二次函数在闭区间上的最值例题

二次函数在闭区间上的最值问题的解法一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x a x b xc a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aa cb a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈bam n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉bam n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。

函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。

图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。

解：由已知232x x ≤，可得032≤≤x ，即函数f x ()是定义在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥上的二次函数。

将二次函数配方得f x x ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+12342，其对称轴方程x =-12，顶点坐标-⎛⎝ ⎫⎭⎪1234，，且图象开口向上。

显然其顶点横坐标不在区间032，⎡⎣⎢⎤⎦⎥内，如图2所示。

函数f x ()的最小值为f ()01=，最大值为f 32194⎛⎝ ⎫⎭⎪=。

图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。

解：函数f x x ()()=-+112，其对称轴方程为x =1，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。

如图1所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1左侧时，有1<t ，此时，当xt =时，函数取得最小值fx ft t ()()()m i n==-+112。

图1如图2所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1上时，有t t ≤≤+11，即01≤≤t 。

当x =1时，函数取得最小值f x f ()()m i n==11。

图2如图3所示，若顶点横坐标在区间[]t t ，+1右侧时，有t +<11，即t <0。

当x t =+1时，函数取得最小值fx ft t ()()m i n=+=+112综上讨论，⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤>+-=0110,11,1)1()(22mint t t t t x f图8例3. 已知2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值．解：由已知可求对称轴为1x =．（1）当1t >时，2min max ()()23()(1)2f x f t t t f x f t t ∴==-+=+=+，． （2）当11t t +≤≤，即01t ≤≤时，． 根据对称性，若2121≤++t t 即102t ≤≤时，2max ()()23f x f t t t ==-+．若2121>++t t 即112t <≤时，2max ()(1)2f x f t t =+=+． （3）当11t +<即0t <时，2max ()()23f x f t t t ==-+．综上，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+->+=21,3221,2)(22maxt t t t t x f 观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。

不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。

对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图2122129103、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++23的最值。

解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]-11，上的二次函数，将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2342，，图象开口向上由a ≥2可得x a=-≤-21，显然其顶点横坐标在区间[]-11，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a()14=+。

图3例5. (1) 求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =- （2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2af x f =（3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a a f a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大4. 轴变区间变二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。

解：将24()y a x a =-代入u 中，得①，即时，②，即时，所以（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例7. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

解：2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-（1）若0,()1,a f x ==，不符合题意。

（2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得38a =（3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =- 综上知38a =或3a =- 例8.已知函数2()2x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。

解法1：讨论对称轴中1与,,2m nm n +的位置关系。

①若，则max min()()3()()3f x f n n f x f m m ==⎧⎨==⎩解得②若12m nn +≤<，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f m m==⎧⎨==⎩，无解 ③若12m nm +≤<，则max min()(1)3()()3f x f n f x f n m ==⎧⎨==⎩，无解 ④若，则max min ()()3()()3f x f m nf x f n m==⎧⎨==⎩，无解综上，4,0m n =-= 解析2：由211()(1)22f x x =--+，知113,,26n n ≤≤，则[,](,1]m n ⊆-∞， 又∵在[,]m n 上当x 增大时)(x f 也增大所以max min()()3()()3f x f n nf x f m m ==⎧⎨==⎩解得4,0m n =-=评注：解法2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。