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高中数学必修一精讲精练

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2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1

2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1

1.2 集合间的关系(精练)【题组一 集合间的关系】1．(2021·浙江高一期末)下列表述正确的是( ) A ．{},x x y ⊆ B ．{}{},x x y ∈C ．{}{},,x y y x ⊆D ．0φ∈【答案】C【解析】对于A ：{},x x y ∈，故A 错误；对于B ：{}{},x x y ，故B 错误；对于C ：{}{},,x y y x =，故满足{}{},,x y y x ⊆，故C 正确；对于D ：0∉∅，故D 错误；故选：C 2．(多选)(2021·三亚华侨学校高一开学考试)下列选项正确的是( )A RB ．Z Q ∈C ．0∈∅D ．{0}∅⊆【答案】AD【解析】A R ，故正确； B ．因为,Z Q 都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误； C ．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误； D ．因为空集是任何集合的子集，所以{0}∅⊆，故正确； 故选：AD.3．(多选)(2021·全国高一单元测试)下列四个选项中正确的是( ) A ．{}{},a b ∅⊆ B ．(){}{},,=a b a b C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅⊆【答案】CD【解析】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选CD.4．(2021·全国高一课时练习)(多选题)下列关系中，正确的有 A ．{}0∅B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.5．(2021·安徽省舒城中学高一开学考试)如果集合S ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N}，T ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z}，则( ) A ．S ⊆T B ．T ⊆S C ．S ＝T D ．S ⊈T【答案】A【解析】由{|323(1)1T x x k k ==-=-+，}{|3(1)1k Z x x k ∈==-+，1}k Z -∈， 令1t k =-，则t Z ∈，所以{|31T x x t ==+，}t Z ∈， 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N Z ，故S T ．故选：A ．6．(多选)(2021·全国)给出下列关系：其中不正确的是( ) ①{}0∅⊆；②πQ ∈；③{}{}11,2∈；④0N ∉. A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】BCD【解析】为π是无理数，而Q 表示有理数集，∴πQ ∉，故②不正确； ③由于{}1和{}1,2均为集合，故{}{}11,2∈不正确，故③不正确； ④因为0是自然数，N 表示自然数集，∴0N ∈，故④不正确. 故选：BCD.7．(2021·福建)已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( ) A ．M P ⊂≠ B ．P M ≠⊂ C ．M ＝P D ．M ，P 互不包含【答案】D【解析】由于集合M 为数集，集合P 为点集，因此M 与P 互不包含，故选D.8．(2021·上海)下列集合中：①{}0；②{}2|1,0,x x n x n R =+<∈；③{}∅；④∅；⑤{|,}x x n R x R =∈∈；⑥(){}0,0，是空集的为_______(只填序号).【答案】②④⑤.【解析】①中有元素0，③中有元素∅，⑥中有元素()0,0，它们都不是空集； ②中元素211x n =+，∴不存在任何一个元素属于集合②，②是空集； 同理，⑤也是空集；∅代表空集，即④是空集. 故答案为：②④⑤. 【题组二 (真)子集的个数】 1．(2021·全国高三二模)集合{}=1,2,3A 的子集个数为( )A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意得集合A 的子集个数为328=.故选：D2．(2021·广东)若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是( ) A ．62 B ．32C ．64D ．30【答案】D【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个.故选：D3．(2021·陕西西安市)满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】由题意，可得满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 为：{}1，{}1,2，{}1,3，{1,2，3}，共4个． 故选C ．4．(2021·海原县)集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】中含有元素的子集有：，共四个，故选B.5(2021·河南)已知集合{}{}0,1,2,1,0,1B C ==-，非空集合A 满足,A B A C ⊆⊆，则符合条件的集合A的个数为( ) A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】根据题意，得()A BC ⊆，即求B C ⋂的非空子集个数，{}0,1B C ⋂=，{}0,1的非空子集个数是2213-=，所以集合A 的个数是3．故选：A ．6．(2021·全国)已知集合{1,2,3,4}P =，则满足{1,2}Q P ⊆⊆的集合Q 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由题题意可知，满足条件的集合Q 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.故选：D ． 7．(2021·湖北荆州市)已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为( ) A ．{}1,1- B ．{}1,0,1- C ．{}0,1D ．∅【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集 综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B8．(2021·河南)已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆，则符合条件的集合M 有______个．【答案】7【解析】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M⊆的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个，故答案为：7.9．(2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z为非零实数} ，则M 的子集个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选：D. 10．(2021·全国高一课时练习)写出集合{,,}a b c 的所有子集. 【答案】∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c .【解析】集合{,,}a b c 的所有子集有：∅,{}a ,{}b ,{}c ,{,}a b ,{,}a c ,{,}b c ,{,,}a b c . 【题组三 集合相等】1．(2021·全国)已知集合}1,2A =-，{},2B b =，若A B =，则a b +=________.【答案】1-【解析】因为集合}1,2A =-，{},2B b =，A B =，所以12,2,b ==-⎪⎩解得1,2,a b =⎧⎨=-⎩从而1a b +=-.故答案为：1-.2．(2021·全国)含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______．【答案】1-【解析】由题意,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,,0a a b =+，显然0a ≠，故0a b=，即0b =，此时{},0,1a {}2,,0a a =，故21a =，且1a ≠，即1a =-.所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故答案为：1-.3．(2021·全国)已知集合{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，若MN ，则a =______.【答案】0【解析】由题可知，{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，因为MN ，而20a ≥，所以20a =，11a -=-，则0a =.故答案为：0.4．(2021·全国高三专题练习)已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n=，则m n +=______．【答案】-1【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n=,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠． 由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-． 故答案为：1-．5．(2021·全国高一课时练习)已知集合{}{}012a b c =,,,,，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________． 【答案】201【解析】由{a ，b ，}{0c =，1，2}得，a 、b 、c 的取值有以下情况： 当0a =时，1b =、2c =或2b =、1c =，此时不满足题意； 当1a =时，0b =、2c =或2b =、0c ，此时不满足题意；当2a =时，1b =、0c，此时不满足题意；当2a =时，0b =、1c =，此时满足题意；综上得，2a =、0b =、1c =，代入10010201a b c ++=， 故答案为：201．【题组四 根据集合关系求参数】1．(2021·河南开封市)设,a b ∈R ，{}1,A a =，{}1,B b =--，若A B ⊆，则a b -=( ) A ．1- B ．2-C ．2D ．0【答案】D【解析】由A B ⊆知：A B =，即11a b =-⎧⎨-=⎩，得11a b =-⎧⎨=-⎩，∴0a b -=.故选：D.2．(2021·浙江湖州市)已知集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A ．0a ≤ B ．01a ≤≤C ．12a ≤≤D ．2a ≥【答案】D【解析】因为集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，B A ⊆，所以2a ≥.故选：D3．(2021·芷江侗族自治县第一中学)设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．}{2a a ≥ B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤【答案】A 【解析】}{12A x x =<<，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥故选：A4．(2021·全国高一)设集合{}13A x x =-≤，{},0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题[]2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2.故选：B ． 5．(2021·全国高一课时练习)已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．1{1,}2B ．1{1,}2-C ．1{0,1,}2D ．1{0,1,}2-【答案】D【解析】当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，当0a ≠时, 1{}B a=，由B ⊆A 得11a =-或12a =，所以1a =-或12a =， 因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1{0,1,}2-故选：D6．(2021·平潭县新世纪学校高一月考)已知集合{}2,3A =-，{}1B x mx ==，若B A ⊆，则由实数m 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】因为B A ⊆，当0m =时，B =∅，符合题意； 当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以12m =-或13m =，解得12m =-或13m =.故实数m 的所有可能的取值组成的集合为11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A7．(2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中)设集合{|231},{|0}A x x B x x a =+>=+，若A B ⊆，则实数a 的最小值是______. 【答案】1【解析】{|1},{|}A x x B x x a =>-=-,∵A B ⊆,∴1a --,∴1a .故答案为：18．(2021·浙江高一期末)已知集合{}2(1)320A x a x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______．【答案】18-或1【解析】A 的子集个数为2个，所以集合A 只有一个元素， 即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根. 当1a =时，方程320x -=只有一个根2=3x 符合题意； 当1a ≠时，关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根，只需()()=94120a ∆---=，解得：1=8a -.故1=8a -或1. 故答案为：18-或1.9．(2021·上海曹杨二中高一期末)已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞-【解析】由{}2230M x x x =--<，得{}13M x x =-<< 又{}N x x a =>，且M N ⊆，故1a ≤-，故答案为：(,1]-∞-. 10．(2021·全国高三专题练习)设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<. (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数 (2)若A B ⊇，求实数m 的取值范围.【答案】(1)254个；(2)2m =-或12m -≤≤.【解析】化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<. (1){},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，因为A 的非空真子集数为822254-=个. (2)①2m =-时，B A =Φ⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-,因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在； ③当2m >- 时,()1,21B m m =-+ ，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.11．(2020·全国高一课时练习)已知集合{1,1,A xx a a =-≤≤>-∣且}a R ∈，{21,}B y y x x A ==-∈∣，{}2,C z z x x A ==∈∣.是否存在a ，使C B ⊆？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】存在，1a = 【解析】存在.证明如下：假设存在这样的a 值，由于21y x =-且x A ∈,即1x a -≤≤，321y a ∴-≤≤-.而2z x =且x A ∈,∴当10a -<≤时,21a z ≤≤； 当01a <<时,01z ≤≤； 当1a ≥时,20z a ≤≤.若10a -<≤,要使C B ⊆,则211a -≥,即1a ≥，矛盾. 同理当01a <<时,也不存在a 的值. 而1a ≥时,要使C B ⊆，则有221a a ≤-， 即2(1)0a -≤，1a .故存在1a =，使得C B ⊆.。

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。

2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1

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1.1 集合的概念(精练)【题组一 集合的概念】1．(2021·河北)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③ 【答案】C【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C.2.(2021年河南)下列对象能组成集合的是( ) A.2的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2020年全国高考数学试卷中所有难题D ．屠呦呦实验室的全体工作人员【答案】 D【解析】 D 中的对象都是确定的，而且是不同的．A 中的“近似值”，B 中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A ，B ，C 都不能构成集合．3．(2021·全国高一课时练习)下列描述正确的有( )(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{}2y y x =与(){}2,x y y x =集合是同一个集合； (3)3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； (4)偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】对于(1)，很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；对于(2)，集合{}2y y x=中的元素为实数； 集合(){}2,x y y x =中的元素为点的坐标，集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；对于(3)，3611,,,,0.5242-这些数组成的集合中， 由于3624=，10.52-=，由集合元素的互异性， 集合中的元素不是5个，故不正确；对于(4)，偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈，正确，符合集合的含义；故选：B4．(2020·上海)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】因为集合{},,M a b c =，所以由集合元素的互异性可得a b ，a c ≠，b c ≠， 所以△ABC 一定不是等腰三角形.故选：D.5.下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book 的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M 中有3个元素a ，b ，c ，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．【答案】 ②【解析】①不正确. book 的字母o 有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M 中有3个元素a ，b ，c ，所以a ，b ，c 都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．【题组二 元素与集合的关系】1.(2021湖南)设集合M 是由不小于25的数组成的集合，a ＝15，则下列关系中正确的是( )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M 【答案】B【解析】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a ∉M .2．(2021云南)已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( )A ．3∈A 且－3∉AB ．3∈A 且－3∈AC ．3∉A 且－3∉AD ．3∉A 且－3∈A【答案】D 【解析】 ∵3－1＝2>3，∴3∉A .又－3－1＝－4<3，∴－3∈A .3．(2021·江苏高一)设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是( )A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 【答案】B【解析】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确. 故选：B4．(2021·吉林长春市)已知集合M=6*,5aN a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于( ) A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4} 【答案】D【解析】因为集合M=6*,5a N a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6， 即a 可能为4，3，2，1-.所以M={1-，2，3，4}，故选：D.5．(多选)(2021·浙江高一期末)若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则( )A ．1A ∈B ．2A ∈C ．3A ∈D ．4A ∈ 【答案】ABD【解析】对于选项A ：221+=m n ，存在0,1m n ==或1,0==m n 使得其成立，故选项A 正确； 对于选项B ：222m n +=，存在1,1m n ==，使得其成立，故选项B 正确；对于选项C ：由223m n +=，可得23m ≤，23n ≤，若20m =则23n =可得n =n z ∉ ，不成立；若21m =则22n =可得n =n z ∉ ，不成立；若23m =，可得20n =，此时m =m z ∉ ，不成立；同理交换m 与n ，也不成立，所以不存在,m n 为整数使得223m n +=成立，故选项C 不正确；对于选项D ：224m n +=，此时存在0,2m n ==或2,0m n ==使得其成立，故选项D 正确， 故选：ABD.6．(2021·上海市实验学校高一期末)集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}- 【解析】由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ， 当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意；当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.【题组三 集合的表示方法】1．(2021·山东省淄博)集合*63A x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为( ) A ．{}1,2,4,9B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6---- 【答案】B 【解析】因为63Z x∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9， 所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9，故选：B.2．(2021·浙江高一期末)方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是( ) A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}【答案】C 【解析】∵20x y x y +=⎧⎨-=⎩∴11x y =⎧⎨=⎩ ∴方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是{(1，1)}故选C ． 3．(2021·全国高一课时练习)用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数； (2){}(1)(2)0A x x x =-+=； (3){}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】(1){}2,3,4,5；(2){}1,2A =-；(3){}0,1B =【解析】用列举法表示下列集合(1)大于1且小于6的整数，{}2,3,4,5；(2){|(1)(2)0}A x x x =-+=；所以{}1,2A =-(3){|3213}B x Z x =∈-<-<，由3213x -<-<解得12x -<<，x ∈Z ，故表示为{}0,1B =，4．(2021·全国高一单元测试)已知集合{|A x x =为小于6的正整数}，{|B x x =为小于10的素数}，集合{|C x x 为24和36的正公因数}．(1)试用列举法表示集合{|M x x A =∈且}x C ∈；(2)试用列举法表示集合{|N x x B =∈且}x C ∉．【答案】(1) {1,2,3,4}；(2){5,7}.【解析】由题意{}1,2,3,4,5A =，{}2,3,5,7B =，{}1,2,3,4,6,12C =.(1){}1,2,3,4M A C =⋂=.(2).{|M x x B =∈且}x C ∉{}5,7N ∴=5．(2021·全国高一课时练习)把下列集合用另一种方法表示出来：(1){2,4,6,8,10}；(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数；(3){|37}x N x ∈<<；(4)中国古代四大发明【答案】(1){|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}(3){4,5,6}(4){造纸术，印刷术，指南针，火药}【解析】(1){2,4,6,8,10}={|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数：{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.(3){|37}{4,5,6}x N x ∈<<=.(4)中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}6．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)由方程290x 的所有实数根组成的集合； (2)一次函数3y x 与26y x =-+图象的交点组成的集合；(3)不等式453x -<的解集.【答案】(1){3,3}-；(2){(1,4)}；(3){|2}x x <.【解析】(1)2903x x -=⇒=±，则该方程所有实数根组成的集合为{3,3}-；(2)由326y x y x 解得：14x y ==⎧⎨⎩，则图象的交点组成的集合为{(1,4)}； (3)不等式453x -<可化为2x <，则该集合为{|2}x x <7．(2021·河北)用适当的方法表示下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；(2)|2|0y -=的解集.【答案】(1){12,21,13,31,23,32}(2)1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩【解析】(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}.(2)|2|0y -=，得21020x y +=⎧⎨-=⎩所以1,22,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩|2|0y -=的所有解组成的集合用描述法可表示为1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩.8．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)所有能被3整除的整数；(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合；(3)满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .【答案】(1){|3,}x x n n =∈Z .(2)1(,)|12,1,02x y x y xy -≤≤-⎧⎫⎨≤≤⎩≥⎬⎭.(3){|||,}B x x x x ==∈Z . 【解析】(1)由题意所有能被3整除的整数为：3,x n n =∈Z ，所以集合表示为{|3,}x x n n =∈Z ；(2)由图象可知，对于第一象限的阴影部分可得：02,01x y <≤<≤，则对应的点(含边界)为(){},|02,01x y x y ≤≤≤≤；对于第三象限的阴影部分可得：110,02x y -≤<-≤<，则对应的点(含边界)为()1,|10,02x y x y ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以综上可得，满足图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为：()1,|12,1,02x y x y xy ⎧⎫-≤≤-≤≤≥⎨⎬⎩⎭. (3)由集合描述法可将满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B 表示为{|||,}B x x x x ==∈Z .【题组四 元素的个数】1．(2021·山东)已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为( ) A ．1B ．5C ．6D ．无数个 【答案】C【解析】由题得()()()()()(){}0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,2,0A =，所以A 中元素的个数为6.故选：C2．(2021·全国高一课时练习)若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(3)(2)6x x --<得250x x -<，解得05x <<，又x N ∈，所以{1,2,3,4}A =，所以A 中有4个元素．故选：B ．3．(2021·全国高一课时练习)集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 4．(2021·青海)已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D 5．(2021·广西)设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，选B .6．(2020·全国高一单元测试)设A 、B 是非空数集，定义：A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，若A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，则集合A ⊕B 的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】∵A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，又A ={1，2，3}，B ={4，5，6}∴A ⊕B ={5，6，7，8，9}故A ⊕B 的元素个数为5个故选：B7．(2021·福建)已知集合(){}22,|2,,A x y x y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为( ) A ．4B ．9C ．8D ．6 【答案】A【解析】因为222x y +≤，x N ∈，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选：A.8．(2021·上海)已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}21,B y y x x A ==-∈，则集合B 中所有元素之和是( )A ．10B ．13C ．14D ．15【答案】A 【解析】集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}{}21,1,0,3,8B B y y x x A ∴===-∈=-，∴集合B 中所有元素之和为103810-+++=．故选：A ．【题组五 已知元素的特征求参数】1．(2021·天津静海一中高一期末)已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为 ( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3 【答案】A【解析】由题意，知2A ∈，可得(1)当2m =时，2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去；(2)当2322m m -+=，解得3m =或0m =，①当0m =是不满足元素的互异性，舍去，②当3m =时，此时集合{}0,2,3A =，符合题意.故选A.2．(2021·安徽芜湖市)已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为( )A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0【答案】C【解析】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++. 故选：C3．(2020·全国高三专题练习)已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】①21a +=⇒1a =-，∴2(1)0a +=，2331a a ++=，则{}1,0,1A =，不可以，②2(1)1a +=⇒0a =，∴22a +=，2333a a ++=，则{}2,1,3A =，可以， 或2a =-，∴20a +=，2331a a ++=，则{}0,1,1A =，不可以，③2331a a ++=⇒1a =-，21a +=，2(1)0a +=，则{}1,0,1A =，不可以，或2a =-，∴20a +=，2(1)1a +=，则{}0,1,1A =，不可以， ∴{0}B =，故选：B ．4．(2020·浙江)已知集合{1}A x Nx k =∈<<∣，集合A 中至少有3个元素，则( ) A ．3k >B ．3k ≥C ．4k >D ．4k ≥ 【答案】C【解析】{1}A x N x k =∈<<∣且集合A 中至少有3个元素，4k ∴>.故选：C.5．(2021·宜丰县)已知集合(){}(){},|21,,|3A x y y x B x y y x ==+==+,若a A ∈且a B ∈则a 为__________.【答案】(2,5) 【解析】由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，可得2,5x y ==．故a 为(2,5)，故答案为：(2,5)． 6．(2021·西安市)已知{}21,2,x x∈，则x 的值为__________． 【答案】0或2【解析】因为{}21,2,x x ∈，所以当1x =时，集合为 {}1,2,1不成立；当 2x =时，集合为 {}1,2,4，成立；当 2x x =时，解得 1x =(舍去)或0x =，若0x =，则集合为{}1,2,0，成立.所以x 的值为0或2故答案为：0或27．(2021·云南丽江市)若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.【答案】0或1【解析】当k =0时，方程为2x +1=0,有且只有一解，符合题意；当k ≠0时，方程2210kx x ++=有且仅有一个解等价于2240k =-=,解得k =1, 故答案为：0或1.8．(2021·河北安平中学)已知集合{}0,1A =，{}2,2B a a =，其中a R ∈，我们把集合{}1212,,x x x x x A x B =+∈∈记作A B *，若集合A B *中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是___.【答案】()0,2【解析】∵{}0,1A =，{}2,2B a a =， ∴集合A B *中的元素分别是22,2,1,21a a a a ++，∵最大元素是21a +，∴2121a a +<+，∴02a <<，故答案为：()0,2．9．(2021·深圳市)设集合{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．【答案】3-【解析】∵{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意； 当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B AB =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．10．(2021·全国高一课时练习)由2a ，2a -，4所组成的集合记为A .(1)是否存在实数a ，使得A 中只含有一个元素？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由；(2)若A 中只含有两个元素，求a 的值.【答案】(1)存在，2a =-(2)2a =或1a =【解析】(1)存在，理由如下：由题意知若A 中只含有一个元素，则这三个数相等，即224a a =-=， 由24a -=解得2a =-.此时24a =，所以符合条件.故当2a =-时，A 中只有一个元素.(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有224a a =-≠，或242a a =≠-，或224a a -=≠ 若224a a =-≠，解得1a =；若242a a =≠-，解得2a =；若224a a -=≠，无解；综上可得，当2a =或1a =时，集合A 中只含有两个元素.11．(2021·浙江台州市)设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(1x ≠且0x ≠)，则11A x ∈-． (1)若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？(2)集合A 是否为双元素集合？请说明理由．(3)若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ． 【答案】(1)A 中至少还有两个元素；(2)不是双元素集合，答案见解析；(3)112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【解析】(1)2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； (2)不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--，由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．(3)由(2)知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-(1x ≠且0x ≠)， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =(舍去)或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．。

2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)

3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数 x, y 满足 2x y 1，则 xy 的最大值为（
）
A．
1 2
【答案】C
B． 1 4
C． 1 8
D． 1 16
【解析】由基本不等式可得 2x y 2 2xy ，即 2 2xy 1，解得 xy 1 ， 8
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时，取等号，故选：C.
4
2
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若 a,b 为正实数，且 ab 1 ，则 a 2b 的最小值为（
）
A． 2 【答案】D
B． 3 2
C．3
D． 2 2
【解析】因为 a,b 为正实数， ab 1，所以 a 2b 2 2ab 2 2 ， 当且仅当 a 2b ，即 a 2 ， b 2 时取等号.所以 a 2b 的最小值为 2 2 .故选：D
）
A．2 【答案】A
B． 12 7
C． 5 2
D．3
【解析】由 4x4 9x2 y2 2y4 1，得 4x2 y2
x2 2y2
1
4x2
y2
2
x2
2y2
2
5x2
2
3y2
2 ，
即 4 5x2 3y2 2 ，所以 5x2 3y2 2 ，当且仅当 4x2 y2 x2 2y2 ，即 y2 3x2 3 时，等号成立，所以 7
5x2 3y2 的最小值是 2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于 1 4 ，下列说法准确的是（
）
ab
A．取得最小值时
a＝
2 3
B．最小值是 5
C．取得最小值时

4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)

4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)

x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a

人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征(精练)(解析版)

人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征(精练)(解析版)

0 是集合0,1 的一个元素 0 0,1 ，则④正确
本题正确选项： D
3（2023·四川绵阳）已知集合 A {2, 1, 0,1, 2, 3} ， B x A x A ，则 B （ ）
A．{1, 2}
B．{2, 1}
C． {0, 3}
D． {3}
【答案】D
【解析】∵ A {2, 1, 0,1, 2, 3} ，即集合 B 的可能元素 2, 1, 0,1, 2,3，则有：
a
3 2
时，
A
7 2
,
3,12，符合，
故由
a
的值构成的集已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝{2}时，集合 B
＝（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
【答案】D
【解析】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即 x2 p 1 x q 0 有且只有一个实数解 x 2 ,
由 0 A ，则 0 0 A ，可得 0 B ； 由 1 A ，且1 A ，可得 1 B ，且1 B ； 由 2 A ，且 2 A ，可得 2 B ，且 2 B ； 由 3 A，且 3 A ，可得 3 B ；
综上所述： B 3 .
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
D．5
【答案】A
【解析】 0 是自然数，故 0 N ，（1）正确；
π 是无理数，故 π Q ，（2）错误；
由 3、4、5、5、6 构成的集合为3，4，5，6 有 4 个元素，故（3）错误；
数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点集是无限集，（4）错误；

人教版高中数学精讲精练必修一4.1 指数运算(精练)(解析版)

人教版高中数学精讲精练必修一4.1 指数运算(精练)(解析版)

4.1指数运算（精练）1．（2023·全国·=（）A．34a B．78a C．1112a D．2728a 【答案】C11111111112236322221212[()]()a a a a a a a a a=⋅=⋅⋅=⋅⋅=.故选：C2．（2023·全国·（a，b为正数）的结果是（）A．22baB．22abC．22a b D．ab【答案】C()()178333112233123322222ab a b a ba ba bb a b===⎡⎤⎣⎦.故选：C.3．（2023·全国·高一课堂例题）若321x x x++=-，则2827211227281x x x x x x x x----++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++的值是（）A．2B．0C．1-D．1【答案】D【解析】由321x x x++=-，得()2110x x x+++=，即()()2110x x++=，解得=1x-．∴28272112272811x x x x x x x x----++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=+．故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．()12x=-B13(0)y y=<C．130)x x-=>D．1234x=【答案】C【解析】对于A选项：由1122(0),()0)x x x x=-≥-=≤，故该项等号两侧不相等，所以A错误；对于B13(0)y y=-<，所以B错误；对于C 选项：由指数幂的运算性质，可得130)xx -=>，所以C 正确；对于D 选项：当0x >时，2333144423()x x ===，当0x <时，2333144423)(()x x ==-=，显然当0x <时，该项的等量关系不成立，所以D 错误.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）计算1022-）A ．1B ．CD ．122-【答案】B【解析】1022(1)12-+-=故选：B6．（2023·全国·高一专题练习）方程135108x x x -⋅=的解集是（）A ．{}1,4B ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．14,4⎧⎫⎨⎩⎭【答案】B【解析】原方程可化为：13335522x x x x -⋅⋅=，即4151x -=，解得：14x =．故选：B ．7．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数m ，n 满足242m n ⨯=，则12m n+的最小值为（）A ．3B ．5C ．8D ．9【答案】D【解析】由正数m ，n 满足242m n ⨯=，即222222m n m n +⨯==，所以21m n +=，所以()12122225529n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n =，即13m n ==时，取得等号.故选：D.8．（2023秋·高一课时练习）计算下列各式．（1＝；（2＝；（3＝.【答案】a-π3-12【解析】（1a =-.（23ππ3=-=-.（353112222==--=.故答案为：（1）a -；（2）π3-；（3）129．（2023·全国·．【答案】=33-22⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(515=++-=====.故答案为：10．（2022·江苏·高一专题练习）()1⎫+⋅⋅⋅=⎪.【答案】8【解析】原式()112132438180⎛=⨯+++⋅⋅⋅+ ----⎝⎭(11=+()11==()818=+.故答案为：8.11．（2023·全国·高三专题练习）()2031.82-⎛⎫-+= ⎪⎭⎝.【答案】19【解析】()222330232711.8192380.12-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2333224349110311027199294⨯⎛⎫=+⨯-+=+⨯-+= ⎪⎝⎭.故答案为：1912．（2023春·上海宝山）若实数x y 、满足21x y +=，则24x y +的最小值为．【答案】【解析】24y x ≥==+=当且仅当2x y =，即11,24x y ==时取到等号.故答案：.13．（2022·高一课时练习）方程41217480x x +-⨯+=，x =．【答案】12-或32．【解析】】因为()22417480x x ⋅-⨯+=，所以142x=或8，解得12x =-或32．故答案为：12-或32．14．（2023·安徽）已知()2311a a --=，则a 的取值可能是．【答案】2或23或0【解析】因为()2311a a --=，当311a -=，即23a =时，()4233111a a ---==，满足要求，当311a -=-，即0a =时，()()223111a a ---=-=，满足要求，当311a -≠且311a -≠-时，由()2311a a --=可得20a -=，所以2a =，所以a 的取值可能是2或23或0，故答案为：2或23或0.15．（2023·全国·0=，则()2020yx ＝.【答案】10=,0130x y =⇒+++=，所以13x y =-=-，.所以()2020202031)]1[(yx -=-=.故答案为：116．（2023·全国·高三专题练习）若27,16a b==-⨯-=【答案】6(-⨯-()()()()11253211272564164ab a ba b a b ⋅⋅=⋅⋅25113322171536244a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12111575233223644ab +--+--=11344a -=，因为27,16a b ==，所以原式1134427166-=⨯⨯=.故答案为:6.17．（2023·全国·高三专题练习）()()()()()3333241441121a a a a a a a a aa a a ------+-+-+=-++-【答案】2a【解析】原式()()66212144121a a a a a a a a a a a a --------⋅+=+-++-()()()()()222441114411a a a a a a a aa a a a -------++-=+--++()()1111112a a a a a a a a a a a a a------+-=-=++-=-.故答案为：2a .18．（2023·全国·高三专题练习）132111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-=【答案】13x -【解析】132111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-12112111133333333321113333111111111x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎝+⎪⎭⎭-++-⎝12121133333311x x x x x x =-+-+--=-.故答案为：13x -19（2022秋·内蒙古阿拉善盟）（1）计算())24233330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）化简：121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪.（3）已知11222a a -+=，求22112a a a a --++++的值.【答案】2-；(2)1a -；(3)34【解析】(1)())24233330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431322491((3))194=+⨯--1131=+--2=(2)121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅⎪111132231566=aba b --+⋅⋅55661566aba b -⋅=⋅1a -=(3)因为11222a a -+=，两边同时平方可得：12a a -+=，再将12a a -+=两边同时平方可得：222a a -+=，所以22112132224a a a a --+++==+++.20．（2023秋·高一课时练习）求下列各式的值.(1)若32,35a b ==，求23a b -；(2)已知312ab +=a b 的值；(3)若13,2a b -==122a -⋅；(4)若,2.520a b ==111332338234a b a b ---⎛⎫⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】(1)45(2)3(3)14(4)4【解析】（1）利用指数运算法则可知()22233333a ab a b b--=⋅=，将32,35ab==代入可得2224355a b-==.（2()3322112222333333333a a b a ba ba b ba a +⋅⋅====⋅，又312ab +=，3233a bb +==（3）化简得()()211111123231132222222aab aba ab a b ---+++⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎝⋅⎭，将13,2a b -=3211232321112224a a b --⎛⎫⋅===⨯= ⎪⎝⎭（411133231138283412226923339a b a b a b a b a b b -------=⎛⎫⋅⋅⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=又,2.520a b ==，所以34222311133238233320842.5a b a b b a ---⎛⎫⋅⎛⎫⎫ ⎪⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎪= ⎪⎪⎭⎝⎭21．（2023秋·高一课时练习）已知817,2771a b =-=，求(2112133334133327a a b a a a b++-的值．【答案】94【解析】因为0,270a a b ≠-≠，133327aa a b-21121133333341133339327a a b b a b a a ba++-=⨯-2112211233333333523339392727a a b a b a b a b ba a b++---=-2222333271119248()(27)()327a b a a b a-=====---．22．（2022秋·高一单元测试）计算下列各式的值：(1))()1004623.251648229004-⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭；(2)41332233814a a bb a ⎛-÷- ⎝++【答案】(1)100(2)a【解析】（1）)()1004623.251648229004-⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭()()46310.25331114224234272122--⎫⎛⎫=+-⨯⨯-- ⎪⎝⎭⨯⨯⎭⎝4131113113242622224463324272122⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-⨯⨯-- ⎢⨯⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎥⎣⎦1332442324272122-=⨯⨯+-⨯⨯--2727211004+---=⨯=（2）41332233814a a bb a ⎛-÷- ⎝++()()11113333221133338422aa b a ab ab a b a-=÷⨯+-+()()11133322111333338422aa b aab ab a ba -=⨯⨯++-()88a b aa a b-==-23（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：(1)())21132330.0021028---⎛⎫-+--+⎪⎝⎭；0a >，0b >）；(3)112111222111aa a a a----+--+（0a >且1a ≠）．【答案】(1)1679-(2)7188a -(3)0【解析】（1）原式())121232322312715001021 53138008----⎛=⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫-⋅+⎭⎪⎝⎭416720199=+-+=-．（2）方法一（由内向外化）==13122241324a b ab a b⎛⎫⎪=⋅⋅⎪⎪⎝⎭1171113371222188422444a b a a b-+----⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．方法二（由外向内化）11122232a bb a⎡⎤⎛⎫⎢⎥==⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦11213111127123238424288811333248a b a a b a a b a a bb a b b a b b a b-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⋅=⋅⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋅.（3）方法一原式()()11221111111122222111112222211111a aa aa a a a a a a aa a a a a a----------⎛⎫+⎪--+⎝⎭=-=-=-=-+-+．方法二原式()112111111222221111011a aa a a aa a-----+=-=-=⎛⎫-+⎪⎝⎭．24．（2023·全国·高三专题练习）解下列方程：342956x x x⨯+⨯=⨯；【答案】0x=或1x=；【解析】由342956x x x⨯+⨯=⨯，可得()()2232502323x x x x⨯-⨯+⨯=⨯，所以()()2203233x x x x-⨯⨯-=，所以230x x-=或20323x x-⨯=⨯，由230x x -=，可得213x⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0x =，由20323x x -⨯=⨯，可得1123x x --=，即1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭=x ，所以10x -=，即1x =，所以0x =或1x =；1．（2023·河南开封）已知0a >，0b >，且1a b +=，a b ¹，则下列不等式成立的是（）A 1122a b <<+B 1122a b <+<C ．1122a b +<<D ．1122a b+<<【答案】A【解析】2112a b a b =++=+≤++=，∵a b ¹；1122a b +≥==∵a b ¹，∴等号不成立，故1122a b +>1122a b <<+.故选：A.2．（2022秋·高一课时练习）化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（）A ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．113212--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．12【答案】B 【解析】1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11111113232168324212121212121212-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++++÷- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111161683242121212121212------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++÷- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111118832421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++÷- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11113244212121212----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++÷- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1113222121212---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()11321212--⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭=11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知0a b >>，224a b ab +=，则22-a b ab 的值为．【答案】【解析】由0a b >>，224a b ab +=，可得224,4a b a b ab b a+=∴+=，设a t b =，则1t >，则214,410t t t t +=∴-+=，解得2t =（2t =，故2212222a b a b t ab b a t -=-=-=+++，故答案为：。

2.1 等式与不等式的性质(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

2.1 等式与不等式的性质(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

2.1等式与不等式的性质（精练）1．（2023·福建福州）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a 、b 、c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．160a b c ++>B ．160a b c ++<C ．160a b c ++≥D ．160a b c ++≤【答案】D【解析】由题意可知160a b c ++≤．故选：D ．2．（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41000.5x⨯<B ．41000.5x⨯≥C ．41000.5x⨯≤D ．41000.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41000.5x ⨯≥．故选：B ．3．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【答案】D【解析】数学成绩x 不低于100分表示为100x ≥，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分表示为200240y z <+<，即100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩.故选：D.4．（2023广西）如图，在一个面积为200m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A ．4a b >B ．()(4200)4a b ++=C ．4(4)(4)200a b a b >⎧⎨++=⎩D ．44200a b ab >⎧⎨=⎩【答案】C【解析】由题意知4a b >，根据面积公式可以得到()(4200)4a b ++=.故选:C ．5．（2022秋·北京·高一校联考阶段练习）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（）个A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】B【解析】分别设红､黄､蓝､绿各有a ，b ，c ，d 个，且a ，b ，c ，d 为正整数，则由题意得1a c ≥+，1c d ≥+，1d b ≥+，21b a ≥+，可得4b ≥，所以7a ≥，6c ≥，5d ≥，即至少有456722+++=个.故选：B.6．（2023安徽省蚌埠市）已知01x <<，则下列不等式成立的是（）A ．21x x x>>B ．21x x x>>C ．21x x x >>D ．21xx x >>【答案】D【解析】因为01x <<，则10x ->，所以()()211110x x xx x x x-+--==>，所以1x x >，又()210x x x x -=->，所以2x x >，所以21xx x >>.故选：D7．（2023·陕西咸阳）已知a b c d ,,,，为实数，满足a b >，且c d >，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bd >B ．12a a+≥C ．a d b c->-D ．11a b<【答案】C【解析】对于A 中，例如1,2,3,4a b c d =-=-=-=-，此时满足a b >且c d >，此时ac bd <，所以A 不正确；对于B 中，当a<0时，可得11[()2a a a a +=--+≤--，当且仅当1a a-=-时，即1a =-时，等号成立，所以B对于C 中，由a b >且c d >，可得a c b d +>+，所以a d b c ->-，所以C 正确；对于D 中，由11b a a b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，但ab 的符号不确定，所以D 不正确.故选：C.8．（2023云南）若0b a <<，下列不等式中不一定成立的是（）A ．11a b b>-B ．11a b<C >D ．0a b -<-<【答案】A 【解析】A ：11()2()()b a b b a a b b b a b b a b ----==---，又0b a <<，知：()0b a b ->，但2b a -无法确定符号，错误；B ：111ba b a÷=<，0b a <<，故11a b <，正确；C ：由0b a <<，知220>>>D ：由0b a <<，有0a b -<-<，正确；故选：A9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，错误的是（）A ．若0,0a b c d >><<，则一定有a b c d>B ．若22a b c c >，则a b >C ．若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+D ．若,a b c d ><，则a c b d->-【答案】A【解析】对于A ，若2,1,2,1a b c d ===-=-，则a bc d=，故A 错误.对于B ，由22a bc c>，可知20c ≠，所以20c >，所以a b >.故B 正确.对于C ，()()()a m a ab bm ab am m b a b m b b b m b b m ++----==+⋅+⋅+，因为0,0b a m >>>，所以()0()m b a b b m ->⋅+，所以a m ab m b+>+.故C 正确.对于D ，因为c d <，所以c d ->-.又a b >，所以a c b d ->-.故D 正确.故选：A.10．（2023·天津南开）已知a ，b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若0a b =>，则22a b >不成立，若a b >且0a b <=，此时22a b >推不出a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件.故选：D11．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若c ca b>，则a b <C ．若0a b +>，0c b ->，则a c >D ．若0a >，0b >，0m >，且a b <，则a m ab m b+>+【答案】D【解析】对于A ，当0c =，1a =-，2b =时满足22ac bc ≥，但a b <，所以A 错误；对于B ，当1c =-，2a =-，3b =-时，满足c ca b>，但a b >，所以B 错误；对于C ，由不等式的基本性质易知0a c +>，当1a =-，32b =，2c =时满足0a b +>，0c b ->，但a c <，所以C 错误；对于D ，()()()()()0a m b a b m b a m a m a b m b b m b b m b+-+-+-==>+++，所以a m ab m b +>+，故D 正确．故选：D ．12．（2022·新疆克拉玛依）如果,,,R ,0a b c d ab ∈≠，则下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若a b >，则2211ab a b>【答案】D【解析】对A ，取1,1a b ==-，则11a b>，故A 错；对B ，取0c =，则22ac bc =，故B 错；对C ，取2,1,0,2a b c d ==-==-，则0,2ac bd ==，故C 错；对D ，由于a b >，所以222211a b ab a b a b --=，a b > ，且0ab ≠，则220a ba b ->，则2211ab a b>，故D 正确；故选：D.13．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则11a b<B ．若2b ac =，则2b a >或2b c >C ．若x y <，则22x y <D ．若a b ==【答案】C【解析】对于A ，若1,2a b ==-，则11a b>，故A 是假命题．对于B ，当0,1a b c ===时，满足2b ac =，但2b a >或2b c >不成立，故B 是假命题．对于C ，因为0y x >≥，根据不等式的性质得22x y <，故C 是真命题．对于D ，当2a b ==-D 是假命题．故选：C14．（2023春·陕西咸阳）已知1214a b ≤≤≤≤,-,则2a b -的取值范围是（）A ．[]7,4-B ．[6,9]-C ．[6,9]D ．[2,8]-【答案】A【解析】因为14b -≤≤,所以822b -≤-≤,由12a ≤≤,得724a b -≤-≤,故选：A 15．（2023春·福建三明）（多选）若0a b >>，R c ∈，则下列结论正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b<【答案】ABD【解析】因为0a b >>，R c ∈，对于A 选项，0a b ->，A 对；对于B 选项，22a b >，B 对；对于C 选项，当0c <时，ac bc <，C 错；对于D 选项，110b aa b ab--=<，则11a b <，D 对.故选：ABD.16．（2023春·山东临沂）（多选）设,a b 为正实数，则下列命题正确的是（）A ．若221a b -=，则1a b -<B ．若111b a-=，则1a b -<C ．若1a b >+，则221a b >+D ．若1a ≤，1b ≤，则1|a b ||ab |-≥-【答案】AC【解析】对于A ，由221a b -=及,a b 为正实数，可知1a b a b-=+，2211a b =+>，则1a >，由1,0a b >>，可得1a b +>，所以11a b a b-=<+，故A 正确；对于B ，若3a =，则13141b a ==+，所以1a b ->，故B 错误；对于C ，若1a b >+，则()22211a b b >+>+，故C 正确；对于D ，若1a b =≤，则01|a b ||ab |-=≤-，故D 错误.故选：AC17．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列是假命题的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若c ca b>，则a b <C ．若0a b +>，0c b ->，则a c >D ．若0a >，0b >，0m >，且a b <，则a m ab m b+>+【答案】ABC【解析】对选项A ：当0c =，1a =-，2b =时满足22ac bc ≥，但a b <，错误；对选项B ：当1c =-，2a =-，3b =-时，满足c ca b >，但a b >，错误；对选项C ：当1a =-，32b =，2c =时满足0a b +>，0c b ->，但a c <，错误；对选项D ：()()()()()0a m b a b m b a m a m a b m b b m b b m b+-+-+-==>+++，所以a m ab m b +>+，正确．故选：ABC18．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）下列四个命题中，正确的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若a >b ，且11a b>，则ab <0C ．若a >b >0，c >0，则b c ba c a+>+D ．若0c a b >>>，则a bc a c b>--【答案】BCD【解析】选项A ，例如2a =-，1b =，0c =时，22ac bc ≥成立，但a b ≥不成立，A 错误；选项B ，a b >，11110b a a b a b ab->⇒-=>，而0b a -<，因此0ab <，B 正确；选项C ，0,0a b c >>>，0a b ->，0a c +>，则()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，即b c ba c a+>+，C 正确；选项D ，0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，()()()()()()()0a c b b c a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==>------，则a b c a c b>--，D 正确．故选：BCD ．19．（2022·高一课时练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x 套与票面2元的y 套用不等式组可表示为______.【答案】2,2,0.852450x x N y y N x y ++≥∈⎧⎪≥∈⎨⎪⨯+⨯≤⎩【解析】每种邮票至少买两套，则有2,,2,x x N y y N ++≥∈≥∈，又因为50元钱买纪念邮票，所以0.852450x y ⨯+⨯≤，故2,2,0.852450x x N y y N x y ++≥∈⎧⎪≥∈⎨⎪⨯+⨯≤⎩20．（2023·湖南）已知a ，b ，c ，d 为实数，以下6个命题中，真命题的序号是__________．①若a b >，则22ac bc >；②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则bb xaa x+<+；④若0a b <<，则22a ab b >>；⑤若0a b <<，则11a b <；⑥若0a b <<，则b a a b>；【答案】②④【解析】对①，当0c =时，22ac bc =，故①不成立；对②，若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，则a b >，故②成立；对③，若1,2,1a b x ===，则322b b x aa x +=,=+，则b b x a a x+>+，故③不成立.对④，若0a b <<，则2a ab >且2ab b >，故22a ab b >>，故④成立；对⑤，若0a b <<，则0ab >，故a b ab ab <，即11a b>，故⑤不成立，对⑥，0,1,1,a b b aa b b a a b<<∴><∴< ，故⑥不成立，故②④为真命题.故答案为：②④.21．（2023·黑龙江）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b +---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b -++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.22．（2023·全国·高一假期作业）已知0a >，0b >+a b =时取等号）【解析】方法一：由题意()a b --==2=，因为0a >，0b >0>，2≥0>，2≥，当且仅当a b =时等号成立，a b =时取等号）.a b +==2==211，当且仅当a b =时等号成立，a b =时取等号）.23．（2023·河北）已知23a <<，21b -<<-，分别求a b +，2a b -，ab ，ab的取值范围．【答案】详见解析.【解析】因为23a <<，21b -<<-，所以()()2231a b +-<+<+-，即a b +的取值范围是()0,2．由426a <<，12b <-<，得528<-<a b ，所以2a b -的取值范围是()5,8．由23a <<，12b <-<，得26ab <-<，所以ab 的取值范围是()6,2--．易知1112b<-<，而23a <<则13ab<-<，所以ab的取值范围是()3,1--．24．（2023·江苏）已知a b c >>，且0a b c ++=<【答案】证明见解析【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，<，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．25．（2023·陕西）已知a ，b ∈R ，且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是？【答案】[2,10]【解析】设()()42a b A a b B a b +=++-，则42A B A B +=⎧⎨-=⎩，解得31A B =⎧⎨=⎩，所以423()()a b a b a b +=++-，又13a b ≤+≤，所以33()9a b ≤+≤，又11a b -≤-≤，所以314291a b -≤+≤+，即24210a b ≤+≤.故42a b +的取值范围为[2,10].1．（2023山西）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,∈x y z S且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S∉【答案】B【解析】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z<<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z <<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．2．（2023·山东淄博）（多选）对于实数a ，b ，c ，正确的命题是（）A ．若a b >，则2a ba b +>>B ．若0a b >>，则a b >>C ．若11a b>，则0a >，0b <D ．若0a b >>，0c >，则a a cb b c+>+【答案】ABD【解析】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >1>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <.对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，故D 正确.故选：ABD3．（2022秋·四川广安·高一统考期末）（多选）下列命题为真命题的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd>D ．若0b a >>，0c >，则a a cb b c+>+【答案】AB【解析】对于A 项，因为222()0ac bc c a b -=->，所以20c >且0a b ->，即：0c ≠且a b >，故A 项正确；对于B 项，运用不等式的性质可知，若a b >，c d >，则a c b d +>+正确，故B 项正确；对于C 项，当2a =-，3b =-，2c =，1d =时，满足a b >，c d >，但不满足ac bd >，故C 项错误；对于D 项，因为()()()()()a a c abc b a c a b c b b c b b c b b c ++-+--==+++，又因为0b a >>，0c >，所以0a b -<，0b c +>，所以()0()a b c b b c -<+，即：a a c b b c+<+，故D 项错误.故选：AB.4．（2023·福建）已知25,01a b a b <+<<-<，某同学求出了如下结论：①13a <<；②12b <<；③1522b <<；④422a b -<-<；⑤321a b -<-<；⑥124a b <-<；，则下列判断中正确的是（）A ．①③④B ．①②④C ．①②⑤D ．①③⑥【答案】D 【解析】11()()22a a b a b =++-,1525,1()22a b a b <+<<+<,1101,0()22a b a b <-<<-<,则13a <<，①正确；=b 11()()22a b a b +--，151()22a b <+<，110()22a b <-<，11()022a b -<--<，则1522b <<，③正确；132()()22a b a b a b -=-++-，51<(+)<122a b ---，330()22a b <-<，则51222a b -<-<，②④⑤错误，132()()22a b a b a b -=++-，151()22a b <+<，330()22a b <-<，则124a b <-<⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D.5．（2023·宁夏吴忠）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12【解析】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y ≤≤，所以()121183xy -≤≤由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x y xy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==.综上可知，3x y 的最小值为12.故答案为：12.6．（2023·上海）已知x ∈R ，定义：[]x 表示不小于x的最小整数，如：2=，1⎡=-⎣，[]22=，若[]25x x ⎡⎤⋅=⎣⎦，则x 的取值范围是______.【答案】51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由[]25x x ⎡⎤⋅=⎣⎦，可得[]425x x <⋅≤，即[]522x x <⋅≤；当[]1x =时，即01x <≤时，522x <≤（舍去）；当[]2x =时，即12x <≤时，514x <≤，满足题意；当[]3x =时，即23x <≤时，2536x <≤（舍去）；同理可知，当[]0x ≤或[]4x ≥时不合题意，所以实数x 的取值范围是514x <≤.故答案为：51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦7．（2022·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.【答案】512【解析】设男学生、女学生、教师的人数分别为x 、y 、z ，则2z y x z <<<.若7x =，则727y z z >>⎧⎨>⎩，可得772z <<，则{}4,5,6z ∈，当4z =时，y 取最小值5，即男学生人数为7，则女学生人数的最小值为5；若x 的值未知，当1z =时，则12z y x =<<<，不满足题意，当2z =时，则24z y x =<<<，不合乎题意，当3z =时，则36z y x =<<<，此时4y =，5x =，则12x y z ++=，合乎题意.故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12.故答案为：5；12.8．（2023吉林）已知,,,(0,1)a b c d ∈，试比较abcd 与3a b c d +++-的大小，并给出你的证明．【答案】3abcd a b c d >+++-，证明见解析.【解析】3abcd a b c d >+++-证明如下：因为,(0,1)a b ∈，所以()()()11110ab a b ab a b a b -+-=--+=-->，即1ab a b >+-因为,,(0,1)a b c ∈，所以()0,1ab ∈，所以()111abc ab c ab c a b c =⋅>+->+-+-，即2abc a b c >++-，因为,,,(0,1)a b c d ∈，所以()0,1abc ∈，()1213abc d abc d a b c d a b c d ⋅>+->++-+-=+++-，即证得3abcd a b c d >+++-9（2023新疆）比较下列各组数的大小()a b ≠.（1）2a b +与211a b+，(0,0)a b >>；（2）44a b -与()34a a b -.【答案】（1）2112a b a b+>+；（2）()4434a b a a b -<-.【解析】（1）()()()()22422112222a b ab a b a b a b ab a b a b a b a b +--++-=-==++++，0a >，0b >且a b ¹，∴0a b +>，()20a b ->.∴()()202a b a b ->+，即2112a b a b +>+.（2）()4434a b a a b ---()()()()2234a b a b a b a a b =-++--()()322334a b a a b ab b a =-+++-()()()()232333a b a b a ab a b a =--+-+-⎡⎤⎣⎦()()()()()()222a b a b a a b a b a b a a ab b =--+-++-++⎡⎤⎣⎦()()22232a b a ab b =--++()()2222a b a a b =--++⎡⎤⎣⎦()2220a a b ++≥（当且仅当0a b ==时取等号），又a b ¹，∴()20a b ->，()2220a a b ++>.∴()()22220a b a a b ⎡⎤--++<⎣⎦∴()4434a b a a b -<-.。

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目录第一节集合 (2)第一课时：集合的含义与表示 (2)第二课时：集合间的基本关系和集合的运算 (7)第二节函数及其表示 (12)第三课时：函数的概念 (12)第四课时：函数的表示方法 (18)第三节函数的基本性质 (24)第五课时：函数的单调性 (24)第六课时：函数的奇偶性 (27)第四节基本初等函数 (30)第七课时：指数与指数幂的运算 (30)第八课时：指数函数及其性质 (35)第九课时：对数与对数的运算 (41)第十课时：对数函数及其性质 (45)第十一课时：幂函数 (51)第五节函数的应用 (54)第十二课时：方程的根与函数的零点 (54)第一节集合第一课时：集合的含义与表示一、课本知识梳理1. 集合1.1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。

1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。

1.3集合与元素的表示：通常用__________________表示集合。

通常用__________________表示集合中的元素。

1.4集合中元素的特性：_____________、____________、_____________.1.5元素与集合的关系：、。

1.6常用数集及表示符号1.7集合的表示方法1.8集合的分类1.8.1集合按元素个数分为、、，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。

1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。

二、课本知识理解1.集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.2.集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.3.集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成一个集合.4.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.5. 元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适合元素与集合，不能用于集合与集合之间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立. 6. 集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.① 用列举法表示集合时①元素之间用“，”分隔；②元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可用列举法，例如正整数集；③元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.② 用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切. ③ 用图示法表示集合时，①元素个数不宜过多；②可以用于表示集合与集合之间的关系.三、基础能力自测1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ）（1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程x x =2的所有实数根；（4）中国古代的美女. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________.4.若集合m m A 则},,0,1{=满足的条件为________________________.为什么？5.若集合1},0{2-=+=则x x x A ________A6.设集合M={平行四边形}，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p_____M, q______M7.将集合},42{Z x x x ∈<<-用列举法表示出来是_____________________.8.不等式183-<+x 的解集用描述法表示为_____________________.9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________. 10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{A x x ∈-，则B=_____________________. 11.点的集合M ＝}0),{(≥xy y x 是指 （ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集 12.若集合A ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A 中元素的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个四、典型例题精讲精练例1.考察下列每组对象能否组成一个集合。

（1）美丽的小鸟； （2）不超过20的非负整数；（3）立方接近零的正数； （4）直角坐标系中，第一象限内的点。

练1.下列对象能否组成一个集合？（1）跑的快的人；（2）比8大3的整数；（3）平面直角坐标系内的所有点；（4）很小的实数. 例2.已知集合A 含有三个元素1，0，x .若x 2∈A,求实数x 的值。

练2.已知集合A 2,,1x x 由三个元素构成，集合B 由1，2，x 三个元素构成，若集合A 与B 相等，求x 的值.例3.若所有形如23+a b (a ∈Z,b ∈Z )的数组成集合A ，判断226-是不是集合A 中的元素.练3.集合A 是由形如321),(,3-∈∈+的数构成的，判断Z n Z m n m 是不是集合A 中的元素.例4．用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3 的数； （2）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（3）不等式23>-x 的解的集合； （4）二次函数102-=x y 图像上的所有点组成的集合.练4. 用适当的方法表示下列集合：（1）所有4的整数倍组成的集合； （2）不等式632<+x 的解的集合； （3）大于6且小于11的整数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.例5.集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为（ ） A.},{N n n x x ∈= B. },12{N n n x x ∈-= C. },12{N n n x x ∈+= D. },2{N n n x x ∈+= 练5.请用描述法表示下列集合：（1）全体偶数组成的集合：___________________________； （2）全体奇数组成的集合：___________________________；（3）x 轴上的点组成的集合：_____________________________________； （4）坐标轴上的点组成的集合：______________________________________； （5）第二象限内的点组成的集合：______________________________________； （6）第二、四象限内的点组成的集合：__________________________________.五、课堂练习题组A 组1.给出以下四个对象，其中能构成集合的个数为（ ） ①2010年上海世博会的所有参展国家 ②与2接近的全体实数； ③学校图书馆好看的书；④2008年北京奥运会的所有比赛项目。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A,有6-a ∈A,那么a 为（ ） A.2 B.2或4 C.4 D.03.已知集合}1,1{+=m A ，则实数m 满足的条件是__________.4.已知集合P 中元素x 满足：a x N x <<∈2,且，又集合P 中恰有三个元素，则整数a =__________.5.已知A=∈-+-3},12,52,2{2且a a a A ，求实数a 的值. 6.已知集合A=}012{2=+-x ax x（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围。

B 组1.下列集合中，表示同一个集合的是 ( )A.)}3,2{()},2,3{(==N MB.}3,2{},2,3{==N MC.}1{},1),{(=+==+=y x y N y x y x MD.)}3,2{(},3,2{==N M2.方程组 ⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是 ( )A .}1,0{==y x B.}1,0{ C. )}1,0{( D.}10),{(==y x y x 或 3.集合{}23<-∈+x N x 用列举法表示应是 ； 4.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为5.若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B =6.设集合B=}26{N xNx ∈+∈ . (1) 试判断元素1和2与集合B 的关系； (2) 用列举法表示集合B.第二课时：集合间的基本关系和集合的运算一、课本知识梳理1.子集概念1.1定义：一般地，对两个集合A,B，如果集合A中的_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为集合B的子集，记作_________________，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）.1.2子集的定义用数学符号表述为：____________________________________.1.3用Venn图表示为：__________________________.1.4一个集合中有n个元素，则这个集合有个子集，有真子集。

2.真子集概念2.1定义：如果集合___________，但存在元素_________________，我们称集合A是集合B的真子集，记作_________________，读作“A真包含于B”（或“B真包含于A”）.2.2用Venn图表示为：__________________________.3.用子集的概念描述集合相等：如果，那么就说集合A与集合B相等，记作A=B.4.空集4.1定义：_________________的集合，叫空集.4.2用符号表示为_____________.4.3规定：空集是任何集合的______________.是任何非空集合的真子集。

5.子集的有关性质5.1任何一个集合A都是它本身的___________，即_______________.5.2对于集合A，B，C，如果A⊆B, B⊆C，那么_______________.6.集合运算的基本概念6.1并集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_________________（读作“A并B”），用数学符号语言表述为______________________________。

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