2.2.2二次函数性质和图像以及值域问题
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中重要的概念之一，它具有独特的图像与性质。
本文将系统地介绍二次函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
一、基本概念二次函数是指具有形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
在该函数中，x为自变量，而f(x)为因变量。
a决定了二次函数的开口方向，具体可分为向上开口和向下开口两种情形。
二、图像特征1. 开口方向：当a > 0时，二次函数的图像向上开口；当a < 0时，二次函数的图像向下开口。
2. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过顶点公式计算得到。
对于f(x) = ax² + bx + c形式的二次函数，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是与顶点坐标垂直的直线，其方程为x = -b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值，可通过求解二次方程ax² + bx + c = 0得到。
三、性质分析1. 最值：当二次函数开口向上时，它的最小值为顶点的纵坐标；当二次函数开口向下时，它的最大值为顶点的纵坐标。
2. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负。
当a > 0时，函数在对称轴两侧递增；当a < 0时，函数在对称轴两侧递减。
3. 范围：函数的值域取决于二次函数的开口方向。
对于向上开口的二次函数，其值域为[f(-b/2a), +∞)；对于向下开口的二次函数，其值域为(-∞, f(-b/2a)]。
4. 判别式：二次方程ax² + bx + c = 0的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次函数的图像与性质。
当Δ > 0时，函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当Δ = 0时，函数有一个重根，图像与x轴有一个交点；当Δ < 0时，函数没有实根，图像与x轴没有交点。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数重点难点总结
二次函数重点难点总结二次函数是高中数学中的重要内容，它应用广泛、内容较多，容易出现一些难点。
下面将从求解二次函数的根、图像的性质、应用题目等方面，总结二次函数的重点和难点。
一、求解二次函数的根1.求解一元二次方程的根（1）利用配方法，将一元二次方程化为完全平方形式，并求得根的解；（2）利用求根公式，即根的公式：x = (-b±√(b²-4ac))/(2a)，求得根的解；（3）利用因式分解法，将二次方程因式分解，并求得根的解。
2.利用二次函数图像求解二次方程的根（1）通过二次函数图像的顶点坐标、对称轴及判别式，求得一元二次方程的根；（2）通过二次函数图像的交点，求得一元二次方程的根。
二、二次函数图像的性质1.几何意义（1）根的性质：当一元二次方程有根时，根相等，则二次函数图像与x轴有且仅有一交点；根不相等，则二次函数图像与x轴有两个交点。
（2）极值点的性质：当二次函数开头系数为正时，函数的最小值对应极值点；当二次函数开头系数为负时，函数的最大值对应极值点。
2.求解顶点坐标（1）利用函数的顶点公式，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))；（2）利用函数变形和求顶点的方法，求解顶点坐标；（3）通过二次函数图像的顶点坐标，确定一元二次方程的根。
三、二次函数的应用题目1.最值问题（1）通过求解顶点坐标，确定二次函数的最大值或最小值；（2）通过二次函数图像的几何特点，确定特定区间内二次函数的最大值或最小值。
2.奇偶性问题（1）二次函数的对称轴与y轴平行，则函数是偶函数，开头系数为正；（2）二次函数的对称轴与x轴平行，则函数是奇函数。
3.求解焦点坐标（1）通过函数变形和顶点坐标求解焦点坐标；（2）通过求解焦距和顶点坐标求解焦点坐标。
4.范围问题（1）利用二次函数图像的开启方向和极值，确定二次函数的定义域和值域；（2）利用二次函数图像的顶点坐标和对称性，确定二次函数的定义域和值域。
以上是二次函数的重点和难点的总结，包括求解根的方法、二次函数图像的性质以及应用题目的解法。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学、物理、经济等领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像和性质，并通过实例来说明其在实际问题中的应用。
一、二次函数的定义与图像二次函数是指形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
这里的x和y分别代表自变量和因变量，a、b、c则决定了二次函数的图像特征。
根据a的正负性可以判断二次函数的开口方向。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
二次函数的图像一般呈现为一个平滑的曲线，被称为抛物线。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ=b²-4ac，代表二次函数的判别式。
二、二次函数的性质1. 零点和因子定理：二次函数的零点即方程y=ax²+bx+c=0的解。
根据因子定理，零点等于函数的因子。
2. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴为直线x=-b/2a，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
3. 最值和极值点：当a>0时，二次函数的最值为最小值；当a<0时，二次函数的最值为最大值。
最值点即为抛物线的顶点。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴的左侧递增，在对称轴的右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴的左侧递减，在对称轴的右侧递增。
5. 范围与值域：当a>0时，二次函数的值域为[0, +∞)，即非负实数集；当a<0时，二次函数的值域为(-∞, 0]，即非正实数集。
三、二次函数的应用实例在物理学中，二次函数常用于描述抛体运动的轨迹。
例如，抛体的运动轨迹满足二次方程，通过对抛体运动关键点的分析，可以确定抛体的初速度、最高点高度、时间等。
在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量之间的关系。
例如，某企业的生产成本与产量之间满足二次函数关系，通过分析二次函数的图像和性质，可以确定产量对应的成本最小值。
此外，二次函数还在建筑设计、生态学等领域发挥着重要作用。
深入浅出二次函数核心思想
深入浅出二次函数核心思想二次函数是数学中经常遇到的一种函数形式，具有许多特殊的性质和重要的应用。
本文将深入浅出地探讨二次函数的核心思想，包括函数的定义、性质、图像、相关定理以及实际应用，旨在帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 二次函数的定义和性质二次函数是一个以自变量的平方为最高次幂的函数，一般表达式为y=ax^2+bx+c。
其中，a、b和c都是实数，且a不等于0。
二次函数的定义域是全体实数集，值域则取决于二次项系数a的符号。
二次函数的性质包括：- 对称性：二次函数关于抛物线的对称轴对称。
- 单调性：当二次项系数a大于0时，函数开口向上，为上凹函数；当a小于0时，函数开口向下，为下凹函数。
- 零点：二次函数与x轴的交点称为零点，可通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来确定。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由二次项系数a、一次项系数b和常数项c决定。
根据二次项系数a的值不同，图像可以分为三种情况：- 当a大于0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正部分（y轴上方）。
- 当a小于0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负部分（y轴下方）。
- 当a等于0时，函数退化为一次函数。
通过移动抛物线的顶点和研究抛物线的对称性，可以更好地理解二次函数的图像特征。
3. 二次函数的相关定理二次函数有许多重要的相关定理，其中最著名的是二次函数的最值定理和零点定理。
最值定理指出，对于开口向上的二次函数，其最小值为抛物线的顶点坐标；对于开口向下的二次函数，其最大值也是抛物线的顶点坐标。
零点定理则表明，对于二次函数y=ax^2+bx+c，存在两个根（零点）x1和x2，满足a*x1^2+b*x1+c=0和a*x2^2+b*x2+c=0。
这两个根可以通过求解二次方程来获得。
这些定理在解决二次函数的问题时起到重要的作用，帮助我们确定最值点和求解方程。
4. 二次函数的实际应用二次函数在物理、经济和工程等领域中有广泛的应用。
二次函数及其图像
二次函数及其图像引言二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。
本文将从二次函数的定义、性质、图像以及实际问题的应用等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和掌握二次函数的知识。
一、二次函数的定义和性质二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。
二次函数的定义域是全体实数集R，值域是实数集R。
1. 零点和因式分解二次函数的零点是指函数图像与x轴相交的点，即f(x) = 0的解。
根据零点的定义，我们可以得到二次函数的因式分解形式，即f(x) = a(x - x1)(x - x2)，其中x1和x2是二次函数的两个零点。
2. 对称性二次函数的图像是一个抛物线，具有对称性。
具体来说，二次函数的图像关于直线x = -b/2a对称。
这个直线称为二次函数的对称轴。
对称轴将图像分为左右对称的两部分。
3. 开口方向二次函数的开口方向取决于二次项的系数a的正负。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、二次函数图像的绘制了解二次函数的图像特点对于解决实际问题非常重要。
下面将介绍如何绘制二次函数的图像。
1. 寻找顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a > 0时）或最低点（当a < 0时）。
顶点的横坐标可以通过求解x = -b/2a得到，纵坐标可以通过代入横坐标得到。
2. 确定开口方向根据二次项的系数a的正负，可以确定抛物线的开口方向。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
3. 确定对称轴和焦点对称轴是二次函数图像的中心线，可以通过求解x = -b/2a得到。
焦点是抛物线的焦点，可以通过求解x = -b/2a得到横坐标，再代入函数得到纵坐标。
4. 绘制图像根据顶点、对称轴、开口方向和焦点等信息，可以绘制出二次函数的图像。
可以选择几个横坐标，代入函数求得纵坐标，然后将这些点连成平滑的曲线。
高一数学人必修教学课件二次函数的性质与图像
04
解析
根据二次函数的开口方向和对称 轴位置，可以得出函数在不同区 间的单调性。当$a > 0$时，函 数在$(-infty, -frac{b}{2a}]$上单 调递减，在$[-frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在$(-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在$[frac{b}{2a}, +infty)$上单调递减
对于一般的二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以通过配方的方法将其转化为顶点式f(x)=a(xh)^2+k的形式，从而方便地进行图像的平移、伸缩和对称等变换。
03 二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方法
因式分解法
将一元二次方程左边进行因式分解， 然后解每个因式等于零的方程得到方 程的解。
通过配方将一元二次方程转化为完全 平方形式，然后开方求解。
二次函数零点与一元二次方程根的关系
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点就是对应的一元二 次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
当 $Delta > 0$ 时，方程有 两个不相等的实根。
当 $Delta = 0$ 时，方程有 两个相等的实根（即一个重 根）。
当 $Delta < 0$ 时，方程无 实根，即抛物线与 $x$ 轴无 交点。
对称轴和顶点坐标
二次函数知识点总结大全
二次函数知识点总结大全二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握了二次函数的相关知识，能够解决很多与实际问题相关的数学计算。
下面是二次函数的知识点总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：一个二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，且a表示二次项的系数。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线。
3.二次函数的顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，记为(Vx,Vy)。
4.二次函数的轴对称性：二次函数的图像关于顶点所在的直线对称。
5.二次函数的零点：二次函数的图像与x轴交点的横坐标称为零点。
6.二次函数的平移：二次函数的图像在平面上的平移。
二、二次函数的图像1.抛物线开口的方向：当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2. 求顶点：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，顶点坐标为(Vx, Vy)，其中Vx=-b/2a，Vy=f(Vx)。
3.确定抛物线的图像：已知顶点和另一点，可以确定一个抛物线的图像。
4.求零点：二次函数的零点可以通过解一元二次方程求得。
三、二次函数的性质1. 平移性质：对于二次函数y=ax²+bx+c，平移后的函数是y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为平移后的抛物线的顶点。
2.对称性质：二次函数的图像关于顶点对称。
3.零点性质：一个二次函数最多有两个零点，可以通过求解一元二次方程求得。
4.范围性质：对于抛物线开口朝上的二次函数，其值域为[y,+∞)；对于抛物线开口朝下的二次函数，其值域为(-∞,y]。
四、二次函数的解析式1. 标准型：形如y=ax²+bx+c的二次函数。
2.顶点式：形如y=a(x-h)²+k的二次函数。
3.概率型：形如y=a(x-p)(x-q)的二次函数。
五、二次函数的应用1.最值问题：二次函数的最值可以通过求顶点得到。
苏教版必修一2.2二次函数的图象及性质(学案含答案)
2.2二次函数的图象及性质一、考点突破1. 求二次函数的解析式；2. 求二次函数的值域或最值及一元二次方程、一元二次不等式的综合应用；二、重难点提示1. 理解二次函数三种解析式的特征及应用；2. 分析二次函数要抓住几个关键环节：开口方向、对称轴、顶点，函数的定义域；3. 充分应用数形结合思想把握二次函数的性质。
1. 二次函数的定义与解析式（1）二次函数的定义形如：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数叫做二次函数。
（2）二次函数解析式的三种形式①一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；②顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；③零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；3. 与二次函数有关的不等式恒成立问题①ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是2>-<0,40a b ac②ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是20,40a b ac <-<例题1 已知函数f （x ）＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]。
（1）当a ＝－2时，求f （x ）的最值；（2）求实数a 的取值范围，使y ＝f （x ）在区间[－4，6]上是单调函数；（3）当a ＝1时，求f （|x |）的单调区间。
思路分析：对于（1）和（2）可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于（3），应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用。
答案：解：（1）当a ＝－2时，f （x ）＝x 2－4x ＋3＝（x －2）2－1，由于x ∈[－4，6]，∴f （x ）在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，∴f （x ）的最小值是f （2）＝－1，又f （－4）＝35，f （6）＝15，故f （x ）的最大值是35；（2）由于函数f （x ）的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f （x ）在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4；（3）当a ＝1时，f （x ）＝x 2＋2x ＋3，∴f （|x |）＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6，6]，且f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-∈++]0,6[32]6,0(3222x x x x x x ，， ∴f （|x |）的单调递增区间是（0，6]。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是高中数学中重要的一章知识点，它是一种以二次方程为模型的函数。
在学习二次函数时，我们需要了解二次函数的定义、性质、图像以及与实际问题的应用等方面的知识。
本文将对二次函数的相关知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握二次函数。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指具有形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a决定了二次函数的开口方向（正负号决定开口的方向），b决定了二次函数的对称轴，c则表示二次函数的纵坐标的平移。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是抛物线形状的。
开口向上的抛物线表示a>0，则最低点为顶点；开口向下的抛物线表示a<0，则最高点为顶点。
顶点的坐标可通过求解二次函数的顶点公式得到：x=-b/2a，y=f(-b/2a)。
对于一般式的二次函数，纵坐标平移c对于顶点的影响为纵坐标上下平移。
三、二次函数的性质1. 定义域和值域：定义域是函数可以取到的所有实数，对于二次函数来说，定义域是整个实数集；而值域则取决于a的正负号，开口向上的二次函数值域的下界为顶点的纵坐标，开口向下的二次函数值域的上界为顶点的纵坐标。
2. 对称性：二次函数关于对称轴对称，其中对称轴的方程为x=-b/2a。
对称性使得我们可以通过研究对称轴两侧的取值来推导出整个函数的形态。
3. 零点与判别式：一般二次函数的零点是指使得f(x)=0的x值，可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0的根公式求得。
判别式可以通过b²-4ac的计算获得，判别式的正负可以判断二次函数的零点个数与开口方向。
4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增，而当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。
5. 极值点：二次函数的最小值或最大值即为极值点，对于开口向上的二次函数，极小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，极大值为顶点的纵坐标。