数学-2016届高三(高补班)上学期期初考试数学试题

2015—2016学年度第一学期期初测试高补班数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合{}1,0,1,2A =-, {}2|10B x x =->，则A B = ▲ . 2．复数111-++-=iiz ，在复平面内z 所对应的点在第 ▲ 象限． 3．在棱长为a 的正方体1111ABCD A BC D -内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于a 的概率为 ▲ ． 4．“6πα=”是“1sin 2α=”的 ▲ 条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”)5．如图，该程序运行后输出的结果为 ▲ .6．已知样本7,8,9,,x y 的平均数是8，且60xy =，则此样本的标准 差是 ▲ .7．设γβα,,为两两不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线， 给出下列四个命题，其中真命题的个数为 ▲ . ①若γβγα⊥⊥,，则βα//；②若ββαα//,//,,n m n m ⊂⊂，则βα//；③若βα//，α⊂l ，则β//l ；④若,,,//l m n l αββγγαγ=== ，则n m //.8．抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ▲ .9．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 ▲ ．10．过点(4,1)A -,且与已知圆222650x y x y ++-+=切于点1,2B （）的圆的方程为 ▲ .11．已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M 、N 分别为线段BC 、CD 上的两个不同点，且1MN≤，则OM ON ⋅ 的取值范围是 ▲ . 12．在数列{}n a 中，10a =，111111n n a a +-=--，设n b =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，则99S = ▲ .13．设)(x f '和)(x g '分别是()f x 和()g x 的导函数，若()()0f x g x ''≤在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间I 上单调性相反.若函数31()23f x x ax =-与2()2g x x bx =+在开区间(,)a b 上单调性相反（0a >），则b a -的最大值为 ▲ ． 14. 已知,,x y z R ∈，且2221,3x y z x y z ++=++=，则xyz 的最大值是 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14分)设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且c a ccb a bc a -=-+-+2222222， 求)(x f 在(]B ,0上的值域．16. (本小题满分14分)正ABC ∆的边长为4，CD 是AB 边上的高，E F 、分别是AC 和BC 的中点（如图（1））.现将ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --如图（2）.在图形（2）中： （Ⅰ）试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）在线段BC 上是否存在一点P ，使DE AP ⊥?证明你的结论.17. (本小题满分14分)某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质； （2）若()f x =mn x+，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测； （3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取 值范围．18. (本小题满分16分)已知A 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一个动点，弦AB 、AC 分别过焦点12F F 、，当AC 垂直于x 轴时，恰好有12:3:1AF AF =.（Ⅰ）求椭圆离心率；（Ⅱ）设111222,AF F B AF F C λλ==,试判断21λλ+是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.19. (本小题满分16分)已知函数()log (0,1)xab f x b b =>≠的图像过点A 1,44（），(15)B ，， 设2(4)log ,n n b n a f a S =+为{}n a 的前n 项和。

（Ⅰ）解关于n 的不等式0n n a S ≤；（Ⅱ）设222()n n n b a S n n N *=+∈，求n b 的最小值。

20. (本小题满分16分)若函数()(ln )f x x x a =-（a 为实常数）.（1）当0a =时，求函数)(x f 在1x =处的切线方程； （2）设()|()|g x f x =.①求函数()g x 的单调区间； ②若函数1()()h x g x =的定义域为2[1,]e ，求函数()h x 的最小值()m a .2015—2016学年度第一学期期初测试高补班数学（理科加试题）1、已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．2、若两条曲线的极坐标方程分别为ρ =l 与ρ =2cos(θ+π3)，它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．3、口袋中有)(*N ∈n n 个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，班级 姓名 学号 准考证号 考场那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求（1）n 的值； （2）X 的概率分布与数学期望．4、设数列{}n a 是等比数列，311232C A m m m a +-=⋅，公比q 是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用,n x 表示通项n a 与前n 项和n S ；（2）若1212C C C nn n n n n A S S S =+++ ，用,n x 表示n A ．2016届高补数学参考答案：一、填空题： 1、{}2 2、二 3、6π4、充分不必要5、16 6 7、2 8、 座位号9 、2ln 22- 10、22(3)(1)5x y -+-= 11、)(22,2⎡⎣12、910 13、1214、275二、解答题：15. 解：(Ⅰ)22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+sin 2cos 2.2ax x =-由1()(0)1,3222a f f a π-=-⋅+=-=得解得因此()3s i n 2co6f x x x x π=-=- 令Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ 故函数)(x f 的单调递增区间)(3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ（Ⅱ）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222，即C b B c B a cos cos cos 2=-，又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，即21cos =B , 所以3π=B 当⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx 时，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ，()(]2,1-∈x f ，故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1-16、（Ⅰ）如图（2）：在ABC ∆中，由EF 分别是AC 、BC 的中点，得EF//AB ，又⊄AB 平面DEF ，⊂EF 平面DEF . ∴//AB 平面DEF.（Ⅱ）在线段BC 上取点P ，使BP =BC 31，过P 作PQ ⊥CD 于点Q ，∴⊥PQ 平面ACD . ∵，33231==DC DQ ∴ADQ Rt ∆中，33t a n =∠D A Q.在等边ADE ∆中，,30=∠DAQ ∴DE AP DE AQ ⊥⊥,17.解：（1）预测①：()f x 在[)1,+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[)1,x ∈+∞恒成立；（2）将（1，100）、（2，120）代入到m y n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩.因为40()140,f x x =-+所以240()0f x x'=>，故()f x 在[)1,+∞上单调递增，符合预测①；又当4x ≥时，40()140130,f x x=-+≥所以此时()f x 不符合预测②. （3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩.因为()ln ,x f x a b b '=⋅⋅要想符合预测①，则()0,f x '>即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩.（i ）当1b >时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①，但由()130f x ≥，解得23log 22b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，即当23log 22b b x b ⎛⎫-⎪⎝⎭≥时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②；（ii ）当2001,0(1)b a b b <<=<-，此时符合预测①，又由1,x ≥知(]0,x b b ∈，所以[),0x a b ab ⋅∈；从而[)(),.f x ab c c ∈+欲()f x 也符合预测②，则130c ≤，即20100130,1b --≤又01b <<，解得103b <≤.综上所述，b 的取值范围是10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦18.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 22||=，13||||21：：=，∴a b AF 213||=∴a a b 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e . （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.②当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=，代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b . ∴02222023bx b y b y y --=，C F AF 222λ=，b x b y y 020223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ，∴621=+λλ综上可知21λλ+是定值 6.18.解：（Ⅰ）当AC 垂直于x 轴时，a b AF 22||=，13||||21：：=，∴a b AF 213||=∴a a b 242=，∴222b a =，∴22c b =，故22=e . （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆的方程为22222b y x =+，焦点坐标为)0,(),0,(21b F b F -.①当AC 垂直于x 轴时，则bbb 23,112+==λλ，这时621=+λλ； 当AB 垂直于x 轴时，则5,121==λλ，这时621=+λλ.②当弦AC 、AB 的斜率都存在时，设),(),,(),,(221100y x C y x B y x A ，则AC 所在的直线方程为)(00b x bx y y --=，代入椭圆方程得0)(2)23(20200202=--+-y b y b x by y bx b . ∴02222023bx b y b y y --=，F AF 222λ=，b x b y y 020223-=-=λ.同理b x b 0123+=λ，∴621=+λλ综上可知21λλ+是定值 6.19解：（1）11()log log 444(1)log 1log 5b b b b f a f a ⎧=-=⎪⎨⎪=-=⎩10124a b ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩ 104410()log log (2)12x f x x ∴== 即10244101log (24)log ()2nn a =⋅+5105n n =+-=-即5n a n =- (9)2n n n S -= ，(5)(9)02n n n --∴≤， 59n ∴≤≤（2）2(9)2(5)22n n n b n n -=⨯-⨯+2(5)(9)2n n n n =--+321245n n n =-+ 32321[(1)12(1)45(1)](1245)n n b b n n n n n n +-=+-+++--+2(331)12(21)45n n n =++-++232134n n =-+，令2321340n n -+>n ∴>或n <，又n N *∈，故2n ≤或5n ≥时1n n b b +>25n <<1n n b b +<，1234567b b b b b b b ∴<>>><<<1534,50b b ∴== {}n b ∴最小值为134b =（也可构造函数32()1245f x x x x =-+，研究其极值）20.解：（1）当0a =时，()ln ,()ln 1,(1)1,f x x x f x x k f ''==+∴== 又当1x =时，0,y = ∴函数()f x 在1x =处的切线方程1y x =-；（2）因为()ln ,()|()||ln ||ln |ln ,a ax x ax x e g x f x x x a x x a ax x x x e⎧-≥⎪==-=-=⎨-<⎪⎩， ①当ax e ≥时，()ln 10g x x a '=+->恒成立，所以(,)ax e ∈+∞时，函数()g x 为增函数；当a x e <时，()1l n g x a x '=--，令()1l n 0g x a x '=-->，得10a x e -<<，令()1l n 0g x a x '=--<，得1a x e ->，所以函数()g x 的单调区间为1(,),(0,)a a e e -+∞；单调减区间为1(,)a a ee -；②当2[1,]x e ∈时，ln [0,2]x ∈，因为11()()|ln |h x g x x x a ==-的定义域为2[1,]e ，所以2a >或0a <.（i ）当0a <，1ae <，所以函数()g x 在2[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为2(2)a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为21()(2)m a a e=-； （ii ）当23a <<时，2ae e <，且121a ee -<<，所以函数()g x 在)11,a e -⎡⎣上单调递增，在(12,a ee -⎤⎦上单调递减，则()g x 的最大值为1a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为11()a m a e-=；（iii ）当3a ≥时，12a ee ->，所以函数()g x 在2[1,]e 上单调递增，则()g x 的最大值为2(2)a e -，所以()h x 在区间2[1,]e 上的最小值为21().(2)m a a e=- 综上所述，2121,0,(2)1(),23,1, 3.(2)a a a e m a a ea a e -⎧<⎪-⎪⎪=<<⎨⎪⎪≥⎪-⎩附加题参考答案1、解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ………………………………………3分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………………………8分所以A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 23 －12－13 12……………………………………………………10分2、由1ρ=得221x y +=， 又22cos()cos ,cos sin 3πρθθθρρθθ=+=∴=-220x y x ∴+-=，由222210x y x y x ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩得1(1,0),(,2A B -,AB ∴== 3、（1）由题知,307)2)(3(3)2(23113=++=⨯==+n n n A A A X P n n 2*755420,(76)(7)0.,7.n n n n n N n -+=--=∈=即即因所以为 （2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以,120112073071071)4(,1207)3(,307)2(,107)1(310172311017=---==========X P A A A X P X P A A X P所以，X 的概率分布表为所以.811120141207330721071)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 答X 的数学期望是.8114、解：（1）∵31122C A m m m a -=⋅ ∴ 233,21,m m m +⎧⎨-⎩≥≥ ∴3m =， ………2分 由4214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的同项公式知2412421C 4T x x x -⎛⎫== ⎪⎝⎭， ∴1n n a x -= ∴, =1,1, 11n n n x S x x x⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩； ………4分（2）当1x =时，123 C 2C 3C C nn n n n n n S n A n ==++++ , ，又∵1210 C (1)C (2)C C 0C n n n n n n n n n A n n n --=+-+-+++ ， ∴012 2(C C C C )2n n n n n n n A n n =++++=⋅ ， ∴12n n A n -=⋅， 当x ≠1时, 11n n x S x-=-，21212122111C C C 1111 [(C C C )(C C C )]11 [2(1)],1n nn n n nn n nn n n n n n n n x x x A x x x x x x x x x---=+++---=+++-+++-=-+-∴12, 1,2(1), 11n n n n n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩． ……………10分。