高中数学-二项式定理精讲精练

1．二项式定理

（1）二项式定理

011()C C C C ()n n n k n k k n n

n n n n a b a a

b a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.

说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x

==，则得到公式：

0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .

（2）二项展开式的通项二项展开式中的C k

n k

k n a

b -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第

__________项：1C k n k k k n T a b -+=.

2．“杨辉三角”与二项式系数的性质

（1）杨辉三角

当n 依次取1,2，3，…时，()n

a b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：

该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质

①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接

由公式C C m n m

n n -=得到.

②增减性与最大值.当12n k +<

时，二项式系数是逐渐增大的；当1

n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.

③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n n

n n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，

则0122C C C C n n

n n n n =++++L .也就是说，()n

a b +的展开式的各个二项式系数的和为

_________.

K 知识参考答案：

1．（1）n +1C ({0,1,2,,})k

n k n ∈L （2）1k +

2．（1）和（2）①相等②2C n

n 1122C

n n n

-+③2n

K —重点二项式定理及二项展开式的通项公式

K —难点用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错

容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数

一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算

求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在

的展开式中，第6项为常数项.

（1）求含的项的系数；

（2）求展开式中所有的有理项.

【解析】（1）由通项公式得，

因为第6项为常数项，所以时，有，解得，

令，得，

故所求系数为.

（2）根据通项公式，由题意得1023010r

r r -∈≤≤∈???

????

Z Z ,令

,则，即

，

因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，

所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，

即

456345

48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.

【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *

+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C

【解析】二项式()1n

x +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *

∈N ，所以

6n =，故选C ．

二、与二项式定理有关的求和问题

二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*

+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以

取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.

【例3】在的展开式中，求：

（1）二项式系数的和；

（2）各项系数的和；

（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；

（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；

（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设

各项系数和即为,奇数项系数和为

,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为

（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.

（3）奇数项的二项式系数和为.

偶数项的二项式系数和为.

（4）令x＝y＝1,得①.

令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.

①＋②得,故奇数项的系数和为.

①－②得,故偶数项的系数和为.

（5）x的奇次项系数和为；

x的偶次项系数和为.

【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.

值一般取1

三、整除、求余问题

有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.

∈N)能被25整除.

【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*

【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋

5)n，

所以2n+2·3n＋5n－

4，

则n ≥2时，2n +2·

3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·

3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数

【例5】若28

()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .

【错解】28

()a x x

-的展开式中各项系数之和为01288

8888C C C C 2++++=L .

【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.

【正解】28

()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r r

r T x a x a x

---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故288

2()()a x x x x

-=-，令x =1,则展开式中各项系数之

和为(1-2)8=1.

【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C k

n ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C k

n 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.

1．10(1)x +的二项展开式中的一项是

A ．45

B ．290x

C．3

120x D．4

252x

2．二项式

的展开式的二项式系数和为

A．1B．1-

C．10

2D．0

3．化简得

A．B．

C．D．

4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7

C．8D．9

5．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为

A．6B．9

C．12D．18

6．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝

A．0B．1

C．11D．12

7．()7

3x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）

8．已知

,则

．

9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.

（1）求的值;

（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+

,求

的

值.

10．设

，求下列各式的值：

（1）a 0.

（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.

（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.

11．若()3

d a x x x -=+?，则在

的展开式中，的幂函数不是整数的项共有

A ．13项

B ． 14项

C ．15项

D ． 16项

12．若26()b ax x

+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .

13．设n a ,0≠是大于1的自然数，n

a x ??

??+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点

)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．

14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．

15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.

（1）求的值;

（2）求展开式中含项的系数.

16．（四川）设i 为虚数单位，则6

(i)x +的展开式中含x 4的项为

A ．－15x 4

B ．15x 4

C ．－20i x 4

D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）

18．（山东）若ax 25

的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.

1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有3

4120T x =.

2．C 【解析】展开式的二项式系数和为0121010

10101010C C C C 2++++=L .故选C.

3．B 【解析】根据题意，可知

，故选

4．B 【解析】展开式的通项为=

,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即

为有理数,即为3

的倍数,

为2的倍数.若

,则的可能取值为7.选B.

5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则

，又各项的二项式系数之和为

，所以，解得

.所以该二项式展开式的通项为

.令

，得该

二项式展开式的常数项为.故选B.

6．D 【解析】

201220120201212011201112012

201220122012201251(521)C 52C 52

C 52C a a a =-=-+-++++L ，由于02012

1201120111

201220122012C 52

C 52C 52-+-L 含有公因数52，

故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.

7．-189 【解析】由二项式定理得()71713

C r

r r

r T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是

2573C 189-=-．

8．-5 【解析】,由二项式定理得,故

,所以．

9．【解析】（1）由题意得,解得.

（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则

（3）=,

令,得.

10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.

（2）令x＝1，可得(*)，所以

（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.

（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]

（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).

所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.

11． C 【解析】，由

得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.

12．【解析】26

()

+展开式的通项为266123

166

C()()C

r r r r r r r

T ax a b x

---

==，令1233,

-=得3

r=，所以，由6333

C20

a b

-=得1

ab=，从而2222

a b ab

+≥=，当且仅当a b

=时，22

a b

+的最小值为.

13．【解析】由图易知

012

1,3,4

a a a

===，则122

C3,C()4

n n

a a

====，即2

(1)

n n

，解得3

a=．

14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求01210

10101010

C C C C

++++

L的和，易

知0121010

10101010

C C C C21024

++++==

L．

15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,

设含的项为第项,则,

故,即,则,解得,

（2）由（1）知,

故含项的系数为.

16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r

r T x -+=，令64r -=，则2r =，

故展开式中含4x 的项为2424

6C i 15x x =-，故选A.

17．10

【解析】5

(2)x x +的展开式的通项为5552

C (2)

C r r

r r

r x x x

--=(0r =，1，2，

…，5)，令532

r -

=得4r =，所以3x 的系数是4

52C 10=. 18．2-【解析】因为510255215

5C ()

(C r r r

r r r

r T ax a x x

---+==，所以由510522r r -=?=，因

此252

C 80 2.a a -=-?=-