高中数学必修二第二章-2.1.1-平面课件
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高中数学 2.1.1 平面 课件 新人教A版必修2
第三十页，共55页。
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
变式训练3:如图,已知平面α､β相交于l,设梯形ABCD中,AD∥BC,
且AB
α,CD β.
求证:AB､CD､l相交于一点.
第三十一页，共55页。
证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,AB､DC是梯形ABCD的两腰,∴AB
､DC必相交于一点,设AB∩DC=M,又∵AB α,CD
第十页，共55页。
3.准确理解公理的含义 公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只
需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平 面内”是指“直线上的所有点都在平面内”. 公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要 依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在 一条直线上的三个点”这一条件.
∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P\,Q\,R三点共线.
第二十九页，共55页。
规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共
线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点 也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交 点也在其他直线上.
第十七页，共55页。
变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)圆和平面多边形都可以表示平面;
(4)因为
ABCD的面积大于
ABCD大于平面A′B′C′D′;
A′B′C′D的面积,所以平面
(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边 界线.
第四十四页，共55页。
7.三条直线相交于一点,可确定的平面有________个. 答案:1或3
高中数学必修2第二章点直线平面之间的位置关系211平面及其表示法(含习题课)PPT课件
1，2，3（1）（2）
21
补充练习金太：阳教育网
l 1、A为直线 l上的点，又点A不在平面
与 的公共点最多有 _______1个.
品质来自专业 信赖源于诚信
内，则
2、四条直线过同一点，过每两条直线作一个平
面，则可以作_____1_或___4_或___6个不同的平面 .
22
金太阳教育网
品质来自专业 信赖源于诚信
2
金实太阳教例育网引入
品质来自专业 信赖源于诚信
观察活动室里的地面，它呈现出怎样的形象？
3
一.平面金太的阳教育概网 念：
品质来自专业 信赖源于诚信
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们
熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现
实平面加以抽象的结果。
二.平面的特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空 间是无限延伸的。
文字语金言太阳：教育网 公理1.如果一条直线上两点品信质赖在来源自于专诚一业信 个平面内，那么这条直线在此平
面内（即这条直线上的所有的点
23
点、线金、太阳面教之育网间的位置关系及语言表达
品质来自专业
信赖源于诚信
文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达
点A在直线a上 点A不在直线a上
A
a
A
a
A∈a A∈a
点A在平面α上 点A不在平面α上 直线a在平面α内
α
A
α
α
A
a a
A∈α A∈ α
aα
a b∩α＝A
直线a在平面α外 α
A α
a∩α＝φ 或 a∥α24
B A
B
CαA
C
公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.
高中数学必修二第二章第一节课件
如图2 1 21,已知两点Px1, y1 , Qx2, y2 ,如果 x1 x2,那么直线PQ 的斜率 slope为
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
k y2 y1 x1 x2 .
x2 x1
如果x1 x2,那么直线PQ的斜率不
存在(图2 1 22).
图2 1 2
y
l
第 2章 平面解析几何初步
如 果 代 数 与 几 何 各 自 分开 发 展, 那 它 的 进 步 将 十 分 缓 慢,而 且 应 用 范 围 也 很 有 限.但 若 两 者 互 相 结 合 而 共同 发 展, 则 就 会 互 相加 强, 并 以 快速 的 步 伐 向 着 完 美 化 的 方 向 猛 进.
点的集合是一条曲线.
我 们 知 道, 直 线 和 圆 是 基 本 的 几 何图 形.那 么 如何建立它们的方程? 如何通过方程来研究它们的性质?
2.1 直线与方程
高二（19）
直 线 是 最 常 见 的 图 形, 过 一 点 沿 着 确 定 的 方 向 就 可 以 画 出 一 条 直 线.
为 什 么?
在直角坐标系中, 对于一条与x 轴相交的直线,把 x 轴所在 的 直 线 绕 着 交 点 按 逆 时针 方 向 旋 转 到 和 直 线 重合 时 所 转
过的最小正角称为这条直线的倾 斜 角(inclination),并规定:
y B
A
O
N
图2 1 51
与 x 轴 平 行 或 重 合 的 直 线 的倾 斜 角 为00 . 由定义可知,直线的倾斜角 的取值范 围是00 1800 . 当 直 线 的 斜 率 为 正 时, 直 线 的 倾 斜 角
x 为锐角图2 1 51,此时,
k y BN tan .
2020年高中数学2.1平面直角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式课件新人教B版必修2
【解】 (1)证明：设数轴上的任意三点 A，B，C 的坐标是 xA，xB，xC，
由于 AC＝xC－xA，CB＝xB－xC，AB＝xB－xA， ∴AC＋CB＝xC－xA＋xB－xC＝xB－xA＝AB. (2)∵CB＝3，∴BC＝－3， 又 AC＝AB＋BC＝5－3＝2， ∴AC＝2.
(3)A，B，C 是数轴上的任意三点，讨论点 C 与点 A，B 的 位置关系：
【知识点拨】 根据数轴上点与实数的对应关系，数轴上 的点自左到右对应的实数依次增大．
下列说法：①向量A→B的数量有正、负之
分，其大小为终点坐标减起点坐标；②数轴上 A，B 两点间的距
离 d(A，B)＝|AB|；③起点和终点重合的向量是零向量，它的方
向是任意的，它的坐标是 0；④在数轴上点 A(a)位于点 B(b)的左
当 C 在点 A，B 之间时，有|AC|＋|CB|＝|AB|， 所以|AC|＝|AB|－|CB|＝5－3＝2， 当 C 在点 A，B 之外时，由于|CB|＝3<|AB|＝5， 点 C 只能在 AB 的延长线上， 从而有|AC|＝|AB|＋|CB|＝5＋3＝8， 综上可知，|AC|＝2 或|AC|＝8.
2．数轴上的基本公式 (1)向量A→C，A→B，B→C的关系 _A→_C__＝A→B＋B→C. (2)向量坐标 AC，AB，BC 之间的关系 AC＝_A_B_＋__B__C_. (3)已知 A(x1)，B(x2)，则 AB＝__x_2_－__x_1 _____. (4)数轴上 A(x1)，B(x2)两点之间的距离公式 d(A，B)＝_|_A_B_|____＝__|_x_2－__x_1_| .
典例精析 规律总结
类型 1 数轴上的点的坐标
(1)如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两个点 相距 1 个单位，点 A，B，C，D 对应的数分别是整数 a，b，c， d，且 d－2a＝10，那么数轴的原点应是( )
【新教材】2.1.1 从位移,速度,力到向量 课件-北师大版高中数学必修第二册(共16张PPT)
情境 3 如图 2 - 3,汽车沿倾斜角为 的坡路向上行驶，汽车的牵引力为 F
思考交流
上面三个情境中反映的物理量有什么共同的特点？
【结论】位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量
向量概念引入
既有大小又有方向的量统称为向量.
注意：“大小”和“方向”是向量的两个重要方面 ！
有向线段
在数学中,这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图 2-4）. 以
A 为起点,B 为终点的有向线段,记作 AB ,线段 AB 的长度称为有向线
段 | AB |的长度，记作| AB |
平面向量的表示
1.几何表示 向量常用一条有向线段来表示.
i : 有向线段的长度表示向量的大小. ii: 箭头所指的方向表示向量的方向. iii:向量可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：AB
典型例题
【例 1】
小明从学校的教学楼出就餐, 用餐后又从食堂向西走了 2 000 m 来 到操场运动.请选择 适当的比例尺画图，用向量表示小明每次的位 移.
解
设比例尺为 1:50 000,如图(2-6).小明的位移表示如下： 向量 OA 表示从教学楼到图书馆的距离与方向； 向量 AB 表示从图书馆到食堂的距离与方向； 向量 BC 表示从食堂到操场的距离与方向.
【题型扩充】判断下列说法是否正确:
1.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度 是向量.
错误：因为温度没有方向.
2.坐标平面上的 x 轴和 y 轴是向量. 错误： 因为无法刻画 x 轴和 y 轴的大小.
作业
P75页：第1，2题,
掌握向量及向量的有关概念、表示方法，了解两个特殊向量的性质
第二章 平面向量及应用
2021_2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1
• 因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理 可知l⊂β.
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
• 因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公
理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所
以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．
• 规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其 推论．
• [证明] 如右图所示，
• ∵PA∩PB＝P， • ∴过PA，PB确定一个平面α. • ∴A∈α，B∈α. • ∵A∈l，B∈l， • ∴l⊂α. • ∴PA，PB，l共面．
3. 证明多点共线问题
• 例题3 已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，
BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．
自主预习
1．平面
描述
几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出 来的，是无限___延__展_____的
通常把水平的平面画成一个__平__行__四__边__形__，并且其锐 角画成45°，且横边长等于其邻边长的___2__倍，如图 1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强 立体感，被遮挡部分用__虚__线___画出来，如图2所示
练习1
(1)若点 M 在直线 a 上，a 在平面 α 内， 则 M，a，α 间的关系可记为________.
(2) 根 据 右 图 ， 填 入 相 应 的 符 号 ： A________平面 ABC，A________平面 BCD， BD________平面 ABC，平面 ABC∩平面 ACD ＝________.
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
2-1-1 两角和与差的余弦公式(教学课件)——高中数学湘教版(2019)必修二
3
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
高中数学
必修第二册
湖南教育版
1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
高中数学
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跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
＝2×2+
答案： C
2 1
6+ 2
×
＝
.
2 2
4
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2．两角和的余弦公式
思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能
推出两角和的余弦公式吗？
证明：因为α+β＝α-（-β），所以
cos（α+β）＝cos［α-（-β）］
＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β）
6− 2
×
＝
.
2 2
4
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1.给角求值
例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）+cos 560°cos（-280°）；
（3）cos 18°cos 42°-cos 72°sin 42°.
解：（1）sin 285°＝sin（270°+15°）＝-cos 15°＝-cos（60°-45°）
与差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值；
（2）正用公式求值：把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.
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跟踪训练
1.cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝
A.cos 12°
B.sin 12°
（ C ）
1
C.2
1
D.- 2
1
解析：cos 24°cos 36°-sin 24°cos 54°＝cos 24°cos 36°-sin 24°sin 36°＝cos （24°+36°）＝cos 60°＝2.
几个角的组合.
高中数学必修二2.1.1课件
(2)在“A∈α，A∉α，l⊂α”中视“A”为平面 α(集合)上的点(元 素)，直线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集．明确这一点，才能正确 使用集合符号．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
典例剖析 题型一 平面概念的理解 【例 1】 下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8 个平面重叠起来比 6 个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看作空间的点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 思路点拨：利用平面的概念来解答．
BD.
①
②
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念： 如果直线 l 上的_所__有__点___都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说___平__面___α_经__过__直__线___l__．
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达 数学符号表示
文字语 言表达
数学符号表示
【解析】
序号 正误
原因分析
①
×
太平洋面只是给我们以平面的形象，而 平面是抽象的，可无限延展的
② × 平面是无大小、无厚薄之分的
③
×
如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能 确定一个平面
④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集
【答案】AC
要点阐释 1．平面的概念 “平面”是一个只描述而不定义的原始概念(像“点”、“直 线”、“集合”等概念一样)，常见的桌面、黑板面、平静的水面 等都给我们以平面的形象，几何里的平面就是从这些物体抽象出来 的．
2．平面的画法及表示 当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都 很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平 面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45°，横边 画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
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B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条
（3）已知空间四点中，无三点共线，则可确定 A．一个平面 C．一个或四个平面 B．四个平面 D．无法确定平面的个数
例2、求证：两两相交 且不过同一点的三条直 线必在同一个平面内.
B A
C
证明： 因为A，B，C三点不在一条直线上， 所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理2） 因为A∈，B∈，所以AB .（公理1） 同理BC ，AC ，
α
A
α a P l
l
B β
b
β
①
（2）根据下列描述作图：
②
a α ，b α ，c α 且a∩b=A，b∩c=B，c∩a=C
练习1
(1)两个平面的公共点的个数可能有 ( A.0 B.1 C.2 ) D.０或无数 )
(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 (
A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条
平面ABCD
，平面AC，平面BD
平面的表示
两个a 平面平面=直线a 被遮住的部分画虚线
a
二、点、线、面的基本位置关系
1、符号表示： 点A、线a、面α A a, A , a , 2、引用集合关系：
图形
zxxkw
P , 且P l , 且P l
如果两个不重合 的平面有一个公 共点，那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线 思考5:公理3有哪些理论 作用吗？
确定两平面相交的依据， 判断多点共线的依据.
例1、（1）如图，用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.
a
图形表示：
符号表示：
α A
B C
A, B, C三点不共线 有且只有一个平面 使A , B , C
作用：（1）确定一个平面的依据和方法。
（2）证明点线共面的方法。
公理2：不共线的三点确定一个平面
思考:一条直线和直线外一点能点确定一个平面吗？ 两条相交直线能确定一个平面吗？
两条平行直线能确定一个平面吗？
又 P P 平面ABC.
要证明多点共线，只要证明他们 是两个平面的公共点.
同理Q、R也为公共点，所以P、Q、R共线.
小结：
1.平面的概念； 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法； 3.三条公理 公理1.
A 且B 直线AB
公理2. A, B, C不共线 有且只有一平面 , 使A , B , C
符号语言
文字语言(读法)
A
A
a
a
A a A a A
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点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A
A
A
A
A
b a
a b A
图形
符号语言
a
a
a
文字语言(读法)
a
a
A
a A
l
直线a在平面 内 直线a与平面 无公共点 直线a与平面 交于点 平面 与 相交于直线 l
推论1、 A l 有唯一平面 , 使A , l 推论2、a b 有唯一平面 , 使a , b 推论3、 a
b 有唯一平面 , 使a , b
公理3. P , 且P l , 且P l
2.1 空间点、直线、平面之间的 位置关系
2.1.1 平 面
构成图形的基本元素----D′ A′ D A B B′ C′
点、线、面
点无大小
C
线无粗细
面无厚薄
直线，平面都是无限延伸的
平面的表示
平面的符号表示 D C A B 1. 单个希腊字母： 平面， 平面，平面
2. 四个顶点或对角顶点大写英文字母：
推论:1、一条直线和直线外 一点能确定一个平面； 2、两条相交直线能确定 一个平面； 3、两条平行直线能确定 一个平面。
B
．
． A ． C
思考
思考1:如图，把三角板的一个角立在课桌 面上，三角板所在的平面与桌面所在的平 面是否只相交于一点B？为什么？
思考2:如果两条不重合 的直线有公共点，则其 公共点只有一个。如果两个不重合的 平面有公共点，其公共点有多少个？ 这些公共点的位置关系如何？
所以AB，BC，CA三直线共面.
要证多线共面，先确定一个平面， 再证明其他直线也在这个平面内.
练习2
已知 : A, B, C l , D l ,
求证:直线AD,BD,CD共面.
D
证明: D l.
l
A
B
C
l与D确定平面 .
又 A, B, C l ,
l
A, B, C . 又 D , BD , CD , AD ,
B
思考3:根据上述分析可得什么结论？
P
l
公理3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.
思考4:若两个平面有一条公共直线，则称这 两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平 面的交线.平面α 与平面β 相交于直线l，可 记作 l ，那么公理3用符号语言可怎 样表述?
公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内（即直线在平面内）。
图形表示： 符号表示：
α l B
A
A l, B l , 且A , B , l
作用：判定直线在平面内的依据，同时说明 了平面的无限延展性。
公理2.过不在同一直线上的三点， 有且只有一个平面.
即AD , BD , CD共面.
练习3
已知 : a b, a c M , b c N , 求证:直线a,b,c共面.
N c
b
α
M
a
例3、已知三角形ABC的 三条边AB、BC、AC与平 面α 分别交于P、Q、R. 求证：P、Q、R共线.
A B C R Q
P
证明： P AB 平面ABC P 平面ABC.