【人教版】高中数学必修二：《平面》ppt课件
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新教材高中数学第八章立体几何初步8.4.1平面课件新人教A版必修第二册ppt
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定
一个平面
④
√
平面是空间中点的集合,是无限集
答案:④
4.设平面α与平面β交于直线l,A∈α,B∈α,且直线AB∩l=C,则
直线AB∩β=
.
解析:∵α∩β=l,AB∩l=C,∴C∈β,C∈AB,∴AB∩β=C.
答案:C
∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可
证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
本例换为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C
与平面ABC1D1交于点Q,如何说明B,Q,D1三点共线?
证明:如图所示,连接A1B,CD1.
显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1.
④两条平行线确定一个平面
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
(2)两个平面若有三个公共点,则这两个平面(
A.相交
B.重合
C.相交或重合
D.以上都不对
)
解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点
不会在同一条直线上,故可确定一个平面,∴①不正确,②正确.
当四点在一条直线上时不能确定一个平面,③不正确.根据平
且 P∈l
3.做一做:如图所示,在空间四边形各边AD,AB,BC,CD上分别
取E,F,G,H四点,如果EF,GH交于一点P,求证:点P在直线BD
上.
证明:∵EF∩GH=P,
∴P∈EF,且P∈GH.
又EF⊂平面ABD,GH⊂平面CBD,
∴P∈平面ABD,且P∈平面CBD,
即P∈平面ABD∩平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD,
人教A版(新教材)高中数学第二册(必修2)课件4：8.6.3 平面与平面垂直(二)
【规律方法】
(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种
关系不是孤立的，而是相互关联的．它们之间的转化关系如下：
判定定理
判定定理
线线垂直 线面垂直定义 线面垂直 性质定理 面面垂直
(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，
解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合
(1)求证：AD⊥PB； (2)若 E 为 BC 边的中点，则能否在棱上找到一点 F，使平面 DEF⊥平面 ABCD？并证明你的结论．
[解] (1)证明：设 G 为 AD 的中点，连接 PG，BG，如图．
∵△PAD 为正三角形，∴PG⊥AD. 在菱形 ABCD 中，∠DAB＝60°，G 为 AD 的中点，∴BG⊥AD. 又 BG∩PG＝G，∴AD⊥平面 PGB. ∵PB⊂平面 PGB，∴AD⊥PB.
(2)当 F 为 PC 的中点时，满足平面 DEF⊥平面 ABCD. 证明如下： 在△PBC 中，FE∥PB，在菱形 ABCD 中，GB∥DE. 又 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E， PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，PB∩GB＝B， ∴平面 DEF∥平面 PGB. 由(1)得 PG⊥平面 ABCD，而 PG⊂平面 PGB， ∴平面 PGB⊥平面 ABCD，∴平面 DEF⊥平面 ABCD.
答案 (1)C (2)5
【题型探究】
题型一 面面垂直性质的应用 例 1 如图所示，P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点，四边形 ABCD 是∠DAB＝60°且边长为 a 的菱形．侧面 PAD 为正三角形，其所在平 面垂直于底面 ABCD.
(1)若 G 为 AD 边的中点，求证：BG⊥平面 PAD； (2)求证：AD⊥PB.
高中数学人教A版必修第二册平面课件
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二、新知探究
如果一条直线 上的 两个点 在 基本事 一个平面内， 实2 那么这条直线 在这个平面内
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A∈l, B∈l ∈α，B∈α ⇒ l⊂α
判定直线是否 在平面内
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二、新知探究
【问题4】如图，把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在的平面与桌 面所在的平面是否只相交于一点B？为什么？
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二、新知探究
4．平面基本事实的推论 推论1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图①) 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)． 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
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二、新知探究
1.平面的画法与表示 (1)平面的画法
画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面 当平面水平放置时，常把平 当平面竖直放置时，常把平 行四边形的一边画成横向 行四边形的一边画成竖向
图示
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二、新知探究
2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线l在平面α内 直线l在平面α外 平面α，β相交于l
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符号语言 __A_∈__l___ __A__∉_l___ __A_∈__α___ __A__∉_α___ ___l⊂__α___ ___l⊄__α___ _α_∩__β_＝__l_
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
品质来自专业 信赖源于诚信
内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2
金实太阳教例育网引入
品质来自专业 信赖源于诚信
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
品质来自专业 信赖源于诚信
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT
问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平 面与桌面平行吗？三角板的两条边 所在直线分别与桌面 平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于 判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面 平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共 点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面 了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用面面平行判定定理的推论； （4）利用面面平行的传递性。 对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行， 没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记 为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可． 面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两 条相交直线 与 另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这 两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两 条相交直线和另一个平 面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
人教版高中数学必修二《平面与平面垂直的性质》教学课件
位置关系?
α
α
P ba
β
a b
P
β
5/27/2020
直线a在平面 内
如图，已知平面α，β，α⊥β，直线a满足a
垂直β，a α，试判断直线a与平面α的位置关系。
解：在a内作垂直与α与β交线的直线b，
因为 α⊥β，所以 b⊥β 因为 a⊥β，所以 a∥b
α
b
a
又因为 a α，所以 a∥α
β
即直线a与平面α平行
平面与平面垂直 的性质
复习 1.二面角与二面角的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂 直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
2.平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直角（即成直二面角），就 说这两个平面互相垂直．
一、两个平面垂直的性质定理
1.如果两个平面垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面.
二、“转化思想”
面面关系
线面关系
线线关系
面面平行
线面平行
线线平行
面面垂直
线面垂直
线线垂直
5/27/2020
5/27/2020
探究
已知平面 , ，直线a,且 I ＝AB, ,
a∥ , a⊥AB,试判断直线a与平面 的位置关系。
a
α a
bB
β A
5/27/2020
已知：α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，求证：a⊥γ．
分析： “从已知想性质，从求证想判定” 这是证明几何问题的基本思维方法． 从已知出发：面面垂直 线面垂直 线线垂直 从求证出发：欲证直线a与平面γ垂直， 大致有以下思路： (1)证明直线a垂直于γ内两条相交直线，从而进一步 想如何在γ内找到这两条相交直线；
高中数学人教a版必修二课件：2.1.1《平面》
几何里所说的“平面” 就是从这样的一些物体中抽 象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么
平面的两个特征：
①无限延展
②平的（没有厚度）
2.平面的画法
(1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
D
C 通常把表示平面的平行四
A
边形的锐角画成45o,长边
B
是短边的二倍.
注意：在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可
的直线与面平行、有些棱所在的直线与
面相交的；每条棱所在的直线都可以看
成是某个平面内的直线等等。 3.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？这
是本节我们要讨论的问题，为此，我们先来学习平面。
正方体的面、黑板面、课桌面以及海平面，都给我们以平面的感觉， 数学中的平面怎样定义？
平面
1.平面的概念 课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．
先确定这三条直线中哪一是两个平面的 交线，另外两条直线分别在这两个平面 内，再证明这两条直线相交于一点，由 公理3判断这个交点在公共交线上，即 三线共点.
课后练习 课后习题
说明：公理1是判定直线在平面内的依据
生活中经常看到用三角架支撑照相机和停放地自行车
动画演示公理2
http://../edu/ppt/ppt_pla yVideo.action?mediaVo .resId=55d2910daf508f0 099b1c6cb
B
A
C
公理2. 过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
数学语言：A,B,C三点不共线，则 A,B,C确定一个平面。
B
A
C
说明：公理2是确定平面的条件。
把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在
平面与桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么
【优创课件】8.4.1平面(人教A版2019必修二)
【探究3】把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面只有一个公共点吗？ [提示]由于平面是无限延展的，所以不可能只有一个公共点，它们应该有一条公共直线．
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么它们有且只有一条过该点的公共直线。 图形：
符号：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
【思考1】几何里的“平面”有边界吗？用什么 图形表示平面？
【提示】 没有.平行四边形. 【思考2】一个平面把空间分成了几部分？ 【提示】 二部分.
知识点二 点、线、面之间的关系及符号表示 A是点，l，m是直线，α，β是平面．
文字语言 A在l上 A在l外 A在α内 A在α外 l在α内 l在α外
l，m相交于A l，α相交于A α，β相交于l
证明：若EF、GH交于一点P， 则E，F，G，H四点共面， 又因为EF⊂平面ABD，GH⊂平面CBD， 平面ABD∩平面CBD＝BD， 所以P∈平面ABD，且P∈平面CBD， 由基本事实3可得P∈BD.
（四）操作演练 素养提升
1.下列有关平面的说法正确的是( )
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
（三）典型例题
4.三点共线问题
例4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q， 求证：B，Q，D1三点共线.
证明：如图，连接A1B，CD1，BD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1， ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线.
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B
A
C
A、B、C不共线 A、B、C确定一个平面
作用:用于确定一个平面.
强调:推导符号跟着结论一起换行。
2020/6/26
9
确定一平面还有哪些方法？
公理2.不共线的三点确定一个平面.
A
B C
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。
推论2.两条相交直线确定一个平面。
推论3.两条平行直线确定一个平面。
第二章空间点、直线、平面之间的位置关系
2020/6/26
1
复习引入
1、初中《几何》中我们认识了哪些平面几何图形？ 三角形、四边形、多边形、圆形、椭圆等。
平面内基本图形：点、线 2、高中《几何》中我们认识了哪些立体几何图形？
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。
空2020间/6/26中基本图形：点、线、面
2020/6/26
10
应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一 张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提 议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳 捆扎一下作桌脚（如图所示）,问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？
答:至少3根
2020/6/26
11
应用2:过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？
证明:∵P∈AB 且 AB 平面ABC A
∴ P∈平面ABC
又P∈
B
∴ P∈平面ABC∩ (公理3)
C
设平面ABC∩ = l
则 P∈ l
l RQ
同理 Q∈l 且R∈l
P
故P、Q、R三点共线于直线l
2020/6/26
17
小结:平面的基本性质
公理1：若一条直线的两点在一个平面内，则 这条直线上所有的点都在这个平面内,
即:这条直线在这个平面内
即: A∈且B∈ AB
A B
AB
B
A
作用:用于判定线在面内
2020/6/26
18
小结：公理2及其推论 A,B,C不共线
A,B,C确定一平面.
A∈ a
A和a确定一平面.
aIb=Ｐ
a和b确定一平面.
a∥b
a和b确定一平面.
作20用20/6/:26用于确定一个平面.
22
布置作业
1、课后作业： 课本Ｐ56习题2.1 Ａ组 1、2、5 思考：B组 3
2、预习作业： 课本48页-52页
2020/6/26
23
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
cm 2； ( )
4、平面是无限延展、没有厚度的 ； ( )
5、一个平面可以把空间分成两部分. ( )
2020/6/26
4
结论1：空间中点与线、点与面的位置关系
图形
文字语言(读法) 符号语言
Aa
Aa
A
A
点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外
求证:直线AB、BC、AC共面.
证明∵AB∩AC=A
∴AB和AC确定一平面(公理2的推论2)
∵B∈AB ,C∈AC
B
∴BC (公理1)
A
∴直线AB、BC、AC共面于 2020/6/26
C
16
例3:△ABC在平面外, AB∩ =Ｐ, BC ∩=Ｑ，
AC∩ =Ｒ,求证:Ｐ、Ｑ、Ｒ三点共线.(共线问题)
结论：过空间中一点或两点可以做无数
个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，
否202则0/6/2有6 无数个。
12
思考3:如图所示，两个平面、,若相交 于一点,则会发生什么现象?
l
P
2020/6/26
13
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈且P∈ I=l且P∈l
Aa Aa
A
A
思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?
2020/6/26
5
二、平面的基本性质
公理1：若一条直线的两点在一个平面内， 则这条直线上所有的点都在这个平面内, 即:这条直线在这个平面内。
即: A∈且B∈ AB
A B
AB
作用:用于判定线在面内
2020/6/26
B
A
6
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面内 记作：a 直线a在平面外 记作：a
强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系
推导符号“”的使用：
条件结论
｝ 条件1 结论
条件2
2020/6/26
7
思考2:固定一扇门需要几样东西？
回答:确定一个平面需要什么条件?
2020/6/26
8
公理2：过不在同一条直线上的三点,有 且只有一个平面。
A
B C
Aa
aＰ
b
a
b
19
公理3：若两个不重合平面有一个公共点， 则它们有且只有一条过该点的公共直线。
即: P∈且P∈ I=l且P∈l
｝｛ P∈
I=l
P∈
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线
2020/6/26
20
结论1:空间中点与线、点与面的位置关系
图形
Aa Aa
A
A
2020/6/26
文字语言(读法)
点在直线上 点在直线外 点在平面内 点在平面外
符号语言
Aa Aa
A A
21
结论2 ：空间中线与面的位置关系
直线a在平面内 记作：a 直线a在平面外 记作：a
强调:
空间中点与线(面)只有∈和 关系
空间中线与面只有 与 的关系
推导符号“”的使用：
条件结论
｝ 条件1 结论
条件2
2020/6/26
2
一、平面的表示方法
1.特点:平面是无限延展,没有厚度的. （但常用平面的一部分表示平面）
2.画法:水平或竖直的平面常用平行四边形表示.
D
D
C
C
A 3.记法:
B
A
B
①平面α、平面β、平面γ（标记在边上）
②平面ABCD、平面AC或平面BD
2020/6/26
3
巩固:判断下列各题的说法正确与否，在正 确的说法的题号后打 ，否则打 .
｝｛ P∈
I=l
P∈
P∈l
作用:用于证明点在线上或多点共线.
2020/6/26
14
例1：用符号表示下列图形中点、直线、 平面之间的位置关系。
β
α
a
B
A
α
a P
bβ
P48练习1- 4
2020/6/26
15
例2：求证两两相交于不同点的三条直线 必在同一个平面内(共面问题)
已知: AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C.