含参数的二次函数求值域问题解析

含参数的二次函数求值域问题专题
有时参数在区间上， 有时参数在解析式上，
构成了有时轴动区间定， 而有时轴定区间动
1 函数222f x --（x)=x 的定义域为[]-1，m ，值域为[]-31，，则实数m 的取值范围是[]1，3
2 已知函数2
2+3f x -（
x)=x 在区间[]0，m 上有最大值3，最小值2 ，则实数m 的取值范围是[]12，
3 已知2
2
444)(a a ax x x f --+-=在区间[0，1]内有最大值－5，求a 的值. 解: ∵f(x)的对称轴为,20a
x =
①当;4
55)2()]([20,120max =⇒-==≤≤≤≤a a f x f a a 时即 ②当;5,54)0()]([02
max -=⇒-=--==<a a a f x f a 时 ③当1,54)1()]([22
max ±=∴-=--==>a a f x f a 时不合；
综上，.54
5
-==
a a 或 4 已知定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．
解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ，
(1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；
(2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.
(3)当k ＝0时，显然不成立． 故k 的取值集合为{1，－3}．
答案：{1，－3}
5 . 已知a >0，当]1,1[-∈x 时，函数b ax x x f +--=2
)(有最小值－1，最大值1.求使函数取
得最大值和最小值时相应的x 的值. 解: ∵a >0，∴f(x)对称轴;1)()]([,02
min b a x f x f a
x =⇒-==∴<-
= ①当;,11)1()]([,212
max 不合时即=⇒=-=≥-≤-
a f x f a a
②当,2221)2()]([,20,021max +-=⇒=-=<<<-<-a a
f x f a a 时即
∴212
-=-=a
x .
综上，当.1)]([,21;1)]([,1max min =-=-==x f x x f x 时当时
．已知函数f(x )＝4x 2－4ax ＋a 2
－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值． 解：∵f(x)＝4(x －a
2)2
－2a ＋2，对称轴为x ＝a
2
.
①当a
2
≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数，
∴f (x )min ＝f (0)＝a 2
－2a ＋2. 由a 2
－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ＜0，∴a ＝1－ 2.
②当0＜a 2＜2，即0＜a ＜4时，f (x )min ＝f (a
2
)＝－2a ＋2.
由－2a ＋2＝3，得a ＝－1
2
∉(0,4)，舍去．
③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f(x)在[0,2]上是减函数，f (x )min ＝f (2)＝a 2
－10a ＋18.
由a 2
－10a ＋18＝3，得a ＝5±10， ∵a ≥4，∴a ＝5＋10.
综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.
7 设二次函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为______．38
或－3
分析: 函数的对称轴1x
当a>0时,max ()f x =(2)f =8a+1=4, 解得a=3
8
当a<0时,max ()f x =(1)f =-a+1=4,解得a=-3
8 已知二次函数b a x ax x f ++-=2)(2
的定义域为[0，3]，而值域为[1，5]，求a 、b 的值.
[解析],610)3(,)0(,1
)1(-+=+=-
+=b f b a f a
b a a f （1）当,0时<a ;,92
161051
)3()]([5)0()]([min max 不合=⇒⎩⎨⎧=-+=+⇒⎩⎨
⎧====a b a b a f x f f x f （2）当,0时>a ①当,3
2
2310时即><<
a a ;1115
6101)1(5)3(==⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧=-+=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==b a a b a b a a f f ②当;,4
111
51)1(5)0(,32313123不合时即=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤≤≤a a b a b a a f f a a ③当,31031时即<<>a a ;943
,921
61051)3(5)0(==⇒⎩⎨⎧=-+=+⇒⎩⎨⎧==b a b a b a f f
综上，.9
43
,921==
==b a b a 或
9 、求函数()[]221,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。

解：对称轴0x a =
（1）当1a <时，()min 122y f a ==-； （2）当13a ≤≤时，()2min 1y f a a ==-； （3）当3a >时，()min 3106y f a ==-
改：1．本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？
解：（1）当2a <时，()()max 3106f x f a ==-； （2）当2a ≥时，()()max 122f x f a ==-。

2．本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？
解：（1）当1a <时，()()max 3106f x f a ==-，()()min 122f x f a ==-；
（2）当12a ≤<时， ()()max 3106f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（3）当23a ≤<时，()()max 122f x f a ==-，()()2
min 1f x f a a ==-；
（4）当3a ≥时， ()()max 122f x f a ==-，()()min 3106f x f a ==-。

10 、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。

解：对称轴02x =
（1）当2t <即2t >时，()2
min 43y f t t t ==-+；
（2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2
min 12y f t t t =+=-
解：()22
21,11,x a
x x a f x x x a x a
x x a ≥⎧+-+=+-+=⎨<-++⎩，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上
的对称轴分别为直线12x =-，12x =，当12a <-，1122a -≤<，1
2
a ≥时原函数的图象分别如下（1），（2），（3）
因此，（1）当
1
2
a<-时，()min13
24
f x f a
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
；
（2）当
11
22
a
-≤<时，()()2
min
1
f x f a a
==+；。