二次函数在给定区间上的值域
人教B版高中数学必修1-2.2二次函数在给定区间上的值域和最值
教学重点、难点
教学重点：对称轴不定、区间不定的 二次函数最值问题
教学难点：分类讨论思想的正确运用
y
o1
x
教材分析 教学模式 教材处理 教学程序
教材的地位和作用
最值是函数性质中最重要的性质， 而二次函数是生活中应用最广泛的一种 函数，占有重要的地位，具有承上启下 的作用，因此掌握二次函数的值域和最 值是研究函数性质的重中之重。
ห้องสมุดไป่ตู้
教材的延伸与拓展
新教材在知识上只阐述了二次 函数在全体实数上的最值问题，本 节课将其延伸和拓展为给定区间上 的最值问题，通过师生的共同探索， 培养学生发现问题，研讨问题，解 决问题的能力，更重要的是培养学 生探索问题的积极性，主动性和同 学互相合作的团队精神
教学进程
例1：y=x2﹣2x﹣1的值域和最值 (1) x∈〔0,3〕 (2) x∈〔2.5,4〕 (3) x∈（–2,–1）
例2：y=x2–2ax+1 x∈〔–1，2〕的最值
例3：y= x2+2x–1 x∈〔m,m+2〕的最值
例4：y= –x2+2ax+1–a
若 x∈〔0,1〕 的 最 大 值 为 2 ， 求a
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
2、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数在区间上的最值问题
1
f ( x) min f (0) 1 a .
-1
o
-1 -2
1 2
1
x
x=a
例3.• •不等式 x 2mx 1 0 在x [1， 3] 内恒成立，
2
求实数 m 的取值范围 .
解： 设 f ( x) x 2 2mx1， 则对称轴 x=m， 4m2 4 0，
解：f ( x) ( x 1)2 4， 对称轴为：x=1.
（1）函数 f(x) 在 [-3，0]上是增函数，
y
4 3 2
当 x 3 时，f ( x)min f (3) 12 . 当 x 0 时， f ( x)max f (0) 3 .
（2）函数 f(x) 在 [2，4]上是减函数，
2
解 f ( x) ( x a)2 a2 a 1 , x [0 , 1] ， 对称轴 x=a，
(1) 当a 0 时，
y
2
f ( x)max f (0) 1 a，
1
f ( x) min f (1) a ；
-1
o
-1 -2
1
2 x
x=a
例2 求函数f (x) x 2ax 1 a , x [0 , 1] 的最值.
2
解 f ( x) ( x a) a a 1 , x [0 , 1] ， 对称轴 x=a，
2 2
(3) 当0 a 1 时， 2
f ( x)max f (a) a2 a 1 ，
y
2
1
f ( x) min f (1) a ；
-1
o
-1 -2
1 2
1
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
二次函数的最值和区间
二次函数的最值和区间
最值问题
对于一个二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、
$c$ 是实数且 $a \neq 0$。
我们可以通过求导数或配方法求出函数的
最值。
最值的判断
首先，我们来判断二次函数的最值。
如果 $a > 0$，则二次函
数开口向上，最值为最小值；如果$a < 0$，则二次函数开口向下，最值为最大值。
最值的计算
要计算二次函数的最值，可以通过以下步骤：
1. 求出顶点坐标：函数的顶点坐标为 $(h, k)$，其中 $h = -
\frac{b}{2a}$，$k = f(h)$。
2. 判断最值类型：根据 $a$ 的正负判断最值类型。
3. 计算最值：根据最值类型和顶点坐标求得最值。
区间问题
二次函数的定义域和值域也是我们需要关注的问题。
定义域
二次函数的定义域是 $x$ 的取值范围。
对于任意二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其定义域为实数集 $\mathbb{R}$。
值域
二次函数的值域是$y$ 的取值范围。
对于开口向上的二次函数，值域为一切大于等于顶点 $k$ 的实数。
对于开口向下的二次函数，
值域为一切小于等于顶点 $k$ 的实数。
总结
二次函数的最值和区间问题是数学中一个基础但重要的概念。
通过计算最值和确定定义域、值域，我们可以更好地理解和分析二次函数的特性和应用。
希望本文对二次函数的最值和区间问题有所帮助！。
二次函数在给定区间上的最值问题
二次函数在给定区间上的最值问题【学前思考】二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法.【知识要点＆例题精讲】二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然.解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；（ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值.例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______.例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______.Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a-<，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q =，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤-≤，即对称轴在给定区间[],p q 的部，则函数()f x 在[,]2b p a-上单调递减，在[,]2b q a -上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]()f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22b p q p a +≤-<，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a->，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p =，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时，max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若； min (),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若.通过同样的分析可得到：当0a <时，max(),2[()](),22(),2b f p p a b b f x f p q a a b f q q a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤-≤⎨⎪⎪->⎪⎩若若若； min (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +⎧-<⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩若若.例4、已知21x ≤且2a ≥，求函数2()3f x x ax =++的最值.例5、求函数()()f x x x a =--在区间[]1,1-上的最大值.例6、求函数2()21f x x ax =--在区间[]0,2上的最大值和最小值.例7、设函数2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当214a b =+时，求函数()f x 在区间[]1,1-上的最小值()g a 的解析式.22222222()1()1422122()[1,1]()(1)11244122()[1,1]()(1)11244a a a f x x axb x ax x x a a f x a a g a f a a a a f x a a g a f a a =++=+++=++=--<->-=-=-++=-+-><--==+++=++函数的图像是开口向上，对称轴为直线的抛物线（i ）若,即此时函数在上单调递增于是（ii ）若,即此时函数在上单调递减于是（iii ）[解析] 2211222()[1,][,1]22()()12224()1,22224a a a a f x a g a f a a a g a a a a a -≤-≤-≤≤---=-=⎧-+>⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪++<-⎪⎩若,即此时函数在上单调递减,在上单调递增于是，综上可知，，例8、已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值围是_______.Case Ⅲ、给定区间变化，对称轴位置确定说明：此种类型，考试中出现的较少，一般是给定区间里含有参数. 解决此类问题，亦可根据对称轴与给定区间的位置关系，分对称轴在给定区间的左侧、部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值.解法：若二次函数的给定区间是变化的，而其对称轴的位置是确定的，则要求二次函数在给定区间上的最值，需对变化区间是否包含其对称轴的横坐标进行分类讨论，分类标准为：变化区间包含其对称轴的横坐标，变化区间不包含其对称轴的横坐标. 解决方法与知识点2类似，这里不再赘述.例9、已知函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[],1t t +（t R ∈）上，求()f x 的最小值.例10、已知函数2()23f x x x =-+，当[],1x t t ∈+（t R ∈）时，求()f x 的最大值.CaseIV 、与二次函数最值问题有关的综合题型利用二次函数在给定区间上取得最值，可以求解、证明或探究以下综合问题：（1）求函数的最值或最值的取值围；（2）求函数的解析式；（3）证明不等式；（4）求参数的取值围；（5）探究参数是否存在；……例11、设函数()221f x x ax a =+--，[]0,2x ∈，a 为常数.（I ）求()f x 的最小值()g a 的解析式；（II ）在（I ）中，是否存在最小的整数m ，使得()0g a m -≤对于任意a R ∈均成立. 若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【解析】（I ）函数()22221()1f x x ax a x a a a =+--=+---的图像是开口向上，对称轴为直线x a =-的抛物线（i ）若0a -<，即0a >此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递增 于是min ()[()](0)1g a f x f a ===--（ii ）若2a ->，即2a <-此时函数()f x 的对称轴x a =-不在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,2上单调递减 于是min ()[()](2)44133g a f x f a a a ===+--=+（iii ）若02a ≤-≤，即20a -≤≤此时函数()f x 的对称轴x a =-在区间[]0,2上，()f x 在区间[]0,a -上单调递减，在区间[],2a -上单调递增于是2min ()[()]()1g a f x f a a a ==-=---综上可知，21,0()1,2033,2a a g a a a a a a -->⎧⎪=----≤≤⎨⎪+<-⎩（II ）要使()0g a m -≤对于任意的a R ∈均成立，只需max [()]m g a ≥，a R ∀∈ 下求max [()]g a由函数()g a 的图像可见，()g a 在1(,]2-∞-上单调递增，在1[,)2-+∞上单调递减 2max 1113[()]()()()12224g a g ∴=-=-----=- 于是34m ≥- 又m Z ∈故m 的最小值为0例12、已知函数2()2f x x ax b =-+（,a b R ∈），记M 是|()|f x 在区间[0,1]上的最大值.（Ⅰ）当0b =且2M =时，求a 的值； （Ⅱ）若12M ≤，证明01a ≤≤. 【解析】（I ）函数222()2()f x x ax b x a a b =-+=--+的图像是开口向上，对称轴为直线x a =的抛物线 而函数()f x 的图像是将函数()f x 在x 轴上方的图像保持不变、把它在x 轴下方的图像翻折上去得到的（I ）当0b =时，函数222()2()f x x ax x a a =-=--（i ）若0a <此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递增于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即12a =-（舍去32a =） （ii ）若1a >此时函数()f x 的对称轴x a =不在区间[0,1]上，()f x 在区间[0,1]上单调递减 于是{}{}max [()]max (0),(1)max 0,12122M f x f f a a ===-=-=122122a a ⇒-=-=-或，即32a =（舍去12a =-） （iii ）若01a ≤≤ 此时函数()f x 的对称轴x a =在区间[0,1]上，()f x 在区间[]0,a 上单调递减，在区间[],1a 上单调递增 于是{}{}2max [()]max (),(1)max ,122M f x f a f a a ===-=当22a =时，[0,1]a =，舍去 当122a -=时，122122a a -=-=-或⇒12a =-或32a =，均舍去 综上可知，12a =-或32a = （II ）(0)(1)12fb f a b =⎧⎨=-+⎩ 1(11(0)(11(0)(12222b f f f f f a +-+--∴===+））） 又12M ≤ 1(0)2f ∴≤，1(1)2f ≤ 11(0)22f ⇒-≤≤，11(1)22f -≤≤ 于是有1(0)(1)1f f -≤-≤ 故111(0)(11101222222f f a -=-≤=+≤+=），即[0,1]a ∈例13、（2015高考）已知函数2()f x x ax b =++（a ，b R ∈），记(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤时，求a b +的最大值.【分析】本题考查的知识点是二次函数在区间定、对称轴位置变化的情形下的最值问题. 解决此类问题的关键是正确理解“(,)M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值”这一条件，并结合函数图像以及三角不等式等知识。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
例谈区间二次函数的值域求法
例谈区间二次函数的值域求法作者：贺锋来源：《新课程·中旬》2012年第12期摘要：在对二次函数值域的实际考查或应用中，更多的是以区间二次函数的面目出现，而所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数的定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”，前者通法有“单调性法”“对称距法”“比较大小法”，而后者只能用“单调性法”。
但不管是哪一个类型问题，还是哪一种解决方法，都必须从求对称轴以及判断对称轴与定义区间的关系入手，从而对问题的求解做出更精准的处理.关键词：二次函数；区间二次函数；值域；值域求法所谓的区间二次函数就是其函数表达式是某个二次函数，但其定义域不再是一般二次函数定义域R，而只是其一个子区间，其根据定义域区间的类型可分为“单界型”和“双界型”.一、双界型区间二次函数及值域求法1.概念定义域区间既有上界又有下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为双界型区间二次函数.2.值域的求法例1.求函数y=x2-4x+1，x∈[0，5]的值域.解法1.∵对称轴为x=-■=2∈[0，5]，且有当x=2时，y=-3；当x=0时，y=1；当x=5时，y=6；∴ymin=-3，ymax=6.∴原函数的值域为[-3，6].点评：当对称轴在定义区间上时，函数有三个关键点，即顶点和两个区间端点，这三个关键点的函数值中最大者一定是函数的最大值，最小者一定是函数的最小值，因此，可以利用已知函数的解析式直接求出三个关键点的函数值，然后比较大小，求出两个极值（最大值和最小值），进而确定值域，此种方法可称为比较大小法，是求双界型区间二次函数值域的有效通法。
解法2.∵对称轴为x=-■=2∈[0，5]，∴原函数在[0，5]上的值域和在[2，5]上的值域是相同的.又∵a=1>0，∴y在[2，5]上为单调递增函数.∴当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.∴原函数的值域为[-3，6].点评：一般来说，若二次函数的对称轴x0∈[a，b]，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，c]（其中c为a、b中的较大者）上的值域，于是可利用函数的单调性来求解问题，这种办法不妨称之为“单调性法”，也是求双界型区间二次函数值域的一种有效方法.解法3：∵对称轴为x=-■=2，∴5-2>2-0>2-2.∴当x=2时，ymin=-3；当x=5时，ymax=6.∴原函数的值域为[-3，6].点评：一般的，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）而言，有当a>0时，离对称轴越远函数值越大；当a例2.求函数y=-t2+4t+2的值域，其中t∈[-1，1].解法1.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且a=-1∴y在[-1，1]上单调递增.∴当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.∴原函数的值域为[-3，5].点评：这里用了“单调性法”，但是直接使用而不需要先等价转化.解法2.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且当t=-1时，y=-3；当t=1时，y=5.∴ymin=-3，ymax=5.∴原函数的值域为[-3，5].点评：这里用了“比较大小法”，但无需顶点参与.解法3.∵对称轴t=-■=2■[-1，1]，且-1-2>1-2，∴当t=-1时，ymin=-3；当t=1时，ymax=5.∴原函数的值域为[-3，5].点评：这里用了“对称距法”，但无需顶点参与.小结：（1）双界型区间二次函数的值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.（2）双界型区间二次函数值域的求解有三种通法，分别是“单调性法”“对称距法”“比较大小法”.但不管哪一种方法都是从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定顶点是否参与比较.（3）双界型区间二次函数的值域也一定是双界型区间.二、单界型区间二次函数及值域求法1.概念定义域区间只有上界或下界的形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c为常数，a≠0）的函数，称为单界型区间二次函数.2.值域的求法例3.求函数y=x2-2x-3，x∈（-∞，-1]的值域.解：∵对称轴x=-■=1■（-∞，-1]，且a=1>0，∴y在（-∞，-1]上为单调递减函数.∴y≥（-1）2-2·（-1）-3=0.∴函数值域为[0，+∞）.点评：一般来说，若二次函数对称轴x0■[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间是单调函数，于是可直接用“单调性法”来求解问题.例4.求函数y=3+2x-x2，x∈（-∞，3]的值域.解：∵对称轴=-■=1∈（-1，3]，∴原函数在（-∞，3]上的值域和在（-∞，1]上的值域是相同的.∵a=-1∴y在（-∞，1]上为单调递增函数.∴y≤3+2·1-12=4.∴函数值域为（-∞，4].点评：一般来说，若二次函数对称轴x0∈[a，+∞）（或（-∞，a]）时，此时函数在定义区间不是单调函数，但其值域等价于在单调区间[x0，+∞）（或（-∞，x0]）上的值域，于是可用“单调性法”来求解问题.小结：（1）单界型区间二次函数值域问题可分为两种类型：一种是对称轴属于定义区间，另一种是对称轴不属于定义区间.（2）单界型区间二次函数值域的求法，只有“单调性法”，同样必须从求对称轴和判断对称轴与定义区间的关系入手，以便确定是直接使用单调性求解，还是等价转化后再利用单调性求解.（3）单界型区间二次函数值域也一定是单界型区间.（作者单位陕西省渭南白水中学）。
二次函数讲义
二次函数1．二次函数：当≠a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2).2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-≠}和空集∅，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和∅.f (x )图象与x 轴无公共点。
当a <0时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
求函数值域的几种常见方法详解
求函数值域的几种常见方法1.直接法:利用常见函数的值域来求。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R,值域为R; 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0},值域为{y|y ≠0}; 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R,当a>0时,值域为{a y y 4|2≥};当a<0时,值域为{ay y 4|2}、 例1.求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解:①∵-1≤x ≤1,∴-3≤3x ≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y ≤5,∴值域就是[-1,5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域就是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域就是 { y| y ∈R 且y ≠1}(此法亦称分离常数法)(思考:如何使用口算法？) 2.二次函数在给定区间上的值域(最值)。
例2. 求下列函数的最大值、最小值与值域:①142+-=x x y ; ②]4,3[,142∈+-=x x x y ; ③]1,0[,142∈+-=x x x y ; ④]5,0[,142∈+-=x x x y ; 解:①∵抛物线的开口向上,对称轴2x =,函数的定义域R, ∴x=2时,y min =-3 ,∴函数的值域就是{y|y ≥-3 }、②∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [3,4],此时142+-=x x y 在[3,4]Z∴当x=3时,min y =-2 当x=4时,m ax y =1 ∴值域为[-2,1]、③∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∉ [0,1], 此时142+-=x x y 在[0,1] ]∴当x=0时,m ax y =1 当x =1时,min y =-2 ∴值域为[-2,1]、④∵抛物线的开口向上,对称轴2x =∈ [0,5],∴当x=2时,m in y =-3 当 x=5时,m ax y =6(思考:为什么这里直接就说当 x=5时,m ax y =6,而不去考虑x=0对应的函数值情况？答:因为观察图像可知x=5离对称轴较远,其函数值比x=0对应的函数值大)∴值域为[-3,6]、注:对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时, ①当a>0时,则当a bx 2-=时,其最小值ab ac y 442min -=; ②当a<0时,则当a b x 2-=时,其最大值ab ac y 442max -=、 ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=就是否属于区间[a,b]、 ①若2b a -∈[a,b],则()2bf a -就是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大(小)值、②若2ba-∉[a,b],则[a,b]就是在)(x f 的单调区间内,只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大(小)值、注:①若给定区间不就是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②当顶点横坐标就是字母时,则应根据其对应区间特别就是区间两端点的位置关系进行讨论、 3.有解判别法:有解判别法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,并且分子、分母,没有公因式,解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论例3.求函数y=1122+++-x x x x 值域解:原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=, 若y=1,即2x=0,则x=0; 若y ≠1,由题∆≥0, 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1、 综上:值域{y|331≤≤y }、 例4.求函数66522-++-=x x x x y 的值域(注意此题分子、分母有公因式,怎么求解呢？)解:把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明:此法就是利用方程思想来处理函数问题,一般称有解判别法、一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式并且分子、分母,没有公因式、解题中要注意二次项系数就是否为0的讨论、 4.换元法例5.求函数x x y -+=142的值域解:设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++开口向下,对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时,max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5.分段函数例6.求函数y=|x+1|+|x-2|的值域、解:将函数化为分段函数形式:21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域就是{y|y ≥3}、说明:以上就是求函数值域常用的一些方法(观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等),随着知识的不断学习与经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等、有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉与掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法、 ★练习:1、34252+-=x x y答案:值域就是{05}y y <≤、 2、求函数的值域①x x y -+=2;②y x =+答案:值域就是(-∞,49]、 答案:值域就是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法、。
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2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2;当x=0时，ymax=3
3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2, 当x=a时,ymax= a2-2a+3
3
2
o 1 2 a x
变式：已知函数y x 2 x 2, x 3, m, m 3, 求函数的值域.
二次函数给定区间求最值
一、定义域为R的二次函数的值域
求二次函数y ax2 bx ca 0当x R时的值域是先把它配方 b 4ac b 2 为y a x 2a 4a 4ac b 2 4ac b 2 当a 0时y , ;当a 0时, 值域为 , ; 4a 4a
2 2
求给定区间x∈[a，b]的二次函数 y=f(x)=ax2+bx+c （a≠0）最值或值域 步骤： （1）确定对称轴； （2）画图象；
（3）讨论对称轴与区间的位置关系。
2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2 当x=0时，ymax=3
3
2
o 1 a 2 x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3;当x=a时，ymin=a2-2a+3
三、定函数动区间的二次函数的值域
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减，
y
∴当x=0时，ymax=3 当x=a时，ymin=a2-2a+3
3
2
o a
1
x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解:函数图象的对称轴为直线x=1,抛物线开口向上 1.当a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
2
从函数的图象上去理解
y
2 1 2 1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
2
y
-1
0
1
2
3
-1
0 -1
1
2
3
x
x
2
-1
b 4ac b A( , ) 2a 4a
二、定义域不为R的二次函数的值域
y x2 2 x 3 在下列定义域中的值域： 例2、 求函数
1 （ ）x 2, ; ( 2) x 0,4; (3)2,5 1 2
变式： 设函数 f(x) =x2-2x+2在区间 [t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解 析式。
解：f(x)=(x-1)2+1，对称轴为x=1 (1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t+1; (2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=1; (3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2+1; (t<0) t2+1; 1; g(t)= (0≤t ≤1) t2-2t+2; (t>1)
例4：已知函数 f ( x) x 2ax a 2 当 x 1,3 时，求函数的最小值.
2 2
1、已知函数 f ( x) x 2ax a 2 当 x 1,3 时，求函数的最大值. 1 1 2、设0 x 1, 则函数y x 1 x 的最小值是