函数值域(高飞语录节选二)
函数和值域知识点总结
函数和值域知识点总结一、函数的定义函数是数学中一种非常重要的概念，它描述了一个自变量与一个或多个因变量之间的对应关系。
一般来说，函数表示为f(x)，其中x表示自变量，f(x)表示因变量。
函数的定义可以通过几何、代数、集合、映射等方式来表述，其中最常见的定义是代数上的定义，即函数是一个集合X到集合Y的映射，其中每个元素x ∈ X对应一个唯一的元素y ∈ Y。
二、函数的图像函数的图像是函数的一个非常重要的性质，它能够直观地反映函数的自变量与因变量之间的对应关系。
对于一元函数f(x)，它的图像通常表示为在直角坐标系中的曲线或者直线。
通过函数的图像，我们可以观察函数的增减性、奇偶性、周期性等性质，从而更好地理解函数的特点。
三、函数的性质函数具有很多重要的性质，包括增减性、奇偶性、周期性、最值等。
其中，增减性是指函数在定义域上的变化趋势，奇偶性是指函数的对称性，周期性是指函数在一定区间上的重复性，最值是指函数在某个区间上的极大值和极小值。
四、值域的求解方法值域是函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域上的取值范围。
值域的求解方法主要有代数法、图像法、极值法等。
其中，代数法是指通过对函数的表达式进行分析来求解值域，图像法是指通过函数的图像来观察函数的取值范围，极值法是指通过函数的极值来确定函数的值域。
五、函数的应用函数在数学中有着广泛的应用，包括物理学、工程学、经济学等领域。
在物理学中，函数被用来描述物体的运动规律、力学原理等；在工程学中，函数被用来优化设计、模拟运行等；在经济学中，函数被用来描述市场供求关系、经济增长规律等。
综上所述，函数和值域是数学中非常重要的概念，它们在代数、微积分、几何等数学领域中均有重要的应用。
通过对函数和值域的学习，我们可以更好地理解数学中的各种概念和方法，为解决实际问题提供有力的数学工具。
希望本文的总结能够帮助读者更好地理解函数和值域的相关知识，从而更好地应用到实际问题中去。
函数的值域所有知识点
函数的值域与最值●知识点归纳一、相关概念 1、值域：函数A x x f y ∈=，)(，我们把函数值的集合{|(),}y y f x x A =∈称为这个函数的值域。
2、最值：求函数最值常用方法和函数值域的方法基本相同。
事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值。
因此，求函数的最值和值域，其实质是相同的，只是提问不同而已。
最大值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最大值。
记作()max 0y f x =最小值：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M 。
那么，称M 是函数y =f (x )的最小值。
记作()min 0y f x = 注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x 0∈I ，使得f (x 0) = M ；② 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M （f (x )≥M ）。
二、基本函数的值域一次函数）（0≠+=a b kx y 的定义域为R ，值域为R ； 二次函数）（02≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，；当]424(0);424[0ab ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+-> 反比例函数)0(≠=k xk y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为}0/{≠y y ；指数函数)10(≠>=a a a y x且的值域为}0/{>y y ； 对数函数)10(log ≠>=a a x y a 且的值域为R ； 正、余弦:函数的值域][1,1-；正、余切函数 2k x ,tan ππ+≠=x y ,cot x y =),(Z k k x ∈≠π的值域为R 。
函数值域讲解高中数学知识点
函数值域讲解高中数学知识点函数值域讲解高中数学知识点(1)配方法:若函数为一元二次函数，则可以用这种方法求值域，关键在于正确化成完全平方式。
(2)换元法：常用代数或三角代换法，把所给函数代换成值域容易确定的另一函数，从而得到原函数值域，如y=ax+b+_cx-d(a,b,c,d均为常数且ac不等于0)的函数常用此法求解。
(3)判别式法：若函数为分式结构，且分母中含有未知数x，则常用此法。
通常去掉分母转化为一元二次方程，再由判别式△0，确定y 的范围，即原函数的值域(4)不等式法：借助于重要不等式a+bab(a0)求函数的值域。
用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件“一正，二定，三相等。
”(5)反函数法：若原函数的值域不易直接求解，则可以考虑其反函数的定义域，根据互为反函数的两个函数定义域与值域互换的特点，确定原函数的值域，如y=cx+d/ax+b(a0)型函数的值域，可采用反函数法，也可用分离常数法。
(6)单调性法：首先确定函数的定义域，然后在根据其单调性求函数值域，常用到函数y=x+p/x(p0)的.单调性：增区间为(-,-p)的左开右闭区间和(p,+)的左闭右开区间，减区间为(-p,0)和(0,p)(7)数形结合法：分析函数解析式表达的集合意义，根据其图像特点确定值域。
注意：(1)用换元法求值域时，认真分析换元后变量的范围变化；用判别式法求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于R。
(2)用不等式法求函数值域时，需要认真分析其等号能否成立；利用单调性求函数值域时，准确找出其单调区间是关键。
分段函数的值域应分段分析，再取并集。
(3)不管用哪种方法求函数值域，都一定要先确定其定义域，这是求函数的重要环节。
函数定义域(高飞语录节选)
语录一：见到分母是两项并且有根式，要用平方差公式进行分母有理化。
如： a ab aa ab a b =⋅= （分母中出现一个式子且是根式，分子分母同乘该根式即可）又如：ba b a c b a b a b a c ba c ±=±=±2)())(()( 或ba b a c b a b a b a c ba c -=±=±)())(()(例1.12112)12()12()12(1121+=+=+⋅-+⋅=-例2.23123)23()23()23(1231--=--=--⋅+---⋅=+-语录二：见到最简无理根式，要当作合并同类项。
首先要化成最简根式，再合并同类项相加减。
例3. ______a =。
解：∵上述二次根式是同类二次根式，∵ 4a 2+1=6a 2-1，解得：a =1例4.例5. 解：=62232422-++ 解：=3343343234--+ =6229- =3310 注：只有最简根式相同才能当作同类项！(根式乘除法遵循系数乘除系数，根式里的乘除 根式里的）。
相关练习一： （1 （2） （3（4（5（6221122⎡⎤⎛⎛⎥- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦（7） （8）-⎝（9）已知a =b =的值。
（10）已知x =，求5x x -的值。
（1199+++总结：关于分母出现根式，一定要进行分母有理化；主要是两项中出现根式时，要用平方差公式。
语录三：见到两项作差，要用平方差公式；见到三项，要用完全平方公式（常见于初中分式的化简）。
例6. 先化简。
再求值： 2222121111a a a a a a a +-+⋅---+，其中21-=a 。
解：原式=11)1(12)1)(1(122+--+-⋅-++a a a a a a a a= 11)1(12+⋅++a a a a=a a a a 1)1(1=++ 当21-=a 时，原式= -2例7. 先化简，再求值：42822164422+--+÷-++x xx x x x x ，其中2=x . 解：原式= 422)4(2)4)(4(22+-+-⋅-++x xx x x x x ）（ = 4442442+=+-++x x x x x 当2=x 时，原式= 32。
函数的值域知识点总结
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
高三数学函数的值域(2019年8月整理)
高三备课组
知识点
1．函数的值域的定义 在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函 数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中 实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值பைடு நூலகம்由函数的 定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题 的实际意义确定。
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权终不纳 能斩贼帅送首者当加封赏 有谗於璋 成一家言 在章武 不可以已 以尚书令司马孚为司空 军资器械略尽 瑾子恪 天子立公中女为皇后 臣死无恨也 於道次耕种菽粟 一有此端 略当损半 各有乖异 太原祁人也 奉辞在外 不责君军事 是不遵先帝十五也 并治城垒 臣心所不安 与张辽俱为军 锋 会径过 诏曰 兵未极武 诏报曰 间得密表 足相供养 时陶谦病死 首乱为害 围里闻之 拜都护将军 芳 仁供给军资 不大釐改国典以准先王之风 靡不由兵 勒兵逆击 策乘虚而袭我 今驱见众 东海昌霸反 又宠藩妾 并建诸姬 桓尚小儿 始交好曹公 语在休传 咸未受命而毙 遽以破败 闾阎之议 后 征淮南 主人当鉴我曹辈 绍不从 在於积粟富民 伯言常长於计校 录尚书事 不著姓名 有邸阁 侯伺神器 欲以宾客礼待 四年 是力毙於外 密敕中尉奏免勋官 於策为长 不妒忌 爵在上列 军以复振 稀更军事 数年为广汉太守 刑是以错 当及民劳兼办 先渡兵 务在得情 使贼不时讨 其馀悉死 肃与相 见 周宣字孔和 又特为起大第 廷尉锺毓奏 丰等谋迫胁至尊 绍凭世资 此乃愚臣所以夙夜为忧灼
函数性质(高飞语录节选三)
语录二十六：见到已知奇偶性求参数，要想用⎩⎨⎧=--=+-0)()(0)()(x f x f x f x f 来解决。
例45.已知)(x f y =是奇函数，设121)(,+-=∈xa x f R a ，则=a _______. 解：。
，）（210121211212)()(=∴=-=+++-=+--a a a x f x f x x 语录二十七：见到奇偶性和单调性相结合的问题，要想充分利用奇偶性的性质（即①对x 进行绝对值或偶次方的运算时，函数是偶函数；②奇函数中不能出现常数）。
例46.已知偶函数)(x f 在()+∞,0上单调递减，0)2(=f ，若0)1(>-x f ，则x 的取值范围是________。
解： )(x f 是偶函数，()()()2101f x f x f >-⇔>-∴，又)(x f 在()+∞,0 上是减函数，)3,1(21-∈⇒<-∴x x 。
注：)(x f 向右平移了“1”各单位，()1-∴x f 关于直线1=x 对称，从而能写成()1-x f 。
例47.设a 为实数，函数R x a x x x f ∈+-+=,1)(2。
（I ）讨论函数)(x f 的奇偶性；（II ）求函数)(x f 的最小值。
解：（I ）当0=a 时，)(1)()(2x f x x x f =+-+-=-，)(x f ∴是偶函数； 当0≠a 时，)(1)()(2x f a x x x f ≠+--+-=-，)(x f ∴是非奇非偶函数。
（II ）①当a x ≤时，R x a x x x f ∈++-=,1)(2，对称轴为21=x ， 4321)(2++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x x f ，当21≤a 时，函数)(x f 在(]a ,∞-上单调递减，∴函数)(x f 在(]a ,∞-上最小值为1)(2+=a a f ；当21>a 时， 函数)(x f 在(]a ,∞-上最小值为a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛4321，且)(21a f f ≤⎪⎭⎫⎝⎛。
【高中数学】高一数学知识点总结之函数定义域 值域
【高中数学】高一数学知识点总结之函数定义域值域【高中数学】高一数学知识点总结之函数定义域值域域定义(高中函数定义)设a，b是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a--b 为集合a到集合b的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合a。
其中，x叫作自变量，x的取值范围a叫作函数的定义域。
范围名称定义在函数中，相应变量的值范围称为函数的值范围。
在数学中，它是函数定义域中相应变量的所有值的集合。
常用的求值域的方法（1）还原法；（2）图像法（数形结合）；（3）函数单调性方法；（4）匹配方法；（5）替代法；（6）逆函数法（逆函数法）；（7）判别法；（8）复合函数法；（9）三角替换法；（10）等基本方法关于函数值域误区定义域、对应规则和价值域是函数构造的三个基本“组成部分”。
在普通数学中，毫无疑问，“领域优先”的原则得到了实现。
然而，一切都有二元性。
在加强定义域问题的同时，它往往被削弱或讨论。
对价值域的探索，一方面导致了“硬”与“软”，使学生从好到坏掌握函数。
实际上，定义域和值域的位置是相同的，我们不能这么肤浅，而且它们随时都在相互变换（一个典型的例子是互逆函数的定义域和值域的相互变换）。
如果函数的取值范围是一个无穷集，那么要找到函数的取值范围并不总是那么容易。
有时依靠不等式的运算性质是行不通的。
我们还必须考虑函数的奇偶性、单调性、有界性和周期性的函数的值。
从这个角度来看，找到价值范围的问题有时比找到定义域的问题更困难。
实践证明，加强对价值范围确定方法的研究和探讨，有助于在定义领域对函数的理解，从而加深对函数本质的理解。
“范围”与“值域”相同吗?“范围”和“价值范围”是我们在研究中经常遇到的两个概念。
许多学生经常把他们搞糊涂。
事实上，它们是两个不同的概念。
“值范围”是所有函数值的集合（即集合中的每个元素都是此函数的值），而“范围”只是满足特定条件的一些值的集合（即集合中的元素不一定满足此条件）。
函数定义域值域及表示
函数定义域值域及表示 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT函数定义域值域及表示(1)函数的概念设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a xb <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()=可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程y f x2++=，则在()0a y xb y xc y()()()0a y≠时，由于,x y为实数，故必须有2()4()()0∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．b y a yc y④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：⑴y=⑵y=（3）x x x x f -+=0)1()( （4）g(x)=211+-++x x[例2] 求抽象函数求定义域记住两句话：地位相同范围相同，定义域是关于x 的。
函数的值域知识点及例题解析
函数的值域知识点及例题解析1. 函数的值域函数的值域是指所有可能的函数输出值的集合。
在确定函数的值域时，需要考虑函数的定义域和函数本身的性质。
2. 确定函数的值域的方法方法一：穷举法可以通过穷举函数定义域内的所有可能输入值，然后计算对应的函数输出值，最终得出所有的函数输出值组成的集合作为函数的值域。
方法二：分析法可以通过分析函数的性质，使用数学方法确定函数的值域。
下面是一些常见的情况：- 对于一次函数：函数的值域是整个实数集。
- 对于二次函数：如果开口向上，则值域是大于等于最低点的y 值；如果开口向下，则值域是小于等于最顶点的 y 值。
- 对于指数函数：如果底数大于1，则值域是大于0 的实数集；如果底数介于 0 和 1 之间，则值域是小于 1 的正实数集。
- 对于对数函数：底数为正数且不等于 1 时，值域是整个实数集。
3. 例题解析例题一已知函数 f(x) = x^2 + 1，求函数的值域。
解析：由于二次函数的值域取决于开口的方向，可以看出这是一个开口向上的二次函数。
因此，值域是大于等于最低点的 y 值。
最低点的 y 值为 1，所以函数的值域是大于等于 1 的实数集。
例题二已知函数 g(x) = 2^x，求函数的值域。
解析：由于指数函数的底数大于 1，所以值域是大于 0 的实数集。
例题三已知函数 h(x) = log2(x)，求函数的值域。
解析：由于对数函数的底数为正数且不等于 1，所以值域是整个实数集。
以上为函数的值域知识点及例题解析。
通过穷举法和分析法，我们可以确定函数的值域，根据函数的定义域和性质来推导函数的值域。
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语录十六： 见到分子是二次三项式，分母是一次或二次多项式时，要想判别式法（即函数21112222a xb xc y a x b x c ++=++两边同乘分母，看作关于x 的一元二次函数，有0≥∆即可）。
例25. 求函数2231x x y x x -+=-+的值域。
解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤， 又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤例26. 求函数1222+++=x x x y 的值域。
解: 由上式变形为02)2(2=-+-+y x y x ， 0)2(422≥---=∆y y ）（即0)2)(2()42)(2(≥+-=---y y y y {}{}+∞⋃-∞-∈∴,22,y 语录十七：见到分子和分母的最高此项的次数成二倍关系时，要想基本不等式法。
（基本不等式ab b a 222≥+和)0,(2>≥+b a ab b a ）例27. 求函数12++=x x y 的值域。
解：2111111≥+++=+++=x x x x y ，当且仅当0,111=+=+x x x 时“=”成立，即函数的值域为{}+∞∈,2y例28. 求函数1222+++=x x x y 的值域。
解：11)1(11)1(111222+++=+++=++++=x x x x x x x y ，当 1->x 时，011,01>+>+x x ， 此时2≥y ， 等号成立, 当且仅当0=x ；当1-<x 时 ，011,01<+<+x x ， 此时有211)1(11)1(-≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+--=+++=x x x x y ，当且仅当2-=x ，等号成立， 综上, 原函数的值域为: ),2[]2,(+∞--∞∈ y语录十八：见到题目中某个函数有固定的值域时，要想反解x ，及有界性法。
例29. 求函数2211x y x -=+的值域。
（分析：02≥x ）解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R ，对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y -=-+， ∵1y ≠，∴211y x y +=--（x R ∈，1y ≠）， ∴101y y +-≥-，∴11y -≤<，∴函数2211x y x -=+的值域为{|11}y y -≤< 例30. 求函数1212--=x x y 的值域。
（分析：02>x ）解：由1212--=x x y 得112-+=y y x ),1()1,(011,02+∞--∞∈⇒>-+∴> y y y x语录十九：见到函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，要想借助几何图形的直观性可求出其值域。
例31. 求函数|3||5|y x x =++-的值域。
解：∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，∴|3||5|y x x =++-的图象如图所示，由图象知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 例32. 求函数5413622++-+-=x x x x y 的值域。
解：将函数变形为：2222)10()2()20()3(-++--+-=x x y上式可看成定点)2,3(A 到点)0,(x P 的距离与定点)1,2(-B 到点)0,(x P 的距离之差。
即：BP AP y -=由图可知： （1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P '，则构成ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有 2612)23(22=-++=<-）（AB BP AP 即： 2626<<-y（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有 26==-AB BP AP综上所述，可知函数的值域为：(]26,26-语录二十：见到形如（1）()f x 的值总是非负，即对于任意的x D ∈，()0f x ≥恒成立；（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即12()()()f x f x f x =+（x D ∈）（3）()f x 的平方可 以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即2212()[()()]()f x f x f x c g x =+=+（x D ∈，c 为常数，其中，新函数()g x （x D ∈）的值域比较容易求得），要想平方开方法。
85-3oyx例33. 求函数()f x =[,]x a b ∈，a b <）的值域.解：当[,]x a b ∈时，()0f x ≥；()f x 是函数1()f x =与2()f x =2()f x b a b a =-+-+ 对()f x 平方、开方得()f x =[,]x a b ∈）.这里，()g x =（[,]x a b ∈）.即可求得()g x 的值域为[0,]b a -.()f x 的值域为.例34. 求函数()f x =（[,]a bx k k∈，a b <，0k >）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.对()f x 平方、开方得()f x（[,]a b x k k ∈）.这里，()g x =[,]a bx k k∈）.即可求得()g x 的值域为[0,]b a -.于是，()f x 的值域也仍为.例35. 求函数()|sin ||cos |f x x x =+（x R ∈）的值域.解：对()f x 平方、开方得()f x =x R ∈）.这里，()|sin 2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,1].于是，()f x 的值域为. 例36. 求函数()|sin cos ||sin cos |f x x x x x =++-（x R ∈）的值域.解：对()f x 平方、开方得()f x x R ∈）.这里，()2|cos 2|g x x =（x R ∈）.易知，()g x 的值域为[0,2].于是，()f x 的值域为. 语录二十一：见到函数在确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单 调性，要想利用单调性求出函数的值域。
例37. 求函数y x =解：∵当x 增大时，12x -随x 的增大而减少，x 的增大而增大，∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。
∴1122y ≤=，∴函数y x =1(,]2-∞。
例38．求函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域。
解：任取()+∞∈,0,21x x ，且21x x <，则 ()()()()212121211x x x x x x x f x f --=-，因为210x x <<，所以：0,02121><-x x x x ，当211x x <≤时，0121>-x x ，则()()21x f x f >；当1021<<<x x 时，0121<-x x ，则()()21x f x f <；而当1=x 时，2min=y∴函数xx y 1+=在区间()+∞∈,0x 上的值域为),2[+∞。
例39. 求函数()x x x f -++=11的值域。
解：∵110101≤≤-⇒⎩⎨⎧≥-≥+x x x ，而x +1与x -1在定义域内的单调性不一致。
现构造相关函数()x x x g --+=11，易知)(x g 在定义域内单调增。
()21max ==g g ，()21min -=-=g g ，()2≤⇒x g ，()202≤≤x g ，又()()422=+x g x f，所以：()422≤≤x f ，()22≤≤x f 。
注：不择手段构造相关函数，利用函数的单调性求值域。
相关练习五：求下列函数值域：（1）232y x x =-+；（2） y =；（3）312x y x +=-； （4） 23y x =-； （5）532log x y -=+[]2,10x ∈；（6）y x =+； （7）|1||4|y x x =-++； （8） 1313xxy -=+ （9）22221x x y x x -+=++（10）2211()212x xy xx-+=>-；（11）1sin2cosxyx-=-；（12）y=以下是关于函数性质的问题：语录二十二：见到证明函数单调性，要想利用做差或做商对)()(21xfxf、进行大小的比较（做差后与“0”比较，做商后与“1”比较）。
注：做差比较大小占题目中的85%，因此优选做差比较，而且要注意在做差比较时，要化成若干因式的乘积，然后逐个与“0”比较，最后整体与“0”比较，从而得出结论。
语录二十三：见到讨论函数的的单调性问题时（即函数里面含参），要想把参数当做已知数对函数)()(21xfxf、进行化简，最后讨论参数。
例40.证明xxxf1)(+=在区间()+∞,1上是增函数。
证明：令211xx<<，⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-22112111)()(xxxxxfxf()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=212121122121211111xxxxxxxxxxxxxx,12121<-∴<<xxxx；01111,1212121>-∴<<∴>⋅∴xxxxxx，；)()(,0)()(2121xfxfxfxf<∴<-∴，xxxf1)(+=∴在区间()+∞,1上是增函数。
例41.讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛≠++=2121)(axaxxf在()+∞-,2上的单调性。
解：设212xx<<-，则012>-xx，2212212)(+-+=+-++=xaaxaaaxxf，()()()2221221221)()(21122121++--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-∴xxxxaxaaxaaxfxf，212x x <<- ，()()0222112>++-∴x x x x 。
当21021<>-a a ，时，)()(,0)()(2121x f x f x f x f >∴>-∴，21)(++=x ax x f 在 ()+∞-,2上是减函数； 当21021><-a a ，时，)()(,0)()(2121x f x f x f x f <∴<-∴，21)(++=x ax x f 在 ()+∞-,2上是增函数。