高中数学一轮复习(含答案) 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
2023高考数学一轮总复习第九章平面解析几何第四节直线与圆圆与圆的位置关系pptx课件北师大版
第四节
直线与圆、圆与圆的位置关系
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.能根据给定直线、圆的方程,
判断直线与圆、圆与圆的位置 1.直线与圆的位置关系 直观想象
关系.
2.圆的切线与弦长问题 数学运算
2.能用直线和圆的方程解决一
3.圆与圆的位置关系
些简单的数学问题与实际问题.
设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①
圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②
若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线的方程可由①-②得到,即
(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
(2)两个圆系方程
①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方
典例突破
例1.(1)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法错误的
是(
)
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
(2)(2021北京人大附中模拟)已知圆C过点(-1,0)和(1,0),且与直线y=x-1只有
对点演练
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系
9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系一、填空题1．已知集合 A ＝ {( x ，y)| x ，y 为实数，且 x 2＋ y 2＝ 1} ，B ＝{( x ，y)| x ，y 为实数，且 x ＋y ＝1} ，则 A ∩B 的元素个数为 ________．解析 集合 A 表示圆，集合 B 表示一条直线，又圆心 (0,0) 到直线 x ＋y ＝1 的距 离 d ＝12A ∩B 的元素个数有 2 个．＝＜1＝r ，所以直线与圆相交，故2 2答案 2 ．圆 C 1 ：x 2＋y 2＋ x ＝ ，圆 C 2：x 2＋y 2＋ y ＝ ，则两圆的位置关系是 ________． 2 2 0 4 0 解析 圆 C 1： ( x ＋1) 2＋ y 2 ＝ ，圆 C 2 ：x 2＋( y ＋2) 2＝ 2，12所以 C 1C 2＝ 5，且 2－1＜ 5＜2＋1，所以两圆相交．答案 相交3．若直线 x －y ＋ a ＝ 0 与圆 ( x － 1) 2＋y 2＝ 1 有公共点，则实数 a 的取值范围是 2 ________．解析 若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有 | a ＋2|5 ≤1，解得－ 2－ 5≤ a ≤－ ＋ 5.2 答案 [ －2－ 5，－ 2＋ 5] 4．与圆 x 2＋ y 2＝ 25 外切于点 P ，且半径为 1 的圆的方程是________． (4,3)解析 设所求圆的圆心为C m ，n ，则 O ， P ， C 三点共线，且 OC ＝ ，( ) 64 24 31824 218 2所以 m ＝5×6＝ 5 ， n ＝ 5×6＝ 5 ，所以圆的方程是 x － 5 ＋ y － 5 ＝1.答案x － 24 2 ＋ y －18 2＝15 5．过点A向圆 x2＋y 2＝ 所引切线的方程为________．5(2,4)4解析 显然 x ＝2 为所求切线之一．另设直线方程为y － ＝kx －2) ，4 (|4 －2k|3即 kx － y ＋ 4－2k ＝0，那么 k 2＋1 ＝ 2， k ＝4，即 3x － 4y ＋10＝0.答案 x ＝2 或3 x － y ＋＝4 10．台风中心从 A 地以每小时20 k 的速度，向东北方向移动，离台风中心30 km6m内的地区为危险地区，城市 B 在 A 地正东 40 k 处， B 城市处于危险区内的时间m为 ________． 答案 1 h7．将直线 2x －y ＋λ＝ 0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x 2＋ y 2 ＋2x －y ＝ 0 相切，则实数 λ 的值为 ． 4 ________解析由题意，得直线 2( x ＋ 1) －y ＋λ＝ ，即 2 x －y ＋ ＋λ＝ 0 与圆 x ＋1) 20 2 (＋ ( y －2) 2＝5 相切，所以 |λ －2| ＝ 5， λ－2＝± 5，所以 λ ＝－ 3 或 λ＝7. 5答案 －3或 7 ．设两圆 C 1、C 2 都和两坐标轴相切，且都过点 (4,1) ，则两圆心的距离 C 1C 2＝ 8 ________.解析 设与两坐标轴都相切的圆的方程为 ( x － a 2＋ y －a 2 ＝a 2，将点 (4,1) 代入) ( ) 得 a 2－10a ＋ 17＝0，解得 a ＝5±2 2，设 C 1(5 －2 2， 5－ 2 2) ，则 C 2(5 ＋ 2 2，5＋2 2) ，则 C 1C 2＝ 32＋32＝ 8.答案89．由直线 y ＝ x ＋ 1 上的一点向圆 x 2－6x ＋ y 2 ＋8＝0 引切线，则切线长的最小值为 ________．解析 切线长的最小值在直线 y ＝ x ＋ 1 上的点与圆心距离最小时取得， 圆心(3,0) 到直线的距离为 d ＝ |3 －0＋1| ＝ 2 ，圆的半径为 ，2 2 1故切线长的最小值为 d 2－r 2＝ 8－ 1＝ 7.答案710．已知圆 x 2＋y 2＝m 与圆 x 2＋ y 2＋ 6x － 8y －11＝0 相交，则实数 m 的取值范围为________．解析 ( x ＋3) 2＋ ( y －4) 2＝36，由题意，得 |6 － m| ＜5＜ 6＋ m ，解得 1＜ m ＜11，所以 1＜ m ＜ 121.答案1＜m ＜12111．若直线 2ax －by ＋2＝0( a ＞0，b ＞0) 被圆 x 2＋ y 2＋2x － 4y ＋1＝0 截得的弦长1 1为 4，则 a ＋b 的最小值是 ________．解析 圆 ( x ＋ 1) 2＋ y － 2)2＝ ，( 4∵弦长为 4，故为直径，即直线过圆心 ( －1,2) ，∴ a ＋b ＝1，1 1 1 1 a ＋ bb a1＋ ＝＋＋≥＋ ＝ ，当且仅当 a ＝b ＝ 时，取等号，∴ a ＋ b ＝ a b ( ) 2 a b22142∴ 1＋ 1的最小值为 4.a b答案412．圆 C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋ 4a 2－ 4＝ 0 和圆 C 2：x 2＋y 2－ 2by ＋b 2 －1＝0 恰有三条公切线，若 a ，b ∈ R 且 ab ≠0，则 12＋ 12的最小值为 ________．a b解析 由题意，两圆外切，所以 | C 1C 2| ＝r 1＋r 2，即－ 2a 2 ＋b 2＝3，也即 4a 221 112 21 1 1b 2a 214＋ b ＝ 9，所以 a 2＋b 2＝9(4 a ＋ b ) a 2 ＋b 2 ＝ 9 5＋a 2＋ b 2 ≥9×(5 ＋ 4) ＝1，当且 b 2 4 a 2 b 2 ＝ a 2时等号成立．2 2 ，即 仅当 a ＝ b2答案 113．已知集合 A ＝{( x ，y)|| x| ＋| y| ≤1} ， B ＝ {( x ，y)| x 2 ＋y 2≤r 2，r ＞ 0} ，若点( x ，y ) ∈ A 是点 x ， y ∈B 的必要条件，则 r 的最大值是 ． ( )________ 解析由题意得B A ，所以 r 的最大值即为原点到直线x ＋y ＝1 的距离?12d ＝＝ .22答案22二、解答题 ( 每小题 15 分，共 45 分 )14．已知：圆 C ：x 2＋ y 2－8y ＋ 12＝0，直线 l ：ax ＋y ＋ 2a ＝0.(1) 当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2) 当直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，且 AB ＝2 2时，求直线 l 的方程．解析 将圆 C 的方程 x 2 ＋y 2－ y ＋ ＝ 配方得标准方程为 x 2＋y － 4) 2＝ ，则 8 12 0 (4此圆的圆心为 (0,4) ，半径为 2.(1) 若直线 l 与圆 C 相切，a 3则有2 ＝2. 解得 a＝－ .a ＋ 1 4(2) 过圆心 C 作 CD⊥ AB，则根据题意和圆的性质，|4 ＋2 aCD＝，a2＋1得2 2 2 2，CD＋DA＝AC＝ 21DA＝2AB＝ 2.解得 a＝－ 7 或 a＝－ 1.故所求直线方程为7x－ y＋ 14＝0 或 x－y＋2＝0.15．求过两圆 x2＋y2＋4x＋ y＝－ 1，x2＋y2＋ 2x＋2y＋1＝ 0 的交点的圆中面积最小的圆的方程．x2＋y2＋ 4x＋y＝－ 1，①解析由x2＋y 2＋x ＋y＋＝，②2 2 1 0x－y ＝代入①得 1①－②得 2 0 5 11 2、( －1，－ 2) ．∴两圆两个交点为－5，－51 2、( －1，－2) 为端点的线段为直径的圆，面积最小．过两交点圆中，以－5，－53 6∴该圆圆心为－5，－5半径为12 22－5＋1 ＋－5＋2 2 52 ＝ 5，3 2 6 2 4圆方程为 x＋5 ＋ y＋5 ＝5.16．如图，已知位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相交于点 (0,1) 且被 x 轴分成的两段圆弧长之比为1∶ 2，过点 H(0 ，t ) 的直线 l 与圆 C 相交于 M、N 两点，且以 MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O.(1) 求圆 C 的方程；(2) 当 t ＝1 时，求出直线 l 的方程；(3) 求直线 OM 的斜率 k 的取值范围．解析(1) 因为位于 y 轴左侧的圆 C 与 y 轴相切于点 (0,1) ，所以圆心 C 在直线 y ＝1 上．设圆 C 与 x 轴的交点分别为 A 、B .2π由圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为 2∶ 1，得∠ ACB ＝ 3 . 所以 CA ＝CB ＝2.圆心 C 的坐标为 ( －2,1) ，所以圆 C 的方程为 ( x ＋2) 2＋( y －1) 2 ＝4.(2) 当 t ＝1 时，由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y ＝mx ＋1.－ 4x ＝ 2，y ＝ mx ＋ ，x ＝ ，m ＋1由1得或2＋y －2y ＝2m ＋x ＋21 ＝4，1m － 4 1y ＝2.m ＋ 12m ＋－ 4m － 1不妨令，N(0,1) ．Mm ＋ 122因为以 MN 为直径的圆恰好经过 O ，(0,0)2 －m ＋ 2－＋→ → －4m4 11，2·m4mm ＝ ±所以 (0,1)m ＋1m ＋ 1m＋ 1 023.所以所求直线 l 方程为 y ＝ (2 ＋ 3) x ＋ 1 或 y ＝(2 － 3) x ＋1.(3) 设直线 MO 的方程为 y ＝ kx.k － 1|3 | －2 由题意，知1＋k 2≤2，解得 k ≤ .41 34同理，得－ k ≤4，解得 k ≤－ 3或 k ＞0.由 (2) 知， k＝0 也满足题意．4 3所以 k 的取值范围是－∞，－3∪ 0，4 .17．如图所示，某粮食储备库占地呈圆域形状，它的斜对面有一条公路，从储备库中心 A 向正东方向走 1 km是储备库边界上的点 B，接着向正东方向走 2 km到达公路上的点 C；从 A 向正北方向走 2.8 km到达公路上的另一点 D. 现准备在储备库的边界上选一点 E，修建一条由 E 通往公路 CD的专用线路 EF，要求造价最低，用坐标法回答：点 E 应该选在何处？解析如图所示，分别以直线AC、AD为x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系，作圆A 的切线GH，使GH∥CD，这时切点就是 E 点的位置 ( 另一条切线不在考虑之列 ) ，连接 AE，A、E、F 三点共线，AF⊥CD，由已知，CD的斜率为－2.8143 ＝－ 15，15∴ AF的斜率为 14，AF 的方程为15y＝14x，圆 A 的方程为22x＋y＝1.由 y＝1514x解得 E 点的坐标为14 421 15 421.x2＋y2＝1 421 ，421∴E 点选在坐标为14 421，15 421的点，造价最低．42142118．已知圆 O的方程为 x2＋y2＝1，直线 l 1过点 A(3,0) ，且与圆 O相切．(1) 求直线 l 1的方程；(2) 设圆 O交 x 轴于 P，Q两点，M是圆 O上异于 P，Q的任意一点，过点 A 且与 x 轴垂直的直线为l 2，直线 PM交直线 l 2于点 P′，直线 QM交直线 l 2于点 Q′，求证：以线段 P′Q′为直径的圆 C总过定点，并求出定点坐标．解析 (1) 由题意，可设直线l 1的方程为 y＝k( x－3) ，即 kx－y－3k＝ 0，| －3 k | 2则由 d ＝ 2 ＋ ＝ 1，解得 k ＝± 4 ，k 12所以直线 l 1 的方程为 y ＝± 4 ( x －3) ．(2) 证明 由题意， P －1,0) ，Q ，直线 l 2 的方程为 x ＝ 3. ( (1,0)t 设 M( s ，t )( s ≠± 1) ，则直线 PM 的方程为 y ＝ s ＋ 1( x ＋ 1) ，x ＝ ，3tt于是由P ′ ， ，同理可得 Q ′，t得 4 2. y ＝x ＋1 ，3 s ＋13s － 1s＋1所以，以线段 ′ ′为直径的圆 的方程为2 y － t y － t ＝ ， C ( x －3) ＋ P Q s ＋ 1 s －12222s － 2－ x ＋又 s＋t ＝ ，整理，得( x＋ y1) ＋y ＝0.16t若圆 C 过定点，则只需令 y ＝ ，得 x 2－ x ＋ ＝ ，解得 x ＝ ±22. 0 6 1 0 3。
2019版高考数学文一轮复习教师用书：第八章 第四节 直
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)方程2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)|r－r|1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．()(4)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有2条．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√A ．相离B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心解析：选D 将圆C 的方程化为标准方程得C ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|2＝2＜2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离解析：选B ∵两圆心距离d ＝(2＋2)2＋12＝17，r 1＋r 2＝2＋3＝5，|r 1－r 2|＝1，∴|r 1－r 2|<d ＜r 1＋r 2，∴两圆相交．4．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.5．直线l ：3x －y －6＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5， 所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5， 又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2－d 2，得|AB |2＝4⎝⎛⎭⎫5－52＝10，即|AB |＝10. 答案：10考点一 直线与圆的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[题型技法] 判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．[妙招] 由于本题中的直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．(二)迁移考——已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围2．(2018·湖南湘中名校联考)已知m ＞0，n ＞0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：因为m ＞0，n ＞0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1，所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1. 由基本不等式mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2. 当且仅当m ＝n 时等号成立． 答案：[2＋22，＋∞)[题型技法] 已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围，就是利用d ＝r ，d >r 或d <r 建立关于参数的等式或不等式求解．(三)应用考——解决直线与圆公共点个数问题3．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 如图所示，因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．[题型技法] 此类问题多借助数形结合，转化为点到直线的距离求解．[怎样快解·准解]1．如何正确选用方法(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法． [提醒] 能用几何法，尽量不用代数法．(3)已知直线与圆相交求有关参数值时，根据弦心距、半弦长、半径的关系或者这三条线段形成的三角形的性质求解，而弦心距可利用点到直线的距离公式列式，进而求解即可．2．利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点(1)代入消元过程中消x 还是消y 取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x －ay ＋1＝0，则应将其化为x ＝ay －1，然后代入消x .(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．考点二 圆的切线问题 (重点保分型考点——师生共研)[典题领悟]已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，∴点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1k PC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝3 4.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.∵|MC|＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[解题师说]1．解题关键正确判断点与圆的位置关系是求切线方程的关键一步．若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．2．解题方法(1)求过圆上的一点(x 0，y 0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则结合图形可直接写出切线方程为y ＝y 0；若k ＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x ＝x 0；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．(2)求过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程两方法[注意] 当点(x 0，y 0)在圆外时，一定要注意斜率不存在的情况．(如典题领悟(2)) 3．常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2；(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A ，B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(4)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33C.23D.13解析：选A 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab＝0的距离d ＝2ab b 2＋a 2＝a ，得a 2＝3b 2，所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 2．(2018·湖南四地联考)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，过点(a ，b )作圆的切线，则切线长的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2， 所以圆心为点(－1,2)，半径为 2. 因为圆C 关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称， 所以圆心C 在直线2ax ＋by ＋6＝0上， 所以－2a ＋2b ＋6＝0，即b ＝a －3，点(a ，b )到圆心的距离d ＝(a ＋1)2＋(b －2)2＝(a ＋1)2＋(a －3－2)2 ＝2a 2－8a ＋26＝2(a －2)2＋18.所以当a ＝2时，d 取最小值18＝32，此时切线长最小，为(32)2－(2)2＝16＝4，所以选C.考点三 弦长问题 (题点多变型考点——追根溯源)圆的弦长问题在高考中经常出现，既有选择题、填空题，也有解答题，属于中档题.常见的命题角度有：(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长；(2)已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数.[题点全练]角度(一) 已知直线与圆的方程求圆的弦长1．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2解析：选D 因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2.[题型技法] 解决圆的弦长问题的2种方法如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 2角度(二) 已知圆的弦长求直线和圆的方程中的参数2．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2截y 轴所得线段与截直线y ＝2x ＋b 所得线段的长度相等，则b ＝( )A ．－ 6B ．±6C ．－ 5D ．±5解析：选D 记圆C 与y 轴的两个交点分别是A ，B ，由圆心C 到y 轴的距离为1，|CA |＝|CB |＝2可知，圆心C (1,2)到直线2x －y ＋b ＝0的距离也等于1才符合题意，于是|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝±5. 3．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.答案：4π [题型技法] 1．解题突破口当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形是解决此类问题的突破口．2．常用结论当直线与圆相交时，讨论直线被圆截得的弦长问题是高考中常见的题型，此时要充分考虑与圆相关的平面几何知识的运用：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点连线垂直于这条弦；(3)d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2.3．常用方法在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“点差法”，即设弦AB 两端点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋y 21＝r 2，x 22＋y 22＝r 2得k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2＝－x 0y 0.该法常用来解决与弦的中点、直线的斜率有关的问题．[题“根”探求]求解与圆有关的弦长问题，其关键是建立半径、半弦、弦心距之间的关系，其解题流程为：确定圆心⇒求圆心到直线的距离d 建立方程r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22.[冲关演练]1．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233解析：选A 依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2. 2．若直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：画出图象如图，当直线l 经过点A ，B 时，m ＝1，此时直线l 与曲线y ＝1－x 2有两个公共点，当直线l 与曲线相切时，m ＝2，因此当1≤m < 2时，直线l ：x ＋y ＝m 与曲线y ＝1－x 2有且只有两个公共点． 答案：[1，2)3．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12， 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12， 半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．考点四 圆与圆的位置关系 (重点保分型考点——师生共研)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝11，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.[解题师说]1．活用“2方法”(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．2．谨防“2失误”(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．[冲关演练]1．(2018·太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9 D．－11解析：选C圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.2．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22，∴a 2＋(－a )2＝2 2. 又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0， 即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2. ∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3， ∴两圆相交．法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，故两圆相交．(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．内含D ．相交解析：选D 由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d <r ，故直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是相交．2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(121，＋∞) C ．[1,121]D ．(1,121)解析：选C x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0化成标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36.圆心距为d ＝(0＋3)2＋(0－4)2＝5，若两圆有公共点，则|6－m |≤5≤6＋m ，解得1≤m ≤121.故选C.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－34B.⎣⎡⎦⎤－34，0 C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B 圆心(3,2)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|3k －2＋3|k 2＋1＝|3k ＋1|k 2＋1，由|MN |≥23，得23≤24－d 2，所以d 2≤1，即8k 2＋6k ≤0⇒－34≤k ≤0，故选B.6．已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．2解析：选D 圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的圆心为(0,1)，半径r ＝1.由圆的性质，知S 四边形PACB＝2S △PBC .∵四边形PACB 的最小面积是2，∴S △PBC 的最小值为1，则12rd min ＝1(d 是切线长)，∴d min ＝2.∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值，∴|PC |min ＝51＋k2＝d 2＋1＝ 5.∵k >0，∴k ＝2.故选D.7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为________．解析：两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22＋1＝35，则公共弦的长度为2r 2－d 2＝250－(35)2＝2 5.答案：2 58．已知圆M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4，直线l ：x ＋y －6＝0，A 为直线l 上一点，若圆M 上存在两点B ，C ，使得∠BAC ＝60°，则点A 的横坐标的取值范围为________．解析：由题意知，过点A 的两直线与圆M 相切时，夹角最大，当∠BAC ＝60°时，MA ＝MB sin ∠BAM ＝2sin 30°＝4.设A (x ，6－x )，所以(x －1)2＋(6－x －1)2＝16，解得x ＝1或x＝5，因此点A 的横坐标的取值范围为[1,5]．答案：[1,5]9．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形， 故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322， 由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或610．在圆C ：x 2＋y 2－2x －2y －7＝0上总有四个点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则实数m 的取值范围是____________．解析：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝9.若圆上有四个点到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离是1，则圆心到直线的距离小于2，即d ＝|7＋m |5<2，解得－17<m <3.答案：(－17,3)B 级——中档题目练通抓牢1．已知圆心(a ，b )(a <0，b <0)在直线y ＝2x ＋1上的圆，其圆心到x 轴的距离恰好等于圆的半径，在y 轴上截得的弦长为25，则圆的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y ＋5)2＝25B ．(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9 C.⎝⎛⎭⎫x －232＋⎝⎛⎭⎫y －732＝499 D.⎝⎛⎭⎫x ＋232＋⎝⎛⎭⎫y ＋732＝499解析：选B 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧r ＝|b |，b ＝2a ＋1，r 2＝|a |2＋(5)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－3，r ＝3，所以圆的方程为(x ＋2)2＋(y ＋3)2＝9.故选B.2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数t 的最小值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 由∠APB ＝90°得，点P 在圆x 2＋y 2＝t 2上，因此由两圆有交点得|t －1|≤|OC |≤t ＋1⇒|t －1|≤2≤t ＋1⇒1≤t ≤3，即t 的最小值为1.3．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝165D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：选D 如图所示，因为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)． ∴过A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，又|OA |＝(－2)2＋32＝13，|OB |＝(－2)2＋(－1)2＝5，|OC |＝62＋(－1)2＝37. ∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径分别为1或37，则圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. 答案：45．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0，即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]6．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2. 化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.7．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ， ∴半径r ＝|OC |. 又∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2. 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t . ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.C 级——重难题目自主选做1．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上．(1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程；(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．解：(1)∵点G (5,4)在直线mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n ≥220mn (当且仅当5m ＝4n 时取等号)，∴1≥80mn ，即mn ≤180，∴(mn )max ＝180. (2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4)，半径为5，设C (x ，y )，则C 1C ―→＝(x －1，y －4)，CG ―→＝(5－x,4－y )， 由题设知C 1C ―→·CG ―→＝0，∴(x －1)(5－x )＋(y －4)(4－y )＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4，∴C 2的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝4.(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切，当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)．由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k |k 2＋1<2，解得k >34.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线C 2M 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2， ∴|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2·1＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6(定值)．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M ：x 2＋y 2－12x －14y ＋60＝0及其上一点A (2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且|BC |＝|OA |，求直线l 的方程； (3)设点T (t,0)满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，求实数t 的取值范围．解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切， 所以0＜y 0＜7，圆N 的半径为y 0， 从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5. 因为|BC |＝|OA |＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22， 所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0. (3)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．因为A (2,4)，T (t,0)，TA ―→＋TP ―→＝TQ ―→，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝x 1＋2－t ，y 2＝y 1＋4. ①因为点Q 在圆M 上，所以(x 2－6)2＋(y 2－7)2＝25. ②将①代入②，得(x 1－t －4)2＋(y 1－3)2＝25.于是点P (x 1，y 1)既在圆M 上，又在圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25上， 从而圆(x －6)2＋(y －7)2＝25与圆[x －(t ＋4)]2＋(y －3)2＝25有公共点， 所以5－5≤[(t ＋4)－6]2＋(3－7)2≤5＋5，解得2－221≤t ≤2＋221.因此，实数t 的取值范围是[2－221，2＋221 ]．(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0. 圆心D (2,0)到直线l 的距离 d ＝|2＋0－1|2＝22＜3， 所以直线l 与圆D 相交．2．直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5解析：选C 直线y －1＝k (x －3)过定点M (3,1)，此点在圆内，圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心为C (2,2)，半径为r ＝2，弦长最短时，直线与CM 垂直，|CM |＝(3－2)2＋(1－2)2＝2，则最短弦长l ＝2r 2－|CM |2＝222－(2)2＝2 2.故选C.3．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D 点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋50k ＋24＝0，解得k ＝－43或－34.4．在平面直角坐标系内，过点P (0,3)的直线与圆心为C 的圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点，则△ABC 面积的最大值是( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3解析：选A 过点P (0,3)的直线与圆心为C 的圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交于A ，B 两点， ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为x ＝0，在y 轴上所截得的线段长为d ＝2×22－12＝23，所以S △ABC ＝12×23×1＝ 3.②当直线的斜率存在时．设圆心到直线的距离为d ，则所截得的弦长l ＝24－d 2.所以S △ABC ＝12×24－d 2×d ＝4－d 2×d 2≤4－d 2＋d 22＝2，当且仅当d ＝2时成立．所以△ABC面积的最大值为2.5．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ， 则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |， 则|AC |·|BD |≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.6．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＋16＝0没有公共点，则实数b 的取值范围是________．解析：圆B 的圆心B (0,0)，半径R ＝－b ，圆C 的圆心C (3，－4)，半径r ＝3，根据两点间距离公式，得|BC |＝5.由题意两圆相离或相内含， 当两圆相离时，有|BC |>R ＋r ， 即－b <2，解得－4<b <0； 当两圆相内含时，有|BC |<R －r . 即－b >8，解得b <－64，综上，实数b 的取值范围为(－∞，－64)∪(－4,0)． 答案：(－∞，－64)∪(－4,0)7．已知直线l 1：x ＋2y ＝a ＋2和直线l 2：2x －y ＝2a －1分别与圆(x －a )2＋(y －1)2＝16相交于A ，B 和C ，D ，则四边形ACBD 的内切圆的面积为________．解析：因为直线l 1：x ＋2y ＝a ＋2和直线l 2：2x －y ＝2a －1互相垂直且交于点(a,1)，而(a,1)恰好是圆(x －a )2＋(y －1)2＝16的圆心，所以四边形ACBD 是边长为42的正方形，因此其内切圆半径是22，面积是8π.答案：8π8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6＝23×23＝4. 答案：49．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2. 化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t 为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ， ∴半径r ＝|OC |. 又∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2. 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t . ∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5， 此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——拔高题目稳做准做1．已知直线3x ＋4y －15＝0与圆O ：x 2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点C 在圆O 上，且S △ABC ＝8，则满足条件的点C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 圆心O 到已知直线的距离为d ＝|－15|32＋42＝3，因此|AB |＝252－32＝8，设点C 到直线AB 的距离为h ，则S △ABC ＝12×8×h ＝8，h ＝2，由于d ＋h ＝3＋2＝5＝r (圆的半径)，因此与直线AB 距离为2的两条直线中一条与圆相切，一条与圆相交，故符合条件的点C 有三个．2．已知直线y ＝x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AO ―→·AB ―→＝32，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±32C ．±22D ．±12解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AO ―→＝(－x 1，－y 1)，AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2＋y 2＝1得，2x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，故Δ＝4m 2－8(m 2－1)＝8－4m 2>0，－2<m <2，x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝m 2－12，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2，又AO ―→·AB ―→＝－x 1x 2－y 1y 2＋x 21＋y 21＝32，故x 1x 2＋y 1y 2＝－12，故2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝－12，即m 2－1－m 2＋m 2＝－12，得m 2＝12，m ＝±22，选C.3．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线l ：3x ＋2y －4＝0上，若在圆C 上总存在两个不同的点A ，B ，使OA ―→＋OB ―→＝OP ―→，则x 0的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，2413B.⎝⎛⎭⎫－2413，0 C.⎝⎛⎭⎫0，1324 D.⎝⎛⎭⎫0，1312解析：选C 如图，∵OA ―→＋OB ―→＝OP ―→，∴OP 与AB 互相垂直平分，∴圆心到直线AB 的距离x 20＋y 22<1，∴x 20＋y 20<4. ①又3x 0＋2y 0－4＝0，∴y 0＝2－32x 0，代入①得x 20＋⎝⎛⎭⎫2－32x 02<4，解得0<x 0<2413.∴实数x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，2413. 4．已知圆O ：x 2＋y 2＝1与x 轴负半轴的交点为A ，P 为直线3x ＋4y －a ＝0上一点，过P 作圆O 的切线，切点为T ，若|PA |＝2|PT |，则实数a 的最大值为________．解析：由题意知A (－1,0)，设P (x ，y )，由|PA |＝2|PT |可得(x ＋1)2＋y 2＝4(x 2＋y 2－1)，化简得⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝169.由3x ＋4y －a ＝0与圆⎝⎛⎭⎫x －132＋y 2＝169有公共点P ，所以圆心⎝⎛⎭⎫13，0到直线3x ＋4y －a ＝0的距离d ＝|1－a |5≤43，解得－173≤a ≤233，所以实数a 的最大值为233.答案：2335．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2， 解得a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)如图，当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ， 则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．6．已知点G (5,4)，圆C 1：(x －1)2＋(y －4)2＝25，过点G 的动直线l 与圆C 1相交于E ，F 两点，线段EF 的中点为C ，且C 在圆C 2上．(1)若直线mx ＋ny －1＝0(mn >0)经过点G ，求mn 的最大值； (2)求圆C 2的方程；(3)若过点A (1,0)的直线l 1与圆C 2相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M .l 1与l 2：x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，求证：|AM |·|AN |为定值．解：(1)∵点G (5,4)在直线mx ＋ny －1＝0上，∴5m ＋4n ＝1,5m ＋4n ≥220mn (当且仅当5m ＝4n 时取等号)，∴1≥80mn ，即mn ≤180，∴(mn )max ＝180. (2)由已知得圆C 1的圆心为(1,4)，半径为5，设C (x ，y )，则C 1C ―→＝(x －1，y －4)，CG ―→＝(5－x,4－y )， 由题设知C 1C ―→·CG ―→＝0，∴(x －1)(5－x )＋(y －4)(4－y )＝0， 即(x －3)2＋(y －4)2＝4，∴C 2的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝4.(3)证明：当直线l 1的斜率不存在时，直线l 1与圆C 2相切，当直线l 1的斜率为0时，直线l 1与圆C 2相离，故设直线l 1的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)．由直线l 1与圆C 2相交，得|3k －4－k |k 2＋1<2，解得k >34. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1， 又直线C 2M 与l 1垂直，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ，y －4＝－1k (x －3)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2，4k 2＋2k 1＋k 2， ∴|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋31＋k 2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k 1＋k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝⎛⎭⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2·1＋k 2·31＋k 2|2k ＋1|＝6(定值)．。
年高考第一轮复习数学：直线与圆的位置关系
直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用鉴别式 来议论地点关系 .① ＞0，直线和圆订交 . ② =0，直线和圆相切 . ③＜0，直线和圆相离 .方法二是几何的看法，即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d ＜R ，直线和圆订交 . ② d=R ，直线和圆相切 . ③ d ＞R ，直线和圆相离 .2.直线和圆相切，这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交，这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.（ 2005 年北京海淀区期末练习题）设m>0，则直线2 22（ x+y ） +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读：圆心到直线的距离为d=1m，圆半径为m .2∵ d － r =1 m－ m = 1（m － 2 m +1） = 1（ m － 1） 2≥ 0，222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案： C2.圆 x 2＋ y 2－ 4x+4y+6=0 截直线 x － y － 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读：圆心到直线的距离为2，半径为 2 ，弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案： A3.（ 2004 年全国卷Ⅲ， 4）圆 x 2+y 2－4x=0 在点 P （ 1， 3）处的切线方程为A. x+ 3 y － 2=0B. x+ 3 y － 4=0－3 y+4=0D. x －3 y+2=0解法一：x 2+y 2－ 4x=0y=kx － k+3x 2－ 4x+（ kx － k+3 ）2 =0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得 k=3.3∴ y － 3 =3（ x － 1），即 x － 3 y+2=0.3解法二：∵点（ 1，3 ）在圆 x 2 +y 2－ 4x=0 上，∴点 P 为切点，进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为（2， 0），∴3· k=－1.2 1解得 k=3，∴切线方程为 x － 3 y+2=0.3答案： D4.（ 2004 年上海，理 8）圆心在直线 2x － y － 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A （0，－4）、 B （0，－ 2），则圆 C 的方程为 ____________.解读：∵圆 C 与 y 轴交于 A （ 0，－ 4）， B （ 0，－ 2），∴由垂径定理得圆心在 y=－ 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x － y －7=0 上，y=－3，解 得 ∴联立2x － y －7=0.∴圆心为（ 2，－ 3），半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为（ x －2） 2+（ y+3 ）2=5. 答案：（ x － 2） 2+（ y+3） 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点，则 k 的取值范围是 ___________.解读：利用数形联合 .答案：－ 1＜ k ≤ 1 或 k=－2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x －6y+m=0 和直线 x+2y － 3=0 交于 P 、 Q 两点，且 OP ⊥ OQ （O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.解析：因为 OP ⊥ OQ ，所以 k OP · k OQ =－ 1，问题可解 .222解：将 x=3－ 2y 代入方程 x +y +x － 6y+m=0，得 5y － 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4， y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ，∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3－ 2y1，x2 =3－ 2y2，∴x1x2=9 － 6（ y1+y2） +4y1y2.∴ m=3，此时＞0，圆心坐标为（－1，3），半径r =5. 22评论：在解答中，我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但一定注意这样的交点能否存在，这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（ y+3）2=37 的交点，且圆心在直线x－ y－4=0 上的圆的方程.解析：依据已知，可经过解方程组（x+3）2+y2=13 ，22得圆上两点，x +（ y+3） =37由圆心在直线x－y－ 4=0 上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可依据已知，设所求圆的方程为（x+3）2 +y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3）2－ 37］ =0，再由圆心在直线 x－ y－ 4=0 上，定出参数λ，得圆方程 .解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13 和 x2+（y+3）2=37 的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y2－ 13+ λ［ x2+（ y+3 ）2－ 37］ =0.睁开、配方、整理，得（x+3）2 +（y+3）2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为（－3，－3），代入方程x－ y－4=0 ，得λ=－ 7.11故所求圆的方程为（x+1）2+（ y+7）2=89. 222评论：圆 C1： x2+y2+D 1x+E1y+F1=0，圆 C2： x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆 C1、 C2订交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D 1x+E1y+F1） +λ（ x2+y2+D2x+E2y+F2） =0 （λ ∈R 且λ ≠－1）.它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－ 1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C：（ x－1）2＋（ y－ 2）2＝ 25，直线l：（ 2m+1） x+（ m+1） y－7m －4=0 （ m∈R） .（1）证明：无论 m 取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析：直线过定点，而该定点在圆内，本题即可解得.（1）证明： l 的方程（ x+y－ 4） +m（ 2x+y－ 7） =0.2x+y－ 7=0 ， x=3，∵ m∈R，∴得x+y－4=0 ， y=1，即 l 恒过定点 A（ 3，1） .∵圆心 C（ 1，2），｜ AC｜＝ 5 ＜5（半径），∴点 A 在圆 C 内，进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .（2）解：弦长最小时， l⊥ AC，由 k AC＝－1，2∴l 的方程为 2x－ y－ 5=0.评论：若定点 A 在圆外，要使直线与圆订交则需要什么条件呢？思虑议论求直线过定点，你还有其他方法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（ x－ 3）2＋（ y+5 ）2＝ r 2上有且只有两个点到直线 4x－ 3y=2 的距离等于 1，则半径 r 的范围是A. （4， 6）B.［4， 6）C.（ 4，6］D.［ 4， 6］解读：数形联合法解.答案： A2.（ 2003 年春天北京）已知直线ax+by+c=0（ abc≠0）与圆 x2+y2=1 相切，则三条边长分别为｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读：由题意得| a 0 b0c |=1，即 c2 =a2+b2，∴由｜ a｜、｜ b｜、｜ c｜组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案： B3.（ 2005 年春天北京， 11）若圆 x2+y2+mx－1=0 与直线 y=－ 1 相切，且其圆心在y 轴4的左边，则 m 的值为 ____________.解读：圆方程配方得（ x+ m）2+y2=m2 1，圆心为（－m，0） . 242由条件知－m<0，即 m>0. 2又圆与直线 y=－1 相切，则0－（－ 1） =m 2124，即 m =3，∴ m= 3 .答案：34.（ 2004年福建， 13）直线x+2y=0 被曲线 x2+y2－ 6x－ 2y－ 15=0 所截得的弦长等于____________.解读：由 x2+y2－ 6x－ 2y－15=0 ，得（ x－ 3）2+（ y－ 1）2=25.知圆心为（ 3， 1）， r=5.由点（ 3， 1）到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ，弦长为4 5 . 2答案： 455.自点 A（－ 3，3）发出的光芒l 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光芒所在的直线与圆 x2＋y2－ 4x－ 4y＋ 7＝ 0 相切，求光芒 l 所在直线的方程 .解：圆（ x － 2） 2＋（ y － 2） 2＝ 1 对于 x 轴的对称方程是（ x － 2） 2＋（ y ＋ 2） 2＝ 1.设 l 方程为 y － 3＝ k （ x ＋3），因为对称圆心（ 2，－ 2）到 l 距离为圆的半径1，进而可得 k 1＝－ 3 ， k 2＝－ 4．故所求 l 的方程是 3x ＋ 4y － 3＝ 0 或 4x ＋ 3y ＋ 3＝0.436.已知 M （ x 0， y 0）是圆 x 2+y 2=r 2（ r >0）内异于圆心的一点，则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解：圆心 O （0， 0）到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P （ x 0， y 0）在圆内，∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ，故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2－ 4（a － 1） x+4y=0 表示圆，求 a 的取值范围，并求出此中半径最小的圆的方程 .解：（ 1）∵ a ≠0 时，方程为［ x －2(a1) ］2 +（ y+ 2 ） 2 = 4( a 2 2a 2) ，a a a 2因为 a 2－2a+2 ＞ 0 恒建立， ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .（ 2） r 2=4 · a22a2=4［2( 1－ 1)2+1］，a 2a 2 2∴ a=2 时， r min 2=2.此时圆的方程为（ x － 1） 2+（ y － 1） 2=2.8.（文）求经过点A （－ 2，－ 4），且与直线 l ： x+3y － 26=0 相切于（ 8， 6）的圆的方程.解：设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，依题意有方程组 3D － E=－ 36， 2D+4E －F=20， 8D+6E+F=－ 100. D=－ 11， ∴ E=3，F=－ 30.∴圆的方程为 x 2+y 2－ 11x+3y －30=0.（理）已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点，定点 Q （ 4， 0） .（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程 .解：（ 1）设 PQ 中点 M （ x ， y ），则 P （ 2x － 4， 2y ），代入圆的方程得（x － 2）2+y 2=1.（ 2）设 R （ x ， y ），由| PR |= |OP|= 1 ，|RQ| |OQ | 2设 P （ m ，n ），则有3x4m=，n=3y，2代入 x 2+y 2=4 中，得 （ x － 4） 2+y 2=16（ y ≠ 0） .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M （－ 1， 0）、 N （ 1， 0）距离的比为 2，点 N 到直线 PM 的距离为 1，求直线 PN 的方程 .解：设点 P 的坐标为（ x ，y ），由题设有|PM |= 2，|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ，整理得 x 2+y 2－6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1， |MN |=2，所以∠ PMN =30°，直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3（ x+1） .3②将②代入①整理得x 2－ 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 ， x 2=2－ 3 .代入②得点 P 的坐标为（ 2+ 3 ，1+ 3 ）或（ 2－ 3，－1+ 3 ）；（ 2+ 3，－1－3 ）或（ 2－ 3，1－ 3）.直线 PN 的方程为 y=x － 1 或 y=－ x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种：相离、相切、订交.判断方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题，常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形；与圆订交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时，常常要用到距离，所以，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握，灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，必定点为A（ 1， 2），要使过定点A （1， 2）作圆的切线有两条，求 a 的取值范围 .解：将圆的方程配方得（x+a）2+（ y+1）243a2C 的坐标为（－a，－2=4，圆心21），半径43a2r=4，条件是 4－ 3a2＞ 0，过点 A（ 1， 2）所作圆的切线有两条，则点 A 必在圆外，即(1a)2(21)2＞43a 2.242化简得 a +a+9 ＞ 0.4－3a2＞ 0，由a2 +a+9＞ 0，－2 3＜ a＜2 3，33解之得a∈R.∴－2 3＜a＜2 3. 33故 a 的取值范围是（－23，2 3）.33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4，定点 A（ 4， 0），求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件，而后将这个几何条件坐标化，即获得它的轨迹方程 .解法一：设动圆圆心为P（ x， y），因为动圆过定点 A，所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时， |PO |=|PA|+2；当动圆 P 与⊙ O 内切时， |PO |=|PA|－2.综合这两种状况，得 ||PO|－ |PA||=2.将此关系式坐标化，得| x2y2－ ( x 4)2y2|=2.化简可得（ x－ 2）2－y2=1. 3解法二：由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|－ |PA||=2，即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A为焦点， 2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（ 2， 0），实半轴长=1，半焦距c =2，虚半轴长ab = c2a 2= 3 ，所以轨迹方程为（ x － 2） 2－ y 2=1.3。
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 理(2021年最新整理)
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第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．已知集合A＝｛(x，y)｜x，y为实数，且x2＋y2＝1｝，B＝{（x，y）｜x，y为实数，且x ＋y＝1｝，则A∩B的元素个数为( ）．A．4 B．3 C．2 D．1解析法一（直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝错误!＝错误!＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C。
法二（数形结合法）画图可得，故选C.答案C2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a）2＋y2＝2有公共点,则实数a的取值范围是（）．A．[－3,－1］B．［－1,3]C．[－3,1] D．(－∞,－3］∪［1，＋∞）解析由题意可得,圆的圆心为（a,0），半径为错误!，∴错误!≤错误!，即｜a＋1|≤2,解得－3≤a≤1.答案C3．若圆(x－a)2＋（y－b）2＝b2＋1始终平分圆(x＋1）2＋（y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是（)A．a2＋2a＋2b－3＝0B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2a＋2b＋5＝0D．a2－2a－2b＋5＝0解析即两圆的公共弦必过（x＋1)2＋(y＋1）2＝4的圆心，两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0,将圆心坐标(－1,－1）代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0.答案C4．若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0（b∈R)恰有三条切线，则a＋b的最大值为 ( ）．A．－3错误!B．－3 C．3 D．3错误!解析易知圆C1的圆心为C1（－a,0)，半径为r1＝2；圆C2的圆心为C2(0,b），半径为r2＝1.∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴｜C1C2｜＝r1＋r2，即a2＋b2＝9。
2025年高考数学一轮复习-9.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
第四节
直线与圆、圆锥曲线
直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【核心素养】
数学抽象、数学运算、逻辑推理.
【命题说明】
考向
考法
(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(
×
)
提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两
圆外切或内切,故(3)错误;
(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(
√
)
提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.
2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内
切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.
3.两圆相交时公共弦的性质
圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12 +12 -4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2 =0(22 +22 -
x= 或x+2 y-5 =0
______________________.
【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r= 2;
当过P的直线斜率不存在,即直线方程为
x= 2时,直线与圆C相切;
设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x- 2),即kx-y- 2k+2=0,
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
≤ + ，解得−
≤≤
.
−−
+
=
+
≤ ，即
考点二 直线与圆位置关系的应用
角度1 圆的切线问题（链接高考）
例2 (2023·新课标Ⅰ卷)过点 , − 与圆 + − − = 相切的两条直
（2）过圆 + = 外一点 , 作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为 + = .
2.圆与圆的位置关系的常用结论
（1）两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
（2）两个圆系方程
①过直线 + + = 与圆 + + + + = 交点的圆系方
（其中不含圆 ，所以注意检验 是否满足题意，以防丢解）.
1.若经过点 −, − 的直线与圆 + = 相切，则该直线在轴上的截
距为(
A.
)
√
C.−
B.5
解析：选C.因为 −
+ −
D.−
= ，所以点在圆上，
所以切线方程为− − = ,令 = 得 =
+ − − = 相交.
方法三：圆的方程可化为 −
+ = ,
所以圆的圆心为 , ，半径为3.
圆心到直线 − + − = 的距离为
+−
+
=
+
≤ < ,所以直线与圆相交.故选C.
高考数学一轮复习学案：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(含答案)
高考数学一轮复习学案：9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系（含答案）9.4直线与圆直线与圆..圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系最新考纲考情考向分析1.能根据给定直线.圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.考查直线与圆的位置关系.圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围.最值.几何量的大小等题型主要以选择.填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1判断直线与圆的位置关系常用的两种方法1几何法利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系dr相离2代数法判别式b24ac0相交；0相切；0，圆O2xa22yb22r22r20.方法位置关系几何法圆心距d与r1，r2的关系代数法联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|1，而圆心O到直线axby1的距离d|a0b01|a2b21a2b21.所以直线与圆相交2圆x2y22x4y0与直线2txy22t0tR的位置关系为A相离B相切C相交D以上都有可能答案C解析直线2txy22t0恒过点1，2，1222214250，点1，2在圆x2y22x4y0内，直线2txy22t0与圆x2y22x4y0相交，故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法1几何法利用d与r的关系2代数法联立方程之后利用判断3点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交题型二题型二圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系典例已知圆C1xa2y224与圆C2xb2y221外切，则ab的最大值为A.62B.32C.94D23答案C解析由圆C1与圆C2外切，可得ab2222213，即ab29，根据基本不等式可知abab2294，当且仅当ab时等号成立，ab的最大值为94.引申探究1若将本典例中的“外切”变为“内切”，求ab 的最大值解由C1与C2内切得ab22221.即ab21，又abab2214，当且仅当ab时等号成立，故ab的最大值为14.2若将本典例条件“外切”变为“相交”，求公共弦所在的直线方程解由题意把圆C1，圆C2的方程都化为一般方程，得圆C1x2y22ax4ya20，圆C2x2y22bx4yb230，由得2a2bx3b2a20，即2a2bx3b2a20为所求公共弦所在直线方程思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是1确定两圆的圆心坐标和半径长；2利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1r2，|r1r2|；3比较d，r1r2，|r1r2|的大小，写出结论跟踪训练xx 重庆调研如果圆Cx2y22ax2ay2a240与圆Ox2y24总相交，那么实数a的取值范围是______________________答案22，00,22解析圆C的标准方程为xa2ya24，圆心坐标为a，a，半径为2.依题意得0a2a222，0|a|22.a22，00,22题型三题型三直线与圆的综合问题直线与圆的综合问题命题点1求弦长问题典例xx全国已知直线lmxy3m30与圆x2y212交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|23，则|CD|________.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R23，|AB|23，所以|OM|3，由|OM||3m3|m213，解得m33，所以直线lx3y60.由x3y60，x2y212，解得A3，3，B0，23，则AC的直线方程为y33x3，BD的直线方程为y233x，令y0，解得C2,0，D2,0，所以|CD|4.命题点2直线与圆相交求参数范围典例已知过点A0,1且斜率为k的直线l与圆Cx22y321交于M，N两点1求k的取值范围；2若OMON12，其中O为坐标原点，求|MN|.解1由题设，可知直线l的方程为ykx1，因为l与C交于两点，所以|2k31|1k21.解得473k473.所以k的取值范围为473，473.2设Mx1，y1，Nx2，y2将ykx1代入方程x22y321，整理得1k2x241kx70.所以x1x241k1k2，x1x271k2.OMONx1x2y1y21k2x1x2kx1x214k1k1k28.由题设可得4k1k1k2812，解得k1，所以l的方程为yx1.故圆心C在l上，所以|MN|2.命题点3直线与圆相切的问题典例已知圆Cx12y2210，求满足下列条件的圆的切线方程1与直线l1xy40平行；2与直线l2x2y40垂直；3过切点A4，1解1设切线方程为xyb0，则|12b|210，b125，切线方程为xy1250.2设切线方程为2xym0，则|22m|510，m52，切线方程为2xy520.3kAC211413，过切点A4，1的切线斜率为3，过切点A4，1的切线方程为y13x4，即3xy110.思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略1处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半.弦心距.半径构成直角三角形2圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题跟踪训练1过点3,1作圆x22y224的弦，其中最短弦的长为________答案22解析设P3,1，圆心C2,2，则|PC|2，半径r2，由题意知最短的弦过P3,1且与PC 垂直，所以最短弦长为2222222.2过点P2,4引圆x12y121的切线，则切线方程为__________________答案x2或4x3y40解析当直线的斜率不存在时，直线方程为x2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y4kx2，即kxy42k0，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，即d|k142k|k212|3k|k211，解得k43，所求切线方程为43xy42430，即4x3y40.综上，切线方程为x2或4x3y40.高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度.面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质一.与圆有关的最值问题典例11已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为2,0，则|PAPBPC|的最大值为A6B7C8D92过点2，0引直线l与曲线y1x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于A.33B33C33D3解析1A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆的直径，故PAPC2PO4,0，设Bx，y，则x2y21且x1,1，PBx2，y，PAPBPCx6，y故|PAPBPC|12x37，当x1时有最大值497，故选B.2SAOB12|OA||OB|sinAOB12sinAOB12.当AOB2时，AOB的面积最大此时O到AB的距离d22.设AB 的方程为ykx2k0，即kxy2k0.由d|2k|k2122，得k33.也可ktanOPH33.答案1B2B二.直线与圆的综合问题典例21已知直线lxay10aR是圆Cx2y24x2y10的对称轴，过点A4，a作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于A2B42C6D2102在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2xy40相切，则圆C面积的最小值为A.45B.34C625D.54解析1由于直线xay10是圆Cx2y24x2y10的对称轴，圆心C2,1在直线xay10上，2a10，a1，A4，1|AC|236440.又r2，|AB|240436.|AB|6.2AOB90，点O在圆C上设直线2xy40与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2xy40的距离，点C在以O为焦点，以直线2xy40为准线的抛物线上，当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD||2004|545圆C的最小半径为25，圆C面积的最小值为25245.答案1C2A。
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )相离相切相交图形量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系 d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交． 法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3考法(三) 弦长问题[典例] (1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2(2)(2019·海口一中模拟)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( )A ．4πB ．2πC ．9πD ．22π[解析] (1)因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b 2＝|c |2|c |＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎫222＝22，所以弦长为 2. (2)易知圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0的圆心为(0，a )，半径为a 2＋2.圆心(0，a )到直线y ＝x ＋2a 的距离d ＝|a |2，由直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，|AB |＝23，可得a 22＋3＝a 2＋2，解得a 2＝2，故圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π，故选A.[答案] (1)D (2)A[题组训练]1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎝⎛⎭⎫22，22的切线方程是________． 解析：因为M ⎝⎛⎭⎫22，22是圆x 2＋y 2＝1上的点，所以圆的切线的斜率为－1，则设切线方程为x ＋y ＋a ＝0，所以22＋22＋a ＝0，得a ＝－2，故切线方程为x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________． 解析：由题知，圆x 2＋y 2－2x －3＝0可写成(x －1)2＋y 2＝4，圆心(1,0)到直线kx －y ＋2＝0的距离d ＞2，即|k ＋2|k 2＋1＞2，解得0＜k ＜43.答案：⎝⎛⎭⎫0，43 3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.解析：因为点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，所以直线y ＝kx ＋1的斜率k ＝1，即y ＝x ＋1.又圆心⎝⎛⎭⎫－1，m 2在直线l ：x ＋y ＝0上，所以m ＝2，则圆心的坐标为(－1,1)，半径r ＝2，所以圆心到直线y＝x ＋1的距离d ＝22，所以|AB |＝2r 2－d 2＝ 6.答案： 6 考点二 圆与圆的位置关系[典例] (2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0，得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22，∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．[答案] B [变透练清]1．(2019·太原模拟)若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.2.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4y ＝0，(x －1)2＋(y －1)2＝1，两式相减得，2x －2y －1＝0，因为N (1,1)，r ＝1，则点N 到直线2x －2y －1＝0的距离d ＝|－1|22＝24，故公共弦长为21－⎝⎛⎭⎫242＝142.答案：142[解题技法] 几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|；(3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论． [课时跟踪检测]1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.故选B.2．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则两圆圆心距|C 1C 2|＝(7－3)2＋[1－(－2)]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.3．(2019·南宁、梧州联考)直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6 B ．－π3或π3C ．－π6或π6D.π6解析：选A 由题知，圆心(2,3)，半径为2，所以圆心到直线的距离为d ＝22－(3)2＝1.即d ＝|2k |1＋k 2＝1，所以k ＝±33，由k ＝tan α，得α＝π6或5π6.故选A.4．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B 由题意知点(3,1)在圆上，代入圆的方程可得r 2＝5，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x －1)·(3－1)＋y (1－0)＝5，即2x ＋y －7＝0.故选B.5．(2019·重庆一中模拟)若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( )A ．±1B ．±24C ．±2D ．±32解析：选B 由题知圆的圆心坐标为(－1,3)，半径为2，由于圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，故圆心(－1,3)到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，即|－1＋3a ＋1|1＋a 2＝1，解得a ＝±24.6．(2018·嘉定二模)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 解析：易知圆心(2，－1)，半径r ＝2，故圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|12＋22＝355，弦长为2r2－d 2＝2555.答案：25558．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：因为圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为(1,0)，所以直线AB 的斜率等于－11－02－1＝－1，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝09．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________． 解析：因为P (－3,1)关于x 轴的对称点的坐标为P ′(－3，－1)， 所以直线P ′Q 的方程为y ＝－1－3－a (x －a )，即x －(3＋a )y －a ＝0， 圆心(0,0)到直线的距离d ＝|－a |1＋(3＋a )2＝1，所以a ＝－53.答案：－5310．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4. 圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离，所以|P Q |的最小值是35－5.答案：35－511．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．解：(1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4， 两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴圆C 1和圆C 2相交． (2)圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0， ∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解：(1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则(a －2)2＋(－2a ＋1)2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝(1－2)2＋(－2＋1)2＝ 2. ∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k 2＝1，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.。