高中数学(理)一轮复习课件：第8章 第49讲 圆的方程
合集下载
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第8章 解析几何 8.3 圆的方程
命题角度2 截距型最值问题
例4 在例3的条件下求y-x的最大值和最小值.
解 y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.
如图,当直线y=x+b与圆相切时,
纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+|
此时
√2
= √3,解得 b=-2±√6.
故 y-x 的最大值为-2+√6,最小值为-2-√6.
命题角度3 距离型最值问题
2
2
x+y-2=0.
解题心得求解与圆有关的最值问题的两种思路
(1)借助几何性质求最值
-
①形如 k= 的最值问题,可转化为定点(a,b)与圆上的动点(x,y)的斜率的
-
最值问题;
②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;
③形如u=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的
代入 x2+y2=1,整理得
又 y0≠0,所以 y≠0.故所求轨迹方程为
1 2
2 4
+ 3 +y =9(y≠0).
解题心得求与圆有关的轨迹方程问题时,根据题设条件的不同,常采用以下
方法:
(1)直接法:直接根据题目提供的条件求出轨迹方程.
(2)定义法:根据圆、直线等定义求出轨迹方程.
(3)几何法:利用圆的几何性质求出轨迹方程.
则点P的坐标为(2x-2,2y),其中x≠2.
因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,即(x-1)2+y2=1.
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1(x≠2).
(2)设PQ的中点为N(x,y).在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.
高考理科数学一轮复习课件圆的方程
定义
01
两个圆有且仅有一个公共点，且一个圆在另一个圆的外部时，
称这两个圆外切。
判定方法
02
通过比较两个圆心之间的距离与两个圆的半径之和的大小关系
来判定。若圆心距等于两圆半径之和，则两圆外切。
性质
03
两圆外切时，连心线必过切点，且两圆心到切点的距离相等。
圆与圆相交
01
定义
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。
圆的方程形式
标准方程
(x - a)² + (y - b)² = r² ， 其中(a, b)是圆心坐标，r 是半径。
一般方程
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 ，其中D² + E² - 4F > 0 。通过配方可以化为标准 方程。
参数方程
圆的参数方程为 x = a + rcosθ, y = b + rsinθ (θ为 参数)。
05
圆的方程在几何问题中的应用
利用圆的方程求轨迹问题
确定动点的轨迹
通过设定动点的坐标，利用圆的方程将动点的坐标代入，得到动 点的轨迹方程。
求解轨迹的半径和圆心
通过轨迹方程，可以进一步求解出轨迹的半径和圆心坐标。
判断轨迹的形状
根据轨迹方程的形式和性质，可以判断出轨迹的形状，如圆、椭圆 等。
利用圆的方程解决最值问题
直线与圆相切
直线与圆有且仅有一个交点，即 直线刚好与圆接触。
可以通过比较圆心到直线的距离 与圆的半径来判断，若距离等于
半径则相切。
切线的斜率可以通过圆心坐标和 切点坐标求得。
直线与圆相离
直线与圆没有交点，即直线在 圆外部。
2020版高考数学大一轮复习第八章解析几何第48讲圆的方程课件理新人教版
[递进题组]
1．[考法四](2019·长阳一中月考)已知点 A(2，－1，－3)，
点 A 关于 x 轴的对称点为点 B，则|AB|的值为( )
A．4
B．6
C. 14
D．2 10
答案 D 解析 由题意可知点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为
(2,1,3)，所以|AB|＝ 0＋4＋36＝2 10.故选 D.
第八章
解析几何
高考总复习 ·数学（理科）
第48讲
圆的方程
高考总复习 ·数学（理科）
考纲要求
考情分析
1.掌握确定圆的几何要 2018·天津卷，12
素．
2017·全国卷Ⅲ，
2．掌握圆的标准方程 12
与一般方程．
2016·北京卷，5
3．了解空间直角坐标 2016·浙江卷，10
系，会用空间直角坐标
系表示点的位置． 4．会简单应用空间两
2．[考法一](2019·邢台一中月考)已知圆的圆心为(2，－3)， 一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上，则这个圆的方程是
解析 由长方体的几何性质得 M 为 AC1 的中点，在所给的
坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)，则中点 答案 1，23，1
M
的坐标为1，32，1.
︿ ︿
板块二
考法一
[考法精讲] 求圆的方程
归纳总结
求圆的方程的方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径， 进而写出方程．
(3)空间一点 M 的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作 M(x， y，z)，其中 x 叫做点 M 的 横坐标 ，y 叫做点 M 的 纵坐标 ，
z 叫做点 M 的 竖坐标 ．
(4)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
y
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
高考数学复习知识点讲解教案第49讲 圆的方程
故所求圆的标准方程为 + 1
2
+ +2
方法二：设所求圆的标准方程为 −
2
2
2
2
= 10.
+ −
2
,
2
=
= −1,
2 − + −3 − =
由题意得൞ −2 − 2 + −5 − 2 = 2 ,解得ቐ = −2,
2
= 10,
− 2 − 3 = 0,
1.常见圆的方程的设法：
标准方程的设法
2
圆心在原点
过原点
2
+ =
−
2
+ −
圆心在轴上
−
圆心在轴上
2
2
+
2
2
+ −
2
一般方程的设法
2
2
2
+ − =0
=
2
=
2
2
2
2
=
+
2
2.以 1 , 1 , 2 , 2 为直径的两端点的圆的方程是
− 1 − 2 + − 1 − 2 = 0.
设出圆心的坐标，利用 = 构造关于点坐标的方程求解；
思路二：设出圆的标准方程，将圆心坐标代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解；
思路三：设出圆的一般方程，求出圆心坐标，再代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解.
∴⊙ 的方程为 − 1
2
+ +1
2
+ +2
方法二：设所求圆的标准方程为 −
2
2
2
2
= 10.
+ −
2
,
2
=
= −1,
2 − + −3 − =
由题意得൞ −2 − 2 + −5 − 2 = 2 ,解得ቐ = −2,
2
= 10,
− 2 − 3 = 0,
1.常见圆的方程的设法：
标准方程的设法
2
圆心在原点
过原点
2
+ =
−
2
+ −
圆心在轴上
−
圆心在轴上
2
2
+
2
2
+ −
2
一般方程的设法
2
2
2
+ − =0
=
2
=
2
2
2
2
=
+
2
2.以 1 , 1 , 2 , 2 为直径的两端点的圆的方程是
− 1 − 2 + − 1 − 2 = 0.
设出圆心的坐标，利用 = 构造关于点坐标的方程求解；
思路二：设出圆的标准方程，将圆心坐标代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解；
思路三：设出圆的一般方程，求出圆心坐标，再代入 − 2 − 3 = 0，
将点，的坐标分别代入圆的方程，然后组成方程组求解.
∴⊙ 的方程为 − 1
2
+ +1
圆的方程课件-2024届高考数学一轮复习
= ，
得 �� + − + ＋ = ， 解得 = ， 所以圆 C 的一般方
＝ − .
− ＋ − = ，
程为
x 2＋ y 2＋8 x ＋2 y －33＝0.
返回目录Βιβλιοθήκη 考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 （1） 已知 A （－1，0）， B （1，0）， C 为平面内的一动点，且
2. （2023·浙江模考）在平面直角坐标系中， A （－1，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4.
（1） 求点 P 的轨迹方程.
解：（1） 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则由题意，得（ x ＋1）2＋ y 2＋
（ x －1）2＋ y 2＝4.化简，得 x 2＋ y 2＝1.所以点 P 的轨迹方程为 x 2＋ y 2
＝1有交点.所以
最小值为－
｜｜
+
≤1，解得－
≤ k ≤ .所以 的最大值为 ，
.
返回目录
（2） y － x 的最大值和最小值；
解：（2） 方法一：令 y － x ＝ t ，所以直线 x － y ＋ t ＝0与圆（ x －2）2
＋ y 2＝1有交点.所以
｜+｜
＋(−）
的是（
AC
）
A. 圆 C 的方程为（ x －5）2＋（ y －6）2＝10
B. 点 M （3，3）在圆 C 内
C. 若点 Q （5，3），则｜ PQ ｜的最小值为 10 －3
D. 若点 N （6， a ）在圆外，则 a 的取值范围是（3，9）
得 �� + − + ＋ = ， 解得 = ， 所以圆 C 的一般方
＝ − .
− ＋ − = ，
程为
x 2＋ y 2＋8 x ＋2 y －33＝0.
返回目录Βιβλιοθήκη 考点二 与圆有关的轨迹问题
例2 （1） 已知 A （－1，0）， B （1，0）， C 为平面内的一动点，且
2. （2023·浙江模考）在平面直角坐标系中， A （－1，0）， B （1，
0），动点 P 满足｜ PA ｜2＋｜ PB ｜2＝4.
（1） 求点 P 的轨迹方程.
解：（1） 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则由题意，得（ x ＋1）2＋ y 2＋
（ x －1）2＋ y 2＝4.化简，得 x 2＋ y 2＝1.所以点 P 的轨迹方程为 x 2＋ y 2
＝1有交点.所以
最小值为－
｜｜
+
≤1，解得－
≤ k ≤ .所以 的最大值为 ，
.
返回目录
（2） y － x 的最大值和最小值；
解：（2） 方法一：令 y － x ＝ t ，所以直线 x － y ＋ t ＝0与圆（ x －2）2
＋ y 2＝1有交点.所以
｜+｜
＋(−）
的是（
AC
）
A. 圆 C 的方程为（ x －5）2＋（ y －6）2＝10
B. 点 M （3，3）在圆 C 内
C. 若点 Q （5，3），则｜ PQ ｜的最小值为 10 －3
D. 若点 N （6， a ）在圆外，则 a 的取值范围是（3，9）
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
解析：由题设知 = , = ， = ，所以
< < ，要使,,三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，
一个点在圆外，所以圆以 为半径，故圆的方程为
−
+ + ��
= .
求圆的方程的两种方法
1.（多选）(2024·重庆模拟)设圆的方程是 −
= ，故 = − −
⋅ = − −
+ −
+ ,所以
+ + − = − .由圆的方程
= ，易知 ≤ ≤ ,所以，当 = 时， ⋅ 的值最大，
最大值为 × − = .
建立函数关系式求最值
所以点到两点的距离相等且为半径，
所以
−
+ −
=
+ −
= ，
即 − + + − + = ，解得 = ，
所以 , − ， = ，
所以⊙ 的方程为 −
+ +
= .
方法三：设点 , , , ,⊙ 的半径为,则 =
10
则 + 的最大值为____.
2.设点 , 是圆 −
解析：由题意知 = −, − , = −, − − ,
所以 + = −, − ,由于点 , 是圆上的点，故其坐标满足方
程 −
+ = ,
故 = − −
−
+ = ，即表示以点 , 为圆心， 为半径
的圆.
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1. 直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表
示等式，直接求解轨迹方程.
2. 定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出
圆的方程.
3. 相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关
或 m ＝2.(二次项系数相等)
当 m ＝－1时，原方程为 x 2＋ y 2＋8 x ＋4 y －5＝0，(二次项系数化为1后再使用公式)
即( x ＋4)2＋( y ＋2)2＝25.
5
2
2
当 m ＝2时，原方程可化为 x ＋ y ＋2 x ＋ y ＋ ＝0，
2
1
2
5
4
即( x ＋1)2＋( y ＋ )2＝－ ，不是圆的方程，∴ m ＝2不合题意.综上， m 的值为－1.
r ，设 M 的坐标为( x 0， y 0).
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点 P 是以 AB 为直径的圆 O 所在平面内的一点，则
· ＞0⇔点 P 在圆 O 外；
· ＝0⇔点 P 在圆 O 上；
· ＜0⇔点 P 在圆 O 内.
二、基础题练习
1. [2022北京高考]若直线2 x ＋ y －1＝0是圆( x － a )2 ＋ y 2＝1的一条对称轴，则 a ＝
则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为
[解析]
( x －3)2＋( y －3)2＝1 .
设点 P 的坐标为( x ， y )，点 A 的坐标为( x 0 ， y 0 )，由于点 B 的坐标
为(8，6)，且 P 为线段 AB 的中点，∴ x ＝
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
由①、②、③消去E、F 可得： 1 (1－a) D 2＋4D＋a 2－a＋16＝0，④ 4
由题意方程④有唯一解， 当a＝1时，D＝－4，E＝－5，F＝4； 当a 1时，由＝0可解得a＝0， 这时D＝－8，E＝－17，F＝ 16. 综上可知，所求a的值为0或1. 当a＝0时，圆的方程为x 2＋y 2－8x－17y＋16＝0； 当a＝1时，圆的方程为x 2＋y 2－4x－5y＋4＝0.
【解析】 1 将方程x ＋y －2(m＋3) x＋
2 2
2(1－4m 2 ) y＋16m 4＋9＝0 化为( x－m－3) ＋( y＋1－4m ) ＝ －7m ＋6m＋1. 要使圆的面积最大，需半径最大 而r ＝－7m ＋6m＋1 3 2 16 ＝－7( m－ ) ＋ ， 7 7
2 2 2 2 2 2
4 36 2， | PQ | 所以r 10， 2
5.已知圆心为C的圆经过A 1,1 和B(2， 2)，且圆 心在直线l：x y 1 0上，则圆C的标准方程 2 2 是 x 3 y 2 25 .
解析：设圆心坐标为(a，a 1)， 则有 a 1 a 1 1 a 2 a 1 2 ，
2，
4.已知两点P 4,9 ，Q 6,3，则以线段PQ为 直径的圆的方程为 . x 5 y 6 10
2 2
解析:因为PQ为直径，所以PQ的中点 M 为该圆的圆心，即M 5, 6 ， 又因为 PQ 6 4 3 9
2 2
2 2 2
因为圆在直线y＝x上截得的弦长为2 7 所以圆心到直线y＝x的距离 | 2b | d＝ ＝ r 2 7 2＝ 9b 2 7 2 解得b＝1或b＝－1，则a＝3或a＝－3. 所以所求圆的方程为( x－3) 2＋( y－1) 2＝9 或( x＋3) ＋( y＋1) ＝9.
2 2
圆的一般方程
1.若原点 0,0 在圆 x m y m 4的内
2 2
部，则实数m的取值范围是
( 2，2)
.
解析：依题意，得m2 m2 4， 所以 2 m 2.
2.已知方程x y 2kx 4y 3k 8 0表示一个圆， 1) (4， ) . 则实数k的取值范围是 (，
与坐标轴相切时圆的方程求解及其 参数的求解问题，方程形式选用要灵
活．如果已知圆心、半径或圆心到直线
的距离，通常可用圆的标准方程；如果 已知圆经过某些点，通常采用圆的一般 式方程．
【变式练习2】
已知方程 x2 ＋ y2 － 2(m ＋ 3)x ＋ 2(1 － 4m2)y
＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆． (1)当圆的面积最大时，求圆的方程； (2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数 m的取值范围．
它是一个一元二次函数，其图象的开口向下． 1 因为－ m 1， 7 3 16 2 所以当m＝ 时，r 取得最大值 7 7 24 2 13 2 16 此时圆的方程为( x－ ) ＋( y＋ ) ＝ 7 49 7
2 当且仅当3 ＋ 4m
2 2 2 2
2 2 4
－6(m＋3)＋
2(1－4m ) 4m ＋16m ＋9 0 3 即8m －6m 0，即0 m 时， 4 点P在圆内．
2 2 2 2
解得a 3，所以r 5， 故圆的方程是 x 3 y 2 25.
2 2
圆的标准方程
【例1】 求经过点 A(0,5) ，且与直线 x － 2y ＝ 0 和 2x ＋y＝0都相切的圆的方程．
【解析】由于已知条件与圆心、半径有关，故设圆 的标准方程，从而求出圆的方程． 设所求圆的方程为( x－a) 2＋( y－b) 2＝r 2， a 1 a 5 a 2＋(5－b) 2＝r 2 则 a 2b 2a b r , 解得 b 3 或 b 15 5 5 r 5 r 5 5 所以圆的方程为( x－1) 2＋( y－3) 2＝5或 ( x－5) 2＋( y－15) 2＝125.
与圆有关的轨迹问题
【例3】 如图， O1与 O2的半径都是1， O1、 O1O2＝4，过动点P分别作
O2的切线PM 、PN ( M 、N 分 别为切点)，使得PM＝ 2 PN，试建立适当的 坐标系，求动点P的轨迹方程．
【例1】 已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只 有一个，求a的值及圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A、B在此圆上，所以E＋F＋1＝0，① 4D＋aE＋F＋a 2＋16＝0，② 又知该圆与x轴(直线y＝0)相切， 所以由＝0，D －4F＝0，③
2 2
解析：由 2k 42 4 3k 8 4 k 2 3k 4 0，
2原点 0,0 为圆心，且与直线x y 2 0 相切的圆的方程为
解析：r | 2 |
x y 2
2 2
.
12 12 所求圆的方程为x 2 y 2 2.
在用待定系数法求圆的方程时，要 善于根据已知条件来选择圆的方程．如
果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，
通常可用圆的标准方程；如果已知圆经 过某些点，通常采用圆的一般式方程．
【变式练习 1】 一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0 上，且在直线y＝x上截得的弦长为2 7， 求此圆的方程．
【解析】设圆的圆心坐标为O(a，b)，半径为r. 因为圆心在直线x－3y＝0上，所以a＝3b. 又圆与y轴相切，所以r 2＝a 2 . 所以所求圆的方程可设为( x－3b) ＋( y－b) ＝ 3b
由①、②、③消去E、F 可得： 1 (1－a) D 2＋4D＋a 2－a＋16＝0，④ 4
由题意方程④有唯一解， 当a＝1时，D＝－4，E＝－5，F＝4； 当a 1时，由＝0可解得a＝0， 这时D＝－8，E＝－17，F＝ 16. 综上可知，所求a的值为0或1. 当a＝0时，圆的方程为x 2＋y 2－8x－17y＋16＝0； 当a＝1时，圆的方程为x 2＋y 2－4x－5y＋4＝0.
【解析】 1 将方程x ＋y －2(m＋3) x＋
2 2
2(1－4m 2 ) y＋16m 4＋9＝0 化为( x－m－3) ＋( y＋1－4m ) ＝ －7m ＋6m＋1. 要使圆的面积最大，需半径最大 而r ＝－7m ＋6m＋1 3 2 16 ＝－7( m－ ) ＋ ， 7 7
2 2 2 2 2 2
4 36 2， | PQ | 所以r 10， 2
5.已知圆心为C的圆经过A 1,1 和B(2， 2)，且圆 心在直线l：x y 1 0上，则圆C的标准方程 2 2 是 x 3 y 2 25 .
解析：设圆心坐标为(a，a 1)， 则有 a 1 a 1 1 a 2 a 1 2 ，
2，
4.已知两点P 4,9 ，Q 6,3，则以线段PQ为 直径的圆的方程为 . x 5 y 6 10
2 2
解析:因为PQ为直径，所以PQ的中点 M 为该圆的圆心，即M 5, 6 ， 又因为 PQ 6 4 3 9
2 2
2 2 2
因为圆在直线y＝x上截得的弦长为2 7 所以圆心到直线y＝x的距离 | 2b | d＝ ＝ r 2 7 2＝ 9b 2 7 2 解得b＝1或b＝－1，则a＝3或a＝－3. 所以所求圆的方程为( x－3) 2＋( y－1) 2＝9 或( x＋3) ＋( y＋1) ＝9.
2 2
圆的一般方程
1.若原点 0,0 在圆 x m y m 4的内
2 2
部，则实数m的取值范围是
( 2，2)
.
解析：依题意，得m2 m2 4， 所以 2 m 2.
2.已知方程x y 2kx 4y 3k 8 0表示一个圆， 1) (4， ) . 则实数k的取值范围是 (，
与坐标轴相切时圆的方程求解及其 参数的求解问题，方程形式选用要灵
活．如果已知圆心、半径或圆心到直线
的距离，通常可用圆的标准方程；如果 已知圆经过某些点，通常采用圆的一般 式方程．
【变式练习2】
已知方程 x2 ＋ y2 － 2(m ＋ 3)x ＋ 2(1 － 4m2)y
＋16m4＋9＝0表示的图形是一个圆． (1)当圆的面积最大时，求圆的方程； (2)若点P(3,4m2)恒在所给的圆内，求实数 m的取值范围．
它是一个一元二次函数，其图象的开口向下． 1 因为－ m 1， 7 3 16 2 所以当m＝ 时，r 取得最大值 7 7 24 2 13 2 16 此时圆的方程为( x－ ) ＋( y＋ ) ＝ 7 49 7
2 当且仅当3 ＋ 4m
2 2 2 2
2 2 4
－6(m＋3)＋
2(1－4m ) 4m ＋16m ＋9 0 3 即8m －6m 0，即0 m 时， 4 点P在圆内．
2 2 2 2
解得a 3，所以r 5， 故圆的方程是 x 3 y 2 25.
2 2
圆的标准方程
【例1】 求经过点 A(0,5) ，且与直线 x － 2y ＝ 0 和 2x ＋y＝0都相切的圆的方程．
【解析】由于已知条件与圆心、半径有关，故设圆 的标准方程，从而求出圆的方程． 设所求圆的方程为( x－a) 2＋( y－b) 2＝r 2， a 1 a 5 a 2＋(5－b) 2＝r 2 则 a 2b 2a b r , 解得 b 3 或 b 15 5 5 r 5 r 5 5 所以圆的方程为( x－1) 2＋( y－3) 2＝5或 ( x－5) 2＋( y－15) 2＝125.
与圆有关的轨迹问题
【例3】 如图， O1与 O2的半径都是1， O1、 O1O2＝4，过动点P分别作
O2的切线PM 、PN ( M 、N 分 别为切点)，使得PM＝ 2 PN，试建立适当的 坐标系，求动点P的轨迹方程．
【例1】 已知过A(0,1)和B(4，a)且与x轴相切的圆只 有一个，求a的值及圆的方程．
【解析】设所求圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为点A、B在此圆上，所以E＋F＋1＝0，① 4D＋aE＋F＋a 2＋16＝0，② 又知该圆与x轴(直线y＝0)相切， 所以由＝0，D －4F＝0，③
2 2
解析：由 2k 42 4 3k 8 4 k 2 3k 4 0，
2原点 0,0 为圆心，且与直线x y 2 0 相切的圆的方程为
解析：r | 2 |
x y 2
2 2
.
12 12 所求圆的方程为x 2 y 2 2.
在用待定系数法求圆的方程时，要 善于根据已知条件来选择圆的方程．如
果已知圆心、半径或圆心到直线的距离，
通常可用圆的标准方程；如果已知圆经 过某些点，通常采用圆的一般式方程．
【变式练习 1】 一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0 上，且在直线y＝x上截得的弦长为2 7， 求此圆的方程．
【解析】设圆的圆心坐标为O(a，b)，半径为r. 因为圆心在直线x－3y＝0上，所以a＝3b. 又圆与y轴相切，所以r 2＝a 2 . 所以所求圆的方程可设为( x－3b) ＋( y－b) ＝ 3b