高中数学必修五,等差数列题型精讲精练

第七章 数列

第一节 等差数列

题型73、等差数列基本运算

? 知识点摘要：

? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做

等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b

2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．

? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．

若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )

2.

? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系

1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．

2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练：

1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B

A ．－12

B ．－10

C ．10

D ．12

2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10

3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340

5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30

题型74、等差数列判定与证明

? 知识点摘要：

? 定义法：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．（证明最常用，判定也常用） ? 通项公式法：（常用来判定） ? 等差中项法：

? 前n 项和公式法：（常用来判定） ? 典型例题精讲精练：

1. 已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12

.

(1)求证：????

??

1S n 是等差数列．

(2)求a n 的表达式．

【答案：】（2）所以a n

＝???

1

2

，n ＝1，－

1

2n (n －1)，n ≥2.

2. (2019·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )B

A ．13

B ．49

C ．35

D ．63

3. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1

(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数

列．

题型75、等差数列性质及结论的应用

? 知识点摘要：

已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和，则：

? 等间距抽取：?++m k m k k a a a 2，，仍是等差数列，公差为m d (k ，m ∈N *)． ? 等长度截取：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . ? 算数平均值：若{a n }是等差数列，则?

??

???n S n 也成等差数列，公差为2d 。 ? 若项数为偶数2n ，则：

)()(1212++=+=n n n n a a n a a n S ，n na S =奇，1+=n na S 偶， nd S S =-奇偶，

1

+=n n a a

S S 偶奇。 ? 若项数为奇数2n －1，则：

n n a n S )12(12-=-，n na S =奇，n a n S )1(-=偶， n a S S =-偶奇，

1

-=

n n

S S 偶奇。 ? 若{a n }与{b n }为等差数列，且前n 项和分别为S n 和T n ，则：1

21

2--=m m m m T S b a 。 ? 典型例题精讲精练：

1. 已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则)2

22(log 10

212a a

a

????＝( )B

A ．10

B ．20

C ．40

D ．2＋log 25

2. (2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9

T 9

＝( )A

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

3. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( )B

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27

4. 在等差数列{a n }中，若a 3＝－5，a 5＝－9，则a 7＝( )B A ．－12 B ．－13 C ．12 D ．13

5. (2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列????

??S n n 的前11项和为

( )D

A ．－45

B ．－50

C ．－55

D ．－66

题型76、等差数列前n项和的最值

?知识点摘要：

?求等差数列前n项和S n最值的2种方法

函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S n＝An2＋Bn，借助二次函数最值的方法求解．

邻项变号法：利用等差数列通项公式a n=kn+b，借助一次函数的图像的零点求解。

?等差数列{a n}中，若a n=m，a m=n（m≠n），则a m+n=0。

?等差数列{a n}中，若S n=m，S m=n（m≠n），则S m+n=-(m+n)。

?等差数列{a n}中，若S n=S m（m≠n），则S m+n=0。

?典型例题精讲精练：

1.在等差数列{a n}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{a n}的前n项和S n的最大值为()A

A．S15B．S16 C．S15或S16D．S17

2.在等差数列{a n}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝()B

A．－12 B．－13 C．12 D．13

3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足S n>0的最大自然数n的值为()C

A．6 B．7 C．12 D．13

4.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n＝324(n＞6)，则数列

{a n}的项数为________．18

5.(2019·山西五校联考)在数列{a n}中，a n＝28－5n，S n为数列{a n}的前n项和，当S n最大时，n＝()C

A．2 B．3 C．5 D．6

6.(2018·全国卷Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.

(1)求{a n}的通项公式；

(2)求S n，并求S n的最小值．

【答案】a n＝2n－9;当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.