中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
中考数学二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定一、 知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉b am n 2，时 若-<b am 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++23的最值。
解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422 二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。
小问题大用处：高中数学小问题集中营：专题三 二次函数在闭区间上的最值 含解析
一、问题的提出二次函数是中学阶段研究最深入、最完备的一类函数,虽然是初中所学内容,却一直是高考与各类数学竞赛中的热点与难点,很多创新试题都是以二次函数为载体命制的.尤其是二次函数在闭区间上的最值,是二次函数中难度较大且考查频率较高的一个知识点,本专题对此作一些探讨.二、问题的探源1。
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型,解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；求解二次函数在闭区间上的最值问题,解题的关键都是抓住“三点一轴”,“三点"即区间两端点与区间中点,“一轴"即为抛物线的对称轴．对于动函数、动区间的类型同样是抓住“三点一轴",只不过讨论要复杂一些而已．2.对于“动轴定区间”问题,一般分两大类：①若轴在区间左边或右边,则直接依单调性可解;②若轴在区间中，则最值在顶点及区间端点取得（有时需要比较区间端点的函数值，从而进行二次分类)．．3.函数()x f 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得； 设()()2f x axbx c 0a 0=++=>，则二次函数在闭区间[]m,n 上的最大、最小值有如下的分布情况:b m n 2a<<-bm n 2a<-<即[]n m ab,2∈-bm n 2a-<< 值对于开口向下的情况，讨论类似.其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论： （1）若[]n m ab,2∈-，则()()()max b f x max f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,()()()min b f x min f m ,f ,f n 2a ⎧⎫⎛⎫=-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭;（2）若[]bm,n 2a -∉,则()()(){}maxf x max f m ,f n =,()()(){}min f x min f m ,f n =当对称轴位于区间之间时,考虑最值时需考虑对称轴在区间的左边或右边,往往通过比较对称轴b 2a -与区间中点m n 2+的大小来判断。
高一数学复习考点知识与题型讲解12---二次函数在闭区间上的最值问题
高一数学复习考点知识与题型讲解第12讲二次函数在闭区间上的最值问题二次函数在闭区间上的最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设，求在上的最大值与最小值．分析：将配方，得顶点为、对称轴为；当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在上的最值：(1)当时，的最小值是的最大值是中的较大者．(2)当时，由在上是增函数，则的最小值是，最大值是．(3)当时，由在上是减函数，则的最大值是，最小值是．当时，可类比得结论．【题型一】定轴动区间已知是二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值是．(1)求的解析式；(2)设函数在上的最小值为，求的表达式．【解析】(1)是二次函数，且的解集是，可设－．(待定系数法，二次函数设为交点式)在区间－上的最大值是．由已知得，，－．(2)由(1)得，函数图象的开口向上，对称轴为(讨论对称轴与闭区间的相对位置)①当时，即时，在上单调递减，(对称轴在区间右侧)此时的最小值；②当时，在上单调递增，(对称轴在区间左侧)此时的最小值；③当时，函数在对称轴处取得最小值(对称轴在区间中间)此时，－综上所述，得的表达式为：．【点拨】①利用待定系数法求函数解析式；②对于二次函数,对称轴是确定的，而函数的定义域不确定，则按照对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况进行讨论.【题型二】动轴定区间求在区间上的最大值和最小值．【解析】的对称轴为．①当时，如图①可知，在上递增，，．②当时，在上递减，在上递增，而，(此时最大值为和中较大者)当时，，如图，当时，，如图③，③当时，由图④可知，在上递减，，．综上所述，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，．【点拨】①题目中的函数的对称轴是不确定的，定义域是确定的，在求最小值时与“定轴动区间”的思考一样分对称轴在区间的“左、中、右”分成三种情况(即)进行讨论.②在求最大值时，当，还需要判断和时谁离对称轴更远些，才能确定、哪个是最大值，则还有分类;【题型三】逆向题型已知函数在区间上最大值为，求实数的值．【解析】若，(注意函数不一定是二次函数)则而在上的最大值,(2)若则的对称轴为，则的最大值必定是、、这三数之一，若，解得，此时而为最大值与为最大值矛盾，故此情况不成立．若，解得，此时而距右端点较远，最大值符合条件，.若，解得，当时，，则最大值不可能是；当时，此时最大值为，；综上所述或【点拨】本题没有按照分对称轴在定义域的“左、中、右”分离讨论，否则计算量会很大，还要考虑开口方向呢.思路是最大值必定是、、这三数之一，那逐一讨论求出值后再检验就行.巩固练习1 (★★) 已知函数．当时，求函数在区间上的值域；当时，求函数在区间上的最大值；求在上的最大值与最小值．【答案】(1) (2) ；(3)时, 最小值为，最大值为；时，最小值为，最大值为．时，最大值为，最小值为．【解析】(1)当时，，函数在－－上单调递减，在－上单调递增，－，，，，函数在区间上的值域是；(2)当时，，，函数在区间上的最大值；，函数在区间上的最大值；函数在区间上的最大值；(3)函数的对称轴为，①当，即时，函数在－上是增函数，当时，函数y取得最小值为；当时，函数取得最大值为．②当，即时，当时，函数取得最小值为；当时，函数取得最大值为．③当－，即－时，－a时，函数取得最小值为－；当－时，函数取得最大值为－．④当－，即－时，函数在－上是减函数，故当－时，函数取得最大值为－；当时，函数取得最小值为．2(★★) 已知函数．(1)若，求在上的最大值和最小值；(2)若在为单调函数，求的值；(3)在区间上的最大值为4，求实数的值．【答案】(1)最大值是，最小值(2)或(3)或【解析】(1)时，；在－上的最大值是，最小值是－；(2)在为单调函数；区间－在f(x)对称轴－的一边，即－－，或－；或－；－(3)－，中必有一个最大值；若－－－；－－，符合－最大；若，；，符合最大；或．3(★★) 已知函数在上恒大于或等于，其中实数求实数的范围.【答案】【解析】若时，在上是减函数，即则条件成立，令(Ⅰ)当时，即则函数在上是增函数，=即，解得或,(Ⅱ)当即若解得与矛盾;(2)若时即解得与矛盾;综上述：．4(★★★)已知函数在区间上的最小值是,最大值是，求的值.【答案】【解析】解法1：讨论对称轴中与的位置关系。
二次函数在闭区间上的最值
如果我们俩个到 对称轴的距离相 等，则我们的函 数值也相等，离 对称轴越远，我 们的函数值越大
2、二次函数的图像和性质
y
（1）二次函数y= ax²+bx+c(a>0)
对称轴 x b
o
x
顶点坐标
2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
在（-∞，
b 2a
)上，单调递减；在（
递减，如图：
所以f(x)min=f(-2)=-3 f(x)max=f(-3)=0
y
-3 -2 -1 o1
x
y
(2)如图： f(x)min=f(-1)=-4；
f(x)max=f(1)=0
y
（3）如图： f(x)min=f(0)=-3； f(x)max=f(2)=5来自--32 -1
1o2
m b n f ( b )
2a
2a
b n 2a
f (n)
f (n)
f(m)与f(n)中 的较 大者
f (m)
m
o
n
x
例2：求二次函数f(x)=x2-2ax-3在闭区间[3,4]上的最小值。
解：如图可得：
y
1°当a<3时二次函数在[3，4]上单调递
增
∴2°f当(x3)m≦ina=≦f(34)时=6二-6次a 函数先减后增
解：这个函数的对称轴为x=1,
y
∴ 当1＜a时， f(x)min=f(a)=a2-2a+3 f(x)max=f(3)=6
∴ 当-1＜a≦1时，
f(x)min=f(1)=2 f(x)max=f(3)=6
3
二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题
最值问题是函数的基本概念之一，它旨在求出函数在定义域中的最大值和最小值。
函数的最值问题也是极其重要的问题，其研究可以帮助我们求出目标函数的最优解，从而获得最佳的求解结果。
在闭区间上的二次函数最值问题中，其对应的函数形式为：
$f(x)=ax^2+bx+c$
其中，a，b，c为常量。
问题要求给定区间[a,b]，求出f(x)在这个区间内的最大值和最小值。
一、求二次函数在闭区间上的最值
二、最值求解：
最终，我们就可以得出该函数在指定的闭区间上的最大值和最小值。
二次函数在闭区间上地最值
二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设，求在上的最大值与最小值。
分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：（1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
（2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是当时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
图1练习. 已知，求函数的最值。
解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。
将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。
函数的最小值为，最大值为。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。
解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。
图1如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
当时，函数取得最小值。
图2如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
初高中衔接 二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
二、定轴动区间
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时的最值?
解析:
因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位
置,则从以下几个方面解决如图:
y = x2
2∙x
8
10
3
10
分析:
8 6 4
解:令f(x)=x2+2x+a
y
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O
2
x
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]， 求y的最大值
y
O
-1 1
x
课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 2. 含参数的二次函数最值问题：
轴动区间定 轴定区间动 法
核心 ： 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论
变式:已知函数y=x2+2x+2,
1,5
x 3, m , m 3 ,函数的值域为
，求m的范围。
1、当 a 1时. f ( x ) max f (3) a 2 6a 11 2、当1 < a 2时. f ( x ) max f (3) a 2 6a 11
10
10
10
f(x)min=f(1)=- 4
10
当k ≥1
时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
例:
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中考数学
求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x a x b xc a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
a c
b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-
∉b a m n 2，时 若-<b a m 2，由f x ()在[]
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
【例题分析归类】----正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。
解：函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
如图1所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当x
t =时，函数取得最小值fx ft t ()()()m i n ==-+112。
图1
如图2所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1上时，有t
t ≤≤+11，即01≤≤t 。
当x =1时，函数取得最小值f x f ()()m i n ==11。
图2
如图3所示，若顶点横坐标在区间[]
t t ，+1右侧时，
有t +<11，即t <0。
当x t =+1时，函数取得最小值fx ft t ()()m i n =+=+112 综上讨论，⎪⎩
⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22min t t t t t x f
图8
例. 已知
2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．
（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，．
（2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，．
根据对称性，若2121≤++t t 即102t ≤≤时，2max ()()23f x f t t t ==-+． 若2121>++t t 即112t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+．
（3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+． 综上，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
≤+->+=21,3221,2)(
22max t t t t t x f
观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。
不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。
第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。
根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。
对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910。