故选：C. （4）曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =，1101112k --==--，所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故选：A ．【一隅三反】1．（2021·江苏南京市·高二期末）直线10x +=与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ） A ．直线过圆心 B ．相切C ．相离D ．相交【答案】B【解析】圆()2211x y -+=的圆心为()1,0 ，半径1r =圆心()1,0到直线10x +=的距离1d r ===所以直线10x -+=与圆()2211x y -+=相切故选：B 2．（2021·四川成都市）若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则 a 的值为（ ） A ．1 BC ．2D．【答案】C【解析】因圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y x =只有一个公共点，则直线0x -=与圆22()1x a y -+=切线，圆心(,0)a 到该直线距离为半径1，1||2a =⇔=，而0a >，则有2a =，所以 a 的值为2.故选：C3．（2021·浙江高二期末）直线:1l y ax a =-+与圆224x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的大小有关【答案】A【解析】直线l ：1=-+y ax a ，即()11y a x =-+恒过()1,1，而221124+=<，故()1,1点在圆内， 故直线与圆必然相交．故选：A ．4．（2021·全国高二专题练习）若直线0x y b +-=0y +=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A．[- B．[C ．[1,1]-D．[【答案】B【解析】根据题意，y =，变形可得x 2+y 2＝1（0y ≤），为圆x 2+y 2＝1的下半部分，若直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点，则当直线经过点A 时，直线x +y ﹣b ＝0与曲线y =有公共点此时b ＝1=1，解可得bb <0，则b =，则b的取值范围为[；故选：B ．5．（2021·河北保定市·高二期末）（多选）已知圆22:(1)(1)169C x y -+-=，直线:450,l kx y k k R --+=∈．则下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过定点B ．直线l 与圆C 的位置可能相交、相切和相离 C ．直线l 被圆C 截得的最短弦长为12D ．直线l 被圆C 截得的最短弦长对应的k 值为34-【答案】AD【解析】由直线:450,l kx y k k R --+=∈得():54,l y k x k R -=-∈， 所以直线l 过定点()4,5，故A 选项正确；此时将点()4,5代入圆22:(1)(1)169C x y -+-=得22(41)(5125)169-+<-=，所以点()4,5在圆内，故直线l 与圆C 的位置是相交，故B 选项错误；当直线l 与过点()4,5和圆心的直线垂直时，直线l 被圆C截得的弦长最短，为24=，此时直线l 的斜率为1351441k -==---，故C 选项错误，D 选项正确.故选：AD 考点二 直线与圆的弦长【例2】（1）（2021·四川成都市）直线1y x =-被圆22220x y y ++-=截得的弦长为（ ） A ．1B ．2CD．（2）．（2021·浙江高二期末）已知直线:0l kx y k -+-=被圆224x y +=截得的弦长为点(),m n 是直线l 上的任意一点，则22m n +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】（1）B （2）A【解析】（1）圆的标准方程为()2213x y ++=，圆心为()0,1-，半径为r =所以圆心到直线的距离d ==2l ===，故选：B .（2）圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2r，圆心到直线的距离1d ==， 所以22m n +的最小值为21d =.故选：A 【一隅三反】1．（2021·安徽省泗县第一中学）直线40x y -+=被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长为（ ） AB．C．D．【答案】B【解析】圆22(2)(2)2x y ++-=的圆心()2,2-到直线40x y -+=的距离为：0d ==．即圆心过直线40x y -+=直线被圆22(2)(2)2x y ++-=截得的弦长等于圆的直径：．故选：B ． 2．（2021·浙江高二期末）已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是（ ） A ．43130x y +-= B ．34150x y +-=C ．34150x y +-=或1x =D ．43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0，半径为2r，圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为1x =，此时圆心到直线l 的距离为1，合乎题意； ②若直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为()31y k x -=-，即30kx y k -+-=， 圆心到直线l的距离为1d ===，解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述，直线l 的方程为43130x y +-=或1x =. 故选：D.3．（2021·贵溪市实验中学高二期末）直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为（ ）A ．B ．2C D ．与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上，所以截得弦为圆222x y +=，故截得的弦长为故选：A4．（2021·天水市第一中学高二期中）已知直线0x ay a +-=和圆220x y x +-=的交点为A ，B ，且1AB =，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．1-【答案】C【解析】由220x y x +-=得2211()24x y -+=，即圆心1(,0)2，半径12r =，因为12AB r ==，所以直线0x ay a +-=过圆心，即102a -=，解得12a =，故选：C5．（2021·全国高二课时练习）若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0【答案】A【解析】圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为M (1，0)． 因为直线MP 与AB 垂直，所以k AB ＝－1MPk ＝－10(1)12---＝1.又因为直线AB 过点P (2，－1)，所以直线AB 方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.故选：A6．（2021·辽宁辽阳市·高二期末）已知圆22:4850C x y x y +-+-=，直线:20l mx y m --=. （1）证明：直线l 与圆C 相交.（2）设l 与圆C 交于,M N 两点，若MN =，求直线l 的倾斜角及其方程. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】（1）证明：直线:2()0l m x y --=过定点()2,0，因为224250-⨯-<，所以点()2,0在圆C 的内部，故直线l 与圆C 相交. （2）圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=，则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -，半径为5，且圆心C 到直线l 的距离d ==因为MN==d ==，得3m =±当3m=时﹐直线l 的方程为)2y x =-，倾斜角为6π当m =l 的方程为)23y x =--，倾斜角为56π 考点三 圆上的点到直线距离【例3】（1）（2021·福建三明市·高二期末）圆()2222x y -+=上动点到直线20x y ++=的距离的最小值为（ ） AB ．C．D ．（2）（2021·四川巴中市·（文））圆22(1)(1)4xy ++-=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】（1）A （2）C【解析】（1）∵圆()2222x y -+=，∴圆心()2,0，半径r =∴圆心到直线的距离d ==，∴圆()2222x y -+=上的点到 直线20xy ++=的距离最小值为=，故选：A.（2）由题知，圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=12=<，则直线l 与圆相交，由圆的半径为2知，圆上到直线的距离为1的点有3个.故选：C 【一隅三反】1．（2021·六安市裕安区新安中学）已知半径为2的圆经过点(1,0)，其圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】半径为2的圆经过点(1,0)，设圆心坐标为(,)a b ，则圆的方程为22(1)(0)4a b -+-=所以该圆的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆故圆心到直线34120x y -+=的距离的最小值为点(1,0)152215=-=故选：B2．（2021·全国高二课时练习）已知点M 是直线3420x y +-=上的动点，点N 为圆22(1)(1)1x y +++=上的动点，则||MN 的最小值为 A ．45B ．1C ．95D ．135【答案】A【解析】MN 的最小值为3424155N l d r -----=-=,选A. 3．（2021·全国高二专题练习）在圆()2224x y -+=上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则a 的取值范围为__________． 【答案】()()21,111,9---【解析】由圆的方程知其圆心为()2,0，半径2r，设圆心到直线340x y a ++=的距离为d ，则65ad +=； 圆上有且仅有两个点到直线340x y a ++=的距离为1，则12rd r <<+， 即6135a+<<，解得：2111a -<<-或19a -<<， a ∴的取值范围为()()21,111,9---.故答案为：()()21,111,9---.考点四 圆与圆的位置关系【例4】（1）（2021·浙江高二期末）圆221:(1)1C x y -+=与圆222:(4)(4)17C x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切B ．相切C ．相交D ．外离（2）（2021·北京高二期末）已知圆1O 的方程为22()()4x a y b -+-=，圆2O 的方程为22(1)1x y b +-+=，其中,a b ∈R ．那么这两个圆的位置关系不可能为（ ） A ．外离B ．外切C ．内含D ．内切【答案】（1）C （2）C【解析】圆()221:11C x y -+=的圆心为1(1,0)C ，半径11r =，圆()()222:4417C x y -+-=的圆心为2(4,4)C ，半径2r =所以211212151r r C C r r -=<==<+= C （2）由两圆的标准方程可得()1,O a b ，12r =，()20,1O b -，21r =；则12121O O r r =≥=-，所以两圆不可能内含.故选：C.【一隅三反】1．（2021·全国高二专题练习）圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=，即22(1)1x y -+=，表示以1(1,0)C 为圆心，半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=，表示以2(1,2)C -为圆心，半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=，231=-，故两个圆相内切.故选：A.2．（2021·江西上高二中高二其他模拟（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即222124mm x y ，圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为圆1C 关于直线210x y ++=对称，所以圆心1,2m ⎛⎫-⎪⎝⎭在直线210x y ++=上， 即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，解得2m =，()()22111x y -++=，圆心()1,1-，半径为1， ()()222316x y ++-=，圆心()2,3-，半径为4，5，因为圆心间距离等于两圆半径之和，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切， 故选：B.3．（2021·全国高二（文））已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=，圆2C ：22430x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含【答案】C【解析】由题意可得，圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4，半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称，所以2102m-+=（），得m =所以圆()(222:24C x y -+=的圆心为(2,，半径为2，则两圆圆心距12C C =因为1252725C C -<<<=+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交， 故选：C .4．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C【解析】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.5．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C【解析】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<02a <<或4a >故选：C考点五 圆与圆相交弦【例5】（1）（2021·湖南湘潭市）已知圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相交于,A B两点，则两圆的公共弦AB =A ．B ．CD ．2（2）（2021·天津市南仓中学高二期末）已知圆221:4C x y +=和圆()222:2600C x y ay a ++-=>的公共弦长为2，则实数a 的值为（ ）A BC ．2D【答案】（1）A （2）A【解析】（1）圆221:40C x y +-=与圆222:44120C x y x y +-+-=相减得AB 所在的直线方程：20x y -+=.∵圆221:40C x y +-=的圆心()10,0C ，2r ，∴圆心()0,0到直线AB ：20x y -+=的距离d ==，则AB===．故选A（2）圆221:4C x y +=的圆心()10,0C ，半径12r =，圆222:260C x y ay ++-=即()2226x y a a ++=+，圆心()20,C a -，半径226r a ，圆1C 和圆2C 的公共弦方程为()2222264x y x y ay +-++-=，即1y a=， 圆心()10,0C 到1y a=的距离为1a ，因为公共弦长为2，所以222121a，解得3a=或3-，故选：A. 【一隅三反】1．（2021·辽宁高三其他模拟）圆O ：229x y +=与圆1O ：()()222316x y -+-=交于A 、B 两点，则AB =（ ）A ．6B ．5C ．13D ．13【答案】D【解析】圆O 的半径3r =，圆1O 的半径14r =，1OO = 故在1AOO中，22211111cos sin 2r OO r AOO AOO r OO +-∠===⇒∠=⋅，故1sin 2AB r AOO AB =∠=⇒=． 故选：D2．（2021·山东济南市·高二期末）（多选）已知圆221:1C x y +=和圆222:40C x y x +-=的公共点为A ，B ，则（ ）A ．12||2C C =B ．直线AB 的方程是14x =C ．12AC AC ⊥D ．||2AB =【答案】ABD【解析】圆1C 的圆心是()0,0，半径11r =，圆()222:24C x y -+=，圆心()2,0，22r =，122C C ∴=，故A 正确；两圆相减就是直线AB 的方程，两圆相减得1414x x =⇒=，故B 正确； 11AC =，22AC =，122C C =，2221212AC AC C C +≠，所以12AC AC ⊥不正确，故C 不正确；圆心()0,0到直线14x =的距离14d =，2AB ===，故D 正确. 故选：ABD3．（2021·全国高二课时练习）（多选）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为12+【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确；对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d ==1r =所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y-=的距离为2d =，半径1r =，即P到直线AB 1+，故D 正确.故选：ABD考点六 切线及切线长【例6-1】（2021·浙江高二单元测试）由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 BC ．D ．3【答案】B【解析】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1==B ．【例6-2】（1）（2021·全国）经过点M 的圆2210x y +=的切线方程是（ ）A ．100x -= B 2100y -+= C ．100x -+=D ．2100x +-=（2）（2021·重庆字水中学高二期末）（多选）过点(2,0)作圆222690x y x y +--+=的切线l ，则直线l 的方程为（ ）A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=（3）（2021·全国）过点(2,2)-作圆224x y +=的切线，若切点为A 、B ，则直线AB 的方程是（ ） A ．20x y ++=B ．20x y -+=C ．20x y +-=D ．20x y --=【答案】（1）D （2）BC （3）B【解析】（1）222(6)10+=，M ∴在圆上，且2OM k =，∴过M 的切线斜率为1OMk -=∴过M 的切线方程为：2)y x =-，即2100x +-=.选:D .（2）22222690(1)(3)1x y x y x y +--+=∴-+-=圆心(1,3)到直线2x =距离等于1，所以直线l 的方程可以为2x = 当直线l 的斜率存在时，设:(2)l y k x =-441:(2)438033k l y x x y =∴=-∴=--∴+-=故选：BC（3）根据题意，设(2,2)P -，圆224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径2r ，有||OP ==则2222||||||4PA PB OP r ==-=，则以P 为圆心，||PA 为半径为圆为22(2)(2)4x y ++-=，即224440x y x y ++-+=， 公共弦所在的直线即直线AB ，则222244440x y x y x y ⎧+=⎨++-+=⎩，变形可得20x y -+=； 即直线AB 的方程是20x y -+=；故选：B.【例6-3】（2021·四川眉山市·高二期末（文））圆221:1C x y +=与圆222:870C x y y +-+=公切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】D【解析】221:1C x y +=的圆心坐标1(0,0)C ，半径为11r =；222:870C x y y +-+=化为标准方程为()222:49C x y +-=，所以圆心坐标2(0,4)C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以两个圆外切，所以公切线条数为3条.故选：D.【例6-4】（2021·全国高二课时练习）已知P （x ，y ）是直线kx +y +3=0（k >0）上一动点，PA ，PB 是圆C ：2x +2y -2y =0的两条切线，.A 、B 是切点，若四边形PACB k 的值为（ ）A BC ．D ．【答案】A【解析】圆22:20C x y y +-=的圆心(0,1)，半径是1r =，由圆的性质知：2PBC PACB S S ∆=四边形，四边形PACBPBC S ∆∴的最小值1(2rd d =是切线长）d ∴=最小值所以|PC|2=，所以20,k k k ∴=>∴=故选：A ．【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）P 是直线x +y -2=0上的一动点，过点P 向圆22:(2)(8)4C x y ++-=引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．2【答案】C【解析】∵圆22:(2)(8)4C x y ++-=，∴圆心(2,8)C -，半径2r .由题意可知，点P 到圆22:(2)(8)4C x y ++-=的切线长最小时，CP 垂直于直线20x y +-=.∵圆心到直线的距离d ==2=.故选：C.2．（2021·西安市铁一中学高二期末（理））由直线2y x =+上的点向圆22(4)(2)1x y -++=引切线，则切线长的最小值为A B C ．D 【答案】B【解析】圆心(4,2)A -,半径1r = ，圆心到直线的距离d ==则切线长的最小值=3．（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二期末（文））若从坐标原点O 向圆22:12270C x y x +-+=作两条切线，切点分别为A ，B ，则线段AB 的长为（ ）A ．32B ．3CD ．【答案】D【解析】圆C 标准方程是22(6)9x y -+=，圆心为(6,0)C ，半径为3r =，所以,A B 关于OC 对称，即关于x 轴对称，而OA CA ⊥，6,3OC CA ==，所以OA =，所以2AB ==．故选：D ． 4．（2021·重庆市南坪中学校高二月考）过坐标原点O 作圆（x ﹣2）2+（y ﹣3）2＝4的两条切线，切点为A ，B ．直线AB 被圆截得弦AB 的长度为（ ）A B C ．13D ．13【答案】B【解析】如图所示,易得OC =故213OB BC AB OC ⋅===.故选：B5．（2021·浙江高二期末）过点()2,1作圆224x y +=的切线，切线的方程为（ ） A ．34100x y +-=B ．3420x y --=C ．2x =或3420x y --=D ．2x =或34100x y +-=【答案】D 【解析】圆224x y +=的圆心为()0,0，半径2r ，过点()2,1作圆224x y +=的切线，当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，满足条件，当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x -=-，即210kx y k --+=，则2d ==，解得34k =-，故切线方程为34100x y +-=， 综上可得切线方程为34100x y +-=或2x =故选：D6．（2021·全国高二课时练习）经过点()2,1M -作圆225x y +=的切线，则切线的方程为 A ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--=7．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（ ）A ．1B ．2 C．3 D ．4【答案】B【解析】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3； 圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.8．（2021·六安市裕安区新安中学高二开学考试（理））若圆22(1)(3)4x y -+-=与圆22(2)(1)5x y a +++=+有且仅有三条公切线，则a =（ ） A ．-4B ．-1C ．4D ．11【答案】C 【解析】圆22(1)(3)4x y -+-=的圆心为()1,3，半径为2， 圆22(2)(1)5x y a +++=+的圆心为()2,1--()5a >-，两圆有且仅有三条公切线，∴两圆外切，2=4a =.故选：C. 9．（2021·四川眉山市·仁寿一中高二开学考试（文））已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）A ．2BC ．D ．4 【答案】A【解析】圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆． 由于四边形PACB 面积等于122PA ACPA ⨯⨯⨯=，而PA =故当PC 最小时，四边形PACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形PACB 2=，故选A.考点七 实际生活运用【例7】（2021·上海高二专题练习）如图，某海面上有O 、A 、B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东45︒方向距O岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O 、A 、B 三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45︒行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1）2220600x y x y +--=（2）该船有触礁的危险【解析】（1）如图所示，(40,40)A 、(20,0)B ，设过O 、A 、B 三点的圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，得：222040404040020200F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪++=⎩，解得20D =-，60E =-，0F =，故所以圆C 的方程为2220600x y x y +--=，圆心为(10,30)C，半径r =（2）该船初始位置为点D，则(20,D --，且该船航线所在直线l 的斜率为1，故该船航行方向为直线l：200x y -+-=，由于圆心C 到直线l的距离d ==<，故该船有触礁的危险.【一隅三反】1．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）如图，某个圆拱桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米；当水面下降1米后，桥在水面的跨度为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】以圆拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的圆心位于y 轴负半轴上，设该圆的圆心为()0,a -，0a >，则该圆的方程为()222x y a a ++=，记水面下降前与圆的两交点为A ，B ；记水面下降1米后与圆的两交点为C ，D ； 由题意可得，()10,4A --，则()()222104a a -+-+=，解得292a =， 所以圆的方程为222292922x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 水面位下降1米后，可知C 点纵坐标为5y =-， 所以2222929522x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2120x =，则此时的桥在水面的跨度为2CD x ===米.故选：C.2．（2021·上海高二专题练习）有一种大型商品，A 、B 两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离，A 地的运费是B 地运费的2倍﹐已知A ､B 两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较低.建立适当的平面直角坐标系（1）求A 、B 两地的售货区域的分界线的方程﹔（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.【答案】（1）()22516x y -+=；（2）答案见解析.【解析】（1）以线段AB 的中点O 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xOy ，则点()3,0A 、()3,0B -，设每单位距离B 的运费为a 元，设售货区域内一点为(),P x y ，若在两地的购货费用相同，则2=()22516x y -+=， 故在A 、B 两地的售货区域的分界线的方程为()22516x y -+=；（2）由（1）可知，A 、B 两地的售货区域的分界线是以点()5,0为圆心，以4为半径的圆，所以，在圆()22516x y -+=上的居民从A 、B 两地购货的总费用相同.由2>()22516x y -+>， 所以，在圆()22516x y -+=外的居民从B 地购货便宜；由2<()22516x y -+<，所以，在圆()22516x y -+=内的居民从A 地购货便宜.考点八 综合运用【例8】（2021·全国高二课时练习）已知圆C 的圆心坐标为C （3，0），且该圆经过点A （0，4）．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；（3）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线l 过一个定点，并求出该定点坐标．（4）直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线l 的斜率是定值，并求出该定值．【答案】（1）（x ﹣3）2+y 2＝25；（2）x ＝0或7x +24y ﹣96＝0；（3）证明见解析，（﹣6，﹣12）；（4）证明见解析，34-. 【解析】（1）圆以(3,0)为圆心，||5AB =为半径，所以圆的标准方程为()22325x y -+=.（2）①k 不存在时，直线l 的方程为：0x =，||8AB ==，满足题意；②k 存在时，设直线l 的方程为：4y kx =+，3d ==3,724d k ==∴=-， 所以直线l 的方程为：724960x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或724960x y +-=.（3）设直线MN ：y kx t =+，()11,M x kx t +，()22,N x kx t +，1212442AM AN kx t kx t k k x x +-+-⋅=⋅= ()()()()2212122440k x x k t x x t ⇒-+-++-=①联立方程()()()22222126160325y kx t k x kt x t x y =+⎧⎪⇒++-+-=⎨-+=⎪⎩， 所以()122261kt x x k --+=+，2122161t x x k-=+代入① 得()()()()()()2222216426410k t kt k kt t k --+--++-+=， 化简得26t k =+，所以直线l 的方程为：26t y x t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以过定点()6,12--. （4）设直线AM ：y ＝kx +4，联立方程()()()222241680325y kx k x k x x y =+⎧⎪⇒+--=⎨-+=⎪⎩， 所以M 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫--++ ⎪++⎝⎭， 同理N 点的坐标为22268464,11k k k k k ⎛⎫+--+ ⎪++⎝⎭． 所以34M N MN M N y y k x x -==--， 故直线l 的斜率是定值，且为34-． 【一隅三反】 1．（2021·全国高二课时练习）已知圆()()22:1225C x y -+-=和直线()():211740l m x m y m +++--=.（1）证明：不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点；（2）求直线被圆 C 截得的最短弦长并求此时直线l 的方程；（3）已知点(,)P x y 在圆C 上，求22x y +的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）250x y --=（3）30+【解析】（1）由()():211740l m x m y m +++--=得(27)40x y m x y +-++-=，由27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，得31x y =⎧⎨=⎩，即直线l 经过定点(3,1)， 因为22(31)(12)25-+-<，所以点(3,1)在圆()()22:1225C x y -+-=内，所以不论 m 为何实数，直线l 都与圆 C 相交于两点.（2）由()()22:1225C x y -+-=可知，圆心(1,2)C ，半径为5，设(3,1)M ，设圆心C 到直线l 的距离为d ，则||d CM≤==，当且仅当CM l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离为d 最大，此时直线被圆 C截得的弦长最短，最短弦长为==，因为211132CM k -==--，所以直线l 的斜率为2， 所以直线l 的方程为12(3)y x -=-，即250x y --=.（3）设坐标原点为O ，则||OC =，所以max ||||55OP OC =+=，所以2222||x y OP +==的最大值为25)30=+2（2021·浙江高二单元测试）已知圆22(3)(4)16x y -+-=，直线1:0l kx y k --=，且直线1l 与圆交于不同的两点,P Q ，定点A 的坐标为(1,0).（1）求实数k 的取值范围；（2）若,P Q 两点的中点为M ，直线1l 与直线2:240l x y ++=的交点为N ，求证：||||AM AN ⋅为定值.【答案】（1）4(,)(0,)3-∞-⋃+∞（2）10【解析】（1）因为圆22(3)(4)16x y -+-=与直线1l 与交于不同的两点，4<，即2340k k +>，解得43k <-或0k > （2）由0{240kx y k x y --=++=可得245()2121k k N k k --++， 由220{(3)(4)16kx y k x y --=-+-=可得2222(1)(286)890k x k k x k k +-+++++= 设P Q ，两点横坐标分别为12x x ，，则21222861k k x x k+++=+ 得22224342()11k k k k M k k +++++，所以AM AN ⋅=10== 3．（2021·内蒙古包头市·高二期末（文））已知圆O ：228x y +=，()1,2M -是圆O 内一点，()4,0P 是圆O 外一点．（1）AB 是圆O 中过点M 最长的弦，CD 是圆O 中过点M 最短的弦，求四边形ACBD 的面积；（2）过点P 作直线l 交圆于E 、F 两点，求OEF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【答案】（1）；（2）4，)4y x =-. 【解析】（1）过M 最长的弦为直径，最短的弦为垂直于OM 的弦，圆的半径R =OM =所以AB =CD ==所以1122ABCD S AB CD =⨯⨯=⨯=四边形（2）OE OF ==1sin 2OEF S OE OF EOF =⨯⨯⨯∠△， 当90EOF ∠=︒时，OEF 面积的最大值为4，此时，O 到l 的距离为2，4OP =所以l 的倾斜角为30或150︒，则l 的斜率为±l 的方程为)43y x =±-．。

知识讲解_直线、圆的位置关系_(基础)

知识讲解_直线、圆的位置关系_(基础)

直线、圆的位置关系【学习目标】1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想. 【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l 与圆C 有公共点. 有两组实数解时，直线l 与圆C 相交； 有一组实数解时，直线l 与圆C 相切； 无实数解时，直线l 与圆C 相离. （2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断： 当d r <时，直线l 与圆C 相交； 当d r =时，直线l 与圆C 相切； 当d r >时，直线l 与圆C 相离. 要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决. 要点二：圆的切线方程的求法 1．点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-． 法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．2．点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=.要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1．应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．2．利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．3．利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：2121||l k x x =+-=()()22121214k x x x x ⎡⎤++-⎣⎦．要点四：圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.2.圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解. 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离. （2）几何法： 设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d .当1212r r d r r -<<+时，两圆相交； 当12r r d +=时，两圆外切； 当12r r d +<时，两圆外离； 当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含.要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 4．两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x 2+y 2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决. 【答案】相交 【解析】解法一：∵x 2+y 2=4， ∴圆心为（0，0），半径r=2.又∵y=2x+1，∴圆心到直线的距离为25d r ==<=.∴直线与圆相交. 解法二：∵⎩⎨⎧=++=,4,1222y x x y ∴（2x+1）2+x 2=4，即5x 2+4x-3=0. 判别式Δ=42-4×5×（-3）=76＞0. ∴直线与圆相交.【总结升华】判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑.例2．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x 2+y 2―4x―2y+1=0．当m 为何值时，圆与直线 （1）有两个公共点；（2）只有一个公共点； （3）没有公共点．【答案】（1）m ＞0或43m <-（2）m=0或43m =-（3）403m -<< 【解析】解法一：将直线mx―y―m―1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m 2）x 2―2（m 2+2m+2）x+m 2+4m+4=0． ∵Δ=4m （3m+4），∴当Δ＞0时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当Δ=0时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当Δ＜时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 解法二：已知圆的方程可化为（x―2）2+（y―1）2=4， 即圆心为C （2，1），半径r=2．圆心C （2，1）到直线mx―y―m―1=0的距离d ==．当d ＜2时，即m ＞0或43m <-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点； 当d=2时，即m=0或43m =-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点； 当d ＞2时，即403m -<<时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系．在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用联立方程．举一反三：【变式1】求实数m 的范围，使直线30x my -+=与圆22650x y x +-+=分别满足： （1）相交；（2）相切；（3）相离．【答案】（1）m <-m >（2）m =±3）m -<<【解析】圆的方程化为标准为22(3)4x y -+=，故圆心（3，0）到直线30x my -+=的距离d =2r =．（1）若相交，则d r <2<，所以m <-m >．（2）若相切，则d r =2=，所以m =±（3）若相离，则d r >2>，所以m -<<【总结升华】一般来讲，选择此方法要比选择计算判别式的方法在运算上简单． 类型二：切线问题【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 典型例题1】 例3．过点(7,1)P 作圆2225x y +=的切线,求切线的方程.【思路点拨】先判断点在圆上或圆外，如果点在圆上则有一条切线．如果点在圆外，则有两条切线．本例中很明显点在圆外．【答案】43250x y --=或34250x y +-= 【解析】因为22715025+=>，所以点在圆外．法一：设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-,即710kx y k --+=. 因为圆心(0,0)到l 的距离d =,则5d r ==,5=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.解法二:设过点(7,1)P 与圆相切的直线为:1(7)l y k x -=-.由221(7),25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩可得222(1)2(71)(71)250k x k k x k +--+--=.从而 22224(71)4(1)[(71)25]0k k k k ∆=--+--=.解得43k =或34-. 从而,切线方程为43250x y --=或34250x y +-=.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程； （2）待定系数法； （3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况． 举一反三：【变式1】（2016 天津河西区模拟）已知圆C 经过点A （2，0）、(1,B ，且圆心C 在直线y =x 上． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,3的直线l 截圆所得弦长为l 的方程．【答案】（1）x 2+y 2=4；（2）x =1或y x =+【解析】（1）AB 的中点坐标3(,2，AB AB 垂直平分线为60y +=，与x ―y =0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3，∴直线l的方程为(1)y k x-=-，即y kx k=，则圆心（0，0）到直线的距离||kd-=，又圆的半径r=2，截得的弦长为则有22||4k-+=，解得：k=，则直线l的方程为33y x=-+．当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意．直线l的方程：x=1或y x=．【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题．类型三：弦长问题例4．直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为l的方程．【答案】x―2y+5=0或2x―y―5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）圆心（0，0）到直线的距离d=，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，=，解得12k=或k=2故直线l的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y―5=k（x―5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,联立方程225(5)25y k xx y-=-⎧⎨+=⎩，消去y，得（k2+1）x2+10k（1―k）x+25k（k―2）=0，∴Δ=[10k（1―k）]2―4（k2+1）·25k（k―2）＞0，解得k＞0．又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k （x 1―x 2），∴221212||()()AB x x y y =-+-212(1)()k x x =+- 221212(1)[()4k x x x x =++-222222100(1)25(2)(1)445(1)1k k k k k k k ⎡⎤--=+-⋅=⎢⎥++⎣⎦． 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意． 故直线l 的方程为x―2y+5=0或2x―y―5=0．【总结升华】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为（x―x 0）2+（y―y 0）2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即22||2AB r d =-．（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则221212||(1)[()4AB k x x x x =++- 21212211[()4](0)y y y y k k ⎛⎫=++-≠ ⎪⎝⎭举一反三：【变式1】求经过点P （6，―4），且被定圆x 2+y 2=20截得弦长为62的直线的方程． 【答案】x+y―2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，||62AB =，||25OA =，作OC ⊥AB 于C ．在Rt △OAC 中，2||20(32)2OC =-=．设所求直线的斜率为k ，则直线的方程为y+4=k （x―6），即kx―y―6k―4=0．又圆到直线的距离为2，∴221k =+，即17k 2+24k+7=0，∴k 1=―1，2717k =-． ∴所求直线方程为x+y―2=0或7x+17y+26=0． 类型四：圆与圆的位置关系例5．已知圆C 1：x 2+y 2―2mx+4y+m 2―5=0，圆C 2：x 2+y 2+2x―2my+m 2―3=0，问：m 为何值时，（1）圆C 1和圆C 2相外切？（2）圆C 1与圆C 2内含？【思路点拨】利用几何法或代数法都可以判断． 【答案】（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m ＜―1． 【解析】对于圆C 1，圆C 2的方程，配方得 C 1：（x―m ）2+（y+2）2=9，C 2：（x+1）2+（y―m ）2=4．（1）如果圆C 1与圆C 232=+，即 （m+1）2+（m+2）2=25，m 2+3m―10=0， 解得m=―5或m=2．（2）如果圆C 1与圆C 232<-，即（m+1）2+（m+2）2＜1，m 2+3m+2＜0，解得―2＜m ＜―1． 故（1）当m=―5或m=2时，圆C 1与圆C 2相外切；（2）当―2＜m ＜―1时，圆C 1与圆C 2内含． 【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R+r 、d 与R―r 的大小关系来判定即可．举一反三：【变式1】当a 为何值时，圆C 1：x 2+y 2―2ax+4y+（a 2―5）=0和圆C 2：x 2+y 2+2x―2ay+（a 2―3）=0相交．【答案】当―5＜a ＜―2或―1＜a ＜2时，圆C 1与圆C 2相交【变式2】已知圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，圆2C ：2242110x y x y +-+-=，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长．【答案】公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x ―8y +12=0，即3x ―4y +6=0， ∵圆1C ：22(1)(3)9x y ++-=，故其圆心为（―1，3），r =3 圆到弦所在直线的距离为|3126|955d --+==125= 故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x ―4y +6=0，弦长为245． 类型五：最值问题例6．已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2―4x+1=0，求：（1）yx的最大值；（2）y―x 的最小值． 【思路点拨】将x 2+y 2―4x+1=0、yx、y―x 赋予几何意义，利用数形结合来解决．【答案】（1（2）2【解析】将实数x 、y 看作点P （x ，y ）的坐标，满足x 2+y 2―4x+1=0的点P （x ，y ）组成的图形是以M （2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示．（1）设00y y k x x -==-，即yx是圆上的点P 与原点O 连线的斜率．由图知，直线y=kx 和圆M 在第一象限相切时，k 取最大值． 此时有OP ⊥PM ，||3PM =，|OM|=2，∴∠POM=60° 此时tan 603k =︒=，∴yx的最大值为3． （2）设y―x=b ，则y=x+b ，b 是直线y=x+b 在y 轴上截距．由图知，当直线y=x+b 和圆M 在第四象限相切时，b （b ＜0）取最小值，此时有32=，解得62b =--， ∴y―x 的最小值是62--．【总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y 轴上的截距等．举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）在圆22(2)3x y ++=上，求yx的最小值． 【答案】3- 【解析】设yk x=，则k 的几何意义为圆上的点与原点的斜率， 则由图象可知当直线y =kx 与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k ＜0， 则圆心（－2，0）到直线的距离231d k==+，即23k =，解得3k =-， 故yx的最小值为3-． 【高清课堂：与圆有关的位置关系370892 例4】【变式2】已知实数x ，y 满足222-230x y x y ++=，求（1）x 2+y 2的最大值；（2）x+y 的最小值．【答案】（1）16 （2）3221--【解析】22222-230(1)(-3)4x y x y x y ++=++=可以化为于是（x ，y ）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点． 如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，22x y2r=4，所以x2+y2的最大值为16．（2）解法同例6（2）．。

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义

直线与圆、圆与圆的位置关系讲义课前双击巩固1.直线与圆的位置关系设圆O 的半径为r (r>0),圆心到直线l 的距离为d ,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 相切 相交图形量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0 几何观点d r d r d r2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R ,r (R>r ),两圆圆心间的距离为d ,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数(x 或y),令一元二次方程的判别式等于0,求出相关参数.(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距d 、半径r 和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB|=2√r 2-d 2.(2)代数法:设直线y=kx+m 与圆x 2+y 2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去y,得关于x 的一元二次方程,求出x M +x N 和x M ·x N ,则|MN|=√1+k 2·√(x M +x N )2-4x M ·x N.题组一常识题1.[教材改编]直线y=kx+1与圆x2+y2-2x-3=0的位置关系是.2.[教材改编]以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程是.3.[教材改编]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2=9的位置关系为.4.[教材改编]直线x-y-5=0被圆x2+y2-4x+4y+6=0所截得的弦的长为.题组二常错题◆索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率k不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解.5.若圆x2+y2=1与圆(x+4)2+(y-a)2=25相切,则常数a=.6.已知圆C: x2+y2=9,过点P(3,1)作圆C的切线,则切线方程为.且被圆x2+y2=25截得的弦长是8,则该直线的方程7.若直线过点P-3,-32为.课堂考点探究探究点一直线与圆的位置关系1 (1)直线x+ay+1=0与圆x2+(y-1)2=4的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定(2)直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )A.0<m<1B.-4<m<0C.m<1D.-3<m<1[总结反思]判断直线与圆的位置关系的常用方法:(1)若易求出圆心到直线的距离,则用几何法,利用d与r的关系判断.(2)若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达式较复杂,则用代数法,联立方程后利用Δ判断,能用几何法求解的,尽量不用代数法.式题 (1)圆2x 2+2y 2=1与直线xsin θ+y -1=0θ∈R ,θ≠π2+kπ,k ∈Z 的位置关系是 (横线内容从“相交、相切、相离、不确定”中选填).(2)过定点P (-2,0)的直线l 与曲线C :(x-2)2+y 2=4(0≤x ≤3)交于不同的两点,则直线l 的斜率的取值范围是 . 探究点二 圆的切线与弦长问题2 (1) 过点(1,1)的直线l 与圆(x-2)2+(y-3)2=9相交于A ,B 两点,当|AB |=4时,直线l 的方程为 .(2) 已知圆的方程是x 2+y 2=1,则经过上一点M √22,√22的切线方程是 .[总结反思] (1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)处理圆的切线问题时,一般通过圆心到直线的距离等于半径建立关系式解决问题.若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,则过点M 的圆的切线方程为x 0x+y 0y=r 2.式题 (1)已知直线l :x+y-2=0和圆C :x 2+y 2-12x-12y+m=0相切,则实数m 的值为 . (2) 设直线y=kx+1与圆x 2+y 2+2x-my=0相交于A ,B 两点,若点A ,B 关于直线l :x+y=0对称,则|AB |= .(3)已知点M 在直线x+y+a=0上,过点M 引圆O :x 2+y 2=2的切线,若切线长的最小值为 2√2,则实数a 的值为 ( )A. ±2√2B.±3C.±4D. ±2√5探究点三 圆与圆的位置关系3 (1) 已知圆C 1:x 2+y 2=4,圆C 2:x 2+y 2+6x-8y+16=0,则圆C 1和圆C 2的位置关系是 ( )A.相离B.外切C.相交D.内切(2)已知经过点P1,32的两个圆C1,C2都与直线l1:y=12x,l2:y=2x相切,则这两圆的圆心距C1C2等于.[总结反思](1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断,一般不采用代数法.(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.式题(1)已知点O(0,0),M(1,0),且圆C:(x-5)2+(y-4)2=r2(r>0)上至少存在一点P,使得|PO|=√2|PM|,则r的最小值是.(2)设P(x1,y1)是圆O1:x2+y2=9上的点,圆O2的圆心为O2(a,b),半径为1,则(a-x1)2+(b-y1)2=1是圆O1与圆O2相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课时作业一、填空题1．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是________．2．过两圆x2＋y2＋3x＋2y＝0及x2＋y2＋2x＋6y－4＝0的交点的直线方程是________．3．已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为________．4．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且被直线x＋2y＝0截得的弦长为4，则圆C的方程是________．5．若过点P(1，3)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|＝________．6．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．7．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则________．8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于________．9．设直线l截圆x2＋y2－2y＝0所得弦AB的中点为(－12，32)，则直线l的方程为________；|AB|＝________．10．设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C 的方程是________．11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为23，则a＝________.二、解答题12．一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．13．已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．。

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系
2 y ＋ F 2=0
①，圆 C 2： x 2＋ y 2＋ D 2 x ＋ E
②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得( D 1－
D 2) x ＋( E 1－ E 2) y ＋ F 1－ F 2=0
③，方程③表示圆 C 1与 C 2的公共弦
所在直线的方程.
2. 两圆公共弦长的求法
先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距 d ，半弦长
若｜ AB ｜＝6，则 r 的值为
5 .
⁠
设圆心(0，0)到直线 x － 3 y ＋8＝0的距离为 d ，
则d＝
｜8 ｜
＝4，
12 ＋(− 3)2
所以 r 2＝
｜｜
2
2
又 r ＞0，所以 r ＝5.
＋ d 2＝32＋42＝25.
方法总结
1. 求直线与圆相交弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成
所以｜ AB ｜＝ (−4 − 0)2 ＋(0 − 2)2 ＝2 5 ，即公共弦长为2 5 .
法二：由 x 2＋ y 2－2 x ＋10 y －24＝0，得( x －1)2＋( y ＋5)2＝50，圆 C 1的
圆心坐标为(1，－5)，半径 r ＝5 2 ，圆心到直线 x －2 y ＋4＝0的距离为
d＝
(3)过圆 x 2＋ y 2＝ r 2外一点 P ( x 0， y 0)作圆的两条切线，切点分别为 A ，
B ，则过 A ， B 两点的直线方程为 x 0 x ＋ y 0 y ＝ r 2．
◉角度(二) 弦长问题
例2 (1)已知直线 y ＝2 x 与圆 − 2
则 ＝(
B )
2＋
−2
2 ＝1交于 A ， B 两点，

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系

直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。

直线和圆的位置关系知识点归纳整理

直线和圆的位置关系知识点归纳整理

直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。

此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。

2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。

3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。

直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。

直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。

切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。

切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。

切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。

切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。

切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。

2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。

d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。

如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

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直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系；2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练掌握以上内容解决一些实际问题；3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题．【要点梳理】要点一、点和圆的位置关系1．点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有2．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.要点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．2．直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．要点三、切线的判定定理、性质定理和切线长定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.3．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 4．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.5．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.6．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部.要点四、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含. 2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2半径为r 2， 两圆心O 1O 2的距离为d ，则： 两圆外离 d ＞r 1+r 2 两圆外切 d=r 1+r 2两圆相交 r 1-r 2＜d ＜r 1+r 2 (r 1≥r 2) 两圆内切 d=r 1-r 2 (r 1＞r 2) 两圆内含 d ＜r 1-r 2 (r 1＞r 2)要点诠释：(1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合. 【典型例题】类型一、点与圆的为位置关系1.已知⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线l 的距离d ＝OD ＝3cm ，在直线l 上有P 、Q 、R 三点，且有PD ＝4cm ，QD ＞4cm ，RD ＜4cm ，P 、Q 、R 三点与⊙O 位置关系各是怎样的?【思路点拨】判断点与圆的位置关系，关键是计算出点与圆心的距离，再与圆的半径比较大小，即可得出结论．【答案与解析】依题意画出图形(如图所示)，计算出P 、Q 、R 三点到圆心的距离与圆的半径比较大小． 连接PO ，QO ，RO ．∵ PD ＝4cm ，OD ＝3cm ，∴ PO ＝2222435PD OD r +=+==． ∴ 点P 在⊙O 上．222223435QO QD OD QD r =+=+>+==，∴ 点Q 在⊙O 外．2222223435RO RD OD RD r =+=+<+==，∴ 点R 在⊙O 内．【总结升华】本题也可以先计算出直线l 上的点恰好在圆上时，改点与垂足点D 之间的距离，然后再比较得出结论.类型二、直线与圆的位置关系2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 为AB 延长线上一点，且∠DCB=∠A ， 求证：CD 是⊙O 的切线。

【答案与解析】如图，作直径CE，连结BE，则∠CBE=90°，∠E=∠A，∵∠DCB=∠A，∴∠DCB=∠E，∠E+∠BCE=90°，∴∠DCB+∠BCE=90°，即CD⊥EC，EC又是直径，∴CD是⊙O的切线。

【总结升华】证切线常用的方法是连半径（或直径），证垂直.举一反三：【变式】已知:如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP【答案】如图，连接OA、AB，圆O为△ABC的外接圆，∴∠BAC＝90度，即AC⊥AB∵PA、PB为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，且OA＝OB＝r，∴OP是AB的的垂直平分线∴AB⊥OP∴AC‖OP(垂直同一条线的两直线平行)3. 如图所示，I是△ABC的内心，∠A＝80°，求∠BIC的度数．【思路点拨】根据∠A的度数，可以求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据内心是三角形三条角平分线的交点，可以求出∠1+∠2的度数，进而求得∠BIC的度数.【答案与解析】∵I是△ABC的内心，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠ACB．∴∠1+∠2＝12(∠ABC+∠ACB)．又∵∠ABC+∠ACB＝180°-∠A＝180°-80°＝100°，∴∠BIC＝180°-(∠1+∠2)＝180°-50°＝130°．【总结升华】熟记结论，I是△ABC的内心，则1BIC=90+BAC2∠∠，I是△ABC的外心，则∠BIC＝2∠A，对解有关的填空、选择题很方便．类型三、圆与圆的位置关系4. 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少?【答案与解析】(1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8，∴r＝3．当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8，∴r＝13．∴当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切．(2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5，解得3＜r＜13，即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交．【总结升华】两圆相切包含两圆外切与两圆内切，两圆外切和内切的对应关系分别为d＝R+r和d＝R-r(R＞r)，它们起着分界作用，分别是外离与相交，相交与内含的分界点．可用图表示为：举一反三：【变式】已知⊙O1与⊙O2相切，⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，则O1O2的长是( ) A．1cm B．5cm C．1cm或5cm D．0.5cm或2.5cm【答案】两圆相切包括外切和内切，当⊙O1与⊙O2外切时，d＝O1O2＝R+r＝3+2＝5(cm)；当⊙O1与⊙O2内切时，d＝O1O2＝R-r＝3-2＝1(cm)．故选C.。

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