初高中数学衔接精讲精练(第二讲 因式分解)
第2讲 因式分解配套练习及答案(训练篇)-2020年数学初高中衔接讲与练
第 2 讲因式分解练习（A）一．选择题：1.下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是（）( A) (a -b)2 =a 2 - 2ab +b 2(B) m2 -m =m2 (1 -1 ) m(C) a 2 - 3a - 4 =a(a - 3) - 4 (D)3x3 - 9x 2 - 3x = 3x(x 2 - 3x - 1)2.- (2a -b)(2a +b) 是下列多项式（）的分解结果（A）4a 2 -b 2（B）4a 2 +b 2（C）- 4a 2 -b2（D）- 4a 2 +b23.下列分解不正确的是（）（A）x 2 + 8x +16 = (x + 4)2 （B）- 4a 2 +12ab - 9b 2 = (2a - 3b)2（C） x2 -1x +13 36= (x -1)26（D）4a 2 b 2 + 4ab + 1 = (2ab + 1)24.下列各式中，能用平方差公式分解因此的是（）（A）－a 2 ＋b 2 （B）－a 2 －b 2 （C）a 2 ＋b 2 （D）a 3 －b 25.已知m＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2 －mnx－m－n 分解因式的结果是（A）(x－1) (x－4) （B）(x＋1) (x＋4)（）（C）(x＋1) (x－4) （C）(x－1) (x＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（）A．a2－b 2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1；B．（m＋3）2＝m2＋6m＋9；C．x 5y－xy 5＝xy（x 2＋y 2）（x＋y）（x－y）；D．a 4 - 2a 2 b 2 -b 4 = (a +b)2 (a -b)2二．填空题：7. 分解因式：18m 2 (a -b) - 9m(a -b) = .8. 分解因式：(2m -n)2 - (3m + 2n)2 = . .9. 分解因式：x 2 - 2x -a 2 - 2a = .10. 分解因式：x2 + xy + 2y2 + 2x + ጤy = _ .11. 分解因式：4a 2 - 5a - 6 = .12.分解因式：6x 2n-1 y m - 4x 2n+1 y 3m= .13.已知∆ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a 2 -ac =b2 -bc ，判断∆ABC 的形状. ..14.已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x 2007 +x 2006 + ……+x3 +x 2 +x + 1 = ..三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x)2 — 1ጤ x2 + x + 2ጤ.16. 因式分解：x + 1 x + x + ′x + h + 1′.17. 因式分解：(x + ′)ጤ+ (x + )ጤ— 82.）18. 因式分解：(x2 + xy + y22—ጤxy(x2 + y2).19. 因式分解： x2 - 2xy - 8 y2 -x -14 y - 6 .20. 因式分解：x— 9x + 8.21.因式分解：x8 +x +1.22.如果多项式x2 —a + ′x + ′a—1 能分解成两个一次因式x + h x + h 的乘积，b，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式x3 -x 2 + 2x +k 能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果kx 2 - 2xy + 3y 2 + 3x - 5 y+ 2 能分解成两个一次因式乘积，求k 2 + 5k + 0.25 的值.因式分解测试（B）一．选择题：1.把多项式4 x2y-4x y2- x3 分解因式得结果是（）A. 4xy(x-y)-x2B. –x(x-2y)2C. x(4xy-4y2- x2)D. –x(-4xy+4y2+ x2)2.下列分解因式错误的是（）A．a 2－5a＋6＝（a－2）（a-3）B．1－4m 2＋4m＝（1－2m）2C．－4x 2 ＋y 2 ＝-(2x＋y)（2x－y）D．3ab＋1a 2b 2 ＋9＝（3＋1ab）2 4 23. 在多项式－a 2 －b 2 －2ab，2ab―a 2 ―b 2 ，a 2 －b 2 ＋2ab，(a＋b) 2 －10(a＋b)＋25 中，能用完全平方公式分解因式的有（）（A）1 个（B）2 个(C）3 个（D）4 个4.已知a、b、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5.已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个6.实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7.因式分解：x2 -xy +xz -yz = .8. 因式分解：x 4 -y 4 + 4x 2 + 4 = .9. 因式分解：x2（x-2）-16（x-2）= .10. 因式分解：6 y2 -11y-10= .11. 因式分解：4x2-4x-y2+4y-3= .12. 如果正整数x、y 满足方程x2-y2=64，则这样的正整数对（x，y）的个数是.13. 若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x 恒成立，则n= .14. 已知x-1 是多项式x3-3x+k 的一个因式，那么k= .三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x + ጤ)2 + 8x x2 + x + ጤ + 1′x216. 因式分解：x2 + x + 1 x2 + x ++ 2 — 1217. 因式分解： 6x2 - 5xy - 6 y 2 + 2x + 23 y- 20 .18. 因式分解： x4 +x3 - 3x2 - 4x - 4 .19.如果a, b 是整数，且x2 -x -1是ax3 +bx2 +1 的因式，求a、b 的值.20.已知：a, b, c 为三角形的三条边，且a2 + 4ac + 3c2 -3ab - 7bc + 2b2 = 0 . 求证： 2b =a +c .21.如果x2 + hxy + ay2 —′x+ ጤጤy — 2ጤ可分解为两个一次因式的积，求a 的值.22. 已知x+ x2 + x + 1 =，求x28 + 2x2+ ′x199⺁.23.正数a、b、c 满足ah + a + h = hh + h + h = ha + h + a = ，求：(a + 1)(b + 1)(c + 1)的值.24.若代数式x x + 1 x + 2 x + + p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1 且一次项系数相同），求p 的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2.D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24.A提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2t—1y N（x2—2y2N）提示：提取公因式2x2t—1y N；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c 为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16. ( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)(x2+8x+12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x + ጤ + 1)ጤ+ (x + ጤ— 1)ጤ— 82令t=x+4，所以t + 1 ጤ— 1 + t — 1 ጤ— 81= t + 1 2 — 1 t + 1 2 + 1 + t — 1 2 + 9 t — 1 2 — 9=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18. （x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1 时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21. (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22. a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=—′ —1′+h因为b、c 为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。
初高中衔接-第2讲、因式分解
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
专题02分解因式-2019年初升高数学衔接必备教材(解析版)
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【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）法一： ,
法二：
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当陆泽听说南宫沉默而杀气时，他的心很冷，好像他不小心死了一样。他很快就说了一个严肃的开场白：“南宫的老师在哪里，我只是看到美丽的南宫老师亲自加了我的朋友。此刻此刻太兴奋和错误了。”南宫静：“ ..”她首先发现 有些人敢在她面前如此瘦。果然，下次我见面时，铁拳制裁的程度会增加一级。但是现在她忽略了吕泽的话并且说：“等我再重新添加，我是你的导师。此外，一个月后，精英班将接受入学测试，你准备好了，不要死。”泽点点头，回过 头来说：“哦，好吧，我会做好充分的准备..”他只说了一半，突然发现自己听到了一个坏词？他咳嗽哭了起来，确认道：“老师，你说死不对，你的意思是什么？” “吨吨.嗝〜字面意思。”陆泽：“..”听着南宫悄悄地倒了一口酒， 满意的呼吸，冷静地给出了解释，陆泽觉得他的心态已经爆发了。哪所学校的入学考试将会死亡？入门测试不应该比虚拟现实中的比赛更好吗？他抽搐了一下口：“好吧，老师不会惹麻烦，入学考试将会死亡。” “当然，我们联邦大学和 帝国理工学院的入学考试可能已经死亡，但你可以放心，死亡率仍然非常低。只有不到10％。”我吃了！ ！真的死了？陆泽震惊了！他的眉头微微皱起，有些有尊严的问道：“南宫先生，我们的入学考试是什么？”南宫静带着一点酗酒说 道：“啊？没事。只要走到前线。”几场战斗，攻击几个城市，这是联邦大学和皇家学院精英班的传统。
ax 2 bx c 的一次项系数 b ，即
a 1c2 a2c 1 b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 ax 2 bx c a1x c1 a2x c2 .
要点诠释： （1）分解思路为“看两端，凑中间”
a 1x c1 与 a2x c2 之积，即
2024年初高中衔接数学-第2节+因式分解进阶+课件
一般地，分组分解大致分三步：
1. 将原式适当分组 2. 对每一组进行因式分解 3. 将经过处理的式子再分解
练习：
(1) x3 + x2 -y3-y2 = (1) abc +ab+bc+ac+ a+b+c+1 =
进阶：拆项、添项法
因式分解：
1. x3+x2+x-3= x3-1+x2-1+x-1
2. x4+4= x4+4x2+4-4x2
拆项：把多项式的某项拆成两项的和或差. 添项：把代数式添上两个互为相反数的项.
进阶：主元法
因式分解：2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z=
解：原式=-(x2-2xy+y2)z+2x3-4x2y+2xy2=-(x2-2xy+y2)z+2x(x2-2xy+y2) =(2x-z)(x-y)2
－8x4y＋6x3y2－3x3y＝－__x_3y_(_8_x_－__6_y_＋__3_).
复习：公式法
1. a2－b2＝(a＋b)·(a－b) 2. a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 3. a2－2ab＋b2＝(a－b)2 4. a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2) 5. a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 6. a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝(a＋b)3 7. a3－3a2b＋3ab2－b3＝(a－b)3 8. a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2
口诀：首尾化积，十字相乘，求和凑中，横向书写
进阶：双十字相乘法（二次六项式）
(1) x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝ (x－y＋1)(x＋3y＋2)
初高中教材衔接第二讲 因式分解2009 2010年江苏靖江市新高一生初高中数学衔接内容暑期作业
第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．平方差公式和完全平方(因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法、十字相乘法和分组分解法等等．)外，还有公式法(立方和、立方差公式)公式)立方和、立方差公式一、公式法(在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：3322b?)b)(a??ab?ba(a?) 立方和公式(3322b?)(a??ab?ba)(a?b)立方差公式( 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：2233)?ab??(a?b)(aa?bb2323)b?abb?(a?)(aa?b?这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：33b270.125?8?x(1) (2)33330.125?0.5,27b?(3b)28?．，(1)中，(2)中分析：3332)2xx?2?x?(2?x)(4?8?x? (1) 解：22333](3b)?b?(3)?(0.5?3b)[0.50.5?3b??0.125?27b0.5(2)2)b?9b)(0.25?1.5b3?(0.5?3338ab?(2ab)，(1) 说明：在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如nnn b?a(ab)一定要看准因式中各项的公式分解因式时，(2) 这里逆用了法则；在运用立方和(差) 符．【例2】分解因式：4367b?81b3aaba? (2) (1)66b?a，可看中提取公因式后，括内出现分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 32223323)(ba)?b(a)?()(．着是或233234)?9bb)(a?3ab(b3a?81b?3b(a?27b)?3ba?3 (1) ．解：33376663)a?ab?a(a?b)?a(ab)(a??b(2)2222)a?b)(ab?ab?a(a?b)(a?ab?b?)(2222)?ab?bab?a(a?b)(a?b)(a??b)(a二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项nb?ma?mb?na既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先以上的多项式，如将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式bxby?2ax?10ay?5把分解因式．【例3】x 的降幂排列，然后从把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按分析：y5x?b?2a两组分别提出公因式，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．与)y)(2a?b5(x?y)?(x?55?2ax?10ay?5bybx?2a(x?y)?b解：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方说明：法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．2222cd))c?d?(a?bab(分解因式．4 【例】把按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括打开后重新分组，然后再分解因式．分析：22222222cdcd?ba)cd?abc?abd?b?cab(?d)(a?解：2222)bcd?(abc?aabdcd)?(?)?bd?(bcad)(ac)(adac?(bc?)?bdbc?ad?可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法4说明：由例3、例交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式22ay?axyx??】5【例把分解因式．把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其分析：a yxx?y?.后，另一个因式也是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式中一个因式是22)?a)(x?y)?a(x?y)?(x?y?x?y?ax?ay?(x?y)(xy解：222z?82x?4xy?2y 6】把分解因式．【例222z4?y?2x?xy，其中前三项作为一组，它是一个完全2提出后，得到分析：先将系数平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．222222)?2(zy?4x?2xy?2x?4xy?2y?8z解：22)zy?22(?x?y?2z)(?2[(x?y)x?(2z)?]可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取说明：从例5、例6公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法2pqq)x?x?(p? 1 ．型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．(1) 二次项系数是1；22)q)(x???p)?(xp?qx?xpq?(x?p)?q(xxq?(p?)x?pq?x?px2)x?q?(x?p)(xx?(p?q)?pq因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．把下列各式因式分解：【例7】2236x?x?13x?7x?6 (2) (1)7???(?6)? 6?(?1)?(?6),(1) (1) 解：2)?)(6?]x(?x1][6?x?(?1)x[??(6)xx??7?．13?9? 36?4?9,4 (2)2(?4x)(?x13x?36?9)? x?说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同因数，它们的符与一次项系数的符相同．【例8】把下列各式因式分解：2215?224x?xxx?5?(1) (2)?24?(?3)?8,(?3)?8?5解：(1)2)?8)x(?x3)(2?4?x[?(?3)x](?8? x??5x2??5)?3,(?5)?3( ?15??(2)2)3(?x5)(??x[?(5)x](?3?)x? x?2x?15?此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异的因数，其中绝对值较大的因数与说明：一次项系数的符相同．9】把下列各式因式分解：【例22222128(x?x?xy?6y)?(x?x)?x(2) (1) 222y?6x?xyy?6x y，看成，一次项系数是的二次三项式，这时常数项是分析：(1) 把2y?6y)??(?2y?2y3yy3的积，而把分解成，正好是一次项系数．与2x?xa，可不必写出，只当作分解二次三由换元思想，只要把整体看作一个字母(2)212?a?8a．项式2222)2y?(x?3y)(x??x?xy?6yx?yx?6解：(1)222222)x?x?)x?x)?8(x?x?12?(x?x?6)(((2)1)?2)(x?(x?3)(x?2)(x?2c?ax?bx 2．一般二次三项式型的因式分解2cx?c?(acac)xax?c)(a?c)?aax?(．大家知道，?cc,,a,acaacca11，这分解2111222212112)cx?x?c)(ac?a)x?cc?(a(aax?ac反过来，就得到：221121222111ca成写成分解成，把，常数项我们发现，二次项系数21212211ca222caac?c?ax?bx b，，如果它正好等于的一次项系数里按斜线交叉相乘，再相加，就得到11222)c)(ax?c(ax?ca,c,ac??bxax位于上一行，，其中就可以分解成那么位于下一行．22112211这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．】把下列各式因式分解：10 【例222yxy?5x6?82125?xx? (2) (1)2?3?21)???5x?2?(3x2)(4x12x解：(1) 14y 21?22)x?2yy?4)(5x5x?6xy?8y?( (2) y45?时较困难，具体分解时，1说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是，看是否符合一”为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”凑”绝对值，然后调整，添加正、负．，先次项系数，否则用加法”凑”四、其它因式分解的方法．配方法1216?6x?x分解因式11【例】2222225?3)?(?2?x?3?3?3?16?x16x?6x??x解：2)8)(x??5)?(x?(?x?3?5)(x?3配方后将二次三项式化为两个平方式，说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．．拆、添项法2234?x?3x】【例12分解因式细查式中无一次项，分组也不易进行．分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，了，可考虑通0如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为过添项或拆项解决．22333)x???4?(x1)?(3?x3x解：221)]??3(xx?x?1)1)1)??3(x?1)(x??(x?1)[(x?(?1)(x?x222)?x(?1)(x?1)(x?4x?4)?x?(的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成与34拆成1说明：本解法把原常数222y?4xx3?，将多项式分成两组拆成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将223)(x?x4??4x和．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．练习A 组1．把下列各式分解因式：3338?27x8?m?27a? (3) (2) (1)111113333333x?yp?q?c?xy8(6)(5) (4) 216271258642．把下列各式分解因式：n?3n343yx?xx?xy(1) (2)22333222y)??2x)?aby(xa(m?n (4) (3)3．把下列各式分解因式：22226??11x?37x?36x?3x?2xx(2) (1) (3)222228b)?b)?11(a?(a?mx?6x?27?4mn?5n (4) (6) (5)4．把下列各式分解因式：2221n?3n2n?54?9x(x)?2bax?10ax?16ax6ab?a?a (1) (3) (2)22242y?15x?26xy83?6x?7x?x?7x18(6) (4) (5)2227(a?b)?5(a?b)?2(6x?7x)?25(8) (7)5．把下列各式分解因式：2223y6??2xy5x?15xy3ax?3ay??yx1?8x?4x2x? (2) (3) (1)2242222243yx?44xy?1?abb??a36b?aab?4a20ab?25b?(5) (4) (6)6632)?x?y1(xyx(x?1)?x?y2x?(7) (8)组B1．把下列各式分解因式：222222)bacd(?(abc?d)?n4?8mn?x?4mx (2) (1)3223234y8x2y?4x?xy?x?11x?31x?2164?x (4) (3) (5)22222ab?2ab?ab2aab,?b??的值．．已知2，求代数式3．53n?4n?5nn 3．证明：当2为大于的整数时，120整除．能被32230?b?a?ac?bc?abc0a?b?c?．已知，求证：．4第二讲因式分解答案A组222),x6x?9m?m),(2?3x)(4??(a?3)(a?3a?9),(2m)(4?2 1．112112222222)4c?22xy?c)(xpq?qxyc),(2xy?)(4xyy???xy?),(2p?q)(4p(?2 64552521622n22x(x?y)(y?xy?x),x(x?y)(x?xy?y),2．22222432?2xx??4x)?b1)],y?(x?1)3(an(m?n?b)[(m?)x?b(m?n(x?2)(x?1),(x?36)(x?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3) 3．(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)3n22?2)3)(xx?3)(x?3)(x?1)(xx?2?3),((x?2)(x?8),a)((a?3ba?2b),(x?ax．42(2x?3)(x3?1)x(?3?(x 1),(x?2x?5)(675a?))1x,(?2yx?(4y15a),(b7?7?2b?)．52(2x?1),(x?3)(5x?2y),(2a?),(2x?1)5b?6)( 2a?5b?6)a(x?y)(3?y23333),x(x?y)(xy?)(xy?1?y?a?2x?y)(12x?y),ab(?b)b(a?),(x1)?1?(1?．B组228),??4x8)(),(x?4x?x24adbc?)(ac?bd),(x?m?2n)(x?n(．12y2x)?(y2),)?x((x?1x7)x?(3(?)．28 2．353n?5n?4n?(n?2)(n?1)n(n?1)(n?2) 3．223223)baba???bc?aa?cabcb(??)(b?a?c．4．。
初高中衔接课因式分解教案.ppt
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
（6）三数和平方公式
(a b c)2 a2 b2 c2 2(ab bc ac)
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1．公式法
例1.因式分解
（1）8 x3
(3)3a3 81b4
(2)125 27b3 (4)a7 ab6
说明：一般地，因式分解，可按下列步骤进行： (1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或 其它方法(如十字相乘法)来分解； (3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
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后测
1 分解因式：
（1）x2 5xy 6 y2 ；
则二次三项式就可分解为 a(x x1)(x x2 ) ．
例6 分解因式： x2 2x 1
解： （1）令x2 2x 1 0 ，则解得 x1 1 2，x2 1 2 x2 2x 1 x (1 2) x (1 2)
(x 1 2)(x 1 2)
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5. 配方法
例7 分解因式： (1)x2 6x 16 (2)x2 4xy 4 y2
（3）x2 5x 3 ；
（2） 6x2 x 1 ；
（4）(x2 2x)2 7(x2 2x) 12 .
2．ABC 三边 a,b, c, 满足a2 b2 c2 ab bc ca 试判定 ABC 的形状。
3．分解因式：x2 x a2 a .
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1. 1 x 3yx 2y
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6. 拆(添)项法
例8 因式分解：
x3 3x2 4
初升高衔接数学讲座第二讲 因式分解
第二讲 因式分解多项式的因式分解是代数恒等变形的最有力的扛杆之一,是解决许多数学问题的有力工具,因式分解方法灵活,技巧性强.本讲除了复习巩固因式分解最基本的方法外,还将讲解一些特殊的因式分解方法.(分解到不能再分解为止)一、 因式分解的基本方法(一) 重点知识因式分解的基本方法有 、 、 .其中公式法中常见的公式有平方差公式: 、完全平方公式: 、立方和公式: 、立方差公式: ;对多项式用分组分解法严格说不是终极方法,而是过程中的一种手段,而将多项式进行分组的目的在于经过适当的分组之后,原多项式能转化为可用 、或可用 、或可用 等方法继续分解.(二)热身训练1.填空1)()2()a ab a a b c ++=++; 2)()24(25)(25)x x x +=+-3)()()222(6)x y xy ++=-; 4)()()2210a a -+= 5)()22294()x y ++=; 6)()()382x x -=- 7)()()33273a b a b +=+.2.分解因式 1).264x - 2)39x x -3)222a c abc b c -+ 4)2332x y x y -5)4x x - 6)2a ab ac bc +++(三)举例例1.把2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--分解因式,其中n 为正整数.例2.分解因式:1.42242x x y y -+2.464x x -3.2222x xy y z -+-4.222222()4()c b d a ab cd -+---例3. ①分解因式54321x x x x x +++++= ;②因式分解15141321x x x x x ++++++= ；③化简2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++= .二、 因式分解的其它方法（一）重点知识再现与方法点拨因式分解除了初中教材要求的一些基本的方法外,因式分解的方法还有一些特殊的方法,对于一些特殊的多项式,仅仅依靠现有的最基本的方法是远远不够的,比如我们今后在高中学习过程中,要遇到一些与方程的解有关的问题,特别是一些高次方程的解的问题,就需要用到一些现在我们初中没有学过的一些特殊方法才能得以解决,因此我们有必要给大家介绍一些特殊的分解手段.常见的特殊方法:换元法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等1. 换元法:就是对于一些特殊的多项式,如果把其中的某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替,不仅可使原式得到简化,而且能使式子的特点更加明显,这种方法就称因式分解的换元法.2. 十字相乘法:借助画十字交叉线,对类似多项式2()acx ab cd x bd +++的二次项系数ac ,常数项bd 进行分解后交叉相乘再相加,得到一次项系数ab cd +,从而得到2()acx ab cd x bd +++的分解式来分解二次三项式的方法.一般形式是2()acx ab cd x bd +++= ;3. 拆项添项法:对某些多项式进行因分解时,需要对多项式进行适当的变形,使其能分组分解,分组分解法严格说又不是终极方法,而是过程的中间手段,而拆项添项是两种重要的变形技巧.把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,前者为拆项,后者为添项,使用拆项或添项的目的是使多项式能用分组分解法进行分解.(常可用因式定理来观察出一些特殊因式,再有目的地进行拆项或添项,拆项或添项的方法不是唯一的)4. 待定系数法:(与换元法一样)是中学数学的最重要的数学方法,是解决数学问题的常见的手段和方法.待定系数法是假定一个含有待定系数的恒等式,然后根据多项式恒等的性质,列出几个含有待定系数的方程组,解之求得各待定系数的值,或者从方程组中消去这些待定系数,求出原来那些系数的所存在的关系,从而使问题解决.（二）热身训练:分解因式1.3223x x x --2.222()2()x x x x ---3.2252x x -+（三） 举例:例1.分解因式 (换元法)①22(1)(2)12x x x x ++++-②22222()4()x xy y xy x y ++-+③2(2)(2)(1)x y xy x y xy +-+-+-例2.分解因式(十字相乘法) ①22568x xy y +-②222(2)(1122)24x x x x ---+③2222223x xy y xz yz z -+-+-例3.分解因式(添项拆项法) ①398x x -+②32216x x +-③444x y +例4*.分解因式(待定系数法) ①2232453x xy y x y +++++②2262288x xy y x y +-+--习题2因式分解1.327x y y +2.5324816x x y xy -+3.3232a a a b b b +++-+4.222222()4a b c a b +--5.2224424x xy y xz yz z +++++6.228215x xy y --7.222261712a b abcd c d -+8.422454x x y y -+9.22()6a b a b -+--10.2(3)(1)(5)20x x x +-+-11.44x +12.32x x +- 13.332x x -+14.51x x ++15.222273x xy y x y +-++-。
2024--2025学年初升高数学衔接课+++第二讲-因式分解
的两个实数根是x1、x2 ，则二次三项式ax2 bx c(a 0)
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【典例例题】 题型一：十字相乘法
例1分解因式 x2 2x 8 x__4__x__2 ．
例2分解因式mx2 6mx 5m m__(x___1_)_(_x___5_)_．
练习1.分解因式 x2 xy 6 y2 _x__2_y___x___3_y__．
x 12 x2 2x 1
(2)原式
3a
b2
9
2
36b2
3ab2 9 6bb2 9 6b
3a b 32 b 32
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之积，即ax2 bx c a1x c1a2x c2 .
要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
a （2）二次项系数 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里
返
面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
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知识点3：提取公因式法与分组分解法
1、提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到 括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法 叫做提公因式法。
，则 p、q同号(若c 0 ，则 p、q异号)，然后依据一次项系数b的正负再确定p、q
的符号；
（2）若x2 bx c 中的b,c为整数时，要先将c分解成两个整数的积(要考虑到分解
的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b，直到凑对为止.
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知识点2：首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式ax2 bx c ( a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，
【挑战】
(2)请用分组分解法将ax a2 2ab bx b2 因式分解；
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答案： (－y+2)(y+6)
3、 15x ＋7xy－4y 答案： (3x－y)(5x＋4y) 4、 10(x ＋2) －29(x＋2) ＋10
答案 ：(2x－1)(5x＋8)
5、 x －(a＋1) x＋a 答案： (x－1)(xab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
两个数的立方和 ( 差 ) ，等于这两个数的和 (差 )乘 以它们的平方和与它们积的差(和)．
【例1】因式分解：
(1) 8 x 3 (2) 0.125 27b 3 解 : (1) 8 x 3 23 x 3 ( 2 x )( 4 2 x x 2 ).
解 : (1)12 x 5 x 2 (3 x 2)( 4 x 1).
2
(2)5x 2 6 xy 8 y 2
3 4 1 5
2 1 2 4
( 2)5 x 2 6 xy 8 y 2 ( x 2 y )(5 x 4 y ).
十字相乘法
作业：将下列各式分解因式 2 答案： (7x－6)(x－1) 1、 7x －13x＋6 2、 －y －4y＋12
三个数和的平方公式：
a b c 2ab 2bc 2ac (a b c)
2 2 2
2
立方和、立方差公式
a b (a b)(a ab b )
3 3 3 2 2
a b (a b)(a ab b )
3 2 2
一、公式法(立方和、立方差公式)
一、公式法(立方和、立方差公式)
维度A
平方差公式：a
2
b (a b)(a b)
2
完全平方公式：
a 2ab b (a b)
2 2
2
维度A
乘法公式： 三个数和的平方公式：
(a b c) a b c 2ab 2bc 2ac
2 2 2 2
因式分解公式：
( 2) 0.125 27b3 0.53 (3b)3 (0.5 3b)[0.52 0.5 3b (3b)2 ] (0.5 3b)(0.25 1.5b 9b 2 ).
二、十字相乘法
1． x ( p q) x pq 型的因式分解
2
x 2 ( p q ) x pq x 2 px qx pq x 2 ( p q ) x pq x( x p) q( x p) ( x p)( x q ) ( x p )( x q )
【例2】因式分解： (1) x 2 7 x 6
(2)x 13 x 36
2
解 : (1)x 2 7 x 6 [ x ( 1)][ x ( 6)] ( x 1)( x 6). (2)x 2 13 x 36 ( x 4)( x 9).
三、十字相乘法
2．一般二次三项式 ax 2 bx c 型的因式分解
大家知道， (a1 x c1 )(a2 x c2 ) a1a2 x 2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 ． 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2 c1 ) x c1c2 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a 分解成 a1a2 ，常数项 c 分解成 c1c2 ，把 a1 , a2 , c1 , c2 写成 a1 a2
c1 ，这里按 c2
2 斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2 a2 c1 ，那么 ax bx c 就可以分解成 (a1 x c1 )(a2 x c2 ) ．
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．
【例3】因式分解：(1)12 x 2 5 x 2