高中数学直线与圆习题精讲精练
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 2
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)【题组一 直线与圆的位置关系】1．(2021·江西南昌市)直线4320x y --=与圆+-+-=2224110x y x y 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上都不对2．(2021·全国)直线1x y +=和圆221x y +=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3．(2021·白银市第十中学)直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定4．(2021·北京高二期末)已知直线10l kx y k -+-=：和圆C ：2240x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定5．(2021·北京高二期末)直线34x y b +=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是( ) A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或126．(2021·全国高二课时练习)若直线0x y +=与圆()()2212x m y -+-=相切，则m =( ) A ．1B ．1-C ．1-或3D ．3-或17．(2021·浙江高二期末)已知直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A ．[1,1-+B ．(1-+C ．(1-D ．(11]--8．(2021·浙江高二期末)直线()20ax y a a R --=∈与圆229x y +=的位置关系是( ) A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定9．(2021·全国)(多选)直线l 与圆C 有公共点，则直线l 与圆C 的位置关系可能是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定10．(2021·全国)(多选)已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则( )A ．圆心坐标为(1，－2)B ．圆心到直线的距离为2C ．直线与圆相交 D11．(2021·内蒙古包头市·高二月考(理))已知(),P a b 是圆221x y +=内一点，则直线1ax by +=与圆221x y +=公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．以上都有可能【题组二 直线与圆的弦长】1．(2021·陕西安康市·高二期末(理))设直线1y x =+与圆22(1)4x y ++=交于A ，B 两点，则||AB = 。
(完整)2019-2020学年高中数学分类精练——直线与圆(一)
、选择题1•已知a , b 均为正实数，且直线 ax y6 0与直线b 1 x y 50互相平行，则ab 的最大值为（)111A . 1B .-C —D .2482•已知直线l 1: ax y 1 0与直线l 2 : x y5 0垂直，则点（1,2）到直线丨1距离为()A . 1B . 2C .D . 2^23•已知方程2 2x y4x 2y 40，则 x 2y的最大值疋（)A . 14— 6.5B . 14+ 6、5C .9D . 14值为（）2019-2020学年高中数学分类精练直线与圆（一）4•已知圆O 与I 相切于点A ，Q 同时从A 点出发,P 沿直线 I 匀速向右、Q 沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动, 当占■=1Q 运动到如图所示的位置时点P 也停止运动，连结 OQ , OP , 则阴影部分的面积S 、S 2的大小关系是 （）C . S 1 S 2 S 2，最后 S 1 S 25 直线 I : kx y k 10与圆x9交于A ,B 两6，过点A , B 分别作I 的垂线与 y 轴交于点M , N ,则 MN 等于（）A. 4 .2B. 8C. 6 2D. 8 26•点P 是直线3 0上的动点,由点2P 向圆0 :X4作切线，则切线长的最小(A) 2、、27.已知直线l 1 : （3 m ）x 4y 5 3m,l 2：2x （5 m ）y 8平行，则实数 m 的值为（）（B ）C .1 或 78•从直线I : x — y + 3= 0上一点P 向圆C : x 2 + y 2— 4x — 4y + 7= 0引切线，记切点为 M ，则|PM|的最小值为（22A. 142B.3_22C.3 24D.3 2 - 12二、填空题直线AB 经过一个定点，该定点的坐标为2 2 2 210.已知O O 的方程是x y 2 0 , O O 的方程是x y 8x 10 0 ,由动点P 向O O 和O O 所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是 ________ .2 211. 已知圆M : x m y 1 1与圆N 关于直线l : x y 3 0对称，且圆 M 上任一点P 与圆N 上任一点Q 之间距离的最小值为 2.2 2，则实数m 的值为______________ .12. 已知直线丨1〃丨2 , A 是丨仆^之间的一定点，并且 A 点到h,l 2的距离分别为1, 2, B 是直 线l 2上一动点，BAC 60° , AC 与直线h 交于点 6则厶ABC 面积的最小值为 ____________ .15.若三条直线4x y 4 0, mx y 10 , x y 10不能围成三角形，则实数 m取值集合为_^.13.过点P 、、3, 1的直线I 与圆x 2y 2 1有公共点，则直线I 的倾斜角的取值范围是214.已知点P 0,2为圆C ： x aCPQ 60o ，则正数a 的取值范围是 ▲9.在直线x 3上任取一点2 2P,过点P 向圆x (y 2) 4作两条切线，其切点分别为A,B,则三、解答题16.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M: x2 3+ y2—12x—14y + 60= 0及其上一点A(2, 4).2 求圆C的方程；3 直线I: x y4 0与x轴交于点A,点D为直线I上位于第一象限内的一点，以AD为直径的圆与圆C相交于点M , N.若直线AM的斜率为-2,求D点坐标.(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x= 6上，求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线I与圆M相交于B, C两点，且BC = OA,求直线I的方程.17.已知直线I :4x 3y 10 0 ,半径为2的圆C与I相切，圆心C在x轴上且在直线I的右上方.(1)求圆C的方程；(2)若直线AB过点M 1,0，且与圆C交于A, B两点(A在x轴上方，B在x轴下方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分ANB ?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.(5,2).19.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A( . 3,1)，点B是x轴上一点，AB OA,△ OAB的外接圆为圆C .(I )求圆C的方程；(n)求圆C在点A处的切线方程.2 230•在平面直角坐标系xOy中，A(2,4)是O M: x y 12x 14y 60 0上一点.(2)设平行于0A的直线I与O M相交于B, C两点，且BC 2 0A，求直线I的方程•21.已知圆C的圆心在直线3x y 5 0上，并且经过点A(1,4)和B(3,2).(I )求圆C的方程；(n)若直线I过点D(1,0)与圆C相交于P、Q两点，求CPQ的面积的最大值，并求此时直线I的方程.22•已知圆C: x2+y2—2x+4y—4=0 .(1)直线l i过点P(2,0)，被圆C截得的弦长为，求直线11的方程；(2)直线12的的斜率为1,且12被圆C截得弦AB，若以AB为直径的圆过原点，求直线12 的方程.2 223•已知圆C:(x 3) (y 4) 4，直线h过定点A (1, 0).(1 )若11与圆C相切，求11的方程；(2 )若11的倾斜角为一，h与圆C相交于P, Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；4(3)若11与圆C相交于P, Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时11的直线方程试卷答案1. C2. C3. B由圆的方程x'-i- y'+ 4x -2y-4 - 0，得x+2f+（y-】）'9，表示以卜rT为圆心，以一为半径的圆，如图所示，连接Q B,并延长交圆于点同，此时/ + '取得最大值, 又”比］»巡宀，—亠-时."二•: •余，4. C5. C根据题中的条件可知圆的半径等于3,所以直径等于6,所以直线过圆心，即直线过坐标原点，从而可以求得i厂「.|6 V|MN| -〒-砧结合图形的特征，6. C°••圆0 其” + y' ■ 4，•••圆心㈡电閃|，半径| —由题意可知, 点j?到圆| ：、、" 、. ■泊勺切线长最小时,°圆心到直线的距离7. A两条直线存在两种情况：一，两直线的斜率均不存在，且不重合，二，两直线的斜率均存在且相等但不重合•当两直线斜率均存在时，由题可知无解，当两直线斜率均存在时可知- -",可求得- -"，当 -时，两直线方程相同，即两直4 删十5 '亠线重合，当「：.-:时，两直线方程为一 _ _ - ，两直线没有重合，所以本题的正确选项为 A.8. A49・（3,2）10.x 3211.2 或6设圆卜啲圆心为航:，•••圆M和圆N关于直线I对称,圆忙的圆心为I：•• L "诃••• h的■ 一. m亠（” m + 4）' - J2（m - 4}'••••圆M上任一点P与圆N上任一点Q之间距离的最小值为为卜-「彳•叔1口- 4产2 - 2^2 - 2,解得II _或：厂二:12. 2313. 0,—314. ,15 3 a 1由题意易知：圆的圆心为 C （a, a）,半径r=£|a|,•- PC=.J『+ 佃-丹,QC= |a|,••• PC 和QC 长度固定，•••当Q 为切点时，卜门送最大, •••圆C 上存在点Q 使得F C 西_ go* ,••若最大角度大于“「，则圆C 上存在点Q 使得玄二& ,•壯J 畫詁沁陀W 哼，整理可得a 2+6a -6>0,解得a 施”3或a<-^-3|, 又="解得a<1PC ^-(a-2)2又点取为圆(C. (x - a)^ + (y - a)~ 2寸外—点，...02+22 - 4a > 0，解得 av 1•••a >0, •••综上可得 - 3 <a < 1 •15.{4 , 1 , - 1} 16•解：圆M 的标准方程为(x — 6)2 + (y — 7)2= 25, 所以圆心M(6,7)，半径为5.所以解得m = 5或m =— 15故直线I 的方程为2x — y + 5 = 0或2x — y — 15= 0(1)圆N 的标准方程为(x — 6)2+ (y — 1)2= 14 0⑵因为直线I // OA ，所以直线I 的斜率为=22 0设直线I 的方程为y = 2x + m ,即卩2x — y + m = 0,BC 2因为 BC = OA = -. 22 42 = 2，5，而 MC 2 = d 2+ —— 2, d 2 一52 则圆心M 到直线I 的距离d =|2 6 75 m||m 5| ■52-555 52o所以圆C 的方程为X 5 y 24 ；(2)因为AD 为直径，所以k AM k DM1D 点坐标为t,t 4，则 AM :y2 X124 tDM : yt 4x tM252224 t 2854 t 7或 11，而直线AM 的斜率为-2，所以k DM，设24 ,，生兰，由点M 在圆C 上可得：5，又因为点D 位于第一象限，D 7,35 4a 10 17. (1)设圆心 C a,0 a -，则 ------------------- 2 a 0或a 5.25当圆心为 5,0时，圆心在直线I 的左下方，所以a 0. 所以圆C:x 2 y 24.(2)当直线AB x 轴时，x 轴平分 ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为y k x 1，N t,0，A X 1,y 1,BX 2,y 2，由x 24,得1…X-I x 22k 2x k 2 4 0.2k 2 k 2 1 'X-|Xk 2 4若x 轴平分 ANB , 则k ANX 1X 2 y 2t0.k x-! 1 X 1k x 2 x 2 t 2x 1x 2X1X22t 0, 2 k 2即 2k 212k 2 t 1 k 212t 0，解得t4.所以存在定点N 4,0 , 使得x 轴平分 ANB .18. (1)由 7,0 ,5,2可得两点中垂线方程为 y x 5，当 y 0 时得 C 5,0 ,3)即y2 2••• Rt OAB ,•••圆C 以OB 为直径,2.3 3圆C 的方程为 (n )可得k Ac .3 , 则切线斜率_2 3C,0),(x2 2y•过点A 的切线方程为：y 120.( 1)圆M 的标准方程：(x 6) (y 7) 25，圆心M (6,7),743 4k AM ,•切线方程为y 4 (x 2)，即4x 3y6 2 4 3(2)••• k oA 2，•可设直线l的方程为y 2x m，即2x y m 又BC 2OA 22424J5，•圆心M (6,7)到直线l的距离D 匹2亦，即借—亦,- 2 22 ( 1)2解得m 10或m 0 (不合题意，舍去)，•直线l的方程为y 2x 10.半径r 5 , 20 0.0.2 2 2设圆C 的方程为(x a) (y b) r法二：由点A(1,4)和B(3,2)可求得直线AB 的垂直平分线方程为x y 1 0 与直线3x y 50方程联立解得圆心C(3,4)则圆的半径 r |CA| .(3 1)2 (4 4)2 2故圆C 的方程为(x 3)2 (y 4)24(n )法一：直线丨与圆C 相交，•••直线丨的斜率一定存在且不为0,设直线l 的方程为y k(x 1)即kx y k 0，则圆心C 到直线l 的距离为d £k[V 1 k 2又••• CPQ 的面积 S 1 d 2.4d 2 d -4 d 2 、.,d 2(4 d 2) . (d 2 2)2 4•••当d 2时，S 取最大值2.由d —= 2 k 1或k 7V 1 k•直线l 的方程为x y 10或7x y 7法二：设圆心C 到直线丨的距离为d则 CPQ 的面积 S 1 d 2、厂d 2 d .厂d 2 . d 2(4—d 2) d 邑 L 2(d 』2时取等号)以下同法一.1法三： CPQ 面积 S -r r sin PCQ 2sin PCQ 2 ,当 sin PCQ 1 ,即2 PCQ —时取等号，22ra 32a b 1r，解得 b4 3a b5 0r24)2 4(a 1)2 (b 4)22 2由题意有(a 3) (b 2)3a b 5故圆C 的方程为(x 3)2 (y21. (I)法此时为C PQ等腰直角三角形，圆心C到直线丨的距离为d .2 , 以下同法一.2 222•圆C: (x 1)2 (y 2) 9，圆心C(1, 2)半径为3,(1)因直线h过点(2,0)①当直线斜率不存在时11: x 2此时l i被圆C截得的弦长为4 2• • l i : X 2②当直线斜率存在时可设l i方程为y k(x 2)即kx y 2k 0由l i被圆C截得的弦长为 4 2，则圆心C到l i的距离为32 (422)2 i...k 2 2ki解得k 3i k24• l i方程为y 3-(x 2)4即3x4y 6 0由上可知l i方程为：x2或3x4y 6 0(2)设直线12的方程为y x b，代入圆C的方程得x2 (x b)2 2x 4(x b) 4 0.2 2即2x (2b 2)x b 4b 4 0 (*)以AB为直径的圆过原点O,则OA丄OB .设A(X i,y i), B(X2,y2)，则yy 0,即x-|x2(X i b))(X2b)0• 2x i x2 b(x-i X2)b20b24b4由式得X i X2b i,x i X22• b24b 4b( b i)b20 即b23b4将b4或b i代入(*) 方程，对应的△ > 0.故直线l2: X y 4或x y i 0.0 ,• b 4 或b i②若直线’-斜率存在，设直线’•为' ',即5■；由题意知，圆心(3,4)到已知直线，的距离等于半径2,即：VA^ + 1解之得 '•所求直线方程是：•二.1 ,或二二一岂「一「•.⑵直线边方程为二■:— 1「「円Q 丄方程为：，，即匚3 「川点坐标(4,3)⑶直线与圆相交，斜率必定存在，且不为o,设直线方程为 「?-臼,\2k - 4|则圆一…•.又…三角形CPQ 面积x/A 十 k 2S = - dx2\/l — <P = d 4 - 沪二心住一率-（卡一2尸+ 4・23.(1)解:①若直线的斜率不存在,则直线' ，圆的圆心坐标(3,4),半径为2,符合题意（5 分）「当工=丿匚时,S 取得最大值.vl +八I . ；-.-直线方程为厂厂I ,或."y a 2a外一点，若圆C上存在一点Q,使得。
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圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m 64x 6x 4400-=--解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx2x 4|OM |21S 020OMQ -===∆令x 0-1=t ，则t>0 )2t1t (10t)1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2)即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k 2k11k +-=-+∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
高中数学人教A版选择性必修一 精品专题讲练学生卷 专题08 直线与圆综合大题归类
专题8 直线与圆综合大题归类目录【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆 .......................................................................................................................... 1 【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线 ...................................................................................................................... 2 【题型三】直线与圆：韦达定理型 .......................................................................................................................... 3 【题型四】直线与圆：定点 ...................................................................................................................................... 4 【题型五】直线与圆：定值 ...................................................................................................................................... 4 【题型六】直线与圆：定直线 .................................................................................................................................. 5 【题型七】探索性、存在性题型 .............................................................................................................................. 5 【题型八】面积与最值 .............................................................................................................................................. 6 【题型九】直线与圆的应用题 .................................................................................................................................. 7 培优第一阶——基础过关练 ...................................................................................................................................... 8 培优第二阶——能力提升练 ...................................................................................................................................... 9 培优第三阶——培优拔尖练 (11)【题型一】圆大题基础：轨迹 -圆【典例分析】（2021·全国·高二课时练习）已知A （3，3），点B 是圆x 2+y 2＝1上的动点，点M 是线段AB 上靠近A 的三等分点，则点M 的轨迹方程是（ ）A ．221(2)(2)9x y -+-=B ．221(2)(2)9x y -++=C ．221(3)(3)3x y -+-=D ．221(3)(3)3x y -++=1.（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A．B ．C．1 D ．22.（2017·北京海淀·高二期中）若动点P 在直线1:20l x y --=上，动点Q 在直线2:60l x y --=上，设线段PQ 的中点为00(,)M x y ，且2200(2)(2)8x y -++≤，则2200x y +的取值范围是__________．3.（2020·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆224x y +=上两点，点()1,1A ，且0AB AC ⋅=，()12AM AB AC =+，则OAM ∆面积的最大值为______.【题型二】圆大题基础：轨迹 -直线【典例分析】.（2022·全国·高二课时练习）已知点(),m n 在过()2,0-点且与直线20x y -=垂直的直线上，则圆C ：(()2214x y -++=上的点到点(),M m n 的轨迹的距离的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．5D ．1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆221:4C x y +=与圆222:(1)(3)4C x y -+-=，过动点(,)P a b 分别作圆1C 、圆2C 的切线PM ，PN ，（,M N 分别为切点），若||||PM PN =，则226413a b a b +--+的最小值是A ．5B ．13C D ．852.（2020·全国·高二）已知圆1C ：221x y +=与圆2C ：22(2)(4)1x y -+-=，过动点()P a b ，分别作圆1C 、圆2C 的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点），若PM PN =，的最小值是（ ）A B C D【题型三】直线与圆：韦达定理型【典例分析】（2021·广东·西樵高中高二阶段练习）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．（2021·江苏省镇江中学高二阶段练习）如图，已知图22:9C x y +=与x 轴的左右交点分别为A ，B ，与y 轴正半轴的交点为D ．（1）若直线l 过点(3,4)并且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）若点M ，N 是圆C 上第一象限内的点，直线AM ，AN 分别与y 轴交于点P ，Q ，点P 是线段OQ 中点，直线//MN BD ，求直线AM 的斜率．【题型四】直线与圆：定点【典例分析】（2022·四川省德阳中学校高二开学考试）已知两个定点()0,4A 、()0,1B ，动点P 满足2PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线:4l y kx =-．(1)求曲线E 的方程；(2)若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．（2021·江苏·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22()()4x a y b -+-=与圆1C ：2268160x y x y +--+=相切于点6855A ⎛⎫⎪⎝⎭，，且直线l ：10x y +-=与圆C 有公共点．(1)求圆C 的方程；(2)设点P 为圆C 上的动点，直线l 分别与x 轴和y 轴交于点M ，N ． ①求证：存在定点B ，使得2PB PM =；①求当12PM PN +取得最小值时，直线PN 的方程．【题型五】直线与圆：定值【典例分析】（2022·江苏省如皋中学高二开学考试）已知直线:(2)(12)630l m x m y m ++-+-=与圆22:40C x y x +-=.(1)求证：直线l 过定点，并求出此定点坐标；(2)设O 为坐标原点，若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【变式训练】（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标.(3)直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值.【题型六】直线与圆：定直线【典例分析】（2022·四川·遂宁中学高二开学考试（文））已知直线:1l x my =-，圆22:40C x y x ++=. (1)证明：直线l 与圆C 相交；(2)设l 与C 的两个交点分别为A 、B ，弦AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆C 在点A 处的切线为1l ，在点B 处的切线为2l ，1l 与2l 的交点为Q .试探究：当m 变化时，点Q 是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【变式训练】（2021·江西·高二阶段练习（理））已知圆C 经过()(0,2,P Q 两点，圆心在直线0x y -=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴相交于A ，B 两点（A 在B 上方）.直线:1l y kx =+与圆C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 相交于点T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【题型七】探索性、存在性题型【典例分析】（2022·江苏·南京二十七中高二开学考试）已知圆C 过点()2,6A ，且与直线1:100l x y +-=相切于点()6,4B ． (1)求圆C 的方程；(2)过点()6,24P 的直线2l 与圆C 交于,M N 两点，若CMN △为直角三角形，求直线2l 的方程； (3)在直线3:2l y x =-上是否存在一点Q ，过点Q 向圆C 引两切线，切点为,E F ，使QEF △为正三角形，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．【变式训练】（2021·江苏·高二专题练习）已知圆22:1O x y +=和点(1,4)M . (1)过M 作圆O 的切线，求切线的方程；(2)过M 作直线l 交圆O 于点C ，D 两个不同的点，且CD 不过圆心，再过点C ，D 分别作圆O 的切线，两条切线交于点E ，求证：点E 在同一直线上，并求出该直线的方程；(3)已知(2,8)A ，设P 为满足方程22106PA PO +=的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B ，试探究：平面内是否存在一定点N ，使得22PB PN 为定值？若存在，请求出定点N 的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.【题型八】面积与最值【典例分析】（2021·四川省遂宁市第二中学校高二期中（理））已知圆C ：222210x y x y +--+=，直线l 分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，,OA a OB b ==(2,2)a b >>，且圆心C 到直线l 的距离为1.(1)求证：2)22()(a b --=；(2)设(3,1)N ，直线m 过线段CN 的中点M 且分别交x 轴与y 轴的正半轴于点P 、Q ，O 为坐标原点，求①POQ 面积最小时直线m 的方程； (3)求①ABC 面积的最小值.（2022·全国·高二课时练习）已知圆()()22:4C x a y b -+-=，圆心C 在直线y x =上，且被直线:2m x y +=截得弦长为 （1）求圆C 的方程；（2）若0a ≤，点()0,1A ，过A 作两条直线l ，1l ，且满足1l l ⊥，直线l 交圆C 于M ，N 两点，直线1l 交圆C 于P ，Q 两点，求四边形PMQN 面积的最大值.【题型九】直线与圆的应用题【典例分析】（2022·江苏·高二）在①直线l 与B 、C 均相切，①直线l 截A 、B 、C 所得的弦长均相等，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解该问题.问题：2020年是中国传统的农历“鼠年”，现用3个圆构成“卡通鼠”的头像.如图，()0,2A -是A 的圆心，且A 过原点；点B 、C 在x 轴上，B 、C 的半径均为1，B 、C 均与A 外切.直线l 过原点.若___________，求直线l 截A 所得的弦长.【变式训练】1（2022·全国·高二课时练习）赵州桥位于我国河北省，是我国现存最早､保存最好的巨大石拱桥.如图所示，它是一座空腹式的圆弧形石拱桥.(1)利用解析几何的方法，用赵州桥的跨度a 和圆拱高b 表示出赵州桥圆弧所在圆的半径r ； (2)已知37.02a =米，7.23b =米，计算半径r 的值.（结果保留2位小数）2.（2022·福建省永春第一中学高二期末）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A 出发，沿着助滑道曲线())0f x b x =-≤≤滑到台端点B 起跳，然后在空中沿抛物线()()2200g x ax ax b x =-->飞行一段时间后在点C 着陆，线段BC 的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知()220g x ax ax b =--在区间[]0,30上的最大值为30-，最小值为70-．(1)求实数a ，b 的值及助滑道曲线AB 的长度．(2)若运动员某次比赛中着陆点C 与起滑门点A 的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米，5 2.236≈）．培优第一阶——基础过关练1.（2020·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB 切点分别为A 、B ，若120APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为__________．2.（2021·全国·高二期末）在平面直角坐标系xOy 中，点Q 为圆M ：22(1)(1)1x y -+-=上一动点，过圆M 外一点P 向圆M 引-条切线，切点为A ，若|P A |=|PO |，则||PQ 的最小值为（ ）A ．21-B ．21+C ．3214-D ．3214+3.（2021·江苏省响水中学高二阶段练习）已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：2(2)x +＋22(y )+＝2r (r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ MQ ⋅取得最小值时点Q 的坐标； （3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于A ，B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．4.（2022·全国·高二课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(1)1C x y ++=，圆222:(3)(4) 1.C x y -+-=设动圆C 同时平分圆1C ､圆2C 的周长.(1)求证：动圆圆心C 在一条定直线上运动.分阶培优练(2)动圆C 是否经过定点⋅若经过，求出定点的坐标;若不经过，请说明理由.5.（2021·广东·广州四十七中高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． (1)若PA PB ⊥，求点P 的坐标；(2)设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．6.（2013·湖南长沙·一模（理））已知1,04A ⎛⎫⎪⎝⎭，点B 是y 轴上的动点，过B 作AB 的垂线l 交x 轴于点Q ，若()2,4,0AP AQ AB M +=.(1)求点P 的轨迹方程；(2)是否存在定直线x a =，以PM 为直径的圆与直线x a =的相交弦长为定值，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由．7.（2022·全国·高二单元测试）已知圆C 过坐标原点O 和点(6,A ，且圆心C 在x 轴上.(1)求圆C 的方程： (2)设点()10,0M -.①过点M 的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点，求当PCQ △的面积最大时直线l 的方程；①若点T 是圆C 上任意一点，试问：在平面上是否存在点N ，使得32TM TN =.若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.8.（2021·江苏·高二专题练习）圆C ：22(3)1x y +-=，点(,0)P t 为x 轴上一动点，过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N . （1）若1t =，求切线方程；（2）若两条切线PM ，PN 与直线1y =分别交于A ，B 两点，求ABC 面积的最小值.9.（2021·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)培优第二阶——能力提升练1.（2021·山东·薛城区教育局教学研究室高二期中）已知圆()()22:254C x y -+-=，T 为圆C 外的动点，过点T 作圆C 的两条切线，切点分别为M 、N ，使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点，则圆C 的萌点的轨迹方程为_______.2.（2017·重庆一中一模（理））过x 轴下方的一动点P 作抛物线2:2C x y =的两切线，切点分别为,A B ，若直线AB 到圆221x y +=相切，则点P 的轨迹方程为 A ．221(0)y x y -=< B ．22(2)1y x ++=C ．221(0)4y x y +=< D ．21x y =--3.（2021·新疆维吾尔自治区喀什第六中学高二阶段练习）已知直线l ：x +y +3＝0及圆C ：()()2239x a y -++=，令圆C 在x 轴同侧移动且与x 轴相切，（1）圆心在何处时，圆在直线l 上截得的弦最长； （2）C 在何处时，l 与y 轴的交点把弦分成1：3；（3）当圆C 移动过程中与直线l 交于A ，B 两点时，求OA ·OB 的取值范围.4.（2022·全国·高二课时练习）已知两个定点A （-4，0），B （-1，0），动点P 满足|P A |=2|PB |.设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y =kx -4. （1）求曲线E 的方程；（2）若直线l 与曲线E 交于不同的C ，D 两点，且①COD =90°（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k =12，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM ，QN ，切点为M ，N ，探究：直线MN 是否过定点.5.（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）①圆心C 在直线:2780l x y -+=上，圆C 过点B (1，5)；①圆C 过直线:3580l x y +-=和圆226160x y y ++-=的交点；在①①这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C 经过点A (6，0)，且 . (1)求圆C 的标准方程；(2)过点P (0，1)的直线l 与圆C 交于M ，N 两点 ①求弦M N 中点Q 的轨迹方程； ①求证PM PN ⋅为定值.注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6.（2021·安徽·高二阶段练习）已知圆C 过原点，圆心C 是直线2y x =+与直线22y x =-+的交点.(1)求圆C 的标准方程；(2)若圆C 与y 轴交于A ､B 两点（A 在B 上方），直线:1l y kx =+与圆C 交于M ､N 两点，直线AM ，BN 相交于T .请问点T 是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.7.（2021·江西省铜鼓中学高二期中（文））已知点(2,0)P 及圆C ：226490x y x y +-++=. （1）若直线l 过点P 且与圆C 相切，求直线l 的方程；（2）设过P 直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当MN =求以MN 为直径的圆的方程； （3）设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值.8.（2021·江苏·高二专题练习）如图，已知圆O ①224x y +=，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.（1）当|AB l 的方程；（2）已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ①CD ，求四边形ACBD 面积的最大值.9.（2022·全国·高二课时练习）河北省赵县的赵州桥是世界上著名的单孔石拱桥，它的跨度是37.02m ，圆拱高约为7.2m ，自建坐标系，求这座圆拱桥的拱所在圆的标准方程.（精确到0.01m ）培优第三阶——培优拔尖练1.（2021·江苏·高二专题练习）已知圆:O 229x y +=与x 轴交于点A 、B ，过圆上动点M (M 不与A 、B 重合)作圆O 的切线l ，过点A 、B 分别作x 轴的垂线，与切线l 分别交于点,C D ，直线CB 与AD 交于点Q ，Q 关于M 的对称点为P ，则点P 的轨迹方程为_______2.（2021·广东·湛江市第四中学高二期中）过点(,)P x y 作圆221:1C x y +=与圆222:(2)(2)1C x y -+-=的切线，切点分别为A ､B ，若PA PB =，则22x y +的最小值为（ ）AB ．2C ．D ．83.（2021·北京铁路二中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A .(1)求圆C 的标准方程；(2)若点B 也在圆C 上，且弦AB 长为8，求直线AB 的方程；(3)直线l 交圆C 于M ，N 两点，若直线,AM AN 的斜率之和为0，求直线l 的斜率.4.（2022·全国·高二课时练习）知圆22:4O x y +=，点P 是直线:4l x =上的动点．（1）若从点P 到圆O 的切线长为P 的坐标以及两条切线所夹的劣弧长； （2）若点()2,0A -，()2,0B ，直线PA ，PB 与圆O 的另一交点分别为M ，N ，求证：直线MN 经过定点()1,0Q ．5.（2021·全国·高二专题练习）已知点(4,0)A 和(4,4)B ，圆C 与圆22(1)(2)4x y -++=关于直线2450x y --=对称．(1)求圆C 的方程；(2)点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上求出一点M （异于点)A 使得点P 到点A 与M 的距离之比PA PM 为定值，并求12PB PA +的最小值．6.（2021·四川省绵阳南山中学高二阶段练习）已知圆O ：224x y +=与x 轴的负半轴交于点P ，过点()1,0Q 且不与坐标轴重合的直线与圆O 交于A ，B 两点.（1）设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，试问12k k ⋅是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.（2）延长PA ，与直线4x =相交于点R ，证明：PBR △的外接圆必过除P 点之外的另一个定点，并求出该点坐标.7.（2020·江苏·苏州大学附属中学高二开学考试）已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.8.（2020·安徽省太和第一中学高二期中）已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：4132y x =-被圆M M 在直线l 的下方. （1）求圆M 的方程；（2）设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的范围.9.（2022·全国·高二课时练习）如图，某海面上有O ，A ，B 三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O 岛的北偏东45°方向距O 岛B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20千米处．以O 为坐标原点，O 的正东方向为x 轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C 经过O ，A ，B 三点．(1)求圆C 的方程；(2)若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险?。
高中数学必修二直线和圆的位置关系课后练习一(含解析)新人教A版必修2
题2 答案： C．
详解：∵圆 x2+y2 =r 2 的圆心 O（ 0， 0）到直线 l ： 2x+3y+1=0 的距离 m= 13 ， 13
又直线 l ：2x+3y+1=0 被圆 C：x2 +y2 =r 2 所截得的弦长为 d，
∴弦心距 13 ，弦长之半 d 与圆半径 r 组成的直角三角形，
13
2
即 r 2 ( d )2 ( 13 )2 ，∵圆心 O（ 0， 0）到直线 2x+4y-1=0 的距离
-2 ，
题3
11
1
答案：最大值为 5 ，最小值为 5．
详解：圆心 C( － 2,0) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离为
|3 × ( －2) ＋4×0＋ 12| 6
d＝
32＋ 42
＝5．
6
11
∴P 点到直线 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离的最大值为 d＋ r ＝ 5＋ 1＝ 5 ，
6
1
最小值为 d－ r ＝ 5－1＝ 5．
题4
求与圆
x
2
+（
y-2
）
2
=
4
相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
题5
从直线 x- y+3=0 上的点向圆（ x+2） 2 +（ y+2） 2 =1 引切线，则切线长的最小值是
．
题6 若⊙ O： x2＋ y2＝5 与⊙ O1： ( x－m) 2＋ y2＝ 20( m∈ R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 线互相垂直，则线段 AB的长度是 __________ ．
当△＞ 0 时， ( m+1) 2-5 ＜0，∴ 1 5 <m< 1 5 ;
高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练
高中数学-直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系精讲精练典题精讲例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程.图2-3-(3,4)-3思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由⎩⎨⎧=+-++=-+,06,03222c y x y x y x消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0，即5y 2-20y+12+c=0.由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2=512c+. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP⊥OQ， ∴2211x y x y •=-1， 即123232211-=-•-y y y y .解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5×512c+=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y-3)=0，即x 2+y 2+(1+λ)x-(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP⊥OQ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，262--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(262--λ)-3=0.②由①②求得λ=1，c=3.故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0.绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷.变式训练1若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则这个圆的方程为_________________.思路解析:若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线y=33x(x≥0)相切，则圆心在直线y=3x 上，且圆心的横坐标为1，所以纵坐标为3，这个圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=1. 答案：1变式训练2(2006重庆高考,文3)以点(2，-1)为圆心且与直线3x-4y+5=0相切的圆的方程为 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=3B.(x+2)2+(y-1)2=3C.(x-2)2+(y+1)2=9D.(x+2)2+(y-1)2=3 思路解析:根据题意,圆心到切线的距离即为圆的半径r=22435)1(423++-⨯-⨯=3，故选C.答案：C例2已知动直线l:(m+3)x-(m+2)y+m=0与圆C:(x-3)2+(y-4)2=9. (1)求证:无论m 为何值，直线l 与圆C 总相交.(2)m 为何值时，直线l 被圆C 所截得的弦长最小?并求出该最小值.思路分析:分析已知条件:圆是定圆，直线不确定(方程中含有未知数m)，解题关键在于发现直线的特征:过定点.(1)证法一:设圆心C(3，4)到动直线l 的距离为d ，则 d=21)25(21)2()3(|4)2(3)3(|222++=++++•+-•+m m m m m m ≤2.∴当m=25-时，d max =2＜3(半径). 故动直线l 总与圆C 相交.证法二:直线l 变形为m(x-y+1)+(3x-2y)=0. 令⎩⎨⎧=-=+-,023,01y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,2y x如图2-3-(3,4)-4所示，故动直线l 恒过定点A(2，3).图2-3-(3,4)-4而|AC|=32)43()32(22<=-+-，∴点A 在圆内，故无论m 取何值，直线l 与圆C 总相交. (2)解法一:由平面几何知识知,弦心距越大,弦长越小. 由(1)知,当m=25-时，弦长最小. ∴最小值为72)2(3222=-.解法二:由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小， ∴过点A 且垂直AC 的直线被圆C 所截弦长最小. ∴k l =11-=-ACk .∴,123-=++m m 解得m=25-.此时弦长为72)2(92||32222=-=-AC . 故当m=25-时，直线被圆C 所截弦长最小，最小值为72. 绿色通道：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运算量小. 解法二从所要证的结论分析，总与定圆相交的动直线可能是过定点的直线系，且定点必在圆内.于是抓住动直线与定圆的几何特征，数形结合，生动直观，迅速解决问题.变式训练3设直线过点(0,a),其斜率为1,且与圆x 2+y 2=2相切,则a 的值为( ) A.±2 B.±2 C.±22 D.±4 思路分析:设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x 2+y 2=2相切，设直线方程为y=x+a ，圆心(0，0)到直线的距离等于半径2， ∴22||=a .∴a 的值为±2，选B. 答案：B例3已知P(x,y)在圆C:x 2+y 2-6x-4y+12=0上， (1)求x-y 的最大及最小值；(2)求x 2+y 2的最大及最小值；(3)求|PA|2+|PB|2的范围，其中A(-1,0)、B(1,0).思路分析:利用直线与圆的位置关系还可以求最值；另外数形结合的方法也需注意. (1)解：设x-y=m ，则P(x,y)在l:x-y-m=0上.又在⊙C 上,⊙C 的圆心坐标为(3,2), ∴l 与⊙C 有公共点. ⊙C 的圆心坐标为(3,2),∴圆心到直线l 的距离d=11|23|+--m ≤1，|1-m|≤2，得1-2≤m≤2+1.∴x -y 的最大值为2+1,最小值为1-2.(2)解法一:x 2+y 2=(x-0)2+(y-0)2=(22)0()0(-+-y x =|OP|2.由平面几何知识，连结直线OC 交⊙C 于A 、B. 当P 与A 重合时，|OP|min =|OA|=|OC|-1=13-1; 当P 与B 重合时，|OP|max =|OB|=|OC|+1=13+1. 从而，14-213≤x 2+y 2≤14+213.解法二:设x 2+y 2=r 2(r ＞0)，因此P 在⊙O 上，又在⊙C 上，图2-3-(3,4)-5即⊙O 与⊙C 有公共点，由图2-3-(3,4)-5可知，当⊙O 与⊙C 外切时，r 最小. 此时|OC|=r+1=13, ∴r min =13-1.当⊙O 与⊙C 内切时，r 最大. 此时，|OC|=|r-1|=13， ∴r max =13+1.∴14-213≤x 2+y 2≤14+213.(3)解：可化归为(2),|PA|2+|PB|2=222222))1(())1((y x y x +-+++ =x 2+2x+1+y 2+x 2-2x+1+y 2=2(x 2+y 2)+2.由(2)14-132≤x 2+y 2≤14+132， ∴30-134≤|PA|2+|PB|2≤30+134.绿色通道：本题是坐标法的逆向应用,即用几何法研究代数问题——最值.变式训练4圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是( )A.36B.18C.26D.25思路解析：圆x 2+y 2-4x-4y-10=0的圆心为(2，2)，半径为23，圆心到直线x+y-14=0的距离为23522|1422|>=-+，所以直线与圆的位置关系是相离.因此圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R=26，选C.答案:C例4已知圆C:x 2+y 2-2x-4y-20=0及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R ). (1)求证:不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短长度及此时的直线方程. 思路分析:(1)直线l 是过一个定点的直线，若此定点在圆内，则此直线l 必与圆C 相交.(2)当过定点的直线与圆心的距离最短，即此直线垂直于定点与圆心的连线时，被圆截得的弦最短.(1)证明:把直线l 的方程改写成(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.由方程组⎩⎨⎧=-+=-+,072,04y x y x解得⎩⎨⎧==.1,3y x∴直线l 总过定点(3，1).圆C 的方程可写成(x-1)2+(y-2)2=25.∴圆C 的圆心为(1，2)，半径为5，定点(3，1)到圆心(1，2)的距离为5)21()13(22=-+-＜5.∴点(3，1)在圆C 内.∴过点(3，1)的直线l 总与圆C 相交，即不论m 为何实数，直线l 与圆C 总相交.图2-3-(3,4)-6(2)解：当直线l 过定点M(3，1)且垂直于过点M 的圆心的半径时，l 被圆截得的弦长|AB|最短.(如图2-3-(3,4)-6) |AB|=254202])21()13[(2522222==-+--=-CM BC .此时，k AB =CMk 1-=2.∴直线AB 的方程为y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0.故直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度为54，此时直线l 的方程为2x-y-5=0. 绿色通道：充分考虑圆的几何性质，数形结合,如果对于第(2)问用纯代数的方法来解决,会很复杂.变式训练5(2006高考全国卷Ⅰ，文7)从圆x 2-2x+y 2-2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为( ) A.21B.53C.23D.0思路解析:圆x 2-2x+y 2-2y+1=0的圆心为M(1，1)，半径为1，从圆外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则点P 到圆心M 的距离等于5，每条切线与PM 的夹角的正切值等于21，所以两切线夹角的正切值为tanθ=34411212=-•，该角的余弦值等于53，选B. 答案：B 问题探究问题1过一点作圆的切线,求切线方程.现利用点斜式,求出斜率值只有一个,那么该点在圆上吗？利用点斜式求直线方程,会产生漏解吗？如果漏解,会漏掉什么样的解？ 导思：根据不同条件求圆的切线,主要有以下题型:(1)已知切点,求切线方程.可根据切线垂直于过切点的半径直接写出切线的方程.注意只有一条.(2)已知圆外一点,求圆的切线方程.切记有两条. (3)已知切线的斜率求圆的切线方程. 求圆的切线方程常用的三种方法: (1)设切点用切线公式法; (2)设切线斜率用判别式法;(3)设切线斜率,用圆心到切线的距离等于半径法.探究：利用点斜式求直线方程时,很重要的一点就是注意点斜式不能表示斜率不存在的直线的方程,即倾斜角为2π的直线的方程.如果没有考虑到这一点就贸然运用点斜式方程就有可能产生漏解,忽略倾斜角为2π的直线的方程而造成错误.对于题中所给问题,先要判断此点与圆的位置关系,如果点在圆外,则过此点应该有两条圆的切线,现在只解出一个斜率,则说明遗漏了倾斜角为2π的切线方程;如果点在圆上,则应该有一条切线,现解出一个斜率,则正是所求切线的斜率;如果点在圆内,则不应该有切线,不可能解出正确的斜率值.问题2将两个相交的非同心圆的方程x 2+y 2+D i x+E i y+F i =0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢？导思：可以通过设出两圆的交点(x 1,y 1)、(x 2,y 2),将(x 1,y 1)代入两圆方程相减得到 (D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+F 1-F 2=0,将(x 2,y 2)代入两圆方程相减得到(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+F 1-F 2=0,点(x1,y1)、(x2,y2)满足(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,故该方程为公共弦所在直线的方程.探究：两圆相减得一直线方程,它当然经过两圆的公共点.经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(选择性必修第一册) 第2章 直线和圆的方程 章末测试
第2章 直线和圆的方程章末测试(提升)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分)1．(2021·乌鲁木齐市第二十中学)方程 22240x y ax by ++-+=表示圆心为 (2,2)C ，半径为 2的圆，则 a ， b 的值依次为( ) A ．2，4B ．2-，4C ．2，4-D ．2，4-【解析】圆的标准方程为2222()()424b b x a y a ++-=+-，由题意2,22b a -==，即2a =-，4b =，满足22444b a +-=．故选：B ．2．(2021·乌鲁木齐市第二十中学)若两条平行直线1:20(0)l x y m m -+=>与2:30l x ny +-=之间的距m n +=( ) A ．0 B ．1C ．2-D ．1-【答案】A【解析】由题意两直线平行，则112n=-，2n =-，又d ==0m >，所以2m =． 所以0m n +=．故选：A ．3．(2021·广东)过圆224x y +=上一点P 作圆222:()0O x y r r +=>的两条切线，切点分别为,A B ，若2APB π∠=，则r =( )A ．1B ．2C D 【答案】C【解析】由题意可知：0<r <2,如示意图，四边形OAPB 是正方形，因为|OP |=2，则r =故选：C.4．(2021·全国高三其他模拟(文))若圆22()(21)9x a y a -+-+=上有且仅有两个点到直线34120x y +-=的距离等于2，则实数a 的取值范围是( )A ．41,11∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．9,11∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．93141,2,111111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．92141,1,111111⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】圆22()(21)9x a y a -+-+=的圆心坐标为(),21a a -，半径为3．11165a -=，又圆22()(21)9x a y a -+-+=上有且仅有两个点到直线34x y +120-=的距离等于2，所以1116325a --<，解得9111a -<<或21411111a <<．故选：D ． 5．(2021·江西省万载中学)直线:3250l x y -+=，()P m n ,为直线l 上动点，则()221m n++的最小值为( ) A ．13B C ．413D ．313【答案】C【解析】由题意得：()221m n ++表示()P m n ,到()10-，的距离的平方,而()P m n ,为直线l 上动点,所以()221m n ++的最小值，即为()10-，到直线:3250l x y -+=距离的平方，即24=13，故选：C6．(2021·河南)已知()0,0O，)P，()14cos 4sin Q θθ+，[]0,2θπ∈，则OPQ △面积的最大值为( ) A ．4 B ．5C．D【答案】B【解析】设点(),Q Q Q x y，因为14cos 4sin Q Q x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()(22116Q Q x y -+-=，∴Q点的轨迹是以(M 为圆心，4为半径的圆，又直线OP 的方程为OP l：0x -=，2OP ==，圆心M 到直线OP 的距离1d ==，所以Q 到直线OP 的距离最大值为145d r +=+=则OPQ △面积的最大值为12552S =⨯⨯=.故选：B . 7．(2021·安徽)在平面直角坐标系中，四点坐标分别为()((2,0,3,2,1,2,A B C ()4,D a ，若它们都在同一个圆周上，则a 的值为( ) A ．0 B ．1C ．2D 【答案】C【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得((((2222222020323201220D F DEF D E F ⎧+++=⎪⎪++++=⎨⎪⎪+++++=⎩，解得444D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以224440x y x y +--+=，又因为点()4,D a 在圆上，所以22444440a a +-⨯-+=，即2a =.故选：C.8．(2021·河南洛阳市)从直线34:15x l y +=上的动点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为C 、D ，则CPD ∠最大时，四边形OCPD (O 为坐标原点)面积是( ) AB ．C ．D ．2【答案】B【解析】圆221x y +=的圆心为坐标原点O ，连接OC 、OD 、OP ，则OPC OPD ∠=∠，设OPC OPD θ∠=∠=，则2CPD θ∠=，OC PC ⊥，则1sin OC OP OPθ==， 当OP 取最小值时，OP l ⊥，此时3OP ==，PC PD ===，OC OD =，OP OP =，故OPC OPD ≅△△，此时，21OPC OCPD S S OC PC ==⋅=⨯=△四边形故选：B.二、多选题(每题至少有两个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·广东实验中学高三其他模拟)已知直线:cos sin 1l x y αα+=与圆22:6O x y +=交于A ，B 两点，则( )A ．线段AB 的长度为定值B ．圆O 上总有4个点到l 的距离为2C ．线段AB 的中点轨迹方程为221x y += D ．直线l 的倾斜角为2πα+【答案】AC【解析】对于A ，因为圆心(0,0)O 到直线:cos sin 1l x y αα+=的距离1d ==，所以AB ==A 正确；对于B ，由于圆心到直线的距离为1d ==，所以圆O 上只有2个点到l 的距离为2，所以B 错误； 对于C，由于圆心到直线的距离为1d ==，所以线段AB 的中点到圆心(0,0)O 的距离为1，所以线段AB 的中点轨迹是以(0,0)O 为圆心，1为半径的圆，即方程为221x y +=，所以C 正确； 对于D ，当0α=时，则cos 1,sin 0αα==，此时直线为1x =，则直线的倾斜角为2π，满足2πα+；当0α≠时，由cos sin 1x y αα+=，得直线的斜率为cos 1sin tan k ααα=-=-，设直线的倾斜角为θ，则1tan tan θα-=，即tan tan()2πθα=+，当02πα<<时，直线的倾斜角2πθα=+，而当2πα>时，直线的倾斜角2πθα≠+，所以D 错误，故选：AC10．(2021·全国高考真题)已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =【答案】ACD【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y+=，即240x y +-=， 圆心M 到直线AB45==>，所以，点P 到直线AB的距离的最小值为425-<，最大值为4105+<，A 选项正确，B 选项错误； 如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，BM ==，4MP =，由勾股定理可得BP ==CD 选项正确.故选：ACD.11．(2021·广东深圳市)设直线():1l y kx k =+∈R 与圆22:5C x y +=，则下列结论正确的为( )A ．l 与C 可能相离B ．l 不可能将C 的周长平分C ．当1k =时，l 被C 截得的弦长为2D ．l 被C 截得的最短弦长为4 【答案】BD【解析】对于A 选项，直线l 过定点()0,1，且点()0,1在圆C 内，则直线l 与圆C 必相交，A 选项错误； 对于B 选项，若直线l 将圆C 平分，则直线l 过原点，此时直线l 的斜率不存在，B 选项正确；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为10x y -+=，圆心C 到直线l 的距离为d =，所以，直线l 被C 截得的弦长为=C 选项错误；对于D 选项，圆心C 到直线l 的距离为1d =≤，所以，直线l 被C 截得的弦长为4≥，D 选项正确. 故选：BD.12．(2021·广东潮州市)已知圆222:210C x ax y a -++-=与圆22:4D x y +=有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是( ) A ．3- B ．3 C ．2 D ．2-【答案】CD【解析】圆C 方程可化为：()221x a y -+=，则圆心(),0C a ，半径11r =；由圆D 方程知：圆心()0,0D ，半径22r =； 圆C 与圆D 有且仅有两条公切线，∴两圆相交，又两圆圆心距d a =，2121a ∴-<<+，即13a <<，解得：31a -<<-或13a <<， 可知CD 中的a 的取值满足题意.故选：CD.三．填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·黑龙江哈尔滨市)已知直线230x y +-=与圆C ：()()22239x y -+-=相交于A ，B 两点，则ABC 面积为___________.【答案】【解析】圆C 的圆心为()2,3，半径3r =，圆心到直线230x y +-=的距离为d ==所以4AB ===，所以11422ABCSAB d =⨯⨯=⨯=故答案为：14．(2021·福建省福州第一中学)写出一个关于直线10x y +-=对称的圆的方程___________. 【答案】()2211x y -+=等，只要圆心在直线上均可. 【解析】设圆心坐标为(),C a b ， 因为圆C 关于10x y +-=对称， 所以(),C a b 在直线10x y +-=上， 则10a b +-=，取10a b =⇒=，设圆的半径为1， 则圆的方程()2211x y -+=， 故答案为：()2211x y -+=(不唯一)15．(2021·辽宁)已知圆心为(),0a 的圆C 与倾斜角为56π的直线相切于点(3,N ，则圆C 的方程为___________【答案】()2244x y -+=【解析】由题意得，圆的半径r ==，直线的方程为：(3)3y x -=--0x y +=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d r ===所以224(3)3a a ⎡⎤=-+⎣⎦，解得4a =， 所以圆C 的方程为()2244x y -+=. 故答案为：()2244x y -+=16．(2021·江苏南京市)直线y x =D：(()2213x y -+-=交与A ，B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为_____________． 【答案】43π 【解析】如图所示：直线3y x =+3，则倾斜角为6π，则1=,2=66ππαπβ∠-∠+- ， 因为AD BD =，所以1=2∠∠，所以=66ππαπβ-+-，即4=3αβπ+.故答案为：43π 四．解答题(17题10分，其余每题12分，7题共70分)17．(2021·江西赣州市)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:3O x y +=，过点()3,0P-的直线与圆O 相交于不同的两点A ，B .(1)求OAB 面积的最大值；(2)若AB =AB 的方程.【答案】(1)最大值32；(2)()34y x =±+. 【解析】(1)设AOB θ∠=，则()0,θπ∈, 且2113sin sin sin 222OAB S OA OB r θθθ=⋅⋅==△, ∵()0,θπ∈，所以0sin 1θ<≤,∴OAB 面积取得最大值32. (2)设圆心O 到直线AB 的距离为d，则AB ===解得1d =,根据题意，直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为()3y k x =+，即30kx y k -+=,则1d ==，解得4k =±,因此，直线AB的方程为)34y x =±+. 18．(2021·江西省万载中学)已知直线l 经过点()2,3P --． (1)若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；(2)若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程． 【答案】(1)2x =-或513126y x =-；(2)57y x =+． 【解析】(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为2x =-，满足原点到直线l 的距离为2， 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，2=，解得512k =，直线l 的方程为()53212y x +=+，即513126y x =-， 综上，直线l 的方程为2x =-或513126y x =-； (2)设直线l 与直线220x y --=交于点()11,A x y ，与直线10x y +-=交于点()22,B x y 因AB 被点P 平分，即124x x +=-，126y y +=-，则214x x =--，216y y =--，因112222010x y x y --=⎧⎨+-=⎩，则11112211x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得13x =-，18y =-， 即(3,8)A --，直线l 的斜率是8(3)53(2)k ---==---，直线l 方程为(3)5[(2)]y x --=--，即57y x =+，所以直线l 的方程为：57y x =+.19．(2021·浙江高二期末)已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在射线()20y x x =+≥上，且截直线220x y --=所得弦长为5． (1)求圆C 的方程；(2)已知点()1,4P -，直线(1) (45) 10m x m y -+-+=与圆C 交于A 、B 两点，是否存在m 使得PA PB =，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)()()22244x y -+-=；(2)34m =． 【解析】(1)设圆C 的方程为()()()2220x a y b r r -+-=> 圆心C 在射线()20y x x =+≥上，所以()2,0,0b a a b =+≥≥ 圆C 与y 轴相切，则r a =点(),a b 到直线220x y --=的距离d ==，由于截直线220x y --=所得弦长为5，所以22212r d ⎛-= ⎝⎭则得2280a a +-=，又0a ≥ 所以2,4a a ==-(舍去)，24,2b a r a =+=== 故圆C 的方程为()()22244x y -+-=； (2)由(1)得()2,4C ，因为PA PB =，CA CB = 所以,P C 在线段AB 的中垂线上，则PC AB ⊥， 因为44821PC k +==-，所以11458AB m k m -==-- 解得34m =20．(2021·玉林市第十一中学)如图，已知圆O ∶224x y +=，过点E (1，0)的直线l 与圆相交于A ，B 两点.(1)当|ABl 的方程；(2)已知D 在圆O 上，C (2，0)，且AB ⊥CD ，求四边形ACBD 面积的最大值. 【答案】(1)()13y x =±-；(2)【解析】(1)1o 当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =，此时AB ==2o 当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-，所以圆心O 到直线l的距离d =因为AB =AB =3k =±，所以直线l的方程为)13y x =±-． (2)当直线AB 与x轴垂直时，AB =4CD =，∴四边形ACBD的面积1·2S AB CD ==，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为(1)y k x =-， 即kx y k 0--=，则直线CD 方程为1(2)y x k=--，即20x ky +-=， 点O 到直线AB，点O 到直线CDAB∴==，CD==，则四边形ACBD面积22221134242211k kS AB CDkk+===++令211k t+=>(当0k=时，四边形ACBD不存在)，∴(S=，∴四边形ABCD面积S的最大值为21．(2021·浙江)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB QA上所有点到点O的距均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为A C和BD(C，D为垂足)，测得10 , 6,12AB AC BD===(单位：百米)．(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由．【答案】(1)15PB=；(2)P，Q中不能有点选在D点；【解析】设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM BM⊥，即有6DM AC==，6BM=，8AM=，以C为坐标原点，l 为x轴，建立直角坐标系，则(0,6)A-，(8,12)B--，(8,0)D-(1)设点1(P x，0)，PB AB⊥，则1BP ABk k=-，即1(12)6(12)1(8)0(8)x-----=-----，解得117x=-，所以(17,0)P-，15PB==；(2)当QA AB ⊥时，QA 上的所有点到原点O 的距离不小于圆的半径，设此时2(Q x ，0)， 则1QA AB k k =-，即20(6)6(12)100(8)x -----=----，解得292x =-，9(2Q -，0)，由91782-<-<-，在此范围内，不能满足PB ，QA 上所有点到O 的距离不小于圆的半径， 所以P ，Q 中不能有点选在D 点；22．(2021·重庆巴蜀中学)已知P 为直线:40l x y +-=上一动点，过点P 向圆()22:15C x y ++=作两切线，切点分别为A 、B .(1)求四边形ACBP 面积的最小值及此时点P 的坐标；(2)直线AB 是否过定点？若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1)最小值2，35,22⎛⎫⎪⎝⎭；(2)AB 恒过定点()0,1.【解析】(1)由题意，易知CA PA ⊥，PAC PBC ≅△△， ∴2ACPB ACPS S AC AP ==⋅又=AC r =∴ACPB S AP ==要使四边形ACBP 面积最小，则PC 最小，当PC l ⊥时，PC 的长最小. 过点()1,0C -且与l 垂直的直线为011y x y x -=+⇒=+ 将其与4y x =-联立解得此时点P的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭， ∴min2PC ==，∴()min ACBP S ==；(2)设()004,P x x -，又()1,0C -，则PC =PC 中点坐标为0014,22x x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此以PC 为直径的圆的方程为()()22222000044114242x x x x PC x y +-⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭----， 整理得()()22000140x y x x x y x ++-+--=，∵2PAC PAB π∠=∠=，∴这个圆也是四边形ACBP 的外接圆，它与圆C 方程相减，得公共弦AB 方程：()()0001440x x x y x ++-+-=；()01440x x y x y ⇒-+++-=， 令1004401x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩， ∴AB 恒过定点()0,1.。
高考数学专题13直线与圆小题精练B卷(含解析).doc
2019 年高考数学 专题 13 直线与圆小题精练 B 卷（含分析）1．已知圆的方程为 x 2 y 2 4x 2y 4 0 ，则圆的半径为（ ）A ．3B ．9C ． 3D ．3【答案】 A2．已知圆 C ： 2 y 22（ a 0 ）及直线：x y 3 0，当直线被 C 截得的x a 4 弦长为 23 时，则 a = （）A ． 2B ．22C ． 21D ． 21【答案】 Ca 21 24 ，解得 a2 1 ，又由于 a 0 ，因此 a2 1；【分析】由题意，得131 应选 C ．3．已知圆心 ，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】 B【分析】由题意可设圆的直径两头点坐标为，由圆心坐标可得，可求得，可得圆的方程为即．应选 B ．4．过点 ，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ()A ．B ．C ．1D ．2【答案】 B【分析】在直角三角形 AOB 中 ，选 B ．5．若直线与圆有公共点,则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C6．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】圆心到直线，的距离，由勾股定理可知，，即，应选 B．7．已知圆的圆心在直线上，且与直线平行，则的方程是（）A．B．C．D．【答案】 A【分析】设直线为，代入点得．应选A．点睛：两条直线平行的想法，斜率相等，只要要截距不一样．8．直线x ky10 （k R ）与圆 x2y 24x 2 y 2 0 的地点关系为（）A．订交B．相切 C．相离D．与 k 的值有在【答案】 A【解析】由于直线 x ky10恒过定点P1,0 ，且P1,0在圆x2y24x 2 y 2 0 内，故圆与直线x ky 1 0 的订交，应选答案A．9．曲线y＝ 1＋与直线 y＝k( x－2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是() A．B．(，＋∞)C．(，]D．(，]【答案】 C【分析】由题设可化为过定点的动直线与半圆 有两个交点， 如图，圆心 到直线的距离是，又 ，联合图形可知： 当 ，即 ，应选答案 C ．10．若曲线2 20(0) 与直线xyxyy k( x 2)有交点，则 k的取值范围是（）6A ． [3,0)B ． (0, 4]C ． (0,3]D ．[ 3,3]43 44 4【答案】 C考点：直线与圆的地点关系．11．若一次函数y kx b，y随x的增大而减小，当3x 1y 9 ，则它的分析时， 1式为（）A．y2x7B．y 2 x3C．y2x7或 y2x3D ．以上都不对【答案】 B【分析】试题剖析：∵一次函数y kx b ，当3 x 1y9 ，且 y 随x的增大而减小，∴时， 1当 x 3 时， y9 ；当 x 1 时， y13k b9k2，∴1，解得b．∴一次函数的解k b3析式为 y2x 3 ．应选B．考点：函数分析式．12．已知直线ax by60(a0,b0) 被圆x2y22x 4 y0 截得的弦长为 2 5 ，则 ab 的最大值是（）A．5B．4C．9D．9 22【答案】 C考点： 1．圆的一般方程化为标准方程；2．基本不等式．专题 14直线与圆1．已知直线的倾斜角为，直线经过，两点，且直线与垂直，则实数的值为（）A．-2 B．-3C．-4D．-5【答案】 D【分析】∵，∴，应选D．2．设 A，B 为x轴上的两点，点 P 的横坐标为 2 且PA PB ,若直线PA的方程为x y 10 ，则直线 PB 的方程为（）A． 2 x y 7 0B．2x y 1 0C．x 2 y 4 0D．x y 50【答案】 D3．方程1 4k x 2 2k y214k0 表示的直线必经过点（）A．2,2B．2,2C．12 ,11 D ．34,225555【答案】 C【分析】方程 1 4k x 2 2k y 2 14k0 ，化为（x﹣2y+2）+k（4x+2y﹣14）=012﹣0xx 2 y 2512 ,11解 {﹣，得 {，∴直线必经过点4x 2 y 14011 5 5y5应选 C．点睛：过定点的直线系A1x＋ B1y＋C1＋λ（ A2x＋ B2y＋ C2）=0 表示经过两直线l 1∶A1x＋ B1y＋C1=0与 l 2∶A2x＋ B2y＋ C2＝ 0 交点的直线系，而这交点即为直线系所经过的定点．4．已知圆心，一条直径的两个端点恰幸亏两坐标轴上，则这个圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】 B5．过点，且倾斜角为的直线与圆相切于点，且，则的面积是 ( )A．B．C．1D．2【答案】 B【分析】在直角三角形AOB中，选B．6．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】 C【分析】圆的圆心，半径为，直线与圆有公共点，则，，解得实数的取值范围是，应选C．7．直线与圆订交于两点，则弦的长度等于()A．B．C．D．【答案】 B【分析】 圆心到直线 ，的距离 ，由勾股定理可知， ，即，应选 B ．8．已知圆 C ： （ a<0）的圆心在直线上，且圆 C 上的点到直线 的距离的最大值为 ，则的值为（）A ．1B．2C．3D．4【答案】 C【分析】圆的方程为，圆心为 ① ，圆 C 上的点到直线的距离的最大值为 ②由①②得，a<0，故得 ， =3 ．点睛：圆上的点到直线的距离的最大值，就是圆心到直线的距离加半径；再就是二元化一元的应用．9．已知直线 ax y2 2ABC 为等腰1 0 与圆 C : x 1ya1订交于 A,B 两点，且 直角三角形，则实数 a 的值为A ．1B ．1C ．1或1D ．1或17【答案】 D10．过点 ( 2,0) 引直线与曲线 y1 x2 订交于 A 、B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A ．3B ．3 3C ．333D．3【答案】 B 【分析】试题剖析：因y1x2表示以 O 为圆心,半径为的上半圆．又SAOB1sin AOB,故2AOB900时,AOB 的面积取最大值,此时圆心 O 到直线y k (x2)的距离d1, 即|2k |1, 也即3k21,解之得 k3,应选 B．2 1 k 223考点：直线与圆的地点关系及运用．11．若直线ax by10 a 0, b 0均分圆 C : x2y22x4y 10 的周长，则 ab 的取值范围是（）A ．111 ,B．0,C．0, 884D． 1 ,4【答案】 B考点：直线与圆的地点关系．12．在平面直角坐标系xOy 中, M , N 分别在线段 OA,OB 上,以 C 1,1 为圆心的圆与若, MN与圆C相切,则x 轴和MNy 轴分别相切于的最小值为（A,B ）两点 ,点A．B．22C．222D．222【答案】 D【分析】试题剖析：由于 C 1,1 为圆心的圆与x 轴和y轴分别相切于A, B 两点,点 M , N 分别在线段OA,OB 上,若,MN与圆C相切，设切点为Q ，因此AM BN QM QN MN ，设MNO，则OM ON MN cos MN sin , OA OB 2 MN 1 cos sin，MN2222 2 2，应选D．1 cos siny32A1M Q-2-1ON1B-11 2 sin1242345x考点： 1、圆的几何性质；2、数形联合思想及三角函数求最值．。
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圆与直线一、典型例题例1、已知定点P （6，4）与定直线 1：y=4x ，过P 点的直线 与 1交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使△OQM 面积最小的直线 方程。
分析：直线 是过点P 的旋转直线，因此是选其斜率k 作为参数，还是选择点Q （还是M ）作为参数是本题关键。
通过比较可以发现，选k 作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。
设Q （x 0，4x 0），M （m ，0） ∵ Q ，P ，M 共线 ∴ k PQ =k PM ∴m64x 6x 4400-=-- 解之得：1x x 5m 00-=∵ x 0>0，m>0 ∴ x 0-1>0 ∴ 1x x 10mx 2x 4|OM |21S 02000OMQ-===∆ 令x 0-1=t ，则t>0)2t1t (10t )1t (10S 2++=+=≥40当且仅当t=1，x 0=11时，等号成立 此时Q （11，44），直线 ：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数S △OQM 的函数关系式，再由基本不等式再此目标函数的最值。
要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k ，截距b ，角度θ，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。
例2、已知△ABC 中，A （2，-1），B （4，3），C （3，-2），求：（1）BC 边上的高所在直线方程；（2）AB 边中垂线方程；（3）∠A 平分线所在直线方程。
分析： （1）∵ k BC =5∴ BC 边上的高AD 所在直线斜率k=51-∴ AD 所在直线方程y+1=51-(x-2) 即x+5y+3=0（2）∵ AB 中点为（3，1），k AB =2∴ AB 中垂线方程为x+2y-5=0（3）设∠A 平分线为AE ，斜率为k ，则直线AC 到AE 的角等于AE 到AB 的角。
∵ k AC =-1，k AB =2 ∴k21k2k 11k +-=-+ ∴ k 2+6k-1=0∴ k=-3-10（舍），k=-3+10∴ AE 所在直线方程为(10-3)x-y-210+5=0评注：在求角A 平分线时，必须结合图形对斜率k 进行取舍。
一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。
也可用轨迹思想求AE 所在直线方程，设P(x ，y)为直线AE 上任一点，则P 到AB 、AC 距离相等，得2|1y x |5|5y x 2|-+=--，化简即可。
还可注意到，AB 与AC 关于AE 对称。
例3、（1）求经过点A （5，2），B （3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程。
分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用，以降低运算量。
总之，要数形结合，拓宽解题思路。
（1）法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P （x ，y ），则由|PA|=|PB|得：(x 0-5)2+(y 0-2)2=(x 0-3)2+(y 0-2)2又2x 0-y 0-3=0两方程联立得：⎩⎨⎧==5y 4x 00，|PA|=10∴ 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设圆方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，则圆心（2E,2D --）∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----⨯=++++=++++03)2E()2D (20F E 2D 3230F E 2D 5252222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=31F 10E 8D法二：从形的角度AB 为圆的弦，由平几知识知，圆心P 应在AB 中垂线x=4上，则由⎩⎨⎧==--4x 03y x 2得圆心P （4，5）∴ 半径r=|PA|=10显然，充分利用平几知识明显降低了计算量 （2）设A 关于直线x+2y=0的对称点为A ’ 由已知AA ’为圆的弦 ∴ AA ’对称轴x+2y=0过圆心 设圆心P （-2a ，a ），半径为R 则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长22d R 222-=，2|1a a 2|d +--=∴ 2)1a 3(2R 22-+=∴ 4(a+1)2+(a-3)2=2+2)1a 3(2-∴ a=-7或a=-3当a=-7时，R=52；当a=-3时，R=244∴ 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x 2+y 2-2(m+3)x+2(1-4m 2)y+16m 4+9=0表示一个圆，（1）求实数m 取值范围；（2）求圆半径r 取值范围；（3）求圆心轨迹方程。
分析：（1）m 满足[-2(m+3)]2+[2(1-4m 2)]2-4(16m 4+9)>0，即7m 2-6m-1<0∴ 1m 71<<-（3）半径r=716)73m (71m 6m 722+--=++-∵ 1m 71<<-∴ 73m =时，774r max =∴ 0<r ≤774（3）设圆心P （x ，y ），则⎩⎨⎧-=+=1m 4y 3m x 2消去m 得：y=4(x-3)2-1 又1m 71<<- ∴4x 720<< ∴ 所求轨迹方程为(x-3)2=41(y+1)（4x 720<<） 例5、如图，过圆O ：x 2+y 2=4与y 轴正半轴交点A 作此圆的切线 ，M 为 上任一点，过M 作圆O 的另一条切线，切点为Q ，求△MAQ 垂心P 的轨迹方程。
分析：从寻找点P 满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。
连OQ ，则由OQ ⊥MQ ，AP ⊥MQ 得OQ ∥AP 同理，OA ∥PQ 又OA=OQ ∴ OAPQ 为菱形 ∴ |PA|=|OA|=2设P(x ，y)，Q(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧-==2y y xx 0又x 02+y 02=4∴ x 2+(y-2)2=4（x ≠0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、弦的端点组成的直角三角形。
同步练习（一）选择题1、若直线(m 2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m 取值范围是 A 、-1<m ≤21 B 、21-≤m ≤1 C 、21<m<1 D 、21≤m ≤1 2、已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4π，则m 值为 A 、 31-或-3 B 、-3或31 C 、-3或3 D 、31或3 3、点P 在直线x+y-4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是A 、 2B 、6C 、22D 、10 4、过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A 、 1条B 、2条C 、3条D 、4条5、圆x 2+y 2-4x+2y+C=0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则C 的值是 A 、 -3 B 、3 C 、22 D 、86、若圆(x-3)2+(y+5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r 取值范围是A 、 （4，6）B 、[4，6）C 、（4，6]D 、[4，6] 7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转2π后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x 2+(y-1)2=R 2相切，则正数R 等于A 、 21B 、22C 、1D 、28、 方程x 2+y 2+2ax-2ay=0所表示的圆A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于直线x-y=0对称D 、关于直线x+y=0对称 （二）填空题9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a ，b ），（d ，e ）的直线方程是___________________。
10、已知{(x ，y)|(m+3)x+y=3m-4}∩{(x ，y)|7x+(5-m)y-8=0}=φ，则直线(m+3)x+y= 3m+4与坐标轴围成的三角形面积是__________________。
11、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-+≥++010y 5x 206y 3x 5015y 8x 3，则x-y 的最大值为________，最小值为________。
12、过点A （2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_________________。
13、已知圆：(x-1)2+y 2=1，作弦OA ，则OA 中点的轨迹方程是__________________。
（三）解答题14、已知y=2x 是△ABC 中∠C 平分线所在直线方程，A （-4，2），B （3，1），求点C 坐标，并判断△ABC 形状。
15、已知n 条直线：x-y+c i =0（i=1，2，…，n ），其中C 1=2，C 1<C 2<C 3<…<C n ，且每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…，n ，（1）求C n ；（2）求x-y+C n =0与坐标轴围成的三角形面积：（3）求x-y+C n-1=0与x-y+C n =0与x 轴、y 轴围成的图形面积。
16、已知与曲线C ：x 2+y 2-2x-2y+1=0相切的直线 交x 、y 轴于A 、B 两点，O 为原点，|OA|=a ，|OB|=b ，a>2，b>2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段AB 中点的轨迹方程；（3）求△AOB 面积的最小值。
17、已知两圆x 2+y 2=4和x 2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=25x+b 两侧，求b 取值范围；（2）求过点A （0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k 的范围。
18、当0<a<2时，直线 1：ax-2y-2a+4=0与 2：2x+a 2y-2a 2-4=0和坐标轴成一个四边形，要使围成的四边形面积最小，a 应取何值？参考答案（一）1、D 2、C 3、C 4、C 5、A 6、A 7、B 8、D （二）9、3x-2y+C=0 10、2 11、6，-5 12、x+y=3或x-2y=013、41y )21x (22=+-（x ≠0）（三）14、C （2，4），∠C=90015、（1）2)1n (n 2C n +=（2）4)1n (n 22+ （3）n 316、（1）利用圆心到直线距离等于半径 （2）(x-1)(y-1)=21(x>1，y>1) （3）322+ 17、（1）画图 3≤b ≤5 （2）k ∈（25,25-） 18、21一、选择题1、设2000200120012002101101,101101M N ++==++，2000200120012002109109,1010010100P Q ++==++，则M 与N 、P 与Q 的大小关系为 ( )A.,M N P Q >>B.,M N P Q ><C.,M N P Q <>D.,M N P Q << 解：设点(1,1)A --、点20012000(10,10)B 、点20022001(10,10)C ，则M 、N 分别表示直线AB 、AC的斜率，BC 的方程为110y x =，点A 在直线的下方，∴AB AC K K >，即M ＞N ； 同理，得P Q <。