含参二次函数的最值问题

5a x
(2)当1 a 5时
f (x)min =f(1)=-4 f (x)max =f(-3)=12
(3)当a 5时
f (x)min=f(1)=-4 f (x)max =f(a)= a2-2a-3
小结：
本节课讨论了两类含参数的二次函数最 值问题:
(1)轴动区间定 (2)轴定区间动 核心思想仍然是判断对称轴与区间的 相对位置，从中体会到数形结合思想、分类 讨论思想。
❖第2类:函数对称轴固定，动区间 例2：
求函数f (x) x2 2x 5在区间t,t 2上的最大值
对称轴：x=1
(1)t+2≤1时，即：t ≤ -1时， 函数f(x)在区间[t,t+2]上单调递 增当x=t+2时，y有最大值， y max = f(t+2)= -t2-2t+5
(2)t<1<t+2,即-1<t<1时 当x=1时，y有最大值， y max = f(1)= 6
二次函数含参问题
求最值
第一类： ：函数对称轴不固定，区间固定
例1：求二次函数f(x)=x2-2ax-1在区间
[0,2]上的最小值？
y
分析：对称轴 x=a是个动直线， 有可能位于0的
左侧，有可能位 于0与2之间，有 可能位于2的右 侧
O
x
X=a
解：由题知， 函数f(x)的对称轴为x=a，开口向上
若 a 0 ，则函数f(x)的最小值为f(0)=—1
若0 a 2，则函数f(x)的最小值为f (a) a2 1
若 a 2 ，则函数f(x)的最小值为f(2)=3—4a.
所以，
1, (a 0) f (x)min a2 1, (0 a 2)
3 4a, (a 2)
变式作业上第9题
已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值 2，求a？
（3）t≥1时,函数f(x)在区间 [t,t+2]上单调递减，
当x=t时，y有最大值， y max = f(t)= -t2+2t+5
y
x (2)
y
x
(1)
综上所述:
（1） t ≤ -1时， y max = -t2-2t+5 （2） -1<t<1时， y max = 6 （3） t ≥1时， y max = -t2+2t+5
Байду номын сангаас
y x
(3)
例3：求二次函数f(x)=x2-2x-3 在[-3,a] (a>-3)上的最值
y
a -3 o 1
(1)当 3 a 1时
f (x)min=f(a)=a2-2a-3 x f (x)max =f(-3)=12
f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1