高中数学必修二圆的标准方程课件
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
人教版高中数学必修2(A版) 4.1.1圆的标准方程 PPT课件
圆外. 解:所求圆的标准方程为: (x-2)2+(y+3)2=25 把M1的坐标代入方程左边得: ∴点M1在圆上. (5-2)2+(-7+3)2=25
把M2的坐标代入方程左边得: (1-2)2+(1+3)2=17<25
∴点M2不在圆上,而是在圆内.
把M3的坐标代入方程左边得: (6-2)2+(1+3)2=32>25 ∴点M3不在圆上,而是在圆外.
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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
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例1:写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(1,1),M3(6,1)是否在这个圆上.如果不在,判断它在 圆内还是在圆外.
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例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
分析：△ABC的外接圆方程
未知量 是什么？
x a y b
2
2
r
2
B
C A
(知道模样，用待定系数法）
a
b
r
方案1： 解三方程 构成方程 组 已知量 是什么？
P0 ( x0 , y0 )
o
x
x 直线l方程y-y0=k(x-x0) （直线上任意一点坐标关系，以点 斜式为基础推导了斜截式、两点式、 截距式方程，最后统一成一般式）
把M2的坐标代入方程左边得: (1-2)2+(1+3)2=17<25
∴点M2不在圆上,而是在圆内.
把M3的坐标代入方程左边得: (6-2)2+(1+3)2=32>25 ∴点M3不在圆上,而是在圆外.
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点M0(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上、内、 外的条件是什么？ (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆内
点M0在圆外
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例1:写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(1,1),M3(6,1)是否在这个圆上.如果不在,判断它在 圆内还是在圆外.
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例2:△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆方程,并求其半径和圆心坐标.
分析：△ABC的外接圆方程
未知量 是什么？
x a y b
2
2
r
2
B
C A
(知道模样，用待定系数法）
a
b
r
方案1： 解三方程 构成方程 组 已知量 是什么？
P0 ( x0 , y0 )
o
x
x 直线l方程y-y0=k(x-x0) （直线上任意一点坐标关系，以点 斜式为基础推导了斜截式、两点式、 截距式方程，最后统一成一般式）
高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件(1)
1. 圆的一般方程和标准方程； 2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
新教材高中数学第2章圆的方程：圆的标准方程pptx课件新人教A版选择性必修第一册
的方程组，进而求得圆的方程，它是求圆的方程的常用方法．
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
[解]
设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]
当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周
长最小，
即所求圆以线段AB的中点
1
1
|AB|＝
2
2
5
5
，
2
2
为圆心，
10为半径，故所求圆的标准方程为 −
5 2
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点
P(x0，y0)，设d＝|PC|＝
0 −
2
+ 0 − 2 ．
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
______________________
= 5，
(3 − )2 +(4 − )2 = 2
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点
(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ 5，所以外接圆的方程为(x－
[跟进训练]
1．求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，－4)；
[解]
设圆心C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8．
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
[母题探究]
如何求经过A(1，3)，B(4，2)两点，周长最小的圆的标准方程？
[解]
当线段AB为圆的直径时，过点A、B的圆的半径最小，从而周
长最小，
即所求圆以线段AB的中点
1
1
|AB|＝
2
2
5
5
，
2
2
为圆心，
10为半径，故所求圆的标准方程为 −
5 2
知识点2 点与圆的位置关系
圆C：(x－a)2 ＋(y－b)2 ＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点
P(x0，y0)，设d＝|PC|＝
0 −
2
+ 0 − 2 ．
位置关系
d与r的大小
点P的坐标的特点
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
______________________
= 5，
(3 − )2 +(4 − )2 = 2
所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5．
法二：(几何法)
易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点
(2，2)，半径是斜边长的一半，即r＝ 5，所以外接圆的方程为(x－
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的一般方程》ppt参考课件1
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/11
最新中小学教学课件
13
谢谢欣赏！
2019/8/11
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14
方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆? 由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F 所以D2+E2-4F>0时,方程(1)表示一个圆. 圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2．
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F ① D2+E2-4F＞0时，方程(1)表示圆心在
(－—２ Ｄ,－—Ｅ２),半径为 —D2—+的2—E圆2—-4. F ② D2+E2-4F＝0时，方程(1)表示点 (－—２ Ｄ,－—Ｅ２). ③ D2+E2-4F＜0时，方程(1)不表示任何图形.
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4 方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆．
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1
方程不表示任何图形．
2019/8/11
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方程x2+y2+Dx+Ey+F＝0在什么条件下表示圆? 由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F 所以D2+E2-4F>0时,方程(1)表示一个圆. 圆的一般方程:
x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点? 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2．
由x2+y2+Dx+Ey＋F＝0 (1)
>(x＋—D2 )2＋(y＋—E2 )2＝—D—2+4—E2—-4F ① D2+E2-4F＞0时，方程(1)表示圆心在
(－—２ Ｄ,－—Ｅ２),半径为 —D2—+的2—E圆2—-4. F ② D2+E2-4F＝0时，方程(1)表示点 (－—２ Ｄ,－—Ｅ２). ③ D2+E2-4F＜0时，方程(1)不表示任何图形.
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形? 配方可得: (x-1)2+(y+2)2=4 方程表示一个以(1，-2)为圆心，半径长为2的圆．
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形?
配方可得: (x-1)2+(y-2)2=-1
方程不表示任何图形．
2-2-1圆的标准方程课件(北师大版必修二)
(3)当圆心是坐标原点时，有 a＝b＝0，那么圆的方程 为
x2＋y2＝r2
.
想一想：圆(x－1)2＋(y－2)2＝a2 的半径为 a 吗？ 提示 由于 a 的正负性不知，故该圆的半径为|a|.
名师点睛 1．点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有点在圆内、圆上、圆外三种．其判断方法 是：由两点间的距离公式求出该点到圆心的距离，再与圆的半 径比较大小或利用点与圆的方程来判定． 设点 M(x0，y0)到圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的圆心 C 的距离为 d，则 d＝|MC|＝ x0－a2＋y0－b2，
解 设圆心 C(a，b)，半径长为 r，则由 C 为 P1P2 的中点，得 a 3＋5 8＋4 ＝ 2 ＝4，b＝ 2 ＝6，即圆心坐标为 C(4,6)， ∴r＝|CP1|＝ 4－32＋6－82＝ 5. 故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6பைடு நூலகம்2＝5. 分别计算点 M、N、P 到圆心 C 的距离： |CM|＝ 4－52＋6－32＝ 10＞ 5， |CN|＝ 4－32＋6－42＝ 5， |CP|＝ 3－42＋5－62＝ 2＜ 5， 所以点 M 在此圆外，点 N 在此圆上，点 P 在此圆内．
5 的取值范围是－∞，－2，.
题型三 圆的标准方程的应用 【例 3】 (12 分)已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0)， B(5,0)， (1)求此圆的标准方程； (2)设 P(x，y)为圆 C 上任意一点，求 P(x，y)到直线 x－y＋1＝0 的距 离的最大值和最小值． 审题指导 针对这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后 利用数形结合的方法求出其最值． 根据题意 求出圆心 画直线 【解题流程】 → → 画出图形 和半径 x－y＋1＝0 得到P点到直线 → 的距离的最值
高中数学圆的标准方程(微课)公开课ppt课件
所以所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25.
例2. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a2 + -1- b2 = r2, 根据题意得：-1- a2 + 1- b2 = r2 ,
所以圆心C的坐标是 (3, 2)，
圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x a)2 ( y b)2 r2.
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为： x2 y2 r2.
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
代入
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
化简
回顾
1,求圆的 标准方程的数学思想方法解？析思想
形
平面直角坐标系中
数
2,如何得到圆的标准方程？
a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
高中数学-圆的标准方程课件
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1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
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解此方程组，得
x 3,
y
2.
A(1,1) l '
所以圆心C的坐标是(3,2)
OD
x
圆心为C的圆的半径长
C
B(2,-2)
rC B( 32 )2( 22 )25 所以，圆心为C的圆的标准方程是
数形结合
(x3)2(y2)225
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动Leabharlann 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
它们到圆心距离等于定长|MC|=r，
确定了圆的因素是圆心和半径。
C
思考：圆心和半径能确定一个圆，能否用一个方程来表示圆呢？
d>r 点M0在圆外 (x0a)2(y0b)2r2
d=r 点M0在圆上 (x0a)2(y0b)2r2
d<r 点M0在圆内
(x0a)2(y0b)2r2
. . y
M0
M0
O ..Cr x
M0
请判断A(2,3)、B(3,1)、C(1,0)与圆(x-1)2+(y-1)2=4 的位置关系。
答案：A在圆外 B在圆上 C在圆内
A
M1
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M2( 5,1) 是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x2)2(y3)22.5
把点 M1(5,7),的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点
M
1
的坐标适合圆的方程，所以点
括号内是差的形式，点 ( a , b )分, 别r 表示圆
心的坐标和圆的半径.
当圆心在坐标原点即C（0,0），半径长为r
时圆的方程为：x2 y2 r2
智
力
抢
求下列圆的圆心及半径: 答
(1) x2 y2 4
C(0,0),r2
(2) (x1)2y232 C(1,0),r3
变式： (x2)2(y5)2a2(a0) C(2,5),ra
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？ 平面内与一定点的距离等于定 长的点的集合称为圆.
一、复习：
问题1：圆的定义是怎样的？
平面内与一定点的距离等于定
长的点的集合称为圆.
M(x,y)
O
问题2：
图中哪个点是定点？哪个点是动点？动 点具有什么性质？确定圆的因素有哪些？
圆心C是定点， 圆周上的点M是动点， M
解：圆心是 A(2,3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x2)2(y3)22.5
把点 M1(5,7),的坐标代入上方程 ，左右两边相等，
点
M
1
的坐标适合圆的方程，所以点
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,1)的坐标代入上方程，
y
左右两边不相等，点 M 2 的坐标
不适合圆的方程，
O
x
所以点 M 2 不在这个圆上.
三、知识应用与解题研究
例1:(1)写出圆心在坐标原点，半径长为 3的圆的方程。 (2)写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方程， 并判断点 M1(5,7)，M2( 5,1) 是否在这个圆上。
y
例1 （1） x2 y2 3
O
3x
例 1（2） 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 M1(5,7) M2( 5,1) 是否在这个圆上。
M
在这个圆上；
1
把点 M2( 5,1)的坐标代入上方程，
y
左右两边不相等，点 M 2 的坐标 不适合圆的方程， 所以点 M 2 不在这个圆上.
O
x
M2
A
那么 M 2 到底在圆内还是圆外呢？
AM2 r
M1
点 M0(x0,y0)在圆 (xa)2(yb)2r2外的条件是什么？
在圆上呢？在圆内呢？
设点 M0(x0, y0)到圆心 C (a, b) 的距离为d，
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10 上，求圆心为C的圆的标准方程。
解法1分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小。
圆心
半径
C到B的距离
圆心在直线 l上
圆心在弦AB的 垂直平分线上
圆心到A、B 的距离相等
yl
A(1,1) l '
OD
x
C
B(2,-2)
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
(xa)2(yb)2r2(r0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。
圆的方程 (xa)2(yb)2r2具有什么特点？ 当圆心在坐标原点、半径长为r时，圆的方程是什么？ 结论：左边是两个式子的平方和，右边是半径的平方，
A、B在圆上
解：因为 A(1,1) ，B(2，2)，所以线段AB的中点D坐标为( 3 , 1 ) ，
22
直线AB的斜率 kAB22113
11 3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y (x ) 23 2
即 x3y30
弦AB的垂
圆心C的坐标是方程组
x3y 3 0, x y 1 0
的解 直平分线 yl
解法3：因为圆心C在直线l上,所以可设C(a,a+1),则 由|CA|=|CB| 得 ( a 1 ) 2 ( a 1 1 ) 2( a 2 ) 2 ( a 1 2 )2 解得 a=-3,所以C(-3,-2) 所以 r=|CB|=5
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和 B(1，3)，求圆C的方程.
圆C的圆心在x轴上，并且过点A(-1，1)和B(1，3)， 求圆C的方程.
解：依题可设圆心C（a,0），由|CA|=|CB|，得
二、探索研究：
探讨圆心在C(a,b),半径长为r的圆的方程。
y
解：设M( c, y )是圆上任意一点，
根据圆的定义|MC|=r
M
．r C
由两点间距离公式，得
O
x
xa2yb2 r ①
把①式两边平方，得
(x-a)2(y-b)2r2 ②
(xa)2(yb)2r2(r0) ②
我们把方程②称为圆心是C (a, b), 半径是 r
解法2：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2，则
由A、B在圆上和圆心C在直线l上，得
(1a)2(1b)2r2
a 3
(2a)2(2b)2r2 解得 b 2
ab10
r5
所以,圆心为C的圆的标准方程是(x3)2(y2)225
例2
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且圆心C
在直线 l:xy10上，求圆心为C的圆的标准方程。